沅澧共同體屆高三年級2月聯(lián)考（試題卷）數(shù)學時量：分鐘滿分：分85分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調性解出集合，再解出集合，最后根據(jù)交集含義即可得到答案.【詳解】，，則.故選：B.2.命題“”的否定是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】含有一個量詞的命題的否定，需要“改量詞，否結論”.【詳解】因為全稱量詞命題的否定為存在量詞命題，所以命題“”的否定是“”.故選：A.3.已知，則（）第1頁/共19頁A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先求出，然后結合，利用正弦余弦齊次式弦化切，再代入求解即可.【詳解】由得，解得，則.故選：D.4.已知為拋物線的焦點，點在上，且，則點到軸的距離為（）A.2B.3C.D.4【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用拋物線的定義求解即得.【詳解】拋物線的準線為，設點，則，解得，所以點到軸的距離為4.故選：D5.空間中有兩個不同的平面和兩條不同的直線，則下列命題為真命題的是（）A.若，則B若，則C.若，則D.若，且，則【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間直線、平面間的位置關系判斷．【詳解】選項A，第2頁/共19頁若，則與可以相交，也可以平行，不一定垂直，A錯；選項B的方向向量分別是平面它們的法向量垂直，則，B正確；選項C，若，則可能有，也可能相交，C錯；選項D，若，且，則或，D錯．故選：B．6.的展開式中的常數(shù)項為（）A.8B.2C.D.【答案】C【解析】【分析】可變形為，結合二項式的展開式的通項公式求結論.【詳解】因為，二項式的展開式的通項公式為，，所以展開式的常數(shù)項為.故選:C.7.已知是等比數(shù)列的前n項和，則“依次成等差數(shù)列”是“依次成等差數(shù)列”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件【答案】B【解析】【分析】設等比數(shù)列的公比為，分別考慮充分性和必要性是否滿足即得結論.第3頁/共19頁【詳解】設等比數(shù)列的公比為，由依次成等差數(shù)列可得，即，因，可得，解得或.當時，，不滿足，故充分性不成立；由依次成等差數(shù)列，可得，顯然，故有或，當時，，即依次成等差數(shù)列；當時，，而，故得，即依次成等差數(shù)列.故必要性成立.依次成等差數(shù)列”是“依次成等差數(shù)列”的必要不充分條件.故選：B.8.設函數(shù)的定義域為R，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當時，.則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題目條件得到，的一個周期為4，從而.第4頁/共19頁【詳解】為奇函數(shù)，故，又為偶函數(shù)，故，中，令代替得，結合得，即，又，故，的一個周期為4，又時，，且，則，則，則，，則時，，故.故選：B【點睛】結論點睛：設函數(shù)，，，．（1）若，則函數(shù)的周期為2a；（2）若，則函數(shù)的周期為2a；（3）若，則函數(shù)的周期為2a；36分在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)，若將的圖象向右平移個單位后，再把所得曲線上所有點的橫坐標伸長為原來的2的圖象，則下列說法正確的是（）A.第5頁/共19頁B.圖象關于點對稱C.的圖象關于直線對稱D.的圖象與的圖象在內有4個交點【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)圖象的變換可得，即可代入驗證求解ABC，作出兩個函數(shù)的圖象即可求解D.【詳解】的圖象向右平移個單位后，可得，進而可得，故A錯誤，對于B，，故B正確，對于C，，故不是的對稱軸，故C錯誤，對于D，分別作出與在內的圖象，可知有4個交點，故D正確，故選：BD10.下列命題中，正確的命題是（）A.若,若，則B.設為隨機事件，且，若，則與相互獨立C.設隨機變量服從正態(tài)分布，若，則第6頁/共19頁D.若，當時，取得最大值【答案】ABC【解析】【分析】A由二項分布期望結論可得答案；.B由條件概率定義可得答案；C由正態(tài)分布概念可得答案；D由二項分布方差結論可得答案.【詳解】對于A，由題可得，故A正確；對于B，因，則A的發(fā)生對B的發(fā)生沒有影響，故A與相互獨立，故B正確；對于C，因，則，故C正確；對于D，時，D錯誤.故選：ABC雙紐線最早于1694年被瑞士數(shù)學家雅各布?伯努利用來描述他發(fā)現(xiàn)的曲線.在平面直角坐標系xOy中，把到定點的距離之積等于的點的軌跡稱為雙紐線.已知點是時的雙紐線上一點，則（）A.關于原點成中心對稱B.上滿足的點有2個C.面積的最大值為D.當直線與有3個交點時，的取值范圍是【答案】ACD【解析】A關于原點對稱的點B，易得若|則在軸上再根據(jù)的軌跡方程求解即可；對于C，由三角形得面積公式求解判斷即可；對于D，聯(lián)立方程組，由判別式分析求解即可.【詳解】對于A，設動點，由題可得的軌跡方程，第7頁/共19頁把關于原點對稱的點代入軌跡方程顯然成立，故A正確；對于B，時的雙紐線的方程為，若，則在的中垂線軸上，故此時，代入得，即，所以只有一個點，故B錯誤；對于C，因為，是上的一點，故，當，即時等號成立，下面說明垂直時可取到，，則，代入，得，解得，故C正確；對于D，直線與有3個交點時，聯(lián)立與，得，當時，適合上述方程，當時，，即，則，則，所以直線與有3個交點時，的取值范圍是，故D正確；故選：ACD.【點睛】關鍵點點睛：本題D選項的關鍵是利用方程的思想，轉化為方程根的問題即可.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分.12.復數(shù)的虛部為_______.【答案】##【解析】第8頁/共19頁【分析】利用復數(shù)的除法算計即可得解.【詳解】依題意，，所以所求虛部為.故答案為：13.已知雙曲線漸近線與x軸的夾角為________.【答案】2【解析】【分析】根據(jù)題意可得，再由即可得解.【詳解】根據(jù)漸近線的傾斜角為，可得，所以，故答案為：2.14.高中數(shù)學必修一教材第87圖象關于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù).的圖象關于點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù).若函數(shù)的圖象關于點成中心對稱圖形，則實數(shù)t的值為______，若，則實數(shù)m的取值范圍是______.【答案】①.1②.【解析】【分析】根據(jù)為奇函數(shù)，利用奇偶性的定義以及對數(shù)的運算求出，判斷單調遞增，將原不等式化為，進而第9頁/共19頁可得答案.【詳解】由函數(shù)的圖象關于點成中心對稱，得為奇函數(shù)，，，則，所以，所以，那么，又，所以.故函數(shù)，因為在上都是遞增函數(shù)，所以在上是遞增函數(shù)，又因為是奇函數(shù)，且是連續(xù)函數(shù)，所以函數(shù)在上單調遞增，要使，只需，解得或，故m的取值范圍是.故答案為：1；.【點睛】將奇偶性與單調性綜合考查一直是命題的熱點，解這種題型往往是根據(jù)函數(shù)在所給區(qū)間上的單調性，根據(jù)奇偶性判斷出函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調性(偶函數(shù)在對稱區(qū)間上單調性相反，奇函數(shù)在對稱區(qū)間單調性相同)，然后再根據(jù)單調性列不等式求解.四、解答題：本題共5小題，共分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第10頁/共19頁15.在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.（1）求角C的大小；（2）延長BC到D，使得，且，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】1）結合已知利用正弦定理得，然后利用余弦定理求得，再根據(jù)角的范圍即可求解.（2）根據(jù)題目條件及同角三角函數(shù)關系得，再求得，再結合（1）中，從而求出，最后代入三角形面積公式求解即可.【小問1詳解】因為，由正弦定理得.所以設，，則，，由余弦定理得，又，所以.【小問2詳解】，解得，結合，則，由（1）知，則，則，因為由（1）知，則，則.第11頁/共19頁16.如圖1中，，，，.將沿折疊至處，使平面平面（如圖2為中點，為的中點，是靠近點的四等分點.（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】1）證明出平面，再利用面面垂直的判定定理可證得結論成立；（2）取的中點，連接，可得出平面，以點為坐標原點，分別以、、為軸、軸、軸建立空間直角坐標系與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】因為，點為的中點，所以，因為平面平面ABD，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以.因為，，所以是等邊三角形，所以，第12頁/共19頁所以，所以，即，又平面，平面，，所以平面，又平面，所以平面平面.【小問2詳解】取的中點，連接，則，又因為平面，則平面，因為，以點為坐標原點，分別以、、為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，則、，、、、，所以，，.設平面的一個法向量為，則，令，得，，所以，設直線與平面所成角為，則，故直線與平面所成角的正弦值為.17.已知點在橢圓上，與橢圓的上，下頂點的連線的斜率之第13頁/共19頁積為．（1）求橢圓的離心率；（2與橢圓相交于、的面積為（的標準方程．【答案】（1）（2）．【解析】1）由題意推理可得，利用點在橢圓上，代入消元后可得，結合即可求得離心率；（2）設、，由直線與橢圓方程聯(lián)立，寫出韋達定理，求出弦長和點到直線的距離，由三角形面積列出方程，求出參數(shù)值即得橢圓方程.【小問1詳解】因橢圓上、下頂點的坐標分別為、，依題意，整理得（*因點在橢圓上，則，即，代入（*，又，所以，則橢圓的離心率；【小問2詳解】第14頁/共19頁如圖，設、，由（1）已得，則由，消去并整理得，此時，解得，由韋達定理得，，所以，又原點到直線的距離，所以的面積，解得，故橢圓的方程為．18.某城市一室內游泳館，為給顧客更好的體驗，推出了A和B兩個套餐服務，顧客可自由選擇A和B兩個套餐之一；該游泳館在App平臺上推出了優(yōu)惠券活動，下表是App平臺統(tǒng)計某周內周一至周五銷售優(yōu)惠券情況.星期t12345銷售量（張218224230232236）經(jīng)計算可得：，，.第15頁/共19頁（1）已知y關于t的經(jīng)驗回歸方程為，求y關于t的經(jīng)驗回歸方程；（2）若購買優(yōu)惠券的顧客選擇A套餐的概率為，選擇B套餐的概率為，并且A套餐包含兩張優(yōu)惠券，B套餐包含一張優(yōu)惠券，記App平臺累計銷售優(yōu)惠券為n張的概率為.①求、及；②判斷，，是否為定值，并求及的最值.參考公式：，.【答案】（1）；（2）①，，；②是定值1，，的最大值為，最小值為.【解析】1）將相關數(shù)據(jù)代入和的公式，即可得經(jīng)驗回歸方程；（2，利用等比數(shù)列的通項公式求解即可.【小問1詳解】由題意，，則，.所以關于的經(jīng)驗回歸方程為.【小問2詳解】①由題意，可知，第16頁/共19頁，，②當時，，即，又，所以當時，數(shù)列為各項都為1的常數(shù)列，即，所以，又，所以數(shù)列為首項為公比為的等比數(shù)列，所以，即.當為偶數(shù)時，，且隨的增大而減小，因此的最大值為；當為奇數(shù)時，，且隨的增大而增大，因此的最小值為，綜上所述，的最大值為，最小值為.【點睛】關鍵點點睛：本題第二問第二小問的關鍵是構造等比數(shù)列，從而求得.19.已知函數(shù)，，.（1）若，求實數(shù)m的取值范圍；（2）設函數(shù)，且，是的兩個零點.（i）求a的取值范圍；第17頁/共19頁（ii）證明：.【答案】（1）；（2i）ii）證明見解析.【解析】1）應用導數(shù)求的最小值，根據(jù)不等式恒成立及一元二次不等式的解法求參數(shù)范圍；（2在上有兩個根，應用導數(shù)研究方程右側的區(qū)間單調性、值域，即可得參數(shù)范圍；（ⅰi）對于有，則，再應用分析法化為證明，即可證結論.【小問1詳解】函數(shù)的定義域為，，易知在上單調遞增，且，當時，，當時，，所以當時，該函數(shù)取得極小值，也為最小值，所以，解得，所以實數(shù)m的取值范圍為.【小問2