專題七二次函數(shù)綜合題1.如圖,二次函數(shù)y=12x2(1)求該二次函數(shù)的解析式.(2)P是拋物線在第四象限上的任意一點,當△BCP的面積最大時,BC邊上的高PN的值為.2.(2024·泉州模擬)已知拋物線y=ax2+bx-2過點(2,-3),與x軸交于點A,B(點A在點B的左邊),與y軸交于點C,且對于該二次函數(shù)圖象上的任意不同兩點M(x1,y1),N(x2,y2)都滿足:當x1<x2<32時,(x1-x2)(y1-y2)<0;當32<x1<x2時,x1-x(1)求拋物線的解析式.(2)若P是拋物線對稱軸上一點,且∠BPC=90°,求點P的坐標.(3)若Q是拋物線上一點,且在直線BC的下方,連接AQ交BC于點D,過點Q作QE∥AC交BC于點E.記△QDE,△ACD的面積分別為S1,S2,判斷S13.(2024·廈門二模)已知頂點為D的拋物線y=ax2+c過(2,-3)和(0,-2).(1)求拋物線的函數(shù)表達式.(2)直線AB:y=kx-4(k<0)交拋物線于點A和點B(點A在點B的左邊),交y軸于點C.直線AD交x軸于點P.①若△POD的面積是△ADC面積的2倍,求k的值;②連接BP,過點B作BQ⊥AP,交y軸于點Q,用等式表示CQ和BP的數(shù)量關系,并證明.4.如圖,已知直線l:y=kx+4與拋物線y=ax2+bx+2(a≠0)交于點A,B(1,3),且點A在x軸上,P是y軸上一動點,連接PA,PB.(1)求k,a,b的值.(2)當PA+PB取最小值時,求點P的坐標.(3)若直線x=m交直線l于點C(點C在線段AB上,不與端點重合),交拋物線y=ax2+bx+2于點D.設W=OC2+CD,求W關于m的函數(shù)關系式,并求出W的最小值.參考答案1.解析:(1)把(-1,0)和(0,-3)代入得12-b+c=0,∴二次函數(shù)的解析式為y=12x2-5(2)95提示:令y=0,則0=12x2-52x-3,解得x1=-1,x∴點B的坐標為(6,0),∴BC=OB2+OC2設直線BC的解析式為y=mx+n,代入得n=?3,6m+n=0,解得∴直線BC的解析式為y=12如圖,過點P作PD⊥x軸交BC于點D,設點P的坐標為x,12∴PD=12x-3-12x2-∴S△PBC=12PD·OB=12×6-12x2+3x∴S△PBC的最大值為272∴PN=2S△PBCBC=2.解析:(1)∵當x1<x2<32時,(x1-x2)(y1-y2)<0;當32<x1<x2時,(x1-x2)(y1-y∴在y=ax2+bx-2中,當x<32時,y隨x增大而減小,當x>3∴拋物線y=ax2+bx-2的對稱軸為直線x=32∴-b2a=3∵拋物線y=ax2+bx-2過(2,-3),∴4a+2b-2=-3,②由①②解得a=∴拋物線的解析式為y=12x2-3(2)在y=12x2-32x-2中,令y=0,得0=12x2解得x=-1或x=4,∴A(-1,0),B(4,0).在y=12x2-3∴C(0,-2).設P32∵∠BPC=90°,∴BP2+CP2=BC2,∴4?322+t2+322+(t+2)2解得t=19-22或t=∴點P的坐標為32,19(3)S1如圖,過點Q作QK∥y軸交BC于點K,過點A作AT∥y軸交BC的延長線于點T.設Qm,由B(4,0),C(0,-2)得直線BC的解析式為y=12∴Km,∴KQ=12m-2-12m2-在y=12x-2中,令x=-1得y=-5∴T-1,-5∴AT=52∵AT∥y軸∥KQ,∴△QDK∽△ADT,∴DQAD=KQAT=-1∵QE∥AC,∴△QED∽△ACD,∴S1S2=DQ∵-m2+4m5=-15∴當m=2時,-m2+4m∵點Q在直線BC的下方,即0<m<4,∴0<-m2+4m∴當Q(2,-3)時,S1S2∴S1S23.解析:(1)∵拋物線過(0,-2),∴c=-2,∴y=ax2-2.又∵拋物線過(2,-3),∴4a-2=-3,a=-14∴y=-14x2(2)①由題得D(0,-2),C(0,-4),∴CD=OD=2.如圖1,作AM⊥y軸于點M.∵△POD的面積是△ADC面積的2倍,∴OP=2AM.∵∠AMD=∠POD=90°,∠ADM=∠PDO,∴△ADM∽△PDO,∴AMOP=DMDO,即12∴DM=1,∴OM=1+2=3,∴yA=yM=-3,∴-14xA∴A(-2,-3),∴-2k-4=-3,∴k=-12②由y=?14x2-2,y=kx-4,∴xA·xB=-8,∴xB=-8x∵△ADM∽△PDO,∴AMOP=DM∴-xAOP解得OP=-8x∴P-8∴xP=xB,∴BP∥y軸,∴BP=0--14x如圖2,作BN⊥y軸于點N.∵BQ⊥AP,∠POD=90°,∴∠BQN+∠PDO=∠OPD+∠PDO=90°,∴∠BQN=∠OPD.∴tan∠BQN=tan∠OPD.∵tan∠OPD=DOPO=2xPtan∠BQN=BNQN=xByQ-∴2xB=∴yQ=14∴CQ=14xB∴BP=CQ.4.解析:(1)由題意知點B(1,3)在直線l上,∴k+4=3,∴k=-1,∴直線l的表達式為y=-x+4.對于y=-x+4,令y=0,則x=4,∴點A的坐標為(4,0).將A(4,0),B(1,3)分別代入y=ax2+bx+2,得16a+4b+2=0,解得a=?(2)設點B關于y軸的對稱點為點B',則點B'的坐標為(-1,3).連接AB',則AB'與y軸的交點即為PA+PB取得最小值時點P的位置,易求得直線AB'的表達式為y=-35x+12對于y=-35x+125,當x=0時,y=故當PA+PB取得最小值時點P的坐標是0,125.(3)由(1)知二次函數(shù)的關系式為y=-12x2+3根據(jù)題意可得C(m,-m+4),D(m,-12m2+3∴OC2=m2+(-m+4)2=2m2-8m+16.∵點C在線段AB上(