微專題27正方形

考點(diǎn)精講

構(gòu)建知識(shí)體系

考點(diǎn)梳理

1.正方形的性質(zhì)與判定(6年8考)

(1)定義：有一組鄰邊相等，并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形

(2)正方形的性質(zhì)

邊四條邊都相等，對(duì)邊平行

角四個(gè)角都是直角

對(duì)角線相等且互相①；

對(duì)角線

每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角

既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，有4條對(duì)稱軸，對(duì)

對(duì)稱性

稱中心是兩條②的交點(diǎn)

(3)正方形的判定

有一組鄰邊相等，并且有一個(gè)角是③的平行四邊形是正方形(定

邊義)；

有一組鄰邊④的矩形是正方形

角有一個(gè)角是⑤的菱形是正方形

對(duì)角線對(duì)角線⑥的矩形是正方形；

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對(duì)角線⑦的菱形是正方形；

對(duì)角線互相⑧的四邊形是正方形

2.正方形面積

面積計(jì)算公式：S＝a2＝l2(a表示邊長，l表示對(duì)角線長)

1

3.平行四邊形與四邊形2、特殊四邊形之間的關(guān)系

4.中點(diǎn)四邊形

概念依次連接任意一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形

任意四對(duì)角線相等的對(duì)角線垂直的對(duì)角線垂直且

原圖形矩形菱形正方形

邊形四邊形四邊形相等的四邊形

中點(diǎn)四平行四

菱形矩形正方形菱形矩形正方形

邊形形狀邊形

【溫馨提示】連接任意四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形面積是原圖形面積的一半

練考點(diǎn)

1.如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，且BD＝4，E是

對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連接BE.2

第1題圖

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(1)∠ACB的度數(shù)為；

(2)AO的長為；

(3)正方形ABCD的周長為，面積為；

(4)若∠ABE＝15°，則BE的長為.

2.下列說法中，正確的是()

A.有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形

B.對(duì)角線相等的四邊形是矩形

C.對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形

D.一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形

3.如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是四邊形ABCD四條邊的中點(diǎn)，則四邊形EFGH一

定是.(填“平行四邊形”“矩形”“菱形”或“正方形”)

第3題圖

高頻考點(diǎn)

考點(diǎn)1與正方形有關(guān)的證明及計(jì)算(6年8考)

例1已知四邊形ABCD為正方形，邊長為4，點(diǎn)M為BD上一點(diǎn)，連接AM.

(1)如圖①，過點(diǎn)M分別作AB，BC的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，求證：四邊形

BEMF是正方形；

例1題圖①

(2)如圖②，若BM＝3DM，求AM的長；

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例1題圖②

(3)如圖③，連接AC交BD于點(diǎn)O，若AM平分∠DAC，延長AM交CD于點(diǎn)N，

求的值；

??

??

例1題圖③

(4)如圖④，過點(diǎn)B作BE⊥AM于點(diǎn)E，分別延長BE，AM交AD于點(diǎn)F，交CD

于點(diǎn)N，連接DE，若N是CD的中點(diǎn)，求∠DEN的度數(shù).

例1題圖④

考點(diǎn)2中點(diǎn)四邊形

例2如圖，在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是邊AB，BC，CD，DA的

中點(diǎn).請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使四邊形EFGH為菱形，應(yīng)添加的條件是()

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例2題圖

A.AB＝CDB.AC⊥BDC.CD＝BCD.AC＝BD

變式1(2024山西)在四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是邊AB，BC，CD，

DA的中點(diǎn)，EG，F(xiàn)H交于點(diǎn)O.若四邊形ABCD的對(duì)角線相等，則線段EG與FH

一定滿足的關(guān)系為()

A.互相垂直平分B.互相平分且相等

C.互相垂直且相等D.互相垂直平分且相等

真題及變式

命題點(diǎn)與正方形性質(zhì)有關(guān)的計(jì)算(6年8考)

1.(2024廣東7題3分)完全相同的4個(gè)正方形面積之和是100，則正方形的邊長

是()

A.2B.5C.10D.20

2.(2019廣東10題3分)如圖，正方形ABCD的邊長為4，延長CB至點(diǎn)E使EB

＝2，以EB為邊在上方作正方形EFGB，延長FG交DC于點(diǎn)M，連接AM，AF，

H為AD的中點(diǎn)，連接FH分別與AB，AM交于點(diǎn)N，K.則下列結(jié)論：①△ANH

≌△GNF；②∠AFN＝∠HFG；③FN＝2NK；④S△AFN∶S△ADM＝1∶4.其中正確的

結(jié)論有()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

第2題圖

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2.1變條件——增加線段DF

如圖，正方形ABCD的邊長為4，延長CB至點(diǎn)E使EB＝2，以EB為邊在上方

作正方形EFGB，連接DF，H是DF的中點(diǎn)，連接BH，則BH的長為.

變式2.1題圖

3.(2023廣東15題3分)邊長分別為10，6，4的三個(gè)正方形拼接在一起，它們的

底邊在同一直線上(如圖)，則圖中陰影部分的面積為.

第3題圖

3.1變條件——增加線段改變陰影區(qū)域的位置

如圖，邊長分別為5，3，2的三個(gè)正方形拼接在一起，它們的底邊在同一直線上，

圖中陰影部分的面積分別為S1，S2，則的值為.

?1

?2

變式3.1題圖

新考法

4.[數(shù)學(xué)文化](人教八下習(xí)題改編)2002年8月在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)徽

取材于我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形和中間的小正

方形拼成的大正方形，如圖所示，如果大正方形的面積是13，小正方形的面積為

1，直角三角形的較短直角邊長為a，較長直角邊長為b，那么(a＋b)2的值為()

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第4題圖

A.13B.19C.25D.169

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考點(diǎn)精講

①垂直平分②對(duì)角線③直角(90°)④相等

⑤直角(90°)⑥互相垂直⑦相等⑧垂直平分且相等

練考點(diǎn)

1.(1)45°；(2)2；(3)16，16；(4)

46

2.C23

3.平行四邊形

高頻考點(diǎn)

例1(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ABC＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°.

∵M(jìn)E⊥AB，MF⊥BC，

∴四邊形BEMF是矩形.

∵∠ABD＝45°，∠MEB＝90°，

∴∠EBM＝∠EMB＝45°，

∴BE＝EM，

∴四邊形BEMF是正方形；

(2)解：如解圖①，連接AC交BD于點(diǎn)O，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AC＝BD，AC⊥BD，OA＝OD.

∵正方形ABCD的邊長為4，

∴OA＝OD＝AD＝2.

2

∵BM＝3DM，22

∴點(diǎn)M是OD的中點(diǎn)，

∴OM＝，

在Rt△AO2M中，

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由勾股定理得AM＝＋＝；

22

????10

例1解圖①

(3)解：如解圖②，過點(diǎn)N作NG⊥AC于點(diǎn)G，

例1題解圖②

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠DAC＝45°，

∵AM平分∠DAC，

∴DN＝GN.

設(shè)DN＝x，則GN＝x，CN＝4－x.

∵∠NCG＝45°，

∴△NGC是等腰直角三角形，

∴CN＝CG，即4－x＝x，解得x＝4－4，

∴＝2－1；22

??

(4)?解?：如2解圖③，過點(diǎn)D作DG⊥DE交AN的延長線于點(diǎn)G，

∵BF⊥AN，

∴∠ABF＋∠AFB＝∠DAN＋∠AFB＝90°，即∠ABF＝∠DAN.

又∵AB＝DA，∠BAF＝∠ADN＝90°，

∴△ABF≌△DAN，

∴AF＝DN，∠AFB＝∠DNA，

∴∠DFE＝∠DNG.

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∵N是CD的中點(diǎn)，

∴DN＝CD＝AD＝AF，

11

∴F為A2D的中2點(diǎn)，

∴DF＝DN.

∵DE⊥DG，

∴∠EDF＋∠EDN＝∠GDN＋∠EDN，即∠EDF＝∠GDN，

∴△DEF≌△DGN，

∴DE＝DG，

∴△DEG是等腰直角三角形，

∴∠DEN的度數(shù)為45°.

例1題解圖③

例2D【解析】應(yīng)添加的條件是AC＝BD，∵E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，

CD，DA的中點(diǎn)，且AC＝BD，∴EH＝BD，F(xiàn)G＝BD，HG＝AC，EF＝AC，

1111

∴EH＝HG＝GF＝EF，則四邊形EFGH2為菱形.222

變式1A【解析】∵在四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是邊AB，BC，

CD，DA的中點(diǎn)，如解圖，連接EF，F(xiàn)G，GH，EH，BD，AC，∴EF＝AC，F(xiàn)G

1

＝BD，GH＝AC，EH＝BD.∵四邊形ABCD的對(duì)角線相等，即AC＝B2D，∴EF

111

＝F2G＝GH＝E2H，∴四邊2形EFGH為菱形，∴EG與FH互相垂直平分.

變式1題解圖

真題及變式

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1.B【解析】由題意得每個(gè)正方形的面積為100÷4＝25，∴正方形的邊長為

5.

2.C【解析】∵四邊形EFGB是正方形，EB＝2，∴FG＝BE＝2，∠FGB＝90°，

∵四邊形ABCD是正方形，H為AD的中點(diǎn)，∴AD＝4，AH＝2，∠BAD＝90°，

∴∠HAN＝∠FGN，AH＝FG，∵∠ANH＝∠GNF，∴△ANH≌△GNF(AAS)，

故①正確；∴∠AHN＝∠HFG，∵AG＝FG＝2＝AH，∴AF＝FG＝AH，

∴∠AFH≠∠AHF，∵AD∥FG，∴∠AHF＝∠HFG，∴∠AFN2≠∠HFG2，故②

錯(cuò)誤；∵△ANH≌△GNF，∴AN＝AG＝1，∵GM＝BC＝4，∴＝＝2，

1????

∵∠HAN＝∠AGM＝90°，∴△AH2N∽△GMA，∴∠AHN＝∠A?M?G，??∠MAG＝

∠HNA，∴AK＝NK，∵AD∥GM，∴∠HAK＝∠AMG，∴∠AHK＝∠HAK，∴AK

＝HK，∴AK＝HK＝NK，∵FN＝HN，∴FN＝2NK；故③正確；易知四邊形ADMG

是矩形，∴DM＝AG＝2，∵S△AFN＝AN·FG＝×1×2＝1，S△ADM＝AD·DM＝

111

222

×4×2＝4，∴S△AFN∶S△ADM＝1∶4，故④正確，∴選C.

1

變2式2.1【解析】如解圖，連接BD，BF，在正方形ABCD和正方形EFGB

中，∠ABD＝1∠0GBF＝45°，∴∠DBF＝90°.由題意，得EB＝2，BC＝4，∴BF

＝EB＝2，BD＝BC＝4，在Rt△DBF中，由勾股定理，得DF＝

2222

＋＝2，又∵H是DF的中點(diǎn)，∴BH＝DF＝.

221

????10210

變式2.1題解圖

3.15【解析】如解圖，∵四邊形ABCD，ECGF，IGHK均為正方形，∴CD＝

AD＝10，CE＝FG＝CG＝EF＝6，∠CEF＝∠F＝90°，GH＝IK＝4，∴CH＝CG

＋GH＝10，∴CH＝AD，∵∠D＝∠DCH＝90°，∠AJD＝∠HJC，∴△ADJ≌

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△HCJ(AAS)，∴CJ＝DJ＝5，∴EJ＝1，∵GL∥CJ，∴△HGL∽△HCJ，∴

??

??

＝＝，∴GL＝2，∴FL＝4，∴S陰影＝S梯形EJLF＝(EJ＋FL)·EF＝×(1＋4)×6

??211

＝1??5.522

第3題解圖

變式3.1【解析】如解圖，設(shè)AH分別交CD，F(xiàn)G，BM于點(diǎn)K，I，L，BM

4

分別交CD，25FG