第5節(jié)向心加速度[學考報告]知識內(nèi)容向心加速度考試要求c加試dd基本要求1.知道勻速圓周運動是變速運動，具有指向圓心的加速度——向心加速度2．知道向心加速度的表達式，并會用來進行簡單的計算3．能根據(jù)問題情境選擇合適的向心加速度的表達式說明1.不要求分析變速圓周運動的加速度問題2．不要求掌握向心加速度公式的推導方法知識點一向心加速度的方向[基礎梳理]1．圓周運動的速度方向不斷變化，一定是變速運動，必定有加速度。2．向心加速度：任何做勻速圓周運動的物體的加速度都指向圓心，這個加速度叫做向心加速度。3．向心加速度的方向：總指向圓心，方向時刻改變。4．向心加速度的作用：向心加速度的方向總是與速度方向垂直，故向心加速度的作用只改變速度的方向，不改變速度的大小。5．圓周運動的性質(zhì)：不論向心加速度an的大小是否變化，其方向時刻改變，所以圓周運動的加速度時刻發(fā)生變化，圓周運動是變加速曲線運動。[即學即練]1．如圖所示，細繩的一端固定，另一端系一小球，讓小球在光滑水平面內(nèi)做勻速圓周運動，關于小球運動到P點時的加速度方向，下列圖中可能的是()解析做勻速圓周運動的物體的加速度就是向心加速度，其方向指向圓心，B正確。答案B知識點二向心加速度的大小[基礎梳理]1．向心加速度公式(1)基本公式：①an＝eq\f(v2,r)，②an＝ω2r。(2)拓展公式：①an＝eq\f(4π2,T2)r，②an＝ωv，③an＝4π2n2r，④an＝4π2f2r。2．向心加速度的物理意義：描述線速度方向變化的快慢。3．向心加速度的公式也適用于非勻速圓周運動，且無論是勻速圓周運動還是非勻速圓周運動，向心加速度的方向都指向圓心。4．(1)注意在選用物理公式解題時，一定要理解公式的含義，明確各物理量的意義。(2)由an＝eq\f(v2,r)知：r一定時，an∝v2；v一定時，an∝eq\f(1,r)；an一定時，r∝v2；(3)由an＝rω2知：r一定時，an∝ω2；ω一定時，an∝r；an一定時，r∝eq\f(1,ω2)。[典例精析]【例1】圖1為質(zhì)點P、Q做勻速圓周運動時向心加速度隨半徑變化的圖象，其中表示質(zhì)點P的圖象是雙曲線的一支，表示質(zhì)點Q的圖象是過原點的一條直線。由圖象可知()圖1A．質(zhì)點P的線速度大小不變B．質(zhì)點P的角速度大小不變C．質(zhì)點Q的角速度隨半徑變化D．質(zhì)點Q的線速度大小不變解析根據(jù)圖象提供的曲線的性質(zhì)建立起質(zhì)點做勻速圓周運動的向心加速度a隨半徑r變化的函數(shù)關系，再根據(jù)這個函數(shù)關系，結合向心加速度的計算公式作出判斷，由a＝eq\f(v2,r)和a＝ω2r知當v一定時a∝eq\f(1,r)；當ω一定時a∝r，所以選項A正確。答案A【例2】如圖2所示，一個大輪通過皮帶拉著小輪轉動，皮帶和兩輪之間無滑動，大輪的半徑是小輪的2倍，大輪上的一點S與轉動軸的距離是半徑的eq\f(1,3)，當大輪邊緣上P點的向心加速度為12cm/s2時，大輪上的S點和小輪邊緣上的Q點的向心加速度分別為多大？圖2解析同一輪子上的S和P點角速度相同，即ωS＝ωP，由向心加速度公式an＝ω2r，可得eq\f(aS,aP)＝eq\f(rS,rP)所以aS＝aP·eq\f(rS,rP)＝12×eq\f(1,3)cm/s2＝4cm/s2又因為皮帶不打滑，所以皮帶傳動的兩輪邊緣各點線速度大小相等：vP＝vQ由向心加速度公式an＝eq\f(v2,r)可得eq\f(aP,aQ)＝eq\f(rQ,rP)所以aQ＝aP·eq\f(rP,rQ)＝12×eq\f(2,1)cm/s2＝24cm/s2答案4cm/s224cm/[即學即練]2．如圖3所示，O、O′為兩個皮帶輪，O輪的半徑為r，O′輪的半徑為R，且R>r，M點為O輪邊緣上的一點，N點為O′輪上的任意一點，當皮帶輪轉動時，(設轉動過程中不打滑)則()圖3A．M點的向心加速度一定大于N點的向心加速度B．M點的向心加速度一定等于N點的向心加速度C．M點的向心加速度可能小于N點的向心加速度D．M點的向心加速度可能等于N點的向心加速度解析在O′輪的邊緣上取一點Q，則Q點和N點在同一個輪子上，其角速度相等，即ωQ＝ωN，又rQ≥rN，由向心加速度公式an＝ω2r可知aQ≥aN；由于皮帶轉動時不打滑，Q點和M點都在由皮帶傳動的兩個輪子邊緣，這兩點的線速度大小相等，即vQ＝vM，又rQ>rM，由向心加速度公式an＝eq\f(v2,r)可知，aQ<aM，所以aM>aN，選項A正確。答案A1．關于向心加速度，下列說法正確的是()A．向心加速度是描述線速度變化的物理量B．向心加速度只改變線速度的方向，不改變線速度的大小C．向心加速度大小恒定，方向時刻改變D．物體做非勻速圓周運動時，向心加速度的大小不可用an＝eq\f(v2,r)來計算解析加速度是描述速度變化快慢的物理量，向心加速度是描述線速度方向變化快慢的物理量，因此A錯，B對；只有勻速圓周運動的向心加速度大小才恒定，公式a＝eq\f(v2,r)對任何圓周運動都適用，故C、D錯。答案B2．如圖4所示，一半徑為R的球體繞軸O1O2以角速度ω勻速轉動，A、B為球體上兩點。下列說法中正確的是()圖4A．A、B兩點具有相同的角速度B．A、B兩點具有相同的線速度C．A、B兩點具有相同的向心加速度D．A、B兩點的向心加速度方向都指向球心解析A、B兩點隨球體一起繞軸O1O2轉動，轉一周所用的時間相等，故角速度相等，有ωA＝ωB＝ω，選項A正確；A點做圓周運動的平面與軸O1O2垂直，交點為圓心，故A點做圓周運動的半徑為rA＝Rsin60°；同理，B點做圓周運動的半徑為rB＝Rsin30°，所以A、B兩點的線速度分別為vA＝ωrA＝eq\f(\r(3),2)ωR，vB＝ωrB＝eq\f(1,2)ωR，顯然vA>vB，選項B錯誤；A、B兩點的向心加速度分別為aA＝ω2rA＝eq\f(\r(3),2)Rω2，aB＝ω2rB＝eq\f(1,2)Rω2，顯然，A、B兩點的向心加速度不相等，且它們的向心加速度方向指向各自平面的圓心，并不指向球心，故選項C、D錯誤。答案A3．如圖5所示，一小物塊以大小為a＝4m/s2的向心加速度做勻速圓周運動，半徑R＝1圖5A．小物塊運動的角速度為4rad/sB．小物塊做圓周運動的周期為πsC．小物塊在t＝eq\f(π,4)s內(nèi)通過的位移大小為eq\f(π,20)mD．小物塊在πs內(nèi)通過的路程為零解析因為a＝ω2R，所以小物塊運動的角速度ω＝eq\r(\f(a,R))＝2rad/s，周期T＝eq\f(2π,ω)＝πs，選項A錯，B正確；小物塊在eq\f(π,4)s內(nèi)轉過角度為eq\f(π,2)，通過的位移為eq\r(2)m，在πs內(nèi)轉過一周，通過的路程為2πm，選項C、D錯誤。答案B4．滑板運動是深受青少年喜愛的運動，如圖6所示，某滑板運動員恰好從B點進入半徑為2m的eq\f(1,4)圓弧軌道，該圓弧軌道在C點與水平光滑軌道相接，運動員滑到C點時的速度大小為10m/s。求他到達C點前、后瞬間的加速度(不計各種阻力圖6解析運動員到達C點前的瞬間做圓周運動，加速度大小an＝eq\f(v2,r)＝eq\f(102,2)m/s2＝50m/s2，方向為該位置指向圓心，即豎直向上。運動員到達C點后的瞬間做勻速直線運動，加速度為0。答案50m/s2，方向豎直向上1．關于向心加速度的物理意義，下列說法中正確的是()A．它描述的是線速度方向變化的快慢B．它描述的是線速度大小變化的快慢C．它描述的是角速度變化的快慢D．勻速圓周運動的向心加速度是恒定不變的解析向心加速度的方向和線速度的方向垂直，因此，它只描述線速度方向變化的快慢，對于勻速圓周運動，角速度是不變的，而向心加速度仍然存在，可見，向心加速度不是描述角速度變化的物理量，向心加速度的方向總是指向圓心，所以加速度方向時刻改變，故向心加速度不是恒定不變的。答案A2．下列關于向心加速度的說法中正確的是()A．向心加速度的方向始終與速度的方向垂直B．向心加速度的方向不變C．在勻速圓周運動中，向心加速度是恒定的D．在勻速圓周運動中，向心加速度的大小不斷變化解析向心加速度指圓心，而速度沿切線方向，故二者相互垂直，A項正確；而a的方向時刻變化，B、C錯；在勻速圓周運動中，a＝eq\f(v2,r)，a保持不變，D錯誤。答案A3．(2016·9月紹興適應性考試)如圖1所示，自行車的大齒輪、小齒輪、后輪的半徑之比為4∶1∶16，在用力蹬腳踏板前進的過程中，下列說法正確的是()圖1A．小齒輪和后輪的角速度大小之比為16∶1B．大齒輪和小齒輪的角速度大小之比為1∶4C．大齒輪邊緣和后輪邊緣的線速度大小之比為1∶4D．大齒輪和小齒輪輪緣的向心加速度大小之比為4∶1解析大齒輪與小齒輪通過鏈條傳動，兩輪沿處線速度大小相等，又因為v＝rω，所以二者角速度大小與半徑成反比，B正確；又a＝eq\f(v2,r)，D錯誤；小齒輪與后輪共軸轉動，角速度相等，A錯誤；因ω后＝ω小，所以eq\f(v后,r后)＝eq\f(v小,r小)，v?。絭大所以eq\f(v后,r后)＝eq\f(v大,r小)即eq\f(v大,v后)＝eq\f(r小,r后)＝eq\f(1,16)，C錯誤。答案B4．一小球被細線拴著做勻速圓周運動，若其軌道半徑為R，向心加速度為a，則()A．小球相對于圓心的位移不變B．小球的線速度為eq\r(Ra)C．小球在時間t內(nèi)通過的路程為eq\r(\f(a,Rt))D．小球做圓周運動的周期為2πeq\r(\f(a,R))解析位移是矢量，方向在改變，故A錯誤；由a＝eq\f(v2,R)，得v＝eq\r(aR)，B正確；由a＝ω2R得，ω＝eq\r(\f(a,R))，t內(nèi)路程s＝Rωt＝teq\r(Ra)，故C錯誤；由a＝eq\f(4π2,T2)R，得T＝2πeq\r(\f(R,a))，故D錯誤。答案B5．甲、乙兩個物體都做勻速圓周運動，轉動半徑之比為3∶4，在相同的時間里甲轉過60圈時，乙轉過45圈，則它們的向心加速度之比為()A．3∶4 B．4∶3 C．4∶9 D．9∶解析根據(jù)公式a＝ω2r及ω＝eq\f(2π,T)有eq\f(a甲,a乙)＝eq\f(r甲,r乙)·eq\f(T\o\al(2,乙),T\o\al(2,甲))。因為T甲＝eq\f(t,60)，T乙＝eq\f(t,45)，所以eq\f(a甲,a乙)＝eq\f(3,4)×eq\f(42,32)＝eq\f(4,3)，B項正確。答案B6．如圖2所示，質(zhì)量為m的木塊從半徑為R的半球形碗口下滑到碗的最低點的過程中，如果由于摩擦力的作用使木塊的速率不變，那么()圖2A．加速度為零B．加速度恒定C．加速度大小不變，方向時刻改變，但不一定指向圓心D．加速度大小不變，方向時刻指向圓心解析由題意知，木塊做勻速圓周運動，木塊的加速度大小不變，方向時刻指向圓心，D正確，A、B、C錯誤。答案D7．高速列車已經(jīng)成為世界上重要的交通工具之一，某高速列車時速可達360km/h。當該列車以恒定的速率在半徑為2000mA．乘客做圓周運動的加速度為5mB．乘客做圓周運動的加速度為0.5mC．列車進入彎道時做勻速運動D．乘客隨列車運動時的速度不變解析乘客隨列車以360km/h的速率沿半徑為2000m的圓周運動，向心加速度a＝eq\f(v2,r)＝eq\f(1002,2000)m/s2＝5m/s2，A正確，B錯誤；乘客隨列車運動時的速度大小不變，方向時刻變化，C、D錯誤。答案A8．(多選)如圖3所示為一皮帶傳動裝置，右輪的半徑為r，a是邊緣上的一點，左輪上的兩輪共用同一轉軸，大輪的半徑為4r，小輪的半徑為2r，b點在小輪上，到小輪中心的距離為r，c點和d點分別位于小輪和大輪的邊緣上，若在傳動過程中皮帶不打滑，則()圖3A．a(chǎn)點和b點的線速度大小相等B．a(chǎn)點和b點的角速度相等C．a(chǎn)點和c點的線速度大小相等D．a(chǎn)點和d點的向心加速度大小相等解析由題意可知，b、c、d是固定在同一轉軸的兩輪上的點，因此ωb＝ωc＝ωd，a、c為用皮帶連接的兩輪邊緣上的點，皮帶不打滑時有va＝vc，故選項C正確；由角速度與線速度的關系v＝ωr并結合題中所給各點的半徑，易得ωa＝2ωc＝2ωb＝2ωd及va＝2vb，由此排除A、B兩選項；由向心加速度an＝ω2r可推得ana＝and，則選項D正確。答案CD9．(多選)一小球質(zhì)量為m，用長為L的懸線(不可伸長，質(zhì)量不計)固定于O點，在O點正下方eq\f(L,2)處釘有一顆光滑的釘子。如圖4所示，將懸線沿水平方向拉直無初速度釋放后，當懸線碰到釘子后的瞬間，則()圖4A．小球的角速度突然增大B．小球的線速度突然減小到零C．小球的向心加速度突然增大D．小球的向心加速度不變解析由于懸線與釘子接觸時小球在水平方向上不受力，故小球的線速度不可能發(fā)生突變，由于做圓周運動的半徑變?yōu)樵瓉淼囊话?，由v＝ωr知，角速度變?yōu)樵瓉淼膬杀?，A正確，B錯誤；由an＝eq\f(v2,r)知，小球的向心加速度變?yōu)樵瓉淼膬杀?，C正確，D錯誤。答案AC10．如圖5所示，一轎車以30m/s的速率沿半徑為60m的圓形跑道行駛，當轎車從A運動到B時，圖5(1)此過程中轎車的位移大小；(2)此過程中轎