人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修三-6.3.2第1課時(shí)-二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)-同步練習(xí)1．在(1＋x)n(n∈N*)的展開式中，若只有x5的系數(shù)最大，則n的值為()A．8B．9C．10D．112．若(x＋3y)n展開式的各項(xiàng)系數(shù)和等于(7a＋b)10展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)之和，則n的值為()A．5B．8C．10D．153．(多選)已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,x)))n展開式中各項(xiàng)的系數(shù)之和為－512，則該展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)可以是()A．第4項(xiàng) B．第5項(xiàng)C．第6項(xiàng) D．第7項(xiàng)4．已知關(guān)于x的二項(xiàng)式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(a,\r(3,x))))n展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為32，常數(shù)項(xiàng)為80，則a的值為()A．1B．±1C．2D．±25．已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(2,x2)))n的展開式中，第3項(xiàng)的系數(shù)與倒數(shù)第3項(xiàng)的系數(shù)之比為eq\f(1,4)，則展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為()A．第3項(xiàng) B．第4項(xiàng)C．第5項(xiàng) D．第6項(xiàng)6．(多選)設(shè)(2x－1)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6＋a7x7，則下列結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)2＋a5＝588B．a(chǎn)1＋a2＋…＋a7＝1C．a(chǎn)1＋a3＋a5＋a7＝eq\f(1＋37,2)D．|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝37－17．若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x3)))n展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為32，則其展開式中的常數(shù)項(xiàng)是________．8．設(shè)(3x－2)6＝a0＋a1(2x－1)＋a2(2x－1)2＋…＋a6(2x－1)6，則eq\f(a1＋a3＋a5,a0＋a2＋a4＋a6)＝________.9．在二項(xiàng)式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)－\f(2,x)))n的展開式中，若第4項(xiàng)的系數(shù)與第7項(xiàng)的系數(shù)比為－1∶14，求：(1)二項(xiàng)展開式中的各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和；(2)二項(xiàng)展開式中的各項(xiàng)的系數(shù)之和．10.設(shè)(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，求：(1)a1＋a2＋a3＋a4；(2)(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2；(3)|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|.11．若(1－2x)2023＝a0＋a1x＋…＋a2023x2023(x∈R)，則eq\f(a1,2)＋eq\f(a2,22)＋…＋eq\f(a2023,22023)的值為()A．2B．0C．－2D．－112．(多選)若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,\r(x))))n的二項(xiàng)展開式共有8項(xiàng)，則該二項(xiàng)展開式()A．各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和為128B．項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的各項(xiàng)系數(shù)和為－64C．有理式項(xiàng)共有4項(xiàng)D．第4項(xiàng)與第5項(xiàng)系數(shù)相等且最大13.楊輝三角，又稱帕斯卡三角，是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列．在我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》(1261年)一書中用如圖所示的三角形解釋二項(xiàng)式乘方展開的系數(shù)規(guī)律．現(xiàn)把楊輝三角中的數(shù)從上到下，從左到右依次排列，得數(shù)列：1,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1，…，記作數(shù)列{an}．若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則S47等于()A．235B．512C．521D．103314．已知(2x－1)n二項(xiàng)展開式中，奇次項(xiàng)系數(shù)的和比偶次項(xiàng)系數(shù)的和小38，則Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝________.15．已知(1＋x)10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10，若數(shù)列a1，a2，a3，…，ak(1≤k≤11，k∈N*)是一個(gè)單調(diào)遞增數(shù)列，則k的最大值是()A．6B．7C．8D．516．楊輝三角是楊輝的一項(xiàng)重要研究成果，它的許多性質(zhì)與組合數(shù)的性質(zhì)有關(guān)，楊輝三角中蘊(yùn)藏了許多優(yōu)美的規(guī)律，如圖是一個(gè)11階楊輝三角：(1)求第20行中從左到右的第4個(gè)數(shù)；(2)在第2斜列中，前5個(gè)數(shù)依次為1,3,6,10,15，在第3斜列中，第5個(gè)數(shù)為35.顯然，1＋3＋6＋10＋15＝35.事實(shí)上，一般地有這樣的結(jié)論：第m－1斜列中(從右上到左下)前k個(gè)數(shù)之和，一定等于第m斜列中第k個(gè)數(shù)．試用含有m，k(m，k∈N*)的數(shù)字公式表示上述結(jié)論，并給予證明．參考答案與詳細(xì)解析1．C[由題意，得展開式共有11項(xiàng)，所以n＝10.]2．A[(7a＋b)10的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為210，令x＝1，y＝1，得(x＋3y)n展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為4n，則由題意知，4n＝210，解得n＝5.]3．BC[令x＝1，得各項(xiàng)的系數(shù)之和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,1)))n＝(－2)n＝－512，解得n＝9，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,x)))n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,x)))9，所以該展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大為Ceq\o\al(4,9)和Ceq\o\al(5,9)，故二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第5項(xiàng)和第6項(xiàng)．]4．C[由條件知2n＝32，即n＝5，在二項(xiàng)展開式通項(xiàng)Tk＋1＝Ceq\o\al(k,5)(eq\r(x))5－keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,\r(3,x))))k＝中，令15－5k＝0，得k＝3.所以Ceq\o\al(3,5)a3＝80，解得a＝2.]5．B[eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(2,x2)))n的展開式的通項(xiàng)為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)(eq\r(x))n－k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x2)))k＝，第3項(xiàng)為T3＝，其系數(shù)為Ceq\o\al(2,n)·22，倒數(shù)第3項(xiàng)為Tn－1＝，其系數(shù)為Ceq\o\al(n－2,n)·2n－2，由題意，eq\f(C\o\al(2,n)·22,C\o\al(n－2,n)·2n－2)＝24－n＝eq\f(1,4)＝2－2，所以n＝6，所以展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第4項(xiàng)．]6．ACD[因?yàn)?2x－1)7展開式的通項(xiàng)為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,7)(2x)7－k(－1)k＝Ceq\o\al(k,7)(－1)k27－kx7－k，又(2x－1)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6＋a7x7，所以a2＝Ceq\o\al(5,7)(－1)527－5＝－84，a5＝Ceq\o\al(2,7)(－1)227－2＝672，則a2＋a5＝588，故A正確；令x＝1，則(2－1)7＝a0＋a1＋a2＋…＋a6＋a7＝1，令x＝0，則(0－1)7＝a0＝－1；令x＝－1，則(－2－1)7＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝－37，故a1＋a2＋…＋a7＝1－a0＝2，故B錯(cuò)誤；a1＋a3＋a5＋a7＝eq\f(a0＋a1＋a2＋…＋a6＋a7,2)－eq\f(a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7,2)＝eq\f(1＋37,2)，故C正確；|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝a1－a2＋a3－a4＋a5－a6＋a7＝－(a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7)＋a0＝37－1，故D正確．]7．10解析令x＝1，得2n＝32，故n＝5.Tk＋1＝Ceq\o\al(k,5)(x2)5－keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x3)))k＝Ceq\o\al(k,5)x10－2k－3k＝Ceq\o\al(k,5)x10－5k，令10－5k＝0，得k＝2.故展開式中的常數(shù)項(xiàng)為T3＝Ceq\o\al(2,5)＝10.8．－eq\f(63,65)解析令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a6＝1；令x＝0，得a0－a1＋a2－…＋a6＝64，兩式相減得2(a1＋a3＋a5)＝－63，兩式相加得2(a0＋a2＋a4＋a6)＝65，故eq\f(a1＋a3＋a5,a0＋a2＋a4＋a6)＝－eq\f(63,65).9．解二項(xiàng)式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)－\f(2,x)))n的展開式的通項(xiàng)為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)(eq\r(x))n－keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,x)))k＝，∵Ceq\o\al(3,n)(－2)3∶Ceq\o\al(6,n)(－2)6＝－1∶14，∴n＝10.(1)Ceq\o\al(0,10)＋Ceq\o\al(1,10)＋…＋Ceq\o\al(10,10)＝210＝1024.(2)令x＝1，得各項(xiàng)系數(shù)之和為(－1)10＝1.10．解(1)在(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4中，令x＝1，得(2－3)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4，令x＝0，得(0－3)4＝a0，所以a1＋a2＋a3＋a4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4－a0＝1－81＝－80.(2)在(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4中，令x＝1，得(2－3)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4.①令x＝－1，得(－2－3)4＝a0－a1＋a2－a3＋a4.②所以(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(a0－a1＋a2－a3＋a4)(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)＝(－2－3)4(2－3)4＝(2＋3)4(2－3)4＝625.(3)由展開式知a0，a2，a4為正，a1，a3為負(fù)，由(2)中①＋②得2(a0＋a2＋a4)＝626，由(2)中①－②得2(a1＋a3)＝－624，所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＝－a1＋a2－a3＋a4＝(a0＋a2＋a4)－(a1＋a3)－a0＝313＋312－81＝544.11．D[(1－2x)2023＝a0＋a1x＋…＋a2023x2023，令x＝0，得a0＝1，令x＝eq\f(1,2)，得a0＋eq\f(a1,2)＋eq\f(a2,22)＋…＋eq\f(a2023,22023)＝0，所以eq\f(a1,2)＋eq\f(a2,22)＋…＋eq\f(a2023,22023)＝－1.]12．AC[eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,\r(x))))n的二項(xiàng)展開式共有8項(xiàng)，故n＝7，則二項(xiàng)式系數(shù)和為2n＝27＝128，故A正確；eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,\r(x))))7的展開式的通項(xiàng)為Tk＋1＝，故項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的各項(xiàng)系數(shù)和為Ceq\o\al(0,7)＋Ceq\o\al(2,7)＋Ceq\o\al(4,7)＋Ceq\o\al(6,7)＝64，故B錯(cuò)誤；根據(jù)Tk＋1＝，當(dāng)k取0,2,4,6時(shí)，Tk＋1＝為有理式項(xiàng)，共有4項(xiàng)，故C正確；T4＝，T5＝Ceq\o\al(4,7)x，第四項(xiàng)與第五項(xiàng)的系數(shù)互為相反數(shù)，故D錯(cuò)誤．]13．C[根據(jù)題意楊輝三角前9行共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45(項(xiàng))．故前47項(xiàng)的和為楊輝三角前9行的和再加第10行的前兩個(gè)數(shù)1和9，所以前47項(xiàng)的和S47＝20＋21＋22＋…＋28＋1＋9＝29－1＋10＝521.]14．255解析設(shè)(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且奇次項(xiàng)的系數(shù)和為A，偶次項(xiàng)的系數(shù)和為B.則A＝a1＋a3＋a5＋…，B＝a0＋a2＋a4＋a6＋….由已知，B－A＝38.令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋an(－1)n＝(－3)n，即(a0＋a2＋a4＋a6＋…)－(a1＋a3＋a5＋a7＋…)＝(－3)n，即B－A＝(－3)n.∴(－3)n＝38＝(－3)8，∴n＝8.由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，可得Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n－Ceq\o\al(0,n)＝28－1＝255.15．A[由二項(xiàng)式定理，知ak＝Ceq\o\al(k－1,10)(k＝1,2,3，…，11)，因?yàn)?1＋x)10的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第6項(xiàng)，所以k的最大值為6.]16．解(1)Ceq\o\al(