第6講空間坐標系與空間向量1/36考綱要求考點分布考情風向標1.了解空間向量概念，了解空間向量基本定理及其意義，掌握空間向量正交分解及其坐標表示.2.掌握空間向量線性運算及其坐標表示.3.掌握空間向量數(shù)量積及其坐標表示，能利用向量數(shù)量積判斷向量共線與垂直.4.了解直線方向向量與平面法向量.5.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面垂直和平行關(guān)系年新課標以四棱錐為背景，考查求二面角余弦值大?。荒晷抡n標以三棱柱為背景，考查求二面角大??；年新課標Ⅰ以三棱柱為背景，考查求線面所成角正弦值；年新課標Ⅰ以三棱柱背景，考查求二面角余弦值；年新課標Ⅰ考查求直線與直線所成角余弦值；年新課標Ⅰ考查利用空間向量求二面角；年新課標Ⅰ考查利用空間向量求二面角.能較易建立空間直角坐標系，盡量建立空間直角坐標系；要注意向量運算與基本性質(zhì)相結(jié)合敘述，這是今后方向，能夠“形到形”，能夠“數(shù)到形”，注意數(shù)形結(jié)合2/36或AB.空間向量能夠在空間內(nèi)自由平行移動.1.空間向量概念在空間，現(xiàn)有大小又有方向量，叫做空間向量，記作a→3/36(1)加法：AB＋BC＝AC(三角形法則：首尾相連，指向終點).(2)減法：AB－AC＝CB(三角形法則：共點出發(fā)，指向被減).2.空間向量運算→→→→→→(3)數(shù)乘向量：λa(λ∈R)仍是一個向量，且λa與a共線，|λa|＝|λ||a|.(4)數(shù)量積：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，a·b是一個實數(shù).3.空間向量運算律(1)交換律：a＋b＝b＋a；a·b＝b·a.(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；(λa)·b＝λ(a·b)(λ∈R)[注意：(a·b)c＝a(b·c)普通不成立].(3)分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb(λ∈R)；a·(b＋c)＝a·b＋a·c.4/36

4.空間向量坐標運算

叫做點P坐標. (2)設(shè)a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，那么

a±b＝(x1±x2，y1±y2，z1±z2)；λa＝_________________；a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2；(λx1，λy1，λz1)5/366/36余弦值為，則λ＝(D.2或－1.若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1，2)，且a與b夾角89)CA.2B.－2C.－2或

255

2557/36A.一定不共面C.不一定共面B.一定共面D.無法判斷B

∴P，A，B，C四點共面.故選B.8/36A

圖D639/364.已知點O為坐標原點，三點坐標分別是A(2，－1，2)，標為___________.10/3611/36考點1空間向量線性運算

圖8-6-112/3613/3614/36

【規(guī)律方法】(1)選定空間不共面三個向量作基向量，這是用向量處理立體幾何問題基本要求.用已知基向量表示指定向量時，應(yīng)結(jié)合已知向量和所求向量觀察圖形，將已知向量和未知向量轉(zhuǎn)化至三角形或平行四邊形中，然后利用三角形法則或平行四邊形法則進行運算.

(2)首尾相接若干向量之和，等于由起始向量始點指向末尾向量終點向量，我們把這個法則稱為向量加法多邊形法則.(3)向量線性運算有一個慣用結(jié)論：假如B是線段AC算.15/36【互動探究】

1.(年河南鄭州模擬)如圖8-6-2，已知空間四邊形OABC，其對角線為OB，AC，M，N分別為OA，BC中點，則x＋y＋z＝______.圖8-6-216/36答案：5617/36向量OG＝_______________.

2.如圖8-6-3，已知空間四邊形OABC中，點M在線段OA上，且OM＝2MA，N為BC中點，點G在線段MN上，且→圖8-6-318/3619/36考點2空間向量數(shù)量積運算

例2：(2016年山西太原模擬)如圖8-6-4，直三棱柱ABC-A1B1C1，底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分別是A1B1，A1A中點.

(3)求證：A1B⊥C1M.

圖8-6-420/36(1)解：如圖

D64，建立空間直角坐標系.圖D6421/3622/36

【規(guī)律方法】利用數(shù)量積處理問題兩條路徑：一是依據(jù)數(shù)量積定義，利用模與夾角直接計算；二是利用坐標運算.可處理相關(guān)垂直、夾角、長度問題.①a≠0，b≠0，a⊥b?a·b＝0；23/36

例3：(2015年新課標Ⅰ)如圖

8-6-5，四邊形ABCD為菱形，∠ABC＝120°，E，F(xiàn)是平面ABCD同一側(cè)兩點，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.(1)證實：平面AEC⊥平面AFC；(2)求直線AE與直線CF所成角余弦值.圖8-6-524/3625/3626/36圖D6527/36

【規(guī)律方法】(1)求幾何體中兩個向量夾角能夠把其中一個向量平移到與另一個向量起點重合，從而轉(zhuǎn)化為求平面中角大小.(2)由兩個向量數(shù)量積定義，得cos〈a，b〉＝

a·b|a||b|，求〈a，b〉大小,轉(zhuǎn)化為求兩個向量數(shù)量積及兩個向量模,求出〈a，b〉余弦值，進而求〈a，b〉大小.在求a·b時注意結(jié)合空間圖形，把a，b用基向量表示出來,進而化簡得出a·b值．28/36【互動探究】

3.(年綱領(lǐng))三棱柱ABC-A1B1C1中，底面邊長和側(cè)棱長都相等，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，則異面直線AB1與BC1

所成角余弦值為_______.29/3630/36

4.(選修2-1P105-例1改編)如圖8-6-6，在平行六面體

ABCD-A1B1C1D1

中，以頂點A為端點三條棱長度都為1，且兩兩夾角為60°.圖8-6-631/3632/3633/36易錯、易混、易漏⊙向量夾角不明致誤

例題：如圖8-6-7，在120°二面角α-l-β中，A∈l，B∈l，AC?α，BD?β，且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分別為