重難點01新定義型問題

【命題趨勢】

新定義型問題是中考數(shù)學(xué)的熱點問題，一般為小題（選擇題或填空題）。這種類型的問題通常不會單獨

考查，往往會結(jié)合初中數(shù)學(xué)中某個學(xué)問點進行命題，進而既能考查初中數(shù)學(xué)中某個學(xué)問點的駕馭狀況，又

能考查學(xué)生的自學(xué)實力和分析問題、解決問題的實力.這種類型的問題往往與代數(shù)學(xué)問結(jié)合的比較多，所

以同學(xué)們肯定要重視，一般這種類型的問題難度不大，平常多留意對這種問題的訓(xùn)練拿下這個問題不是難

事.

新定義型問題是在問題中定義了初中數(shù)學(xué)中沒有學(xué)過的一些新概念、新運算、新符號，要求學(xué)生讀懂

題意并結(jié)合已有學(xué)問進行理解，而后依據(jù)新定義進行運算、推理、遷移的一種題型.一般有三種類型問題:

（1）定義新運算；（2）定義初、中學(xué)學(xué)問連接“新學(xué)問”；（3）定義新概念.這類試題考查考生對”新定

義”的理解和相識，以及敏捷運用學(xué)問的實力，解題時須要將"新定義"的學(xué)問與己學(xué)學(xué)問聯(lián)系起來，利

用已有的學(xué)問閱歷來解決問題.

【滿分技巧】

一.讀懂題目，搜集信息，理解本質(zhì)：

要想做好這類新定義型問題，關(guān)鍵在于讀懂題目中所給新定義的信息，真正理解新概念的本質(zhì).題目

中可能會給出許多信息，有些是無關(guān)緊要的，有些是重要的，我們肯定要抓住關(guān)鍵詞，關(guān)鍵信息，徹底弄

懂其問題的本質(zhì)，這是我們解決問題的關(guān)鍵所在.

二.新定義型問題一般與代數(shù)學(xué)問結(jié)合較多，多關(guān)注初中數(shù)學(xué)中以下幾個部分的代數(shù)學(xué)問：

1.實數(shù)的運算一中學(xué)的虛數(shù)的運算、數(shù)列的求和等學(xué)問.

2.反比例函數(shù)，一次函數(shù)，二次函數(shù)一幕函數(shù)或指數(shù)函數(shù)

3.一元一次、一元二次方程、分式方程一指數(shù)方程、三角方程等特別方程

4.物理力學(xué)一向量的運算（平行四邊形法則）

5.其他類型

三.嫻熟駕馭和運用數(shù)學(xué)的常用思想方法

我們在解決新定義型問題時，往往都是利用現(xiàn)有的學(xué)問結(jié)合一些重要的數(shù)學(xué)思想方法去解決新定義的

問題，比如，我們用初中所學(xué)的實數(shù)的學(xué)問結(jié)合類比和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法來解決復(fù)數(shù)或者虛數(shù)的一些問

題等等.所以肯定要把未學(xué)的問題轉(zhuǎn)化成已學(xué)的數(shù)學(xué)問題，利用現(xiàn)有的學(xué)問和方法，結(jié)合轉(zhuǎn)化、類比等數(shù)

學(xué)思想解決問題.

【限時檢測】（建議用時：30分鐘）

一、選擇題

1.（2024湖南省株洲市）從-1,1,2,4四個數(shù)中任取兩個不同的數(shù)（記作a,4）構(gòu)成一個數(shù)組｛a"，

（其中次=1,2…S,且將面，瓦｝與｛瓦，aj視為同一個數(shù)組），若滿意：對于隨意的Mi=｛at,和Mj

=｛at,岳｝（i#j,1WZWS,IWjWS）都有則S的最大值（）

A.10B.6C.5D.4

【答案】C

【解析】V-1+1=0,-1+2=1,-1+4=3,1+2=3,1+4=5,2+4=6,

...a,+4共有5個不同的值.

又?.,對于隨意的朋=回，4｝和必=回，"｝QHJ,IWiWS,1WJWS）都有&+4Wa,+歷，

???S的最大值為5.

故選：C.

2.（2024四川省達州市）a是不為1的有理數(shù)，我們把工稱為a的差倒數(shù)，如2的差倒數(shù)為，=-1,

1-a1-2

-1的差倒數(shù)一1—=1,已知a=5,統(tǒng)是國的差倒數(shù)，as是為的差倒數(shù)，a是as的差倒數(shù)…，依此類

1-（-1）2

推，石2024的值是（）

A.5B.-1C.AD.A

435

【答案】D

【解析】分析依據(jù)差倒數(shù)的定義分別求出前幾個數(shù)便不難發(fā)覺，每3個數(shù)為一個循環(huán)組依次循環(huán)，用2024

除以3,依據(jù)余數(shù)的狀況確定出與血）24相同的數(shù)即可得解.

?.?苗=5,

0,21-------1---------—_------1-------=---1---,

1-a11-54

as=—--=---—=―,

1-a2l-(-y)5

a=1一=---=5

S145

數(shù)列以5,-1,&三個數(shù)依次不斷循環(huán),

45

V20244-3=673,

.'.32024=S3=―,

5

故選：D.

—(?>0)

q

3.(2024廣西玉林市)定義新運算：0十q=，例如：3十5=3,3十(一5)=3,則y=2十x(xfO)

p,55

——(q<0)

Iq

的圖象是()

A.xB.x

D.0\%

【答案】D

【解析】分析依據(jù)題目中的新定義,可以寫出y=2十X函數(shù)解析式，從而可以得到相應(yīng)的函數(shù)圖象，本題

得以解決.

—(^>0)

p十q=<，,

--(<7<0)

1q

-(x>0)

.?.y=2?X=\X,

2

——(x<0)

故選：D.

二、填空題

4.(2024河北省)如圖，約定:上方相鄰兩數(shù)之和等于這兩數(shù)下方箭頭共同指向的數(shù).

守

示例：即4+3=7

則(1)用含X的式子表示)=

(2)當(dāng)尸-2時，〃的值為—

啰

【答案】3x;l

【解析】（1）依據(jù)約定的方法可得：

〃=x+2x=3x；

故答案為：3x；

（2）依據(jù)約定的方法即可求出n

矛+2^+2矛+3=/“=k

當(dāng)y--2時，5A+3=-2.

解得x=-1.

〃=2戶3=-2+3=1.

故答案為：1.

5.（2024湖北省荊州市）對非負實數(shù)x“四舍五入”到個位的值記為（x）,即當(dāng)〃為非負整數(shù)時，若〃-0.5Wx

</?+0.5,貝！|（x）—n.如（1.34）=1,（4.86）=5.若（0.5x-l）=6,則實數(shù)x的取值范圍是.

【答案】13Wx<15

【解析】依題意得：6-0.5W0.5x-1<6+0.5

解得13Wx<15.

故答案是：13Wx<15.

6.（2024湖北省十堰市）對于實數(shù)a,b,定義運算如下：a?b=（a+6）2-（a-W2.若（研2）◎

（^-3）=24,貝U勿=.

【答案】-3或4

【解析】依據(jù)題意得［（加2）+（卬-3）［（加2）-（73-3）了=24,

1)2-49=0,

⑵-1+7)(2m-1-7)=0,

2m-1+7=0或2〃-1-7=0,

所以nh=-3,㈤=4.

故答案為-3或4.

7.(2024湖北省襄陽市)定義：a*6=2,則方程2*(x+3)=1*(2x)的解為

b

【答案】X=1

【解析】2*(x+3)=1*(2x),

2=1

x+32x

4x=x+3,

x=l,

經(jīng)檢驗：X=1是原方程的解，

故答案為：x=l.

8.(2024湖南省常德市)規(guī)定：假如一個四邊形有一組對邊平行，一組鄰邊相等，那么稱此四邊形為廣義

菱形.依據(jù)規(guī)定推斷下面四個結(jié)論：①正方形和菱形都是廣義菱形；②平行四邊形是廣義菱形；③對角線

相互垂直，且兩組鄰邊分別相等的四邊形是廣義菱形；④若以”的坐標(biāo)分別為(0,1),(0,-1),尸是二

次函數(shù)了=上步的圖象上在第一象限內(nèi)的隨意一點，尸0垂直直線了=-1于點0,則四邊形/W是廣義菱形.其

4

中正確的是.(填序號)

【答案】①②③

【解析】①依據(jù)廣義菱形的定義，正方形和菱形都有一組對邊平行，一組鄰邊相等，①正確；

②平行四邊形有一組對邊平行，沒有一組鄰邊相等，②錯誤；

③由給出條件無法得到一組對邊平行，③錯誤;

④設(shè)點P(m,—zzz2),則QQm,-1),

4

??3,2+42一1)2=曰K+ll，?。簃2+l，

?.?點戶在第一象限，

/.ni>0,

:.MP=L^+1,

4

:.MP=PQ,

又'：MN//PQ,

...四邊形/W是廣義菱形.

④正確；

故答案為①②③；

9.（2024湖南省懷化市）探究與發(fā)覺：下面是用分?jǐn)?shù)（數(shù)字表示面積）砌成的“分?jǐn)?shù)墻”，則整面“分?jǐn)?shù)

墻”的總面積是.

【答案】n-1

【解析】由題意“分?jǐn)?shù)墻"的總面積=2X-L+3XJL+4X2+…+〃X=〃-1,

234n

故答案為〃-1.

fct一%

10.（2024湖南省婁底市）已知點PQ。，%）到直線y=fcr+6的距離可表示為“=10+bI，例如：點

■1+k2

（0,1）到直線y=2x+6的距離1=也.據(jù)此進一步可得兩條平行線y=大和＞=x-4之間的距

V1+22

離為.

【答案】2應(yīng)

【解析】當(dāng)x=O時，y=x=O,即點（0,0）在直線y=x上，

4

因為點（0,0）到直線y=x-4的距離為：J=l0--°l=

71+12V2

因為直線y=%和y=%—4平行，

所以這兩條平行線之間的距離為2^2.

故答案為2挺.

11.（2024湖南省湘西市）閱讀材料：設(shè)a=（矛,1%）,b=（如也），假如“b，則荀?角依據(jù)

該材料填空，已知a=（4,3）,b=（8,勿），且a〃b，則/=.

【答案】6

【解析】a=（4,3）,b=（8,ni）,且Q//b，

:?4%=3X8,

/.777=6;

故答案為6；

12.（2024江蘇省連云港市）如圖，將一等邊三角形的三條邊各8等分，按順時針方向（圖中箭頭方向）標(biāo)

注各等分點的序號0、1、2、3、4、5、6、7、8,將不同邊上的序號和為8的兩點依次連接起來，這樣就建

立了“三角形”坐標(biāo)系.在建立的“三角形”坐標(biāo)系內(nèi)，每一點的坐標(biāo)用過這一點且平行（或重合）于原

三角形三條邊的直線與三邊交點的序號來表示（水平方向起先，按順時針方向），如點A的坐標(biāo)可表示為（1,

2,5）,點方的坐標(biāo)可表示為（4,1,3）,按此方法，則點。的坐標(biāo)可表示為.

【答案】（2,4,2）

【解析】依據(jù)題意得，點C的坐標(biāo)可表示為（2,4,2）,

故答案為：（2,4,2）.

13.（2024山東省德州市）已知：[幻表示不超過x的最大整數(shù).例：[4.8]=4,[-0.8]=-1.現(xiàn)定義：{x]=x-[x],

例：{1.5}=1.5—口.5]=0.5,貝!!{3.9}+{-1.8}_{1}=.

【答案】0.7

【解析】依據(jù)題意可得：{3.9}+{_1.8}-{1}=3.9-3-1.8+2-1+1=0.7,

故答案為：0.7

14.（2024山東省臨沂市）一般地，假如V=a（a20）,則稱x為a的四次方根，一個正數(shù)a的四次方根有

兩個.它們互為相反數(shù)，記為土垢，若正=1。，貝.

【答案】±10

【解析】V加=1。，

/.ZZ7=±10.

故答案為：±10

15.(2024上海市)已知/(尤)=/一1,那么/(-1)=.

【答案】0

【解析】當(dāng)x=-l時，/(-1)=(-1)2-1=0.

故答案為：0.

16.(2024四川省遂寧市)閱讀材料：定義：假如一個數(shù)的平方等于-1,記為這個數(shù)/叫做虛數(shù)

單位，把形如a+反(a,6為實數(shù))的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中a叫這個復(fù)數(shù)的實部，6叫這個復(fù)數(shù)的虛部.它的

加、減、乘法運算與整式的加、減、乘法運算類似.

例如計算：(4+/)+(6-27)=(4+6)+(1-2)7=10-/；

(2-7)(3+/)=6-3/+2i-7=6-i-(-1)=7"；

(4+7)(4-/)=16-1—16-(-1)=17；

(2+/)2=4+4i+i=4+4i-1=3+4/

依據(jù)以上信息，完成下面計算：

(1+2，)(2-7)+(2-7)2=.

【答案】7T

【解析】(1+27)(2-/)+(2-2=2-i+4：i-2/+4+Z-M

=6-1-1

=6-7+1

=7-7.

故答案為：7-i.

17.(2024重慶市)《道德經(jīng)》中的“道生一，一生二，二生三，三生萬物”