第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年上海師大附中高一（下）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共4小題，每小題4分，共16分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知△ABC中，sinA=35，cosB=513，則cosCA.1665或5665 B.1665 C.5665 2.在等差數(shù)列{an}中，其前n項(xiàng)和是Sn，若S15>0，S16<0，則在S1aA.S1a1 B.S8a83.已知△ABC是銳角三角形，下列結(jié)論一定不成立的是(

)A.sin(B+C)=sinA B.sinA+B2=cosC4.數(shù)列{an}滿足a1=1，kan+1+an+1an?an=0，k為常數(shù)，則下列說(shuō)法中：①數(shù)列{an}可能是常數(shù)列；A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)二、填空題：本題共12小題，共54分。5.我們?cè)谡Z(yǔ)文課上學(xué)過(guò)《勸學(xué)》，其中說(shuō)：“不積跬步，無(wú)以至千里；不積小流，無(wú)以成江海.”在“進(jìn)步率”和“退步率”都是1%的前提下，我們可以把(1+1%)365看作是經(jīng)過(guò)365天的“進(jìn)步值”，(1?1%)365看作是經(jīng)過(guò)365天的“退步值”，則大約經(jīng)過(guò)______天時(shí)，“進(jìn)步值”大約是“退步值”的100倍(參考數(shù)據(jù)：lg101≈2.0043，6.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若S2=37.滿足條件sinx=?32，x∈[0,2π)的角x8.設(shè)扇形的半徑長(zhǎng)為8cm，面積為4cm2，則扇形的圓心角的弧度數(shù)是______．9.已知sinα+cosβ=1，cosα+sinβ=0，則sin(α+β)=

．10.設(shè)無(wú)窮等比數(shù)列{an}的公比為q，若a1=a11.在△ABC中，A=60°，b=1，△ABC的面積為3，則a+b+csinA+sinB+sinC=12.定義在R上的函數(shù)f(x)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，若f(x)的最小正周期是π，且當(dāng)x∈[0,π2]時(shí)，f(x)=sinx，則f(5π13.函數(shù)f(x)=|sin(ωx+π3)|(ω>0)的部分圖象如圖所示，則ω=14.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2n2?12n，數(shù)列{|a15.在角θ1、θ2、θ3、…、θ30的終邊上分別有一點(diǎn)P1、P2、P3、…、P30，如果點(diǎn)Pk的坐標(biāo)為(sin16.設(shè)函數(shù)y=sin(2x+φ)(0<φ<π2)的圖像與直線y=t相交的連續(xù)的三個(gè)公共點(diǎn)從左到右依次記為A，B，C，若|BC|=2|AB|三、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。17.(本小題12分)

在△ABC中，設(shè)角A、B及C所對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別為a、b及c.已知3c=3bcosA+asinB．

(1)求角B的大小；

(2)當(dāng)a=218.(本小題12分)

設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且2an?Sn?3=0．

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列{19.(本小題12分)

如圖，有一條寬為60m的筆直的河道(假設(shè)河道足夠長(zhǎng))，規(guī)劃在河道內(nèi)圍出一塊直角三角形區(qū)域(圖中△ABC)養(yǎng)殖觀賞魚，AB⊥AC，頂點(diǎn)A到河兩岸的距離AE=?1，AD=?2，C，B兩點(diǎn)分別在兩岸l1，l2上，設(shè)∠ABD=α．

(1)若α=30°，求養(yǎng)殖區(qū)域面積的最大值；

(2)現(xiàn)擬沿著養(yǎng)殖區(qū)域△ABC三邊搭建觀賞長(zhǎng)廊(寬度忽略不計(jì))，若20.(本小題12分)

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，任意角α，β的終邊交單位圓(圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)O)于A，B兩點(diǎn)．

(1)若α，β為銳角，且|AB|=255，求cos(β?α)的值；

(2)若角α為銳角，且終邊繞原點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)π6后，終邊交單位圓于P(?13,y)，求sinα的值；

(3)若A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為正數(shù)21.(本小題12分)

若函數(shù)f(x)平移?(?≠0)個(gè)單位后可以成為偶函數(shù)，則稱f(x)為“平移偶函數(shù)”．

(1)求證：所有對(duì)稱軸不為y軸的拋物線均為“平移偶函數(shù)”；

(2)若f(x)=sinx,sinx≥cosxcosx,sinx<cosx為“平移偶函數(shù)”，求：|?|的最小值；

(3)若f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，求：f(2024?)．參考答案1.B

2.B

3.C

4.D

5.230

6.63

7.{5π8.189.?110.511.212.313.3214.5

15.216.1217.解：(1)由正弦定理得3sinC=3sinBcosA+sinAsinB，

由于C=π?(A+B)，

則3sin(A+B)=3sinBcosA+sinAsinB，

展開得3sinAcosB+3sinBcosA=3sinBcosA+sinAsinB，即3sinAcosB=sinAsinB，

因?yàn)閟inA≠0，

化簡(jiǎn)得3cosB=sinB，

則tanB=3，

又0<B<π，

所以B=π3；

(2)由正弦定理，得18.解：(1)當(dāng)n=1時(shí)，2a1?S1?3=0，可得a1=3，

當(dāng)n≥2時(shí)，Sn=2an?3Sn?1=2an?1?3，

兩式相減可得an=2an?2an?1，即an=2an?1(n≥2)，

∴{an}是首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列，

∴an=3×2n?1；

(2)由(1)可得bn+1?bn=an=3×2n?1，

所以bn?bn?1=3×2n?219.解：(1)α=30°時(shí)，AB=?2sinα=2?2,AC=?1cosα=23?1，

所以S△ABC=12AB?AC=23?1?2，

又因?yàn)?1+?2=60≥2?1?2(當(dāng)且僅當(dāng)?1=?2時(shí)等號(hào)成立)，

所以?1?2≤900，

于是20.解：(1)由題意知A(cosα,sinα)，B(cosβ,sinβ)，

∵|AB|=255，∴(cosα?cosβ)2+(sinα?sinβ)=255，

∴cos2α+cos2β?2cosαcosβ+sin2α+sin2β?2sinαsinβ=45，

∴2?2cos(β?α)=45，∴cos(β?α)=35．

(2)由角α為銳角，且終邊繞原點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)π6后，終邊交單位圓于P(?13,y)，

∴y>0，且OP2=19+y2=1，y=223，

∴sin(α+π6)=y=223，cos(α+π6)=?13，

∴sinα=sin21.解：(1)證明：根據(jù)題意，對(duì)于二次函數(shù)y=ax2+bx+c，

有y=ax2+bx+c=a(x+b2a)2+4ac?b24a，其對(duì)稱軸為x=?b2a，

若其對(duì)稱軸不為y軸，則b≠0，則該函數(shù)向左或向右平移|b2a|個(gè)單位成為偶函數(shù)，

故所有對(duì)稱軸不為y軸的拋物線均為“平移偶函數(shù)”．

(2)由正余弦函數(shù)的單調(diào)性可得，在[0,2π]內(nèi)，當(dāng)π4≤x≤5π4時(shí)，sinx≥cosx，

又f(x)=sinx,sinx≥cosx