敘永一中2025年春期2024級“開學(xué)考試”數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計(jì)40分.每小題給出的備選答案中，只有一個(gè)是符合題意的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出集合元素的范圍，再結(jié)合交集運(yùn)算得到結(jié)果.【詳解】，又，所以.故選：B.2.“”是“”的（）A.必要且不充分條件 B.充分且不必要條件 C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)充分、必要條件的定義計(jì)算即可.【詳解】顯然由不能推出，此時(shí)可以為0，即不滿足充分性；而可以推出，滿足必要性.故選：A3.下列各組函數(shù)中，表示同一個(gè)函數(shù)的是（）A.與 B.與（且）C.與 D.與【答案】B【解析】【分析】分析各個(gè)選項(xiàng)中每組函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系，若定義域和對應(yīng)關(guān)系均相同則為同一個(gè)函數(shù)，由此判斷出正確選項(xiàng).【詳解】A．的定義域?yàn)椋亩x域?yàn)?，所以不是同一個(gè)函數(shù)；B．與的定義域均為，且即為，所以是同一個(gè)函數(shù)；C．的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)?，所以不是同一個(gè)函數(shù)；D．的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)?，所以不是同一個(gè)函數(shù)，故選：B.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：同一函數(shù)的判斷步驟：（1）先判斷函數(shù)定義域，若定義域不相同，則不是同一函數(shù)；若定義域相同，再判斷對應(yīng)關(guān)系；（2）若對應(yīng)關(guān)系不相同，則不是同一函數(shù)；若對應(yīng)關(guān)系相同，則是同一函數(shù).4.命題“，”的否定為（）A， B.，C， D.，【答案】B【解析】【分析】利用含有量詞的命題的否定方法：先改變量詞，然后再否定結(jié)論，判斷即可.【詳解】解：由含有量詞的命題的否定方法：先改變量詞，然后再否定結(jié)論可得，命題“”的否定為：.故選：B.5.下列函數(shù)中最小正周期為且是奇函數(shù)的為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)，正切函數(shù)的奇偶性以及周期公式逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對于A，的最小正周期，故A錯(cuò)誤；對于B，為非奇非偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對于C，為奇函數(shù)，且最小正周期為，故C正確；對于D，為偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：C.6.生物豐富度指數(shù)是河流水質(zhì)的一個(gè)評價(jià)指標(biāo)，其中，分別表示河流中的生物種類數(shù)與生物個(gè)體總數(shù).生物豐富度指數(shù)越大，水質(zhì)越好.如果某河流治理前后的生物種類數(shù)沒有變化，生物個(gè)體總數(shù)由變?yōu)椋镓S富度指數(shù)由2提高到3，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】把已知代入豐富度指數(shù)公式，然后兩式消去后，由對數(shù)運(yùn)算可得結(jié)論．【詳解】由已知，，所以，即，∴，故選：D．7.已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（）A.6 B.8 C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意得到，進(jìn)而化簡，然后用基本不等式求得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”.故選：B.8.已知是定義在上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，設(shè)，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，由奇函數(shù)的性質(zhì)可得在上為減函數(shù)，比較的大小，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析可得答案.【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，則在上也是減函數(shù)，則在上為減函數(shù)，.所以，所以.故選：C二、選擇題：本大題共小3題，每小題6分，滿分18分.每小題給出的備選答案中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，選錯(cuò)或不選的得0分.9.下面說法正確的有（）A.化成弧度是B.終邊在直線上角的取值集合可表示為C.D.若角為第四象限角，則，【答案】AD【解析】【分析】化度為弧度判斷A；求出角的集合表示判斷B；求出正弦值判斷C；確定正余弦值的符號(hào)判斷D.【詳解】對于A，，A正確；對于B，終邊在直線上的角的取值集合可表示為，B錯(cuò)誤；對于C，，C錯(cuò)誤；對于D，角為第四象限角，則，，D正確.故選：AD10.若，則（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用不等式的性質(zhì)、結(jié)合基本不等式逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對于A，由，得，A正確；對于B，由，得，B錯(cuò)誤；對于C，由，得，則，，C正確；對于D，由，得，則，D錯(cuò)誤.故選：AC11.函數(shù)滿足：.已知當(dāng)時(shí)，，則（）A. B.為周期函數(shù)C.為偶函數(shù) D.方程恰有3個(gè)解【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)周期、偶函數(shù)的定義，結(jié)合賦值法，數(shù)形結(jié)合思想逐一判斷即可.【詳解】A：在中，令中，有，所以本選項(xiàng)不正確；B：由，所以由，所以是周期為的周期函數(shù)，因此本選項(xiàng)正確；C：時(shí)，，而，顯然當(dāng)時(shí)，函數(shù)偶函數(shù)，又因?yàn)楹瘮?shù)的周期為，所以函數(shù)是實(shí)數(shù)集上的偶函數(shù)，因此本選項(xiàng)正確；D：因?yàn)楹瘮?shù)的周期為，且為偶函數(shù)，所以函數(shù)圖象如下圖所示：由數(shù)形結(jié)合思想可知：函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，因此方程恰有3個(gè)解，所以本選項(xiàng)正確，故選：BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是判斷函數(shù)的奇偶性和周期性，運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想判斷方程解的個(gè)數(shù)問題.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知冪函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，則_________．【答案】【解析】【分析】利用冪函數(shù)的定義和性質(zhì)可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式與不等式，即可得出實(shí)數(shù)的值.【詳解】因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖象過原點(diǎn)，則，解得.故答案為：.13若，且，則______．【答案】6【解析】【分析】根據(jù)指對互化，結(jié)合換底公式即可求解.【詳解】由可得，故，由于，故，故答案為：614.若函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則常數(shù)a的取值范圍為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在定理即可得到答案.【詳解】因?yàn)樵谏暇鶠樵龊瘮?shù)，則函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，且函數(shù)圖象連續(xù)不間斷，故若在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則，可得．故答案為：.四、解答題：本題共5小題，滿分77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知集合，，．（1）求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)交集運(yùn)算求解；（2）根據(jù)子集關(guān)系列式運(yùn)算得解.【小問1詳解】，．【小問2詳解】因?yàn)槌闪?，．由得，解?所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.16.已知不等式的解集為．（1）求，的值；（2）若不等式對于均成立，求實(shí)數(shù)取值范圍．【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）依題意可得和是關(guān)于的方程的兩根，利用韋達(dá)定理得到方程組，解得即可；（2）依題意可得不等式對于均成立，分與兩種情況討論，分別計(jì)算可得.【小問1詳解】因?yàn)椴坏仁降慕饧癁椋院褪顷P(guān)于的方程的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系知，，解得，；【小問2詳解】由（1）知，不等式對于均成立，當(dāng)時(shí)，不等式為恒成立，當(dāng)時(shí)，應(yīng)滿足，解得綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是．17.已知.（1）化簡；（2）若是第三象限的角，且，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式化角,約分化簡即可；（2）由誘導(dǎo)公式得，根據(jù)同角三角函數(shù)平方關(guān)系及角的范圍得,代入數(shù)值得.【小問1詳解】；【小問2詳解】因?yàn)?，所以，又是第三象限的角，所以，?18.某公司的股票在交易市場過去的一個(gè)月內(nèi)（以30天計(jì)），第天每股的交易價(jià)格滿足函數(shù)關(guān)系（單位：元），第天的日交易量（萬股）的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表，給出以下四個(gè)函數(shù)模型：①；②；③；④.10152025305055605550（1）請你根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，從中選擇你認(rèn)為最合適的一種函數(shù)模型來描述該股票日交易量（萬股）與時(shí)間第天的函數(shù)關(guān)系（簡要說明理由），并求出該函數(shù)的關(guān)系式；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，求出該股票在過去一個(gè)月內(nèi)第天的日交易額的函數(shù)關(guān)系式，并求其最小值.【答案】（1）選擇模型②，（2），441（萬元）【解析】【分析】（1）股票價(jià)格不可能是單調(diào)的得出選擇模型②，代入具體值求出函數(shù)解析式；（2）首先寫出的解析式，然后再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和基本不等式求出最值.【小問1詳解】由表格數(shù)據(jù)知，當(dāng)時(shí)間變換時(shí)，先增后減，而①③④都是單調(diào)函數(shù)所以選擇模型②，由，可得，解得，由，解得，所以與時(shí)間的變化的關(guān)系式為.【小問2詳解】由（1）知：所以.當(dāng)時(shí)，由基本不等式，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，所以函數(shù)的最小值為，綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值441（萬元）.19.經(jīng)研究，函數(shù)為奇函數(shù)的充要條件是函數(shù)圖象的對稱中心為點(diǎn)，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，由得函數(shù)關(guān)于點(diǎn)成中心對稱圖形的充要條件是．（1）已知函數(shù)，且，求的值；（2）證明函數(shù)圖象的對稱中心為；（3）已知函數(shù)，求的值．【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）【解析】【分析】（1）由知，，根據(jù)易求的值；（2）根據(jù)題意，要證函數(shù)圖象的對稱中心為