2025高考數(shù)學(xué)考二輪專題型專項(xiàng)練5解答題組合練(b)-專項(xiàng)訓(xùn)

練

1.已知正項(xiàng)等差數(shù)列｛布的前n項(xiàng)和為滿足6s尸a〃a+i+2("CN*)0<2,

(1)求數(shù)列｛a?｝的通項(xiàng)公式；

(2)若6"=(-1)"炮(麗廄+1),記數(shù)列出“｝的前n項(xiàng)和為北,求四

2.數(shù)學(xué)中處處存在著美，機(jī)械學(xué)家萊洛發(fā)現(xiàn)的萊洛三角形就給人以對(duì)稱的美感.萊洛三角

形的畫法:先畫等邊三角形/BC,再分別以點(diǎn)4民C為圓心，線段長為半徑畫圓弧，便

得到萊洛三角形.如圖，已知AB=2,0為BC中點(diǎn)，點(diǎn)P,Q分別在公,Q上,設(shè)/尸3C=N

ACQ=e.

⑴當(dāng)時(shí)，求I而I;

⑵求麗?麗的取值范圍.

3.向“新”而行，向“新”而進(jìn)，新質(zhì)生產(chǎn)力能夠更好地推動(dòng)高質(zhì)量發(fā)展.以人工智能的應(yīng)用為

例,人工智能中的文生視頻模型Sora(以下簡稱Sora),能夠根據(jù)用戶的文本提示創(chuàng)建最長

60秒的逼真視頻.為調(diào)查Sora的應(yīng)用是否會(huì)對(duì)視頻從業(yè)人員的數(shù)量產(chǎn)生影響，某學(xué)校研

究小組隨機(jī)抽取了120名視頻從業(yè)人員進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果如下表所示.

視頻從業(yè)人員

Sora的應(yīng)用情況合計(jì)

減少未減少

應(yīng)用7075

沒有應(yīng)用15

合計(jì)100120

(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)完成上表,依據(jù)小概率值?=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為Sora的應(yīng)用

與視頻從業(yè)人員的減少有關(guān)？

(2)某公司視頻部現(xiàn)有員工100人，公司擬開展Sora培訓(xùn)，分三輪進(jìn)行，每位員工第一輪至

第三輪培訓(xùn)達(dá)到“優(yōu)秀”的概率分別為|弓力,每輪相互獨(dú)立，有二輪及以上獲得“優(yōu)秀”的員

工才能應(yīng)用Sora.

①求員工經(jīng)過培訓(xùn)能應(yīng)用Sora的概率；

②已知開展Sora培訓(xùn)前，員工每人每年平均為公司創(chuàng)造利潤6萬元;開展Sora培訓(xùn)后，能

應(yīng)用Sora的員工每人每年平均為公司創(chuàng)造利潤10萬元;Sora培訓(xùn)平均每人每年成本為

1萬元.根據(jù)公司發(fā)展需要，計(jì)劃先將視頻部的部分員工隨機(jī)調(diào)至其他部門，然后開展Sora

培訓(xùn)，現(xiàn)要求培訓(xùn)后視頻部的年利潤不低于員工調(diào)整前的年利潤，則視頻部最多可以調(diào)多

少人到其他部門？

2

_____-C)-_____其中bd

附：/(a+b)(c+d)(a+c)3+d)'火十

a0.0100.0050.001

6.6357.87910.828

4.定義:若橢圓C：^2+方=1(。>6>0)上的兩個(gè)點(diǎn)/(犯了1)乃(》2,y2)滿足，1^+丫；；2=0,則稱

A,B為該橢圓的一個(gè)“共朝點(diǎn)對(duì)”，記作[4即已知橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為E(-2VX0),且

橢圓C過點(diǎn)/(3,1).

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)求“共樞點(diǎn)對(duì)”[4切中點(diǎn)B所在直線I的方程；

(3)設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P,Q在橢圓C上，且尸?！?。工,(2)中的直線/與橢圓C交于兩點(diǎn)

S,4,且點(diǎn)Bi的縱坐標(biāo)大于0,設(shè)四點(diǎn)BI,P,B2,Q在橢圓C上逆時(shí)針排列.證明:四邊形

ByPB.Q的面積小于8V3.

5.已知函數(shù)/(x)=Q(x2-x)-lnx(a￡R).

(1)討論函數(shù)段)的單調(diào)性;

⑵證明:當(dāng)X>1時(shí)，誓>耍.

InxxL-x

題型專項(xiàng)練5解答題組合練(B)答案

1.解(1)設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的公差為4則由6sz=為5+1+2,得6y-1=斯-1%+2(〃22),

相減得6(5〃-8加1)=斯(詼+1-4〃.1),

即6%=%2"(〃22).

又恁>0,所以d=3.

由6s1=的乜2+2,得6。1="(。1+3)+2,

解得〃i=l(〃i=2舍去)，

由a〃=4i+(〃-l)d,得an=3n-2.

wn

(2)bn=(-1)lg(aw-tz?+i)=(-1)(lg斯+lg斯+1),

八3=4+岳+左+…+Z>33=-lgQl-lg&+lgz+lg〃3-lge-lg…-lgQ33-lgQ34=」g〃34=」g

100=-2.

2.解⑴當(dāng)黨時(shí),AP與CQ交于點(diǎn)M連接。。,。尸,則ZQMP=ZBMC=^-,BM=^==

2A/3A/門,/八。2V3

—MP=MQ=2--

所以QP=b(2-嬰)=2遍-2,即|而|=2jW-2.

(2)0P-OQ=(OB+~BPy(OC+CQ)=-｝+OB-CQ+JP-OC+BP-CQ=-l+2cos(^-0+2cos

(9+2x2x)-1)

=2(^cos6+fsin6)+2cos0-3=V3sin(9+3cos(9-3=2V3sin(<9+^)-3,i9G[0,^],

因?yàn)榻衑碎,爭，故sin(%)e停1],則訶.麗e[0,2A/3-3],即亦麗的取值范圍是

[0,2V3-3].

3.解(1)依題意,2x2列聯(lián)表如下.

視頻從業(yè)人員

Sora的應(yīng)用情況合計(jì)

減少未減少

應(yīng)用70575

沒有應(yīng)用301545

合計(jì)10020120

零假設(shè)Ho：Sora的應(yīng)用與視頻從業(yè)人員的減少無關(guān)，

由列聯(lián)表中數(shù)據(jù)得，/=嗤舞黑答=^=14.4>lO.828=xo.ooi,

根據(jù)小概率值a=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷見不成立，即認(rèn)為Sora的應(yīng)用與視頻從業(yè)人

員的減少有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.001.

(2)①設(shè)4="員工第i輪獲得優(yōu)秀”0=1,2,3),且4相互獨(dú)立，

設(shè)8=“員工經(jīng)過培訓(xùn)能應(yīng)用Sora”,

貝IP(B)=P(AlA2A3)+P(A1A2A3)+P(A!A2A3)+P(AI^2X3)=|xx1xx|+1xx|+

2121

3232’

故員工經(jīng)過培訓(xùn)能應(yīng)用Sora的概率是去

②設(shè)視頻部調(diào)x人至其他部門,xGN立為培訓(xùn)后視頻部能應(yīng)用Sora的人數(shù)，則不/(100-

因此￡(才)=詈，

調(diào)整后視頻部的年利潤為若xio+(l-|)(l00-x)x6-(100-x)=(700-7x)(萬元)，

令700-7x2100x6,解得x(一句4.3,又xGN,所以Xmax=14.

因此，視頻部最多可以調(diào)14人到其他部門.

4.(1)解依題意，橢圓C:，+，=l(a>6>0)的另一焦點(diǎn)為尸2(2魚,0),

因此2a=|/尸1|+|46|=J(3+2V2)2+I2+J(3-2&)2+12=(2g+返)+(2次一

V6)=4V3,

I22

于是。=2舊力=、(2百)2一(2/)2=2,所以橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程為三+一=1.

y124

22

(2)解設(shè)“共軻點(diǎn)對(duì)”[/,切中點(diǎn)B的坐標(biāo)為3(x,y),由⑴知，點(diǎn)/(3,1)在橢圓。三+一=1上,

124

依題意，直線I的方程為工+臺(tái)0,整理得x+y=O,所以直線I的方程為x+y=O.

(3)證明由(2)知，直線l-.x+y=O,

cy=?％,=-A/3,或=V3,

由[x2+3y2=12,解得

ly=V3[y=-V3,

則2g訴,

如圖，設(shè)點(diǎn)P(xp9yp)9Q(XQ9yo),

(年現(xiàn)=1

45

則2兩式相減得空組旦皿+空細(xì)"12@=o,

時(shí)改=1124

1124'

又「?！ā?于是"1

Xp-XQ3'

則抄+70=_(%尸+%0),有yp；yQ=_%p；%Q,線段尸。被直線i平分，

設(shè)點(diǎn)尸到直線x+y=O的距離為d,

則四邊形B1PB2Q的面積s四邊形BIPB2Q=2SAPBIB2=2XN囪砌xd,

而向民|=](-百-75)2+(V3+8)2=2述,則有5四邊形空2?2(2=2乃4

設(shè)過點(diǎn)尸且與直線/平行的直線/i的方程為x+y=/?，則當(dāng)/i與C相切時(shí)，〃取得最大值,

rx+y=m,

由)比2y2消去〉得4--6加x+3(能2-4)=0,

1(-12-1--4=1,'

令4=36加2_48(m2_4)=0,解得m=J54,

當(dāng)m=±4時(shí)，此時(shí)方程為4d壬24x+36=0,即(x壬3)2=0,解得x=±3,

則此時(shí)點(diǎn)P或點(diǎn)。必有一個(gè)和點(diǎn)4(3,1)重合，不符合條件尸0〃。4,從而直線/i與。不可

能相切，即d小于平行直線x+y=O和x+y=4(或x+y=-4)的距離3=2近，

所以S四邊形%p&Q=2代d<2述X2V2=8A/3.

5.(1)解函數(shù)次x)的定義域?yàn)?0,+8)/(%)=磯2'-1)-=

令g(x)=2ax2-ax-l.

①當(dāng)a=0時(shí),8@)=-1<0/@)=用<0,故於)在(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞減;

②當(dāng)中0時(shí),g(x)為二次函數(shù),/=/+8a

若/W0,即-8W。<0,則g(x)的圖象為開口向下的拋物線且g(x)W0,所以/(%)<0,故人的在

(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞減；

若4>0,即a<-8或a>0.

a-ya2+8aa+Va2+8a

令g(x)=0,得xi4a

當(dāng)a<-8時(shí),g(x)圖象為開口向下的拋物線,0<X2<xi,

所以當(dāng)XG(0M2)或xG(xi,+co)時(shí),g(x)<0,

所以八%)<0人x)單調(diào)遞減；

當(dāng)xeSr)時(shí),g(x)>0,所以/(x)>0/)單調(diào)遞增；

當(dāng)?>0時(shí),g(X)圖象為開口向上的拋物線,X1<O<X2,

所以當(dāng)x@(0眼)時(shí),g(x)W0,所以/(x)〈0,故人x)單調(diào)遞減；

當(dāng)XG(X2,+o