2025高考數(shù)學(xué)考二輪專題復(fù)習(xí)-第八講-排列組合與二項式定理-專項訓(xùn)練

一：考情分析

命題解讀考向考查統(tǒng)計

1.高考對排列組合的考查，重2023?新高考□卷，

點是特殊元素與特殊位置、兩13

元素相鄰或不相鄰、分組、分2022?新高考□卷，

配等問題。題型一般與生活實5

排列組合

際聯(lián)系緊密。2023?新高考□卷，

2.高考對二項式定理的考查，3

重點是二項展開基本定理考查2024?新高考口卷，

特定項、特定項的系數(shù)、二項14

式系數(shù)等問題，同時會涉及到2022?新高考□卷，

二項式定理

賦值法的應(yīng)用。13

—：2024高考命題分析

2024年高考新高考口卷的排列組合是體現(xiàn)在概率中的，后續(xù)專題會體現(xiàn)出來?？?/p>

卷考查了通過列舉來確定所有可能結(jié)果，其實口卷的題目也可以采用列舉法，這兩題

考查的方向偏向于與實際生活聯(lián)系在一起；其中邏輯推理能力比較重要，而且都是壓

軸題。預(yù)計2025年高考還是主要考查排列組合的應(yīng)用，題型多變。

三：試題精講

一、填空題

1.（2024新高考□卷44）在如圖的4x4方格表中選4個方格，要求每行和每列均恰有

一個方格被選中，則共有種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格

中的4個數(shù)之和的最大值是.

11213140

12223342

13223343

15243444

高考真題練

一、單選題

1.（2022新高考口卷5）有甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若

甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有（）

A.12種B.24種C.36種D.48種

2.（2023新高考口卷—3）某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運動的情況，用比例分配的分層

隨機抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學(xué)生，已知該校初中

部和高中部分別有400名和200名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有（）.

A.GQC/種B.c：Mc禽種

c.C熱C禽種D.C%c北種

二、填空題

3.（2022新高考□卷T3）y）8的展開式中的系數(shù)為

（用數(shù)字作答）.

4.（2023新高考□卷T3）某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生

需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方

案共有種（用數(shù)字作答）.

知識點總結(jié)

一、排列與排列數(shù)

1、定義：從“個不同元素中取出個元素排成一列，叫做從〃個不同元素中取

出m個元素的一個排列.從〃個不同元素中取出個元素的所有排列的個數(shù)，

叫做從"個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用符號4"表示.

2、排列數(shù)的公式：=H（n-l）（H-2）...（M-m+l）=-———.

\n—my.

特例：當(dāng)機二〃時，A：=〃!=〃（〃一1）（〃一2）…3?2?1；規(guī)定：0!=1.

3、排列數(shù)的性質(zhì)：

—C+1=—aA：=mA^A；_.

；n—mn—m+}

二、組合與組合數(shù)

1、定義：從〃個不同元素中取出機（加4〃）個元素并成一組，叫做從〃個不同元素中取

出m個元素的一個組合.從〃個不同元素中取出個元素的所有組合的個數(shù)，

叫做從〃個不同元素中取出機個元素的組合數(shù)，用符號C：”表示.

2、組合數(shù)公式及其推導(dǎo)

求從〃個不同元素中取出加個元素的排列數(shù)4",可以按以下兩步來考慮：

第一步，先求出從這"個不同元素中取出加個元素的組合數(shù)C：；

第二步，求每一個組合中m個元素的全排列數(shù)可”；

根據(jù)分步計數(shù)原理，得到父=C：；

因止匕C”=且=MW）…（…+1）

"黑〃?！

這里“，機€乂，且〃區(qū)”，這個公式叫做組合數(shù)公式.因為4"=二丁，所以組合

[n-my.

nI

數(shù)公式還可表示為：c：=,n-..特例：C：=C：=1.

注意：組合數(shù)公式的推導(dǎo)方法是一種重要的解題方法！在以后學(xué)習(xí)排列組合的混合問

題時，一般都是按先取后排（先組合后排列）的順序解決問題.公式

C：=〃(〃一1)(〃-2)-《-〃[+1)常用于具體數(shù)字計算，C：=常用于含字母算

mlm\(n-m)\

式的化簡或證明.

,1

3、組合數(shù)的主要性質(zhì)：□￡"=a—"；□C；；+C；-=CX1.

4、組合應(yīng)用題的常見題型：

□“含有”或“不含有”某些元素的組合題型

□“至少，，或“最多，，含有幾個元素的題型

三、排列和組合的區(qū)別

組合：取出的元素地位平等，沒有不同去向和分工.

排列：取出的元素地位不同，去向、分工或職位不同.

注意：排列、組合都是研究事物在某種給定的模式下所有可能的配置數(shù)目問題，它們

之間的主要區(qū)別在于是否要考慮選出元素的先后順序，不需要考慮順序的是組合問

題，需要考慮順序的是排列問題.排列是在組合的基礎(chǔ)上對入選的元素進行排隊，因

此，分析解決排列組合綜合問題的基本思維是“先組合，后排列”.

四、二項式展開式的特定項、特定項的系數(shù)問題

1、二項式定理

一般地，對于任意正整數(shù)〃，都有：

(a+by=C°an+C『b+…++…+(〃eN*),

這個公式所表示的定理叫做二項式定理，等號右邊的多項式叫做3+3"的二項展開

式.

式中的做二項展開式的通項，用表示，即通項為展開式的第r+l項：

一方，

其中的系數(shù)C；(r=0,1,2,?)叫做二項式系數(shù),

2、二項式(a+6)”的展開式的特點：

□項數(shù)：共有〃+1項，比二項式的次數(shù)大1;

□二項式系數(shù)：第廠+1項的二項式系數(shù)為C：,最大二項式系數(shù)項居中；

□次數(shù)：各項的次數(shù)都等于二項式的易指數(shù)*字母。降幕排列，次數(shù)由〃到0;字母

6升幕排列，次

數(shù)從0到〃，每一項中，a,6次數(shù)和均為八

□項的系數(shù)：二項式系數(shù)依次是c3c3cC；,…，C；,項的系數(shù)是。與6的系數(shù)

(包括二項式系

數(shù)).

3、兩個常用的二項展開式：

a(a-by=C°an-cy-'b+…+(-1)'?《口吁'//+…+(-1)""wN*)

n(i+x)"=i+c：x+c,；%2+…+c,x+…+x"

4、二項展開式的通項公式

二項展開式的通項：Tz=C；a"-W(r=0,1,2,3,

公式特點：□它表示二項展開式的第廠+1項，該項的二項式系數(shù)是C；;

□字母b的次數(shù)和組合數(shù)的上標(biāo)相同；

□a與。的次數(shù)之和為”.

注意：□二項式(。+6尸的二項展開式的第什1項〃和(b+a)"的二項展開式的第

什1項G/L'a'是有區(qū)別的，應(yīng)用二項式定理時，其中的。和b是不能隨便交換位置

的.

□通項是針對在(a+b)"這個標(biāo)準(zhǔn)形式下而言的，如(a-b)"的二項展開式的通項是

=(-(只需把-匕看成。代入二項式定理).

五、二項式展開式中的最值問題

1、二項式系數(shù)的性質(zhì)

□每一行兩端都是I,即c：=c：；其余每個數(shù)都等于它“肩上”兩個數(shù)的和，即

c：+x=c;-'+c：.

□對稱性每一行中，與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即c：：=.

□二項式系數(shù)和令a=b=l,則二項式系數(shù)的和為C：+C；+C"…+C：+…+C：=2”，

變形式C：+C；+…+C：+…+C；=2"-1.

口奇數(shù)項的二項式系數(shù)和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)和在二項式定理中，令

a=1fb=—l9

貝!)C°-C；+C；Y+…+(-1)"=(!-1)"=0,

從而得到：C°+C；+C：…+C?+…=C：+C；+…+C；r+1+…=：.2"=2"-1.

□最大值：

如果二項式的嘉指數(shù)〃是偶數(shù)，則中間一項7〃的二項式系數(shù)eg最大；

-+1

n-1n+\

如果二項式的嘉指數(shù)”是奇數(shù)，則中間兩項MM，r?+1的二項式系數(shù)c3，C/相等且

————+1

22

最大.

2、系數(shù)的最大項

求(〃+區(qū))”展開式中最大的項，一般采用待定系數(shù)法.設(shè)展開式中各項系數(shù)分別為

fA>A

44,…，4M，設(shè)第r+1項系數(shù)最大，應(yīng)有.用一；，從而解出廠來.

IA+i-A「+2

六、二項式展開式中系數(shù)和有關(guān)問題

常用賦值舉例：

1、設(shè)（。+b）"=端優(yōu)+C\anlb+C；a"2b2+…+C；a"-E+.??+C?”,

二項式定理是一個恒等式，即對。，6的一切值都成立，我們可以根據(jù)具體問題的需要

靈活選取。，6的值.

口令aj=l,可得：2"=C；+C：+…+&

口令°=1,人=i,可得：o=c：-a+c；-c；..+（-i）"a，即：

C：+C；+…+C；=C；+C：+…+C『（假設(shè)〃為偶數(shù)），再結(jié)合□可得：

《+￡；+.?.+C；=C"+…+CT=2"、

nn2

2、若f(x)=anx+a“_]X"T+an_2x~4---卜a^x+a0,則

□常數(shù)項：令x=0,得%=/（0）.

口各項系數(shù)和：令x=l,得/\1）=4+%+里+…+%T+%.

□奇數(shù)項的系數(shù)和與偶數(shù)項的系數(shù)和

（z）當(dāng)〃為偶數(shù)時，奇數(shù)項的系數(shù)和為佝+%+勾+…=1⑴［八一1）；

偶數(shù)項的系數(shù)和為/+/+4+…=/⑴丁T）.

（可簡記為：〃為偶數(shù)，奇數(shù)項的系數(shù)和用“中點公式”，奇偶交錯搭配）

⑺當(dāng)〃為奇數(shù)時，奇數(shù)項的系數(shù)和為4+&+%+…=/⑴；"T）

偶數(shù)項的系數(shù)和為e+生+4+…=/⑴7f

（可簡記為：〃為奇數(shù)，偶數(shù)項的系數(shù)和用“中點公式”，奇偶交錯搭配）

1n

若/(x)=a0+AjX+4無2T---F+anx，同理可得.

注意：常見的賦值為令x=0,x=l或x=-l,然后通過加減運算即可得到相應(yīng)的結(jié)

果.

【排列組合常用結(jié)論】

一、解決排列組合綜合問題的一般過程

1、認(rèn)真審題，確定要做什么事；

2、確定怎樣做才能完成這件事，即采取分步還是分類或是分步與分類同時進行，弄清

楚分多少類及多少步；

3、確定每一步或每一類是排列(有序)問題還是組合(無序)問題，元素總數(shù)是多少

及取出多少個元素；

4、解決排列組合綜合性問題，往往類與步交叉，因此必須掌握一些常用的解題策略.

二、常見排列組合類型及解法

1、如圖，在圓中，將圓分〃等份得到"個區(qū)域M,M2,M3,…，/"(〃..2),現(xiàn)取

左上.2)種顏色對這"個區(qū)域涂色，要求每相鄰的兩個區(qū)域涂不同的兩種顏色，則涂色

的方案有(-1)"("1)+("D"種.

2、錯位排列公式Q,=(之粵+1>〃!

3、數(shù)字排列問題的解題原則、常用方法及注意事項

(1)解題原則：排列問題的本質(zhì)是“元素”占“位子”問題，有限制條件的排列問題的限

制條件主要表現(xiàn)在某元素不排在某個位子上，或某個位子不排某些元素，解決該類排

列問題的方法主要是按“優(yōu)先”原則，即優(yōu)先排特殊元素或優(yōu)先滿足特殊位子，若一個

位子安排的元素影響到另一個位子的元素個數(shù)時，應(yīng)分類討論.

4、定位、定元的排列問題，一般都是對某個或某些元素加以限制，被限制的元素通常

稱為特殊元素，被限制的位置稱為特殊位置.這一類問題通常以三種途徑考慮：

(1)以元素為主考慮，這時，一般先解決特殊元素的排法問題，即先滿足特殊元素，

再安排其他元素；

(2)以位置為主考慮，這時，一般先解決特殊位置的排法問題，即先滿足特殊位置，

再考慮其他位置；

(3)用間接法解題，先不考慮限制條件，計算出排列總數(shù)，再減去不符合要求的排列

數(shù).

5、解決相鄰問題的方法是“捆綁法”，其模型為將"個不同元素排成一排，其中某上個

元素排在相鄰位置上，求不同排法種數(shù)的方法是：先將這左個元素“捆綁在一起“，看

成一個整體，當(dāng)作一個元素同其他元素一起排列，共有種排法；然后再將“捆綁”

n-k+1

在一起的元素“內(nèi)部”進行排列，共有履種排法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，符合條

件的排法共有百二解?種.

6、解決不相鄰問題的方法為“插空法”，其模型為將〃個不同元素排成一排，其中某左

個元素互不相鄰(左V”-左+1),求不同排法種數(shù)的方法是：先將(n-k)個元素排成

一排，共有可:■:種排法；然后把七個元素插入〃-左+1個空隙中，共有記_1種排法.根

據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，符合條件的排法共有種.

名校模擬練

一、單選題

1.（2024?重慶?三模）重慶某高校去年招收學(xué)生來自成渝地區(qū)2400人，除成渝外的西

部地區(qū)2000人，中部地區(qū)1400人，東部地區(qū)1800人，港澳臺地區(qū)400人.學(xué)校為了解

學(xué)生的飲食習(xí)慣，擬選取40人作樣本調(diào)研，為保證調(diào)研結(jié)果的代表性，則從該校去年

招收的成渝地區(qū)學(xué)生中不同的抽樣結(jié)果種數(shù)為（）

A.C；，B.C瓢C.匿0aD.

2.（2024?北京?三模）已知|2的二項式系數(shù)之和為64,則其展開式的常數(shù)項為

（）

A.-240B.240C.60D.-60

3.（2024?陜西?三模）2024年中國足球乙級聯(lián)賽陜西聯(lián)合的主場火爆，一票難求，主辦

方設(shè)定了三種不同的票價分別對應(yīng)球場三個不同的區(qū)域，五位球迷相約看球賽，則五

人中恰有三人在同一區(qū)域的不同座位方式共有（）

A.30種B.60種C.120種D.240種

4.（2024?四川成都?三模）成實外教育集團自2000年成立以來，一直行走在民辦教育

的前端，致力于學(xué)生的全面發(fā)展，對學(xué)生的教育視為終身己任，在教育事業(yè)上砥礪前

行，永不止步.截至目前，集團已開辦29所K-12學(xué)校和兩所大學(xué)，其中高中教育學(xué)校

有11所.集團擬召開綜合考評會.經(jīng)考評后，11所學(xué)校得分互不相同，現(xiàn)從中任選3所

學(xué)校的代表交流發(fā)言，則排名為第一名或第五名的學(xué)校代表去交流發(fā)言的概率為

（）

5.（2024?重慶九龍坡?三模）用1,2,3,4,5,6這六個數(shù)組成無重復(fù)數(shù)字的六位

數(shù)，則在數(shù)字1,3相鄰的條件下，數(shù)字2,4,6也相鄰的概率為（）

6.（2024?新疆喀什?三模）（V+x+l）5展開式中，/的系數(shù)為（）

A.20B.30C.25D.40

7.（2024?新疆?三模）西安、洛陽、北京、南京和開封并稱中國的五大古都.某旅游博主

為領(lǐng)略五大古都之美，決定用兩個月的時間游覽完五大古都，且每個月只游覽五大古

都中的兩個或三個（五大古都只游覽一次），則恰好在同一個月游覽西安和洛陽的概率

為（）

A.-B.-C.1D.-

5525

8.（2024?北京?三模）在（尤2-2）（2尤-1丫的展開式中，爐項的系數(shù)為（）

A.-144B.-16C.16D.144

9.（2024?河北秦皇島?三模）三人被邀請參加同一個時間段的兩個晚會，若兩個晚會都

必須有人去，去幾人自行決定，且每人最多參加一個晚會，則不同的去法有（）

A.8種B.12種C.16種D.24種

10.（2024?安徽蕪湖?三模）已知B、C、D、E、廠六個人站成一排，要求4和8不

相鄰，C不站兩端，則不同的排法共有（）種

A.186B.264C.284D.336

11.（2024?浙江紹興三模）在（x+l）（x+2）（x+3）（x+a）（x+b）的展開式中,含一項的系

數(shù)是10,則log2（a+6）=（）

A.0B.1C.2D.4

24

12.（2024?湖北荊州?三模）已知（3元-1戶=%+卬:+/無2+1+的）24鏟"，貝U

+的+L+a2024被3除的余數(shù)為（）

A.3B.2C.1D.0

二、多選題

13.（2024?山西臨汾三模）在a］的展開式中（）

A.所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和為128

B.二項式系數(shù)最大的項為第5項

C.有理項共有兩項

D.所有項的系數(shù)的和為38

14.（2024?江西南昌三模）已知,的展開式中二項式系數(shù)的最大值與（x+曰3的

展開式中工的系數(shù)相等，則實數(shù)。的值可能為（）

X

A.V2B.-V2C.正D.—立

22

12

15.(2024?山西?三模)已知函數(shù)/(x)=(4x-l)'=%+qx+a2x2H----FOj2x,貝I]()

3

A.a3=4xC^2B./（x）展開式中，二項式系數(shù)的最大值

為小

1

C.at+a2+a3----1-a12=3"D.f（5）的個位數(shù)字是1

三、填空題

16.（2024?山東煙臺三模）0五+2］展開式的中間一項的系數(shù)為.

17.（2024?安徽合肥?三模）北京時間2024年4月26日5時04分，神舟十七號航天員

乘組（湯洪波，唐勝杰，江新林3人）順利打開“家門”，歡迎遠(yuǎn)道而來的神舟十八號

航天員乘組（葉光富、李聰、李廣蘇3人）入駐“天宮”.隨后，兩個航天員乘組拍下

“全家?！保餐蛉珖嗣駡笃桨?若這6名航天員站成一排合影留念，葉光富不站

最左邊，湯洪波不站最右邊，則不同的排法有.

18.（2024?福建福州?三模）：一1］的展開式中常數(shù)項為.

19.（2024?新疆喀什?三模）小明設(shè)置六位數(shù)字的手機密碼時，計劃將兀=3.14159……

的前6位數(shù)字3,1,4,1,5,9進行某種排列得到密碼.若排列時要求相同數(shù)字不相

鄰，且相同數(shù)字之間一個數(shù)字，則小明可以設(shè)置的不同密碼種數(shù)為.

20.（2024?河北衡水三模），+2可（/7）7的展開式中大6的系數(shù)為（用數(shù)字

作答）

21.（2024?河南?三模）若［取+2］（〃eN*）的展開式中存在常數(shù)項，則〃的值可以是_

（寫出一個值即可）

22.（2024?上海閔行?三模）某羽毛球俱樂部，安排男女選手各6名參加三場雙打表演

賽（一場為男雙，一場為女雙，一場為男女混雙），每名選手只參加1場表演賽，則所

有不同的安排方法有種.

23.（2024?上海?三模）2024年重慶市高考數(shù)學(xué)科目采用新試卷結(jié)構(gòu)，我校高三年級將

對來自三個班級的9名學(xué)生（每個班級3名學(xué)生）做一項圍繞適應(yīng)新試卷結(jié)構(gòu)的調(diào)

研，并再抽選其中的若干名學(xué)生做訪談，要求每個班級至少有一名學(xué)生被抽中，且任

意兩個班級被抽中的學(xué)生人數(shù)之和至多為3,則不同的抽選方法數(shù)為.

24.（2024?江西九江?三模）某兒童游樂場有一臺打地鼠游戲機，共有9個洞.游戲開始

后，每次有且僅有一只地鼠從某洞中冒出，地鼠第1次從1號洞冒出來.假設(shè)游戲過程

中地鼠從上一個洞繼續(xù)冒出的概率為：，從其它洞冒出的可能性相等，則地鼠第3次

從1號洞冒出的概率是.假設(shè)游戲結(jié)束時，地鼠一共冒出〃次，則地鼠從1

號洞冒出的次數(shù)期望值為

參考答案與詳細(xì)解析

一：考情分析

命題解讀考向考查統(tǒng)計

1.高考對排列組合的考查，重2023?新高考□卷，

點是特殊元素與特殊位置、兩13

元素相鄰或不相鄰、分組、分排列組合2022?新高考□卷，

配等問題。題型一般與生活實5

際聯(lián)系緊密。2023?新高考□卷，

2.高考對二項式定理的考查，3

重點是二項展開基本定理考查2024?新高考口卷，

特定項、特定項的系數(shù)、二項14

式系數(shù)等問題，同時會涉及到2022?新高考口卷，

二項式定理

賦值法的應(yīng)用。13

二：2024高考命題分析

2024年高考新高考口卷的排列組合是體現(xiàn)在概率中的，后續(xù)專題會體現(xiàn)出來?？?/p>

卷考查了通過列舉來確定所有可能結(jié)果，其實口卷的題目也可以采用列舉法，這兩題

考查的方向偏向于與實際生活聯(lián)系在一起；其中邏輯推理能力比較重要，而且都是壓

軸題。預(yù)計2025年高考還是主要考查排列組合的應(yīng)用，題型多變。

三：試題精講

一、填空題

1.（2024新高考□卷T4）在如圖的4x4方格表中選4個方格，要求每行和每列均恰有

一個方格被選中，則共有種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格

中的4個數(shù)之和的最大值是.

11213140

12223342

13223343

15243444

【答案】24112

【分析】由題意可知第一、二、三、四列分別有4、3、2、1個方格可選；利用列舉法

寫出所有的可能結(jié)果，即可求解.

【詳解】由題意知，選4個方格，每行和每列均恰有一個方格被選中，

則第一列有4個方格可選，第二列有3個方格可選,

第三列有2個方格可選，第四列有1個方格可選，

所以共有4x3x2x1=24種選法；

每種選法可標(biāo)記為Gd),。，8Gd分別表示第一、二、三、四列的數(shù)字，

則所有的可能結(jié)果為：

(11,22,33,44),(11,22,34,43),(11,22,33,44),(11,22,34,42),(11,24,33,43),(11,24,33,42),

(12,21,33,44),(12,21,34,43),(12,22,31,44),(12,22,34,40),(12,24,31,43),(12,24,33,40),

(13,21,33,44),(13,21,34,42),(13,22,31,44),(13,22,34,40),(13,24,31,42),(13,24,33,40),

(15,21,33,43),(15,21,33,42),(15,22,31,43),(15,22,33,40),(15,22,31,42),(15,22,33,40),

所以選中的方格中，(15,21,33,43)的4個數(shù)之和最大，為15+21+33+43=112.

故答案為：24;112

【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是確定第一、二、三、四列分別有4、3、2、1

個方格可選，利用列舉法寫出所有的可能結(jié)果.

高考真題練

一、單選題

1.(2022新高考口卷5)有甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若

甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有()

A.12種B.24種C.36種D.48種

【答案】B

【分析】利用捆綁法處理丙丁，用插空法安排甲，利用排列組合與計數(shù)原理即可得解

【詳解】因為丙丁要在一起，先把丙丁捆綁，看做一個元素，連同乙，戊看成三個元

素排列，有3!種排列方式；為使甲不在兩端，必須且只需甲在此三個元素的中間兩個位

置任選一個位置插入，有2種插空方式；注意到丙丁兩人的順序可交換，有2種排列

方式，故安排這5名同學(xué)共有：3!x2x2=24種不同的排列方式，

故選：B

2.（2023新高考口卷—3）某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運動的情況，用比例分配的分層

隨機抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學(xué)生，已知該校初中

部和高中部分別有400名和200名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有（）.

A.C/.C短種B.C樂C乳種

C.C篇C禽種D.C3嚼種

【答案】D

【分析】利用分層抽樣的原理和組合公式即可得到答案.

【詳解】根據(jù)分層抽樣的定義知初中部共抽取60x粵=40人，高中部共抽取

?200”

60x-----20,

600

根據(jù)組合公式和分步計數(shù)原理則不同的抽樣結(jié)果共有C%C品種.

故選：D.

二、填空題

3.（2022新高考□卷13）（1［尤+＞）8的展開式中的系數(shù)為

（用數(shù)字作答）.

【答案】-28

【分析】［i-￡|（x+y）8可化為（尤+“-9（尤+才，結(jié)合二項式展開式的通項公式求解.

【詳解】因為y）8=（尤+y）8-3（X+,

所以［-￡|（x+y）8的展開式中含的項為C#y6-?c江3y5=_28/y6,

y)8的展開式中尤2y6的系數(shù)為一28

故答案為：-28

4.(2023新高考□卷T3)某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生

需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方

案共有種(用數(shù)字作答).

【答案】64

【分析】分類討論選修2門或3門課，對選修3門，再討論具體選修課的分配，結(jié)合

組合數(shù)運算求解.

【詳解】(1)當(dāng)從8門課中選修2門，則不同的選課方案共有C：C：=16種；

(2)當(dāng)從8門課中選修3門，

□若體育類選修課1門，則不同的選課方案共有C：C；=24種；

□若體育類選修課2門，則不同的選課方案共有C：C：=24種；

綜上所述：不同的選課方案共有16+24+24=64種.

故答案為：64.

知識點總結(jié)

一、排列與排列數(shù)

1、定義：從W個不同元素中取出個元素排成一列，叫做從〃個不同元素中取

出加個元素的一個排列.從〃個不同元素中取出加(〃三〃)個元素的所有排列的個數(shù)，

叫做從"個不同元素中取出小個元素的排列數(shù)，用符號父表示.

I

2、排列數(shù)的公式：=n(n-l)(n-2)...(n-m+l)=-1―.

特例：當(dāng)加=〃時，d=加=〃(九一1)(〃—2)…3?2?1；規(guī)定：0!=1.

3、排列數(shù)的性質(zhì)：

DA：=n^-,n^=—A：,+1=-□AT=^1+A：.

n—mn—m1

二、組合與組合數(shù)

1、定義:從〃個不同元素中取出個元素并成一組，叫做從〃個不同元素中取

出m個元素的一個組合.從"個不同元素中取出加(機4九)個元素的所有組合的個數(shù)，

叫做從"個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，用符號C：'表示.

2、組合數(shù)公式及其推導(dǎo)

求從“個不同元素中取出加個元素的排列數(shù)4：,可以按以下兩步來考慮：

第一步，先求出從這〃個不同元素中取出用個元素的組合數(shù)C：；

第二步，求每一個組合中m個元素的全排列數(shù)4"；

根據(jù)分步計數(shù)原理，得到父=C；?線’；

因止匕C"=.="("1)("2)…("-"7+1)

”A7加

這里“，mEN,且相W”，這個公式叫做組合數(shù)公式.因為所以組合

+\n—m)\

HI

數(shù)公式還可表示為：c：=.n-..特例：c；=c：=i.

注意：組合數(shù)公式的推導(dǎo)方法是一種重要的解題方法！在以后學(xué)習(xí)排列組合的混合問

題時，一般都是按先取后排(先組合后排列)的順序解決問題.公式

C；="(附-1)("2)...(〃-〃?+1)常用于具體數(shù)字計算，C：='21常用于含字母算

m\ml(n-m)l

式的化簡或證明.

3、組合數(shù)的主要性質(zhì)：口(7;=￡5；□C：+C；"T=Q；L

4、組合應(yīng)用題的常見題型：

□“含有”或“不含有”某些元素的組合題型

□“至少”或“最多”含有幾個元素的題型

三、排列和組合的區(qū)別

組合：取出的元素地位平等，沒有不同去向和分工.

排列：取出的元素地位不同，去向、分工或職位不同.

注意：排列、組合都是研究事物在某種給定的模式下所有可能的配置數(shù)目問題，它們

之間的主要區(qū)別在于是否要考慮選出元素的先后順序，不需要考慮順序的是組合問

題，需要考慮順序的是排列問題.排列是在組合的基礎(chǔ)上對入選的元素進行排隊，因

此，分析解決排列組合綜合問題的基本思維是“先組合，后排列”.

四、二項式展開式的特定項、特定項的系數(shù)問題

1、二項式定理

一般地，對于任意正整數(shù)“，都有：

(a+by=+c[anlb+…+?！绷?…+C?"(neN*),

這個公式所表示的定理叫做二項式定理，等號右邊的多項式叫做①+份"的二項展開

式.

式中的做二項展開式的通項，用表示，即通項為展開式的第廠+1項：

其中的系數(shù)C；(r=0,1,2,〃)叫做二項式系數(shù)，

2、二項式(a+6)”的展開式的特點：

□項數(shù)：共有〃+1項，比二項式的次數(shù)大1;

□二項式系數(shù)：第r+1項的二項式系數(shù)為C；,最大二項式系數(shù)項居中；

□次數(shù)：各項的次數(shù)都等于二項式的鬲指數(shù)字母〃降塞排列，次數(shù)由〃到0；字母

6升嘉排列，次

數(shù)從0到〃，每一項中，a,6次數(shù)和均為“；

□項的系數(shù)：二項式系數(shù)依次是c；,c：,c3…，C；,…，C；,項的系數(shù)是。與6的系數(shù)

(包括二項式系

數(shù)).

3、兩個常用的二項展開式：

nnrrnrr

□(a-b)=C°a"-C'na'b+...+(-l)?Cnab+.■?+(-1)"-C'^b"(nwN")

□￡1+x)"=1+C[x+Cy+???+C；xr+--+xn

4、二項展開式的通項公式

nrr

二項展開式的通項：Tr+l=C；,a-b(r=0,1,2,3,

公式特點：□它表示二項展開式的第r+1項，該項的二項式系數(shù)是盤；

□字母6的次數(shù)和組合數(shù)的上標(biāo)相同；

□。與6的次數(shù)之和為

注意:□二項式(a+b)”的二項展開式的第什1項〃和(b+a)"的二項展開式的第

廠+1項GV。’是有區(qū)別的，應(yīng)用二項式定理時，其中的a和b是不能隨便交換位置

的.

□通項是針對在(a+b)，這個標(biāo)準(zhǔn)形式下而言的，如的二項展開式的通項是

rrr

Tr+1=(-l)CX-b(只需把-6看成6代入二項式定理).

五、二項式展開式中的最值問題

1、二項式系數(shù)的性質(zhì)

□每一行兩端都是I,即c：=c;；其余每個數(shù)都等于它“肩上”兩個數(shù)的和，即

l

c：+i=c;-+c;.

□對稱性每一行中，與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即c：=c：-m.

□二項式系數(shù)和令a=b=1,則二項式系數(shù)的和為C：+C：+C：+…+C：+…+C：=2",

變形式C；+C；+…+C：+…+C：=2"-1.

口奇數(shù)項的二項式系數(shù)和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)和在二項式定理中，令

a=1fb=—l9

貝Uc；-c：+c；Y+…+（-1）“q=a-1）"=o,

從而得到：C：+戲+C：…+cy+…=C：+C；+…+戲川+…=，2"=2"T.

□最大值：

如果二項式的嘉指數(shù)〃是偶數(shù)，則中間一項T"的二項式系數(shù)C：最大；

-+1

n—1n+1

如果二項式的嘉指數(shù)”是奇數(shù)，則中間兩項T?+1的二項式系數(shù)C/,C?相等且

----+1

22

最大.

2、系數(shù)的最大項

求0+區(qū)）”展開式中最大的項，一般采用待定系數(shù)法.設(shè)展開式中各項系數(shù)分別為

A>A

；,+1"；,從而解出r來.

{A+i-A「+2

六、二項式展開式中系數(shù)和有關(guān)問題

常用賦值舉例:

n22nr

1、設(shè)（“+b）”=C^a"+C'na"-'b+C^a-b+.??+C^a-'b+…+C?”,

二項式定理是一個恒等式，即對。，6的一切值都成立，我們可以根據(jù)具體問題的需要

靈活選取a,6的值.

口令。=6=1,可得：2'Y+C：+…+C：

口令a=l,6=l,可得：O=G-C：+C；Y…+(-l)"C：，即：

C+C+…+c：=c：+c：+…+C7(假設(shè)”為偶數(shù))，再結(jié)合□可得:

C：+C：+…+C：=C；+C；+…+C丁=2"T.

n

2、若/(x)=anx+H-----\-axx+aQ,則

□常數(shù)項：令x=0,得/=/（0）.

口各項系數(shù)和：令x=l,W/(I)=a0+al+a2-i■…+an_x+an.

口奇數(shù)項的系數(shù)和與偶數(shù)項的系數(shù)和

⑴當(dāng)〃為偶數(shù)時，奇數(shù)項的系數(shù)和為a。+出+%+…=/⑴1/（T）

偶數(shù)項的系數(shù)和為a1+a3+a5+-=&丁心

（可簡記為：〃為偶數(shù)，奇數(shù)項的系數(shù)和用“中點公式”，奇偶交錯搭配）

（z'z）當(dāng)〃為奇數(shù)時，奇數(shù)項的系數(shù)和為4+%+%+-=小盧^

偶數(shù)項的系數(shù)和為％+/+%+”1）7T）

（可簡記為：〃為奇數(shù)，偶數(shù)項的系數(shù)和用“中點公式”，奇偶交錯搭配）

nxn

若/(%)=%++%爐4----Fan_xx~+anx,同理可得.

注意：常見的賦值為令尤=0,x=l或x=-l,然后通過加減運算即可得到相應(yīng)的結(jié)

果.

【排列組合常用結(jié)論】

一、解決排列組合綜合問題的一般過程

1、認(rèn)真審題，確定要做什么事；

2、確定怎樣做才能完成這件事，即采取分步還是分類或是分步與分類同時進行，弄清

楚分多少類及多少步；

3、確定每一步或每一類是排列（有序）問題還是組合（無序）問題，元素總數(shù)是多少

及取出多少個元素；

4、解決排列組合綜合性問題，往往類與步交叉，因此必須掌握一些常用的解題策略.

二、常見排列組合類型及解法

1、如圖，在圓中，將圓分力等份得到幾個區(qū)域M,M2,M3,%（〃一2）,現(xiàn)取

依左.2）種顏色對這〃個區(qū)域涂色，要求每相鄰的兩個區(qū)域涂不同的兩種顏色，則涂色

的方案有（-1）"（I）+（"1）”種.

2、錯位排列公式￡>“=（邙二上+1）優(yōu)！

M加

3、數(shù)字排列問題的解題原則、常用方法及注意事項

（1）解題原則：排列問題的本質(zhì)是“元素”占“位子”問題，有限制條件的排列問題的限

制條件主要表現(xiàn)在某元素不排在某個位子上，或某個位子不排某些元素，解決該類排

列問題的方法主要是按“優(yōu)先”原則，即優(yōu)先排特殊元素或優(yōu)先滿足特殊位子，若一個

位子安排的元素影響到另一個位子的元素個數(shù)時，應(yīng)分類討論.

4、定位、定元的排列問題，一般都是對某個或某些元素加以限制，被限制的元素通常

稱為特殊元素，被限制的位置稱為特殊位置.這一類問題通常以三種途徑考慮：

（1）以元素為主考慮，這時，一般先解決特殊元素的排法問題，即先滿足特殊元素，

再安排其他元素；

（2）以位置為主考慮，這時，一般先解決特殊位置的排法問題，即先滿足特殊位置，

再考慮其他位置；

（3）用間接法解題，先不考慮限制條件，計算出排列總數(shù)，再減去不符合要求的排列

數(shù).

5、解決相鄰問題的方法是“捆綁法”，其模型為將〃個不同元素排成一排，其中某上個

元素排在相鄰位置上，求不同排法種數(shù)的方法是：先將這左個元素“捆綁在一起“，看

成一個整體，當(dāng)作一個元素同其他元素一起排列，共有ATU種排法；然后再將“捆綁”

在一起的元素“內(nèi)部”進行排列，共有履種排法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，符合條

件的排法共有6立;.履種.

6、解決不相鄰問題的方法為“插空法”，其模型為將〃個不同元素排成一排，其中某左

個元素互不相鄰（左4〃-左+1）,求不同排法種數(shù)的方法是：先將（〃-左）個元素排成

一排，共有4峻種排法；然后把左個元素插入〃-左+1個空隙中，共有然如種排法.根

據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，符合條件的排法共有娟?種.

名校模擬練

一、單選題

1.（2024?重慶?三模）重慶某高校去年招收學(xué)生來自成渝地區(qū)2400人，除成渝外的西

部地區(qū)2000人，中部地區(qū)1400人，東部地區(qū)1800人，港澳臺地區(qū)400人.學(xué)校為了解

學(xué)生的飲食習(xí)慣，擬選取40人作樣本調(diào)研，為保證調(diào)研結(jié)果的代表性，則從該校去年

招收的成渝地區(qū)學(xué)生中不同的抽樣結(jié)果種數(shù)為（）

A.C黑，B.C短，C.C短。D.C%

【答案】C

【分析】根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)計算即可。

【詳解】為保證調(diào)研結(jié)果的代表性，設(shè)從該校去年招收的成渝地區(qū)學(xué)生中抽取n人，

n2400

貝ni！l?=------------------------9

402400+2000+1400+1800+400

解得〃=12,

即從該校去年招收的成渝地區(qū)學(xué)生中不同的抽樣結(jié)果種數(shù)為C之。.

故選：C

2.（2024?北京?三模）已知（三一苫］的二項式系數(shù)之和為64,則其展開式的常數(shù)項為

（）

A.-240B.240C.60D.-60

【答案】B

【分析】根據(jù)二項式系數(shù)之和可得"=6,結(jié)合二項展開式分析求解.

【詳解】由題意可知：二項式系數(shù)之和為2"=64,可得〃=6,

6r

其展開式的通項為Tr+l=C；院］（-尤）’=（-1/-2--C；-x”r=0,1,2,…,6,

3

令y-3=0,解得井=2,

所以其展開式的常數(shù)項為（-咪?2,?=240.

故選:B.

3.（2024?陜西?三模）2024年中國足球乙級聯(lián)賽陜西聯(lián)合的主場火爆，一票難求，主辦

方設(shè)定了三種不同的票價分別對應(yīng)球場三個不同的區(qū)域，五位球迷相約看球賽，則五

人中恰有三人在同一區(qū)域的不同座位方式共有（）

A.30種B.60種C.120種D.240種

【答案】C

【分析】依題意，先將在同一區(qū)域的三個人選出并選定區(qū)域，再對余下的兩人分別在

其它兩個區(qū)域進行選擇，由分步乘法計數(shù)原理即得.

【詳解】要使五人中恰有三人在同一區(qū)域，可以分成三步完成：

第一步，先從五人中任選三人，有亡種方法；

第二步再選這三人所在的區(qū)域，有C種方法；

第三步，將另外兩人從余下的兩個區(qū)域里任選，有種方法.

由分步乘法計數(shù)原理，共有€：；.塌.《.（4=120種方法.

故選:C.

4.（2024?四川成者B?三模）成實外教育集團自2000年成立以來，一直行走在民辦教育

的前端，致力于學(xué)生的全面發(fā)展，對學(xué)生的教育視為終身己任，在教育事業(yè)上砥礪前

行，永不止步.截至目前，集團已開辦29所K-12學(xué)校和兩所大學(xué)，其中高中教育學(xué)校

有11所.集團擬召開綜合考評會.經(jīng)考評后，11所學(xué)校得分互不相同，現(xiàn)從中任選3所

學(xué)校的代表交流發(fā)言，則排名為第一名或第五名的學(xué)校代表去交流發(fā)言的概率為

（）

A.竺B.空C.D.2

55551155

【答案】D

【分析】利用古典概率結(jié)合組合數(shù)的計算求解即可.

【詳解】從11所學(xué)校中任選3所學(xué)校共有種C'=165選法.

其中排名為第一名或第五名的學(xué)校，可以分為三種情況:

第一類：只含有排名為第一名的學(xué)校的有C；=36種選法;

第二類：只含有排名為第五名的學(xué)校的有戲=36種選法；

第三類：同時含有第一名和第五名學(xué)校的有C；=9種選法；

o177

共36+36+9=81種選法.根據(jù)概率公式可得會=會

故選：D.

5.（2024?重慶九龍坡?三模）用1,2,3,4,5,6這六個數(shù)組成無重復(fù)數(shù)字的六位

數(shù)，則在數(shù)字1,3相鄰的條件下，數(shù)字2,4,6也相鄰的概率為（）

A.—B.-C.—D.-

105105

【答案】A

【分析】分別求出數(shù)字1,3相鄰時的六位數(shù)個數(shù)以及數(shù)字1,3相鄰，數(shù)字2,4,6

也相鄰的六位數(shù)的個數(shù)，根據(jù)條件概率的計算公式，即可求得答案.

【詳解】設(shè)4="數(shù)字1,3相鄰”，設(shè)3="數(shù)字2,4,6相鄰”，

則數(shù)字1,3相鄰時的六位數(shù)有A；A；=240個，

數(shù)字1,3相鄰，數(shù)字2,4,6也相鄰的六位數(shù)的個數(shù)為A；A；A：=72,

n(AB)723

則P(B|A)=\/=—