基礎(chǔ)鞏固,競賽培優(yōu)一切規(guī)律，盡在其中高中數(shù)學(xué)解題規(guī)律匯編(上冊)Sm1AF+1一.如何提高成績?我認(rèn)為提高學(xué)生成績,當(dāng)務(wù)之急就是要系統(tǒng)的拓展學(xué)生的視野,盡快讓學(xué)生的知識豐富起來也就是說,要讓學(xué)生乘坐觀光電梯,直接到達(dá)山頂,讓學(xué)生站在高山之巔,用居高臨下的觀點(diǎn)來俯看問題,這是當(dāng)務(wù)之急.學(xué)生在知識貧乏的情況下是不愿意去刷題的.只有讓學(xué)生的知識豐富起來以后,學(xué)生才會(huì)有刷題的意愿,在成功地做出題目以后,他的大腦會(huì)分泌多巴胺,感受到刷題的快樂,只有這樣才能形成良性循環(huán).二.解題規(guī)律離不開老師的傳授.課本上的內(nèi)容無疑是最重要的,但是僅僅掌握教材上的內(nèi)容,顯然不足以應(yīng)付今天的高考.如果把課本上的定理比喻成一棵大樹的樹干,那么題目就好比是樹葉,而解題規(guī)律則是樹枝,它聯(lián)接了課本定理和高考試題.課外的這些解題規(guī)律如同圍棋中的定式,可以直接將難題秒殺.如果把考試比喻成摘樹上的蘋果,你無論怎么跳,也達(dá)不到蘋果的高度,那別的孩子為什么能摘到蘋果?因?yàn)樗麄冋驹谔葑由?直接把蘋果摘走了!他的老師講了更多的解題規(guī)律.為什么重點(diǎn)高中與普通高中相比高考成績好很多?因?yàn)橹攸c(diǎn)高中的老師講的更難,拓展更多,是老師放大了學(xué)生之間的差別!很多教育專家主張完全由學(xué)生自己去總結(jié)規(guī)律,這種理論很美好,但現(xiàn)實(shí)中,學(xué)生根本做不到,因?yàn)樗麤]那么多的時(shí)間.三.重要的是解題體系.學(xué)生希望從老師那兒獲得的是一個(gè)完整的解題體系,而不是一堆孤立零散的題目.這一點(diǎn),類似于購房者希望從開發(fā)商那里買到的,是一件精心打造的建筑藝術(shù)作品,而不是一個(gè)毛坯房.零散的試題幾乎沒有價(jià)值,無論是高考題還是競賽題都十分廉價(jià),書店里的有關(guān)高考和競賽的試題比比皆是.題目是廉價(jià)的,真正重要的是解題體系.不同的開發(fā)商,在蓋房子的時(shí)候,用的原材料差別很大嗎?幾乎沒有什么差別,都是一樣的鋼筋,水泥,混凝土,那購房者比較的是什么?比較的是設(shè)計(jì)呀!小區(qū)園林的設(shè)計(jì),戶型的設(shè)計(jì),這些才是最關(guān)鍵的,如果一家房地產(chǎn)開發(fā)商的設(shè)計(jì)師,他的審美觀出了問題,即使用再高端的裝修材料也沒有意義!老師們講的同樣都是高考題,但不同的老師,有著不同的教學(xué)理念,對高考題有著不同的認(rèn)知,從而產(chǎn)生不同的設(shè)計(jì)方案,于是就有了不同的教學(xué)效果.即使是完全相同的題目,由于順序安排上的不同,教學(xué)效果也是截然不同的.平庸的老師在面對難題的時(shí)候,講的辛苦,學(xué)生也聽得辛苦,而高明的老師,根本就不是這樣做的,他們用心設(shè)計(jì)課程,將難題化解于無形之中,潤物無聲,在他們的課堂上,學(xué)生如沐春風(fēng),感覺不到題目的難度.善戰(zhàn)者無赫赫之功,善醫(yī)者無煌煌之名.數(shù)學(xué)老師的任務(wù)就是努力尋找題目內(nèi)在的聯(lián)系,合理安排試題的順序,逐步揭示解題的規(guī)律和方法,努力將數(shù)學(xué)體系之熵降到最低,這樣才能真正減輕學(xué)生的負(fù)擔(dān).以上所寫的,是一些非常零碎感言,限于本人的學(xué)識,不當(dāng)之處,還請多多指正!最后感謝您在百忙之中閱讀這本書.目錄第一章.集合與邏輯用語.1元素與集合.1集合之間的關(guān)系.3集合的基本運(yùn)算.5充分條件與必要條件.8全稱量詞與存在量詞.10第二章.不等式.11不等式的基本性質(zhì).11重要的不等式.12比較大小.18函數(shù)的最值.20條件最值.21二元函數(shù)的最值.24一元二次方程與一元二次不等式24不等式恒成立與有解.28補(bǔ)充重要不等式.29第三章.函數(shù)的概念與性質(zhì).32函數(shù)的概念與表示方法.32求函數(shù)的解析式.35函數(shù)圖像變換.36函數(shù)的單調(diào)性.38函數(shù)的最值.40函數(shù)的奇偶性.42由函數(shù)的奇偶性求參數(shù).44函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的綜合.45函數(shù)的對稱性.46函數(shù)的周期性.49函數(shù)凸凹性.50復(fù)合函數(shù).53和為定值的函數(shù)54常見的函數(shù)55函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)與穩(wěn)定點(diǎn).57函數(shù)的迭代.59第四章.基本初等函數(shù).60根式.60冪和冪的運(yùn)算法則.61冪函數(shù).64指數(shù)函數(shù).65指數(shù)函數(shù)的圖像變換.66對數(shù).67對數(shù)函數(shù).71對數(shù)函數(shù)的圖像變換.72常見的函數(shù).73函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根.76雙變量存在性與任意性問題.78抽象函數(shù).80第五章.三角函數(shù).82任意角與弧度制.82三角函數(shù)的概念.84誘導(dǎo)公式.86三角函數(shù)圖象與性質(zhì).87三角恒等變換.88三角公式與三角形.92y=y=三角函數(shù)的應(yīng)用.100第六章.解三角形.101解三角形常用定理.101三角形中的最值.106三角形形狀的性質(zhì)與判定.108三角形四心的性質(zhì).110圓內(nèi)接四邊形.114第一章.集合與邏輯用語元素與集合一.元素與集合的含義.我們把研究的對象稱為元素,把一些元素組成的總體叫做集合.一般用大寫字母A,B,二.元素的三個(gè)特征.特征含義示例確定性給定一個(gè)集合,任何一個(gè)對象在不在這個(gè)集合是確定的給定集合{1互異性同一個(gè)集合中的任何兩個(gè)元素都不相同.集合{a,b無序性組成集合的元素?zé)o先后順序.集合{1,?2三.元素與集合的關(guān)系.元素與集合的關(guān)系有兩種,即屬于和不屬于.關(guān)系記法元素a屬于集合Aa元素a不屬于集合Aa四.集合的表示方法.1.列舉法:把集合中的元素一一列舉出來,并用{}括起來,表示集合的方法稱為列舉法.列舉法一般用于表示有限集和有明顯規(guī)律的無限集.例如方程x2?3x2.描述法:描述法的一般形式是{x拋物線y=x2拋物線y=x23.韋恩圖法.用圓,橢圓,矩形等圖形表示集合,這種方法稱為韋恩圖法.例如,用韋恩圖表示四邊形,平行四邊形,梯形,菱形,矩形,正方形之間的關(guān)系.4.區(qū)間法.有些特殊的數(shù)集可以用區(qū)間表示,例如:集合{x∣x∈R,3集合{x∣x∈R,3集合{x∣x∈R,x全體實(shí)數(shù)集R也可以表示為?∞,+∞.五.集合的分類.1.根據(jù)集合中所含元素的個(gè)數(shù),可將集合分為無限集,有限集,空集.空集一般用?表示,例如,{3,5{x2.有些集合是由數(shù)構(gòu)成的,稱為數(shù)集.有些集合是由點(diǎn)構(gòu)成的,稱為點(diǎn)集.例如,集合{1例如,集合{x,y∣x六.常見的數(shù)集符號.自然數(shù)集,記作N.正整數(shù)集,記作N+.整數(shù)集,記作Z有理數(shù)集,記作Q.實(shí)數(shù)集,記作R.復(fù)數(shù)集,記作C.七.常見的數(shù)集.1.所有奇數(shù)構(gòu)成的集合為{x2.所有被3除余數(shù)為1的自然數(shù)構(gòu)成的集合為{x3.方程x2?14.不等式x2?1>05函數(shù)y=x6函數(shù)y=x2+7平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=x2八.常見的點(diǎn)集.x,y?1x+{x,y∣x+{集合之間的關(guān)系.一.集合間的關(guān)系.1.集合A中的任意一個(gè)元素都在集合B中,則A稱為B的子集,記作A?2.集合A中至少存在一個(gè)元素不在集合B中,則A不是B的子集,記作A?3.若A?B,且B?A,則4.若A?B,且集合B中至少存在一個(gè)元素不在集合A中,則稱A為B的真子集.記作例1.判斷下列集合間的關(guān)系.(1)A=(2)A=(3)A=(4)A解.(1)A=[(2)A=[(3)A=[(4)A=典型例題.判斷下列集合間的關(guān)系.(1)已知A={(2)已知A={(3)已知A={(4)已知A={解.(1)A=B.(2)A=B.(3)典型例題.判斷下列集合間的關(guān)系(1)A={(2)A={(3).已知A=x,y∣x二.子集的性質(zhì).1.任何一個(gè)集合都是它自身的子集.2.傳遞性:若A?B,三.空集的性質(zhì).1.空集只有一個(gè)子集,即它本身.???.2.空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集.3.當(dāng)題目中含有條件A?B時(shí),不要忘了4.注意,?不含任何元素,而{0}含有一個(gè)元素.典型例題.已知A={x∣?2≤∵請你判斷以上解法是否正確?解.該同學(xué)的解法是錯(cuò)誤的,他忽視了當(dāng)B為空集時(shí),也是滿足題意的.正確解法如下:當(dāng)B=?時(shí),m當(dāng)B≠?時(shí),?綜上所述m≤四.常見的空集.1.已知a,b為實(shí)數(shù),A={x∣a≤2.已知a,b為實(shí)數(shù),A={x∣a<3.已知a為實(shí)數(shù),A={x∣x?3≤4.已知a,b為實(shí)數(shù),A={x∣ax=b}5.已知a,b,c為實(shí)數(shù),a≠0,A=(1)已知A={x∣a+(2)已知A={x∣a+解.(1)∵A=?,∴a典型例題.填空.已知集合{x(1)當(dāng)a,(2)當(dāng)a,(3)當(dāng)a,b滿足條件時(shí),該集合中有無數(shù)個(gè)元素,解.(1)(2)a≠(3)a=五.子集的個(gè)數(shù).1.若集合A含有n個(gè)元素,則集合A的子集有2n個(gè),真子集有2n?2.已知A?B?C,集合C中的元素比A中的元素多n個(gè),則滿足條件的集合3.已知A?B?C,集合C中的元素比A中的元素多n個(gè),則滿足條件的集合(1)已知集合A滿足{1,2(2)已知集合A滿足{1,2解.(1)集合A的個(gè)數(shù)是23=8個(gè).(2)集合A典型例題.已知A={2,解.C={1,2,3,集合的基本運(yùn)算一.交集與并集1.由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合稱為A與B的交集,記作A∩B.即A∩2.由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合稱為A與B的并集,記作A∪B.即A∪3.用韋恩圖表示交集和并集.AA典型例題.已知集合A={x∣A.?B.AC.BD.Z解.∵T?S,∴T解.當(dāng)x>0,當(dāng)x<0,A二.全集與補(bǔ)集.1.如果一個(gè)集合含有問題中涉及的所有元素,則稱這個(gè)集合為全集.通常用U表示全集.2.設(shè)U為全集,A是U的一個(gè)子集,由U中不屬于A的所有元素組成的集合稱為集合A的補(bǔ)集,記作?UA.即?UA={x∣3.用韋恩圖表示補(bǔ)集.典型例題.設(shè)全集U=Z,集合?A.{x∣C.{x∣解.選A.三.交集和并集的運(yùn)算性質(zhì).1.A∩?=?,2.A=3.A∪4.若A∩B=A,則A?5.若A?B,則6.若B∩A=?四.德.摩根定理.1.英國數(shù)學(xué)家德.摩根發(fā)現(xiàn)以下定理:?U2.如果用符號A,B分別表示A,典型例題.已知A={x∣x解.方法一:CUA={∴?UA∪方法二:A∩B={?UA∪?五.結(jié)論.M若M∩N=?,則A若M∩N中只有一個(gè)元素,則若M∩N中有無數(shù)個(gè)元素,則A1典型例題.A={x,y∣解.方法一:∵a方法二:聯(lián)立ax+3y=9和2x?y=六.容斥原理.用cardA表示集合A1.cardA2.cardA+card七.容斥原理的推論.若cardA∪B=cardA八.地毯原理.1.若一個(gè)房間鋪了兩塊部分重疊的地毯,那么房間面積=兩塊地毯面積之和-地毯重疊部分面積+未覆蓋地毯面積.2.若兩塊地毯面積相等且部分重疊,則未重疊部分的面積也相等.典型例題.如圖所示,等邊△ADE,等邊△CBF,等邊△GAB邊長分別為a,b,c,CF與DE(2)若四邊形EHFG的面積與△CDH的面積相等,則a解.(1)平行四邊形EHFG的周長為2FG△CDH的周長為3CD(2)若四邊形EHFG的面積與△CDH的面積相等,且∴S充分條件與必要條件一.充分條件與必要條件.1.若p?q成立,則p是q成立的充分條件,q是2.若p?q不成立,則p是q成立的不充分條件,q是二.充分條件與必要條件的傳遞性.1.若p是q成立的充分條件,q是r成立的充分條件,則p是r成立的_2.若p是q成立的必要條件,q是r成立的必要條件,則p是r成立的_三.充分不必要條件與必要不充分條件.1.若p?q成立,且q?p不成立,則2.若p?q不成立,且q?p成立,則3.若p?q成立,且q?p成立,則4.若p?q不成立,且q?p不成立,則四.結(jié)論.1.若p是q成立的充分不必要條件,則q是p成立的必要不充分條件.2.若p是q成立的充分不必要條件,則?q是?五.集合中的充分必要條件.1.已知A,B是兩個(gè)集合,若x∈A是2.已知A,B是兩個(gè)集合,若x∈A是3.已知A,B是兩個(gè)集合,若x∈A是4.已知A,B是兩個(gè)集合,若x∈A是5.已知A,B是兩個(gè)集合,若x∈A是六.電路圖中的充分必要條件1.如圖一所示,開關(guān)A閉合是燈泡B發(fā)光的充分不必要.2.如圖二所示,開關(guān)A閉合是燈泡B發(fā)光的必要不充分.3.如圖三所示,開關(guān)A閉合是燈泡B發(fā)光的充要條件.4.如圖四所示,開關(guān)A閉合是燈泡B發(fā)光的既不充分也不必要.圖一圖二圖三圖四七.與完全平方公式有關(guān)的充分必要條件.1.已知a,b∈R,則2.已知a,b∈R,則3.已知a,b,c∈4.已知a,b,c∈5.已知a,b,c∈R,則a+b+八.結(jié)論1.已知a,b,c∈2.已知a,b,c∈R,且1.x>3,且y>3是2.x>3,且y>3是3.已知x,y∈R,則4.已知x,y∈R,則5.已知x,y∈R+十.函數(shù)中的充分不必要條件.1.已知fx定義域?yàn)镽,則f0=2.已知fx,gx定義域均為R,3.已知fx=Acosωx4.已知fx定義域均為R,則fx+5.已知fx在定義域內(nèi)連續(xù)且可導(dǎo),則fx在點(diǎn)x0處滿足f′x十一.三角形中的充分必要條件1.△ABC中,sinA=cos2.△ABC中,tanA?tan3.△ABC中,sin2A4.△ABC中,a2+5.△ABC中,sinA<cos6.△ABC中,sin2A7.△ABC中,0<tanA8.△ABC中,a2+9.△ABC中,sinA=sin10.△ABC中,sin2A=sin十二.數(shù)列中的充分必要條件1.an為等比數(shù)列是a2.an為等比數(shù)列是a3.an為等比數(shù)列是a4.實(shí)數(shù)a、b、5.實(shí)數(shù)a、b、6.設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,則d>7.設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,則q>全稱量詞與存在量詞.一.全稱量詞與存在量詞.1.“所有的”,“任意一個(gè)”在邏輯中叫做全稱量詞,用符號表示.含有全稱量詞的命題叫做全稱量詞命題.“存在一個(gè)”,“至少有一個(gè)”在邏輯中叫做存在量詞,用符號3表示.含有存在量詞的命題叫做存在量詞命題.二.全稱量詞命題與存在量詞命題的簡寫.1.對M中任意一個(gè)x,px例如,不等式x2?x+12.存在M中的元素x,使得px成立,可用符號簡記為?x∈例如,存在實(shí)數(shù)x,使得1x2?2x+三.含有一個(gè)量詞的命題的否定1.命題?x∈M2.命題?x∈M四.原命題與命題的否定的真假.1.若原命題為真命題,則命題的否定為假命題.2.若原命題為假命題,則命題的否定為真命題.五.常見詞語的否定.詞語是一定是都是大于小于且至少有一個(gè)至少有n個(gè)詞語的不一定是不都小于或大于或或一個(gè)也至多有否定不是是等于等于沒有n?六.結(jié)論.1.若x2+y2=2.若xy=0,則x=3.若x2+y2≠4.若xy≠0,則x≠第二章.不等式不等式的基本性質(zhì)一.不等式的基本性質(zhì).1.不等式的傳遞性.若a>b,2.不等式的可加性.若a>b,則若a>b,3.不等式的可乘性.若a>b,若a>b,若a>b>4.不等式的乘方開方性質(zhì).若a>b>0,若a>b>0,補(bǔ)充說明:當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí),不要求a,若a<b,則若a<b,則5.取倒數(shù)的性質(zhì).若ab>0,若ab<0,6.倒數(shù)的性質(zhì)的推論:若a>b>若a<b<典型例題.若a>b>證明:∵c<d典型例題.若a>b>證明:∵c>d二.結(jié)論.1.已知a,b,2.已知a,b,c∈3.已知a,b,c∈三.與冪函數(shù)有關(guān)的不等式.1.若0<x<2.若x>1,則重要的不等式一.糖水不等式.1.已知0<b<2.已知0<b<例如,343.已知1<b<4.已知1<b<例如,log4典型例題.已知m>0,解.a=33綜上所述,c<二.與絕對值有關(guān)的不等式.1.已知a∈R,則2.已知a,b∈R,且3.已知a,b∈R,且4.已知a,b∈R,且5.已知a,b∈R,且6.已知a,b∈R,且7.已知a,b∈典型例題.填空.(1)已知a,b∈R,則(2)已知a,b∈R,則解.(1)充要(2)充要三.三角形邊長不等式.設(shè)△ABC的三邊長分別為a,b四.三角形邊長不等式的推論.1.已知三角形的周長為l,最長的邊為a,則l3證明:∵a∵b2.已知等腰三角形的腰長為a,底長為b,周長為l,則l4證明:∵2a∵2a∵2a3.已知CD為△ABC的中線,則a4.已知三角形△ABC三邊a,b,c證明:∵a5.△ABC的三邊a,b,c1.已知a,b∈R,則有2.已知a,b∈R+3.已知a,b∈R,則1.已知a,b∈2.已知a,b∈1.已知a,b∈R+2.已知a,b∈R+,且a=b,則a21/a+1/b八.均值不等式的幾何證明.如圖所示,O為線段AB的中點(diǎn),以O(shè)為圓心,以O(shè)A為半徑作圓,CD⊥DF⊥CO,設(shè)證明:∵CA⊥CB∵CO為△CAB斜邊AB上的中線,∵DC⊥DO∵EO∵CF≤CD九.均值不等式的推論.1.已知a,b∈2.已知a,b∈已知a,b,c∈典型例題.已知a,b∈R,且解.∵a當(dāng)a=2b即典型例題.已知a,b∈R+且a當(dāng)a+1=十一.梯形中的線段與均值不等式.如圖所示,梯形ABCD中,AD∥BC,AD=a,1.若AC與BD相交于O點(diǎn),且點(diǎn)O位于EF上,則EF=證明.∵AD∥∴EF2.若EF將梯形ABCD分成兩個(gè)相似的梯形,則EF=證明.∵AD3.若EF為梯形ABCD的中位線,則EF=解.過點(diǎn)A作AG∥DC,過點(diǎn)E作EH∥DC.設(shè)可證△AEG4.若EF將梯形ABCD分成兩個(gè)面積相等的梯形,則EF=解.延長BA,CD相交于P,設(shè)∵△PAD∵S梯形AEFD=十二.定值與最值.1.已知a>0,b>0,且2.已知a>0,b>0,且3.已知a>0,b>0,且4.已知a>0,b>0,且5.已知a>0,b>0,且6.已知a>0,b>0,且7.已知a>0,b>0,且8.已知a>0,b>0,且十三.柯西不等式.法國數(shù)學(xué)家柯西(1789-1857)發(fā)現(xiàn)了以下不等式:1.已知a,b,c,2.已知a,b,c,3.已知a,b,c,十四.柯西不等式的向量形式.設(shè)a=x1,y當(dāng)且僅當(dāng)x1十五.柯西不等式的幾何證明.如圖所示,C為AB上一點(diǎn),EA⊥證明:設(shè)∠ECF=θS△∴1當(dāng)∠ECF=901.已知a,2.已知a,b∈十七.柯西不等式的推廣.已知a,b,c,典型例題.已知a,b∈R,且解.由柯西不等式得a2典型例題.已知a,b∈R+解.1?典型例題.函數(shù)fx解.由題可知1+1當(dāng)12=1+x3?十八.權(quán)方和不等式.已知a,b∈R+1.已知a,2.已知a,二十.權(quán)方和不等式的推廣.1.已知a,b,c∈2.已知a,b∈R+典型例題.已知a,b∈R+,且a典型例題.已知0<x<解.fx=1x+二十一.不等式成立的條件.1.若a,b∈2.若a,b∈3.若a,b,4.若a,5.若a,b∈6.若a,7.若a,8.若a,9.若a,10.若a,11.若a,b∈12.若a,比較大小一.作差法比較大小.若a?b>0,則a>典型例題.已知a>0,b>解.方法一:a=方法二:a=二.作商法:已知a,b>0,若ab>1,則a>b解.∵a三.分析法.把待比較的兩個(gè)數(shù)的局部化為相同,然后再比較大小.典型例題.已知a=2,解.a=四.構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小.典型例題.已知a,b∈R,則解.構(gòu)造fx=x1+x,則∴fa+∴a五.構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的凸凹性比較大小.典型例題.已知a=7?解.構(gòu)造函數(shù)fx=x,點(diǎn)A,B由圖可知f5+f典型例題.已知a,b∈解.構(gòu)造函數(shù)fx=3x,點(diǎn)A,B,函數(shù)的最值.函數(shù)一.函數(shù)定義域值域?∞,[?奇偶性奇函數(shù)奇函數(shù)補(bǔ)充說明:當(dāng)x>0時(shí),當(dāng)x>0時(shí),函數(shù)二.函數(shù)定義域[?值域[0對稱性關(guān)于直線x=關(guān)于直線x=?補(bǔ)充說明:當(dāng)0<x<當(dāng)?1<x函數(shù)三.函數(shù)定義域[?[值域22關(guān)于直線x=補(bǔ)充說明:當(dāng)?2<x當(dāng)0<x<函數(shù)四.函數(shù)定義域00值域[3對稱性關(guān)于直線x=關(guān)于直線x=補(bǔ)充說明:當(dāng)0<x<當(dāng)0<x<條件最值.一.重要不等式法.重要不等式包括均值不等式,柯西不等式,權(quán)方和不等式.典型例題.已知a,b∈R,且解.∵a當(dāng)a=2b即典型例題.已知a,b∈R+解.方法一:a2當(dāng)aa+2方法二:∵a∴a當(dāng)aa+2二.幾何意義法.求條件最值問題中常見的幾何意義1.直線的斜率,已知Ax1,2.兩點(diǎn)間的距離,已知Ax1,3.點(diǎn)到直線的距離,已知Px0,y0,直線l:4.向量的投影,如下左圖所示,a在b方向上的投影為acos如下右圖所示,a在b方向上的投影為acos典型例題.已知x,y∈(1)求x+(2)求yx(3)求x?解.設(shè)點(diǎn)Px,y,則點(diǎn)P(1)設(shè)x+y=z,則y=?x+z,當(dāng)直線y=?(2)設(shè)A2,0,直線PA的斜率k(3)設(shè)A3,4,則P∴16三.代數(shù)換元.典型例題.已知a,b∈R+解.設(shè)x=a+1,y=2b+6,則原題可轉(zhuǎn)化為x≥四.三角換元法.若a2+b若a2+b若a2+b2=若a2+b2=9,a≥若a225+b2典型例題.已知a,b∈R,且解.設(shè)x=cosθ,五.消元法.將已知條件變形,解出其中一個(gè)字母,然后代入目標(biāo)函數(shù),從而達(dá)到消元的目的.典型例題.已知a,b∈R+解.∵3a+b=a∴2a其中t=a?六.將常數(shù)用字母替換.典型例題.已知x,y∈R+解.x+七.整體代換法最值.典型例題.已知a,b∈R+解.a2+4當(dāng)t=12六.常見的代數(shù)變形.x?1y=4xx?二元函數(shù)的最值.方法一.先用基本不等式,再分子分母同除以xy求最值.典型例題.已知x,y∈解.xx典型例題.已知x,y∈解.∵x典型例題.已知x,y∈解.x+當(dāng)且僅當(dāng)x=y,且4xy=典型例題.已知x,y∈解.方法一:x+方法二:x+一.一元二次方程韋達(dá)定理.法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)(1540-1603)發(fā)現(xiàn)了以下定理:已知a≠0,x1此定理稱為韋達(dá)定理.證明:x1x1二.使用韋達(dá)定理的常見變形技巧.1.x12.x13.x14.1x5.x1三.一元二次方程韋達(dá)定理的推論.1.已知x1,x2是一元二次方程x證明:x1補(bǔ)充說明:此結(jié)論在解析幾何中常用于計(jì)算弦長.2.已知a≠0,已知x1,x2,x五.一元二次方程根的分布問題(一).已知a>0,方程ax1.x1>0或Δ≥2.x1<0或Δ≥3.x1<0六.一元二次方程根的分布問題(二).已知a>0,方程ax1.k<x12.x1<k3.x1<m<n<x5.若m<x1典型例題.已知x2+k?2x+解.由題可知f0七.求一元二次不等式的解集.已知方程ax2+bx+c=fxaxxxRaxx??axxRRaxxx?典型例題.求下列一元二次不等式的解集(1)x2?3x+2解.(1)x?1x?2(2)x?12(3)x?12八.二次函數(shù)與不等式.已知點(diǎn)Ax1,y11.若y1<y2.若y1<y3.若x1+b4.若x1<?b2a<x2,x1+x2>解.拋物線的對稱軸為x=1,∵x1典型例題.點(diǎn)Am?1,y1B解.∵y∴m九.二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值.1.已知fx=ax2若?b2a<若m≤?b若?b2a>2.已知fx=ax2若?b2a≤若?b2a>典型例題.已知二次函數(shù)y=x2?2ax解.當(dāng)a≤2時(shí),fxmin=綜上所述,fx典型例題.已知二次函數(shù)y=x2解.當(dāng)a≤2時(shí),fxmin=2a十.解分式不等式.1.解不等式ax+b2.解不等式ax+bcx+d(1)3x?12解.(1)3x?1x?2(2)2?x>03x?1十一.解絕對值不等式.1.解不等式ax+b<2.解不等式ax+b>cx+十二.解高次不等式.解形如x?典型例題.求下列高次不等式的解集(1)x?(2)x?解.(1)作出函數(shù)y=x(2)作出函數(shù)y=x?不等式恒成立與有解.一.不等式恒成立.1.若不等式fx>0解集為R,則對任意x∈R,不等式fx>2.若不等式fx>gx解集為集合A,則當(dāng)x∈y=fx3.若不等式fx>a對任意x∈R4.已知不等式kx+2≤3對任意5.已知不等式3x+4y?5≤Ax+典型例題.若不等式x2?ax+解.方法一:由題可知x2+1≥ax對一切x∈方法二:由題可知a≤x2+1二.不等式有解.1.若不等式fx>0在R上有解,則至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)x0,使得fx0>0成立,即2.若不等式fx>gx在集合A上有解,則至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)x0∈A,使得fx0Fx3.若不等式fx>a在R上有解,則當(dāng)x典型例題.若存在實(shí)數(shù)x0,使得不等式x02解.即不等式x2+m<x?1三.不等式恒成立與有解之間的轉(zhuǎn)化.“不等式fx>0在集合A上恒成立”的否定是“不等式f典型例題.已知fx=4x2?2px+p解.設(shè)在[?1,1]上至少存在一個(gè)x0,使得f設(shè)對任意x∈[?1,1],fx≤0當(dāng)fx≤0恒成立時(shí),必有f?1∴?1≤p≤3在[?1,1]上至少存在一個(gè)x0,使得fx0若不等式fx≤hx≤gx對任意x∈R恒成立,且函數(shù)y典型例題.已知fx=ax2+bx解.作出y=x2?2x+2和y補(bǔ)充重要不等式.一.結(jié)論:ab+bc+二.指數(shù)不等式.1.已知x∈?∞,1,則有x2.已知a,b∈R,且三.對數(shù)不等式.1.已知x∈0,+∞,則有x2.已知a,b∈R+四.三角不等式.1.已知x∈0,2.已知x∈0,五.向量中的不等式.已知a,1.a2+b2.a+b23.a?b24.a?六.三角形中的不等式.1.△ABC中,若c=a2+b22.△ABC中,若c=a+b2,則3.△ABC中,若c=ab,則C∈04.△ABC中,若c=2aba+b,則5.△ABC中,若C=π七.數(shù)列中的不等式.設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,等比數(shù)列an的前n等差數(shù)列等比數(shù)列1若an>0a若an∈R,則有2Sn?S若an>0,則3若m+n=若an>0則am則a當(dāng)且僅當(dāng)d=當(dāng)且僅當(dāng)q=第三章.函數(shù)的概念與性質(zhì)函數(shù)的概念與表示方法一.函數(shù)的定義.1.設(shè)A,B是非空的數(shù)的集合,如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f,集合A中的每一個(gè)元素x,在集合B中都有唯一一個(gè)元素y與之對應(yīng),那么這種對應(yīng)關(guān)系稱為函數(shù)關(guān)系,y稱為x的函數(shù),記為y=fx,x∈A.自變量x2.函數(shù)不是一個(gè)數(shù),而是兩個(gè)變量之間的一種關(guān)系.例如,正方形的面積y和邊長x之間的關(guān)系是二次函數(shù)關(guān)系,y是x的二次函數(shù).例如,正方形的周長y和邊長x之間的關(guān)系是正比例函數(shù)關(guān)系,y是x的正比例函數(shù).例如,一個(gè)物體做勻速直線運(yùn)動(dòng),在路程一定的情況下,它運(yùn)動(dòng)的速度v與時(shí)間t是反比函數(shù)關(guān)系,v是t的反比例函數(shù).3.兩個(gè)變量之間的關(guān)系不一定是函數(shù)關(guān)系.例如:正方形的面積和邊長之間的關(guān)系是一種函數(shù)關(guān)系,而人的身高和體重之間的關(guān)系不是函數(shù)關(guān)系,而是一種相關(guān)關(guān)系.4.y與x關(guān)系式不一定都是函數(shù)解析式.例如:在關(guān)系式y(tǒng)=x2中,y是x的函數(shù),因?yàn)閤而在關(guān)系式y(tǒng)2=x中,y不是x的函數(shù),因?yàn)閤例如:在y=1?x2中,y是x而在x2+y2=1中,y不是5.并不是所有的函數(shù)都有解析式.6.函數(shù)的圖像與直線x=二.理解函數(shù)概念的一個(gè)比喻.若將自變量看成信件,則函數(shù)值可以看成郵箱.1.多封信可以放入一個(gè)郵箱→多個(gè)自變量可以對應(yīng)同一個(gè)函數(shù)值.2.一封信不能放入多個(gè)郵箱→一個(gè)自變量不能對應(yīng)多個(gè)函數(shù)值.3.每一封信都必須放入一個(gè)確定的郵箱→集合A中的每一個(gè)自變量都必須對應(yīng)一個(gè)函數(shù)值.4.允許存在空的郵箱→允許集合B中存在沒有自變量對應(yīng)的元素.典型例題.以下從集合A到B的對應(yīng)關(guān)系中,是函數(shù)關(guān)系的是(填序號)解.(1)(2)是函數(shù)關(guān)系.對于(3),集合A中的元素c在B中沒有對應(yīng)的元素,因此(3)不是函數(shù)關(guān)系.對于(4),集合A中的元素a在B中有兩個(gè)元素與之對應(yīng),因此(4)不是函數(shù)關(guān)系.典型例題.右圖所表示的是一個(gè)從集合A到集合B的函數(shù),該函數(shù)的定義域是-解.定義域是{a,b特別注意:一個(gè)從集合A到集合B的函數(shù),其定義域必是集合A,而值域不一定是集合B.三.函數(shù)的三要素.1.定義域,值域,對應(yīng)法則稱為函數(shù)的三要素.2.在未加說明的情況下,函數(shù)的定義域就是使這個(gè)式子有意義的所有實(shí)數(shù)組成的集合.3.對應(yīng)法則f可以理解為是一個(gè)對自變量x進(jìn)行操作的程序.四.兩個(gè)函數(shù)相等的條件.1.一個(gè)函數(shù)定義域和對應(yīng)法則確定了,它的值域也隨之確定,兩個(gè)函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)定義域與對應(yīng)法則分別相同時(shí),才是同一個(gè)函數(shù).2.定義域和值域都分別相同的兩個(gè)函數(shù),它們不一定是同一函數(shù).典型例題.下列各組中的兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)的是______(填序號)(1)fx(2)fx(3)fx(4)fx解.第(1)組中,fx的定義域是[1,+∞),第(2)組中的兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù).第(3)組中,fx的定義域是{1},第(4)組中,fx的定義域是{x∣函數(shù)y=fgx由兩個(gè)函數(shù)y=fx例如函數(shù)y=1x2?5x+4函數(shù)y=1x2?5x+4由兩個(gè)函數(shù)典型例題.已知fx=解.fg六.函數(shù)的表示方法.1.圖像法:是利用函數(shù)的圖像來表示變量之間的關(guān)系,具有直觀明了的優(yōu)點(diǎn),但這種表示方法,通常是局部的和近似的.2.列表法:將函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系用某種形式的表格給出.這種方法往往只能給出有限的一部分變量之間的關(guān)系.3.解析法:將函數(shù)中的自變量和函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系用解析式表示,具有精確簡明的優(yōu)點(diǎn).但不是所有的函數(shù)都能用解析法表示.七.常數(shù)函數(shù).1.如果一個(gè)函數(shù)滿足當(dāng)自變量改變時(shí),函數(shù)值始終保持不變,這樣的函數(shù)稱為常數(shù)函數(shù).例如,y=3是一個(gè)常數(shù)函數(shù),因?yàn)樵摵瘮?shù)的函數(shù)值2.所有常數(shù)函數(shù)的圖像都與x軸平行.3.特別注意:x=3不是函數(shù),因?yàn)閤確定以后,八.常見的函數(shù).1.已知k為常數(shù),且k≠0,2.已知k,b為常數(shù),且k≠3.已知a,b,c為常數(shù),且4.已知a為常數(shù),y=5.已知a為常數(shù),且a>0,6.y=sinx稱為正弦函數(shù),y=cos九.求函數(shù)定義域的注意要點(diǎn).1.偶次方根的被開方數(shù)大于等于零.2.分式的分母不能為零.3.零的零次方無意義.4.對數(shù)函數(shù)的真數(shù)為正數(shù).典型例題.函數(shù)y=解.要使函數(shù)有意義,只需x?3≠典型例題.已知fx=?ax2+6x?8定義域?yàn)閇2求函數(shù)的解析式一.湊配法求函數(shù)解析式典型例題.已知函數(shù)fx滿足當(dāng)x≠0時(shí),都有f解.fx二.換元法求函數(shù)解析式典型例題.已知函數(shù)fx滿足對任意x≠0且x≠解.設(shè)1x=t,則x=1以上的兩題可用圖形表示如下:xx三.待定系數(shù)法求函數(shù)解析式.典型例題.已知fx為一次函數(shù),且3fx+解.設(shè)fx=kx+b,∵3fx+典型例題.已知函數(shù)fx的定義域?yàn)閧x∣3fx+5f解.∵3fx+5f1四.與等式恒成立有關(guān)的結(jié)論.1.等式ax2+bx+2.等式ax2+bx+函數(shù)圖像變換一.函數(shù)圖像的平移變換3.y=二.函數(shù)圖像的對稱變換.1.關(guān)于x軸對稱.2.關(guān)于y軸對稱3.關(guān)于y軸對稱4.關(guān)于x軸對稱5.關(guān)于原點(diǎn)對稱.1.關(guān)于x軸對稱.2.關(guān)于直線x=3.關(guān)于直線x=a對稱4.關(guān)于5.關(guān)于點(diǎn)a,三.對稱變換與平移變換的綜合.1.關(guān)于y軸對稱.2.向右平移2a個(gè)單位對稱3.向左平移2a個(gè)單位4.關(guān)于y軸對稱.5.關(guān)于直線x=1.關(guān)于x軸對稱.2.向上平移2a個(gè)單位對稱3.向下平移2a個(gè)單位4.關(guān)于x軸對稱.5.關(guān)于直線y=y=f1.y=fxx)先只畫出y=f2.y=fx一先完整畫出y=f典型例題.作出y=lnx五.函數(shù)圖像的伸縮變換1.y=fx一每一個(gè)點(diǎn)縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腶2.y=fx+b3.y=fx-每一個(gè)點(diǎn)橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腶4.y=fx+b典型例題.指出下列圖像的變換方式.1.橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?2?2.左移35.縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍6.上移5個(gè)單位7.上移541.縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍2.上移5個(gè)單位3.上移545.橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?26.左移32個(gè)單位7.左移3個(gè)單位8.橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼暮瘮?shù)的單調(diào)性一.函數(shù)單調(diào)性的定義.1.若x1<x2,且fx2.若x1<x2,且fx3.已知x1≠x2,若函數(shù)y=fx4.已知x1≠x2,若函數(shù)y=fx5.特別注意:當(dāng)一個(gè)函數(shù)有多個(gè)單調(diào)增區(qū)間(或減區(qū)間)時(shí),不能用U連接.應(yīng)該用“和”連接.例如y=1x的單調(diào)減區(qū)間為?∞,0和二.函數(shù)單調(diào)性的運(yùn)算法則.1.已知y=fx在區(qū)間D上均為增函數(shù),則y2.已知y=fx在區(qū)間D上均為增函數(shù),則y例如:y=x+1x在[y=x2+2x+33.已知y=fx,y=g4.已知y=fx,y=g例如:y=x和y=x+2在y=2+x和y=?21三.y=fx1.已知a>0,且函數(shù)y=fx的單調(diào)增區(qū)間為[2.已知A>0,則y=典型例題.已知y=fx的單調(diào)增區(qū)間為[解.解不等式1≤2x?5≤典型例題.已知y=fx的單調(diào)增區(qū)間為[解.y=3fx1.對于復(fù)合函數(shù)y=fgx,若外層函數(shù)y=2.對于復(fù)合函數(shù)y=fgx,若外層函數(shù)y=3.對于復(fù)合函數(shù)y=fgx,若外層函數(shù)y=五.常見結(jié)論.1.若x1,x2∈A,且x1≠x2,x1fx2.若x1,x2∈A,且證明:方法一:∵f∴Fx=方法二:不妨設(shè)x1∴fx1典型例題.定義在0,+∞上的函數(shù)fx滿足x1fx1?x2fx且F2=2因此不等式fx>8六.利用單調(diào)性解方程.1.已知y=fx在R上單調(diào),若fx02.已知y=fx在R上單調(diào),若f典型例題.方程3x解.原方程可轉(zhuǎn)化為35x+45x=1,構(gòu)造fx=35x七.利用單調(diào)性解不等式.1.已知y=fx在R2.已知y=fx在R3.已知y=fx在R上單調(diào)遞增,且fx04.已知y=fx在R上單調(diào)遞減,且fx0典型例題.函數(shù)y=fx在R上為減函數(shù),且f解.∵f典型例題.不等式12x解.12x+5x<13x?12原不等式?fx<函數(shù)的最值.一.最大值和最小值的概念.已知fx是定義在D1.對于所有的x∈D,總存在某個(gè)確定的點(diǎn)x0∈D,使得fx≤2.對于所有的x∈D,總存在某個(gè)確定的點(diǎn)x0∈D,使得fx≥二.最值存在定理.設(shè)函數(shù)fx在閉區(qū)間[a,b]三.利用重要不等式求值域.典型例題.函數(shù)fx解.由題可知1+∵1當(dāng)1+x=3?x,即解.設(shè)a=3x+12,求a+方法一:設(shè)z=a+b,則∴fx的值域?yàn)榉椒ǘ?設(shè)a=18=24∴6補(bǔ)充說明:本題應(yīng)用柯西不等式,fx=3?x典型例題.已知函數(shù)fx=4x解.當(dāng)fx有最大值時(shí),必有x>04x四.將復(fù)合函數(shù)分解成簡單的函數(shù)求值域.典型例題.已知函數(shù)fx=4解.設(shè)4x=ty=t?1t解.fx在[?2,+∞)上單調(diào)遞增,∴典型例題.已知函數(shù)fx=4解.設(shè)點(diǎn)Px,4?x2,點(diǎn)原題轉(zhuǎn)化為求直線PA的斜率的取值范圍.點(diǎn)Px,4?x2在半圓七.將函數(shù)值域問題轉(zhuǎn)化為求兩點(diǎn)距離之和.典型例題.已知函數(shù)fx=x解.fx原題轉(zhuǎn)化為求x軸上的動(dòng)點(diǎn)Px,0到點(diǎn)A八.函數(shù)的單調(diào)性與最值的關(guān)系.已知函數(shù)fx的定義域?yàn)閇0,1],則fx在區(qū)間[0函數(shù)的奇偶性.一.函數(shù)奇偶性的定義.1.函數(shù)y=fx的定義域內(nèi)任意一個(gè)x都有fx=2.函數(shù)y=fx的定義域內(nèi)任意一個(gè)x都有f3.已知y=fx在原點(diǎn)處有定義,則f4.函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是函數(shù)為奇函數(shù)(或偶函數(shù))的必要不充分條件.二.函數(shù)奇偶性的進(jìn)一步推廣:1.函數(shù)y=fx的定義域內(nèi)任意一個(gè)x都有fa+x=fa?x恒成立,則y=f3.已知y=fx在x=a處有定義,且f三.常見函數(shù)的奇偶性.1.常見的奇函數(shù):y=xn(ny=loga2.常見的偶函數(shù):y=xn(n為偶數(shù)),y3.常見的非奇非偶函數(shù):y=x,4.常見的既奇又偶函數(shù):y=四.函數(shù)奇偶性的運(yùn)算法則.1.奇函數(shù)+奇函數(shù)=奇函數(shù),偶函數(shù)+偶函數(shù)=偶函數(shù),奇函數(shù)+偶函數(shù)=非奇非偶函數(shù)2.奇函數(shù)×奇函數(shù)=偶函數(shù),偶函數(shù)×偶函數(shù)=偶函數(shù),奇函數(shù)×偶函數(shù)=奇函數(shù).3.y=fx4.y=fx例如,fx=x+1例如,fx=xx2+15.如果兩個(gè)函數(shù)關(guān)于y軸對稱,將兩函數(shù)相加,得到的新函數(shù)仍關(guān)于y軸對稱.即y=fx例如,y=6.如果兩個(gè)函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱,將兩函數(shù)相加,得到的新函數(shù)仍關(guān)于原點(diǎn)對稱.即y=fx例如y=典型例題.已知fx=2解.由題可知y=2+x和y=1.已知fx=ax3+bx22.已知fx=Asinx+Bcosx六.帶絕對值的函數(shù)的奇偶性.1.若y=fx2.若y=fx1.函數(shù)Fx=f2.函數(shù)Fx3.函數(shù)Fx=fxx≥0?f典型例題.判斷下列函數(shù)的奇偶性.(1)Fx=2(3)Fx=解.(1)Fx為偶函數(shù).(2)F(3)Fx為非奇非偶函數(shù).(4)F八.復(fù)合函數(shù)的奇偶性.1.對于復(fù)合函數(shù)y=fg例如,fx2.對于復(fù)合函數(shù)y=fg例如,fx九.函數(shù)奇偶性的應(yīng)用.1.已知fx是定義在區(qū)間A上的奇函數(shù),x1,x22.已知fx是定義在區(qū)間A上的奇函數(shù),且在D上單調(diào),x1,fx3.已知fx為奇函數(shù),若fx的最大值為M,最小值為m,則4.已知fx為奇函數(shù),若fx+a的最大值為M,最小值為5.任意一個(gè)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱的函數(shù),一定可以表示成一個(gè)奇函數(shù)加偶函數(shù)的和的形式.已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù).一.若f0存在,則直接利用f典型例題.已知a為實(shí)數(shù),且fx=解.由f0=0,可得1a?典型例題.已知函數(shù)fx=解.由f1+f三.若f0典型例題.已知fx=解.若f0存在,由f0=若f0不存在,當(dāng)x=0∴k四.對復(fù)雜的函數(shù)進(jìn)行分解.典型例題.已知fx=2x解.可轉(zhuǎn)化為gx=2x+1x+函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的綜合.一.奇函數(shù)在R上單調(diào)遞增的充要條件.1.已知fx為奇函數(shù),則fx在0,+∞上單調(diào)遞增,是f2.已知fx為奇函數(shù),則fx在[0,+∞)上單調(diào)遞增,是二.奇函數(shù)與單調(diào)性的綜合.1.已知fx是定義在R上的奇函數(shù),則x1+x2=0是fx1+f3.已知fx為奇函數(shù),且在R上單調(diào)遞增,若x1+證明:∵x1+x2>0,∴x4.已知fx為奇函數(shù),且在R上單調(diào)遞減,若x1+證明:∵x1+x2>0,∴x5.已知fx為奇函數(shù),且在R上單調(diào)遞增,則x1+6.已知fx為奇函數(shù),且在R上單調(diào)遞減,則x1+三.偶函數(shù)與單調(diào)性的綜合.1.已知fx是定義在R上的偶函數(shù),則x1=2.已知fx是定義在R上為偶函數(shù),且在[0,+∞)上單調(diào),則x3.已知fx是定義在R上的偶函數(shù),且在[0,+∞)單調(diào)遞增,若f4.已知fx是定義在R上的偶函數(shù),且在[0,+∞)單調(diào)遞減,若f函數(shù)的對稱性.一.由等式恒成立,確定函數(shù)的對稱性.1.已知y=fx滿足fa+x=2.已知y=fx滿足fa+x+3.已知y=fx滿足fx=f2a4.已知y=fx滿足fx+f2a5.已知y=fx滿足fa+x=6.已知y=fx滿足fa+x+二.由復(fù)合函數(shù)確定函數(shù)的對稱性1.若fx關(guān)于直線x=a對稱,則函數(shù)g2.若fx關(guān)于直線x=a對稱,則函數(shù)g3.若fx關(guān)于直線x=a對稱,則函數(shù)g典型例題.已知函數(shù)fx=2解.直線x=三.由奇偶性確定函數(shù)的對稱性1.若fx為偶函數(shù),則fωx+a+b關(guān)于直線x=?典型例題.已知函數(shù)fx=x解.構(gòu)造gx=x?x而fx=g四.由函數(shù)的加減運(yùn)算確定函數(shù)的對稱性.1.若兩個(gè)函數(shù)關(guān)于直線x=例如,y=2+x和y=2?y=xlnx和y=6?2.若兩個(gè)函數(shù)關(guān)于點(diǎn)a,例如y=x和y=?2?x關(guān)于點(diǎn)y=xlnx和y=?6?3.若兩個(gè)函數(shù)自身均為軸對稱圖形,且有相同的對稱軸x=例如y=x2?4xy=x24.若兩個(gè)函數(shù)自身均為中心對稱圖形,且有相同的對稱中心a,例如y=x?23y=x?典型例題.已知函數(shù)fx=4解.∵y=4+x和y=2?x|關(guān)于直線x解.∵y=4+x和y=?21.已知fx的圖像為中心對稱圖形,且有兩條水平漸近線y=ax=c,則fx2.已知fx的圖像為中心對稱圖形,且有兩條堅(jiān)直漸近線x=a,x=b典型例題.已知函數(shù)fx=14?解.方法一:令4?2x=0∵f0+f42=方法二:令4?2x當(dāng)x→?∞時(shí),y=14?∴fx=14?2∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為2六.結(jié)論.已知函數(shù)y=fx的圖像關(guān)于點(diǎn)a,0七.函數(shù)對稱性與零點(diǎn).1.已知fx關(guān)于直線x=a對稱,且f2.已知fx關(guān)于點(diǎn)a,0對稱,且f3.已知fx關(guān)于直線x=a對稱,且fx有2個(gè)零點(diǎn)4.已知fx關(guān)于點(diǎn)a,0對稱,且fx有2個(gè)零點(diǎn)5.已知fx關(guān)于直線x=a對稱,且fx有7個(gè)零點(diǎn)6.已知fx關(guān)于點(diǎn)a,0對稱,且fx有7個(gè)零點(diǎn)典型例題.已知函數(shù)fx的定義域?yàn)镽,Fx=解.Fx關(guān)于直線x=?1對稱,設(shè)五個(gè)根由小到大依次為x1八.函數(shù)對稱性與等差數(shù)列.1.已知fx關(guān)于直線x=a對稱,x2.已知fx關(guān)于點(diǎn)a,b對稱,x1+x2=2a,則fx14.已知fx關(guān)于點(diǎn)a,b對稱,若x1典型例題.已知fxfa1+解.fx=xfa1.已知fx關(guān)于點(diǎn)2,0對稱,且在R上遞增,若f2.已知fx關(guān)于點(diǎn)2,0對稱,且在R上遞減,若f3.已知fx關(guān)于點(diǎn)0,2對稱,且在R上遞增,若x4.已知fx關(guān)于點(diǎn)0,2對稱,且在R上遞減,若x5.已知fx關(guān)于直線x=2對稱,且在2,+∞上遞增,若6.已知fx關(guān)于直線x=2對稱,且在2,+∞上遞減,若典型例題.函數(shù)y=fx滿足對任意x∈R?1,+∞上遞增,x1,x2∈解.fx函數(shù)的周期性一.函數(shù)周期性的定義.1.設(shè)fx是定義在某一數(shù)集A上的函數(shù),若存在一個(gè)常數(shù)TT≠0,對于任意x∈A,都有fx例如fx=sinx滿足fx+2.周期函數(shù)的定義域一定是上下無界的無窮數(shù)集.3.若T是fx的周期,則nT也是函數(shù)fx的周期.例如2π是fx=sinx的一個(gè)周期,那么4π二.最小正周期.1.周期函數(shù)的正周期中最小的一個(gè)叫做函數(shù)的最小正周期.例如函數(shù)fx=sinx2.周期函數(shù)不一定都有最小正周期,常數(shù)函數(shù)fx=33.若fx存在最小正周期T0,則fx的任何周期T一定是T0的整數(shù)倍.4.若fx存在最小正周期T三.常見函數(shù)的最小正周期.1.y=sinx和y=cosx的最小正周期為2.y=Asin3.y=Atan四.函數(shù)周期性的運(yùn)算規(guī)則.已知函數(shù)fx和gx均為周期函數(shù),且周期分別為1.若T1T2是有理數(shù),則函數(shù)fx+gx例如2π是函數(shù)fx=sinx2.若T1T2例如y=sinx+sin五.常見復(fù)合函數(shù)的最小正周期.對于復(fù)合函數(shù)Fx1.若外層函數(shù)fx為偶函數(shù),則Fx=例如函數(shù)Fx=2sinx2.若外層函數(shù)fx不是偶函數(shù),則Fx=例如函數(shù)fx=sin六.求函數(shù)的周期的幾個(gè)結(jié)論.1.y=fx滿足fx+a=?證明:fx+2a2.y=fx滿足fx+a=證明:fx+2a3.y=fx滿足fx+a=證明:fx+2afxfx+3a=fx+2a+4.y=fx滿足fx+a=證明:fx+2a可得fx+2a由(1)(2)兩式可得fx+4a典型例題.已知fx滿足fx+2解.∵fx+∴f七.周期函數(shù)的分類周期函數(shù)按對稱性可分為以下四類:1.既無對稱軸,也無對稱點(diǎn).2.只有對稱軸,無對稱點(diǎn),例如fx3.只有對稱點(diǎn),無對稱軸,例如fx4.既有對稱軸,也有對稱點(diǎn),例如fx八.函數(shù)周期性與對稱性的綜合.1.如果某周期函數(shù)存在一條對稱軸,則它必有無數(shù)條對稱軸,且最小正周期一定是相鄰對稱軸之間距離的2倍.例如y=sinx和y=cosx,相鄰對稱軸之間距離為例如y=sinx,相鄰對稱軸之間距離為π例如y=tanx,相鄰對稱軸之間距離為π2.如果某周期函數(shù)存在一個(gè)對稱點(diǎn),則它必有無數(shù)個(gè)對稱點(diǎn),且最小正周期一定是相鄰對稱點(diǎn)之間距離的2倍.例如y=sinx和y=cosx,相鄰對稱點(diǎn)之間距離為例如y=tanx,相鄰對稱點(diǎn)之間距離為π23.如果某周期函數(shù)存在一個(gè)對稱點(diǎn)和一條對稱軸,則它必有無數(shù)個(gè)對稱點(diǎn)和無數(shù)條對稱軸,且最小正周期一定是相鄰對稱點(diǎn)與對稱軸之間距離的4倍.例如y=sinx和y=cosx,相鄰對稱點(diǎn)與對稱軸之間距離為典型例題.已知函數(shù)fx=Asinx+φ+1的圖像關(guān)于直線x=π4對稱,求fx的對稱中心.解.∵典型例題.已知fx是定義在R上的偶函數(shù),且關(guān)于點(diǎn)?1,f解.由題可知fx的周期為4.∴fx關(guān)于點(diǎn)?1+∵f∵y=fx關(guān)于點(diǎn)1,∴f九.類周期函數(shù).1.若函數(shù)fx滿足fx+2.若函數(shù)fx滿足f2x=典型例題.已知當(dāng)0≤x≤2時(shí),fx=?x?1解.當(dāng)4≤x≤一.函數(shù)凸凹性的定義.1.若a,b∈[m,n],2.若a,b∈[m,n],例如,fx=10x在R上為凹函數(shù),若二.利用函數(shù)的圖像判斷函數(shù)的凸凹性.fx為凹函數(shù)f三.利用函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的凸凹性.1.若fx在區(qū)間[m,n]上滿足f2.若fx在區(qū)間[m,n]上滿足f例如,對于函數(shù)fx=x當(dāng)x≤0時(shí),f′′當(dāng)x≥0時(shí),f′′典型例題.已知a,b>0,比較解.fx=lgx在R上為凸函數(shù),∴復(fù)合函數(shù)一.復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性.1.對于復(fù)合函數(shù)y=fgx,若外層函數(shù)y=2.對于復(fù)合函數(shù)y=fgx,若外層函數(shù)y=3.對于復(fù)合函數(shù)y=fgx,若外層函數(shù)y=二.復(fù)合函數(shù)的奇偶性.1.對于復(fù)合函數(shù)y=fg例如fx2.對于復(fù)合函數(shù)y=fg例如fx三.常見復(fù)合函數(shù)的最小正周期.1.對于復(fù)合函數(shù)Fx=fsinx,若外層函數(shù)f例如函數(shù)y=2sin2.對于復(fù)合函數(shù)Fx=fsinx,若外層函數(shù)f例如函數(shù)y=2sinx+2?sinx和y=sinx例如函數(shù)y=sinx四.函數(shù)fx與fax+1.已知y=fx的定義域?yàn)閇m,n],欲求y2.y=fx3.已知a>0,且y=fx的單調(diào)增區(qū)間為[m,n]4.已知y=fx的圖像關(guān)于直線x=m對稱,欲求y=fax+b的對稱軸,可通過解方程ax+b=m,求出x=m?ba,即為y=fax+解.(1)y=f2x+3(2)y=4f2x+3典型例題.填空.(1)已知函數(shù)f32?(2)已知函數(shù)fx為偶函數(shù),則函數(shù)f解.(1)∵函數(shù)f32?2x關(guān)于直線x=∴f2x關(guān)于直線x=34(2)fx關(guān)于直線x和為定值的函數(shù).一.和為定值的函數(shù).1.已知fx=1證明:fx+f1x證明:fx3.已知fx=2證明:fx4.已知fx=2證明:fx5.已知fx=16.已知fx=x7.已知fx=16證明:fx典型例題.已知fx=解.∵ff10+f常見的函數(shù).第一組函數(shù)定義域?∞,?∞,值域?∞,?R增區(qū)間?∞,??∞,奇偶性奇奇第二組函數(shù)定義域[?[?值域2[?增區(qū)間對稱性偶奇第三組函數(shù)定義域R?值域[[增區(qū)間[[?對稱性偶偶第四組y函數(shù)定義域[[值域[?∞,增區(qū)間[對稱性關(guān)于x=關(guān)于x=第五組函數(shù)定義域值域(?∞,?增區(qū)間(?∞,?∞,?1奇偶性偶第六組.函數(shù)定義域R值域[[對稱性關(guān)于x=關(guān)于x=第七組.函數(shù)定義域R值域[[?奇偶性關(guān)于x=關(guān)于32函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)與穩(wěn)定點(diǎn).一.函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn).1.已知函數(shù)y=fx,x∈A,若存在x2.不動(dòng)點(diǎn)實(shí)際上是函數(shù)y=fx3.對于不同函數(shù)來說,不動(dòng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)會(huì)有不同.典型例題.分別求函數(shù)y=2x?解.y=2x?1和y=y=2x2?1和y=二.函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn).1.已知函數(shù)y=fx,x∈A,若存在x2.穩(wěn)定點(diǎn)實(shí)際上是函數(shù)y=fx的圖像與y三.不動(dòng)點(diǎn)與穩(wěn)定點(diǎn)的關(guān)系.1.若x0為函數(shù)y=fx的不動(dòng)點(diǎn),則證明:∵x0為y=fx2.若x0為函數(shù)y=fx的穩(wěn)定點(diǎn),則3.若函數(shù)fx在區(qū)間A上單調(diào)遞增,則fx在4.若ffx有唯一的不動(dòng)點(diǎn),則典型例題.求fx解方程ffx=x,即因此fx=2x如圖所示,fx=2x?1的穩(wěn)定點(diǎn)是y典型例題.求fx解方程ffx=x,即∴x=?1其中x=?12如圖所示,fx=2x2?1的穩(wěn)定點(diǎn)是y四.結(jié)論.1.方程ffx=證明:先證命題的充分性成立.方程ffx=x有解,而fx不妨設(shè)fx>x恒成立,則f再證命題的必要性成立.若方程fx=x有解,不妨設(shè)fx0=x證明:設(shè)t=gx,若方程fgx=x有解,則f函數(shù)的迭代一.函數(shù)迭代的定義.設(shè)f1x=fx,?二.部分特殊函數(shù)迭代的規(guī)律.1.已知fx=x2.已知fx=ax3.已知fx=x4.已知fx=x三.部分特殊函數(shù)迭代的周期性.1.已知fx=12.已知fx=13.已知fx=x典型例題.已知fx=ax+b,設(shè)f1x解.f5x=a5第四章.基本初等函數(shù)根式.一.根式的定義.na稱為根式,其中n叫做根指數(shù),a二.二次根式有意義的條件.若無論x取何值,二次根式ax2+bx+三.根式的運(yùn)算性質(zhì).1.已知a≥0,2.已知a≥0,3.若n為偶數(shù),則na4.若n為偶數(shù),a≥0,則nan=a,若5.若n為奇數(shù),則na6.已知x>0,則四.根式的運(yùn)算性質(zhì)的推論.1.若n為偶數(shù),na2.若n為偶數(shù),且a≥b,則na?bn=3.若n為奇數(shù),na典型例題.化簡下列根式.(1)3?π解.(1)3?(2)4?五.根式的裂項(xiàng)求和.1.1n+1+n2.1n證明:1n典型例題.計(jì)算11+2典型例題.計(jì)算12解.原式=1冪和冪的運(yùn)算法則.一.冪的定義.1.n個(gè)a相乘記作an,其中a稱為底數(shù),n稱為指數(shù),an讀作a的n次方(或a的2.當(dāng)a≠0時(shí),規(guī)定二.負(fù)整數(shù)指數(shù)冪.1.a?2.ba例如,5?三.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪.已知a>1.ma例如,102.1m例如,163.mn例如,344.na例如,2=典型例題.已知a<0解.a2四.同底數(shù)的冪乘除.1.兩個(gè)同底數(shù)的冪相乘,底數(shù)不變,將指數(shù)相加,即am2.兩個(gè)同底數(shù)的冪相除,底數(shù)不變,將指數(shù)相減,即am例如,an五.同指數(shù)的冪乘除.1.兩個(gè)同指數(shù)的冪相乘,指數(shù)不變,將底數(shù)相乘,即an2.兩個(gè)同指數(shù)的冪相除,指數(shù)不變,將底數(shù)相除,an例如,ab六.冪的乘方.1.已知a>0,m,2.已知a,b>0,若典型例題.已知a=533解.a=典型例題.已知3x?5y解.∵3x七.冪的開方.1.已知a>0,2.已知a,b>0,若典型例題.已知2a=解.∵2八.冪的常見變形技巧.1.5332.2n3.?a4.am九.結(jié)論.若a,b均為正整數(shù),且ab=b十.平方差公式與冪的綜合.1.x22.已知a>0,十一.完全平方公式與冪的綜合.1.已知x≠0,則2.已知a>0,十二.立方和,立方差公式與冪的綜合1.已知x≠2.已知x≠3.已知a>0,4.已知a>0,典型例題.已知ax+a解.a2xa十三.基本不等式與冪的運(yùn)算的綜合.已知a>0,證明:3ab十四.與變化率有關(guān)的計(jì)算.1.基本量.(1+變化率)**“**=變化后的量.2.基本量.(1+第一次的變化率).(1+第二次的變化率)…=變化后的量.典型例題.某人將m元人民幣存入銀行,年利率為5%,按復(fù)利計(jì)算,三年后本息和為__元.解.m典型例題.某容器裝滿10升純酒精,每次從中取出1升,注水加滿再混勻,這樣連取5次,則容器中還剩____升酒精.解.10?冪函數(shù)一.常見的幾種冪函數(shù)的圖像.y=x解析式y(tǒng)yy=x圖像解析式圖像y=xyy=xy=x解析式y(tǒng)y=xy=x圖像二.冪函數(shù)的一般性質(zhì).1.冪函數(shù)必經(jīng)過第一象限,不經(jīng)過第四象限.2.冪函數(shù)必過定點(diǎn)1,3.若n為奇數(shù),則fx=xn為奇函數(shù);若4.若n為正數(shù),則fx=x若n為負(fù)數(shù),則fx=x三.指數(shù)對冪函數(shù)圖像的影響.冪函數(shù)y=xa四.y=1.已知a,b>2.已知a,b>典型例題.已知a+b+c=0,abc<五.與y=1.若函數(shù)fx=Ax2+BxA2.若函數(shù)fx=Ax2+Bx此A=0B3.若函數(shù)fx=gx在區(qū)間A內(nèi)單調(diào)遞減,則gx≥0典型例題.已知函數(shù)fx=x2?解.設(shè)gx=x2?4ax+∴2a≤2指數(shù)函數(shù).一.指數(shù)函數(shù)的圖像.解析式y(tǒng)y圖像單調(diào)性函數(shù)在R上單調(diào)遞減函數(shù)在R上單調(diào)遞增奇偶性非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)圖像變化趨勢當(dāng)x→+∞時(shí),圖像與x軸無限接近當(dāng)x→?∞時(shí),圖像與當(dāng)x→+∞時(shí),圖像與y軸無限平行當(dāng)x→?∞時(shí),圖像與二.底數(shù)對指數(shù)函數(shù)圖像的影響.四個(gè)指數(shù)函數(shù)的圖象如圖所示,則有a>典型例題.已知0<a<b<解.∵0<a<b<1三.指數(shù)函數(shù)的拓展性質(zhì).1.已知fx=a2.已知fx=a四.指數(shù)函數(shù)的凸凹性.已知fx=axa>0五.與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的幾個(gè)結(jié)論.已知fx=2Ax2+指數(shù)函數(shù)圖像的變換.一.平移變換.1.y=ax2.y=ax特別注意:3.函數(shù)y=a2x4.函數(shù)y=a?二.對稱變換.1.y=ax關(guān)于x2.y=ax關(guān)于y3.y=ax三.翻折變換.y=典型例題.函數(shù)fx=12x典型例題.填空.(1)函數(shù)y=2x(2)函數(shù)y=2x解.(1)直線x=3,典型例題.函數(shù)fx解.fx=e?x由y=1ex?對數(shù)一.對數(shù)的定義.1.已知a>0,a≠2.在ab=N中,a稱為底數(shù),b在b=logaN中,a稱為底數(shù),在a=bN中,N稱為被開方數(shù),b3.以10為底的對數(shù)稱為常用對數(shù),log10N記為以e為底的對數(shù)稱為自然對數(shù),logeN記為lnN.其中e是一個(gè)無理數(shù),lim二.對數(shù)恒等式.若a>0,三.對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).1.logaMN=3.logabn5.logamb四.與運(yùn)算性質(zhì)有關(guān)的常用結(jié)論.1.logab?1=loga5.lga五.對數(shù)換底公式.已知a,b,六.對數(shù)計(jì)算常用結(jié)論.1.lg22.loga證明:loga3.loga證明:loga4.若am=b證明:設(shè)am=bn=∴15.若logab=證明:方法一:設(shè)logab=logc∴l(xiāng)og方法二:∵log∴l(xiāng)og6.alog證明:alog而lgclgb特別注意:loga典型例題.計(jì)算lg解.lg52解.1log典型例題.已知2m=解.方法一:∵2m=得2mn方法二:∵2方法三:∵2典型例題.已知log2a解.方法一.化為指數(shù)形式:設(shè)log2a=∴ab又∵a方法二.化為指數(shù)形式:∵loglga典型例題.方程13log解.原方程等價(jià)于13log6x1.已知a>1,證明:lga2.已知n∈N+證明:lgn∴l(xiāng)gn?1?lgn解.lg4八.糖水不等式與對數(shù)運(yùn)算.1.log4證明:方法一:log4方法二:log42.已知m>0,則有證明:log43.已知1<b<九.對數(shù)與分?jǐn)?shù)的類比.對數(shù)1logab?b2logax3若logab=若ba=d4若logab=若ba=d5已知m>0,則有已知m>0,則有6已知1<b已知1<b對數(shù)函數(shù)一.對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì).解析式y(tǒng)y圖像單調(diào)性函數(shù)在0,+∞函數(shù)在0,+∞奇偶性非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)圖像變化趨勢當(dāng)x→+∞時(shí),圖像與x軸無限平行當(dāng)x→+0當(dāng)x→+∞時(shí),圖像與x軸無限平行當(dāng)x→+0二.指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的對稱性.1.已知a>0,a≠1,則2.已知a>0,a≠1,直線y=?x+證明:設(shè)y=?x+n和y=x相交于點(diǎn)Cx0,y0三.底數(shù)對對數(shù)函數(shù)圖像的影響.四個(gè)對數(shù)函數(shù)的圖象如圖所示,則b>四.對數(shù)函數(shù)的拓展性質(zhì).1.已知fx=log2.已知fx=log1.已知fx=logaxa>2.已知fx=logax0<六.與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù).1.已知a>0,且a≠1,若函數(shù)fx=logaAx22.已知a>0,且a≠1,若函數(shù)fx=logaAx2+Bx+C值域?yàn)镽,則Ax2+Bx+C典型例題.已知fx=log2x解.設(shè)t=x2?2ax+3,∵fx值域?yàn)閷?shù)函數(shù)圖像變換.一.平移變換.1.y=loga2.y=loga特別注意:3.函數(shù)y=loga4.函數(shù)y=loga典型例題.為了得到y(tǒng)=log2解.y=log0.5因此只需將y=log0.5典型例題.填空.(1)函數(shù)y=lg2x經(jīng)過?后可得(2)函數(shù)y=lg?2x經(jīng)過??解.(1)向右移2個(gè)單位.(2)向右移2個(gè)單位二.對稱變換.1.y=logax關(guān)于x軸對稱后所得的函數(shù)為y=?loga3.y=loga典型例題.填空.(1)y=lgx+(2)y=lgx+解.(1)直線x=1,三.翻折變換.1.y2.y=log2四.結(jié)論已知fx若fa=f若fa>f若fa<f典型例題.已知fx=lg解.由題可知ab=常見的函數(shù)一.y=函數(shù)定義域R?∞,值域[[對稱性關(guān)于直線x=關(guān)于直線x=二.y=函數(shù)定義域RR值域[2對稱性關(guān)于直線x=關(guān)于直線x=三.y=函數(shù)定義域R?∞,值域[R對稱性關(guān)于直線x=關(guān)于直線x=四.函數(shù)fx=2函數(shù)定義域R值域[R奇偶性偶函數(shù)奇函數(shù)五.函數(shù)fx=4函數(shù)定義域R?∞,值域??∞,?奇偶性奇函數(shù)奇函數(shù)注意:fx六.函數(shù)fx=x函數(shù)定義域值域奇偶性非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)注意:fx七.函數(shù)fx=log函數(shù)定義域值域奇偶性RRRR奇函數(shù)奇函數(shù)注意:fx八.函數(shù)fx=log函數(shù)ff圖像定義域RR值域RR奇偶性奇函數(shù)奇函數(shù)九.函數(shù)fx=log解析式ff圖像定