專題2.3函數的單調性、奇偶性、對稱性與周期性【九大題型】

【新高考專用】

1、函數的單調性、奇偶性、對稱性與周期性

本節(jié)是高考的重點、熱點內容，函數的單調性、奇偶性、周期性是高考的必考內容，從近幾年的高考

情況來看，重點關注單調性、奇偶性結合在一起，與函數圖象、函數零點和不等式相結合進行考查，解題

時要充分運用轉化思想和數形結合思想.對于選擇題和填空題部分，重點考查基本初等函數的單調性，利用

性質判斷函數單調性及求最值、解不等式、求參數范圍等，難度較小；對于解答題部分，一般與導數結合,

綜合性強，考查難度較大.

?知識梳理

【知識點1函數的單調性與最值的求法】

1.求函數的單調區(qū)間

求函數的單調區(qū)間，應先求定義域，在定義域內求單調區(qū)間.

2.函數單調性的判斷

(1)函數單調性的判斷方法：①定義法；②圖象法；③利用已知函數的單調性；④導數法.

(2)函數y=/(g(x))的單調性應根據外層函數和內層函數/=g(x)的單調性判斷，遵循“同增異減”的

原則.

3.求函數最值的三種基本方法：

(1)單調性法：先確定函數的單調性，再由單調性求最值.

(2)圖象法：先作出函數的圖象，再觀察其最高點、最低點，求出最值.

(3)基本不等式法：先對解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值.

4.復雜函數求最值：

對于較復雜函數，可運用導數，求出在給定區(qū)間上的極值，最后結合端點值，求出最值.

【知識點2函數的奇偶性及其應用】

1.函數奇偶性的判斷

判斷函數的奇偶性，其中包括兩個必備條件：

(1)定義域關于原點對稱，這是函數具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域；

(2)判斷兀V)與於x)是否具有等量關系，在判斷奇偶性的運算中，可以轉化為判斷奇偶性的等價等量關系

式(/WtA-x)=O(奇函數)或加)#x)=0(偶函數))是否成立.

2.函數奇偶性的應用

(1)利用函數的奇偶性可求函數值或求參數的取值，求解的關鍵在于借助奇偶性轉化為求已知區(qū)間上的

函數或得到參數的恒等式，利用方程思想求參數的值.

(2)畫函數圖象：利用函數的奇偶性可畫出函數在其對稱區(qū)間上的圖象，結合幾何直觀求解相關問題.

3.常見奇偶性函數模型

⑴奇函數：

①函數/(x)="z("+l)(x/O)或函數=m(a.

a-1a+1

②函數f(x)=±(ax-a~x).

③函數/(x)=log”=log.(1+或函數/(x)=log”=log(1--—)

x—mx—mx+max+m

④函數/(尤)=loga(Jx?+1+x)或函數/(x)=log“(J-+1-x).

(2)偶函數：

①函數/(尤)=±(/+「).

②函數/(x)=l0g.mmr+1)-修?

③函數/(|x|)類型的一切函數.

④常數函數.

【知識點3函數的周期性與對稱性常用結論】

1.函數的周期性常用結論3是不為o的常數)

(1)若八尤+。)三穴尤)，貝UT=a-,

(2)若/(x+a)=/(尤-a),貝！|T=2a；

(3)^rJ[x+d)=-f(x),貝!]T=2a；

(4)若於+。)=/仁)，則T=2i；

(5)若/(x+4)=-/(!)，貝?7=2〃；

(6)若兀計。)1]+/?),則T=\a-b\(a^b\,

2.對稱性的三個常用結論

⑴若函數/(x)滿足火〃+x)刁S-%),則產/⑴的圖象關于直線1=，'1對稱.

(2)若函數/(x)滿足八〃+x)=;/(/?-%),則產4元)的圖象關于點0卜寸稱.

⑶若函數y(x)滿足尸。，則產/a)的圖象關于點"lb寸稱.

?舉一反三

【題型1函數單調性的判斷及單調區(qū)間的求解】

【例1】(2024.全國?模擬預測)下列函數中，在區(qū)間(0,+8)上是減函數的是()

A.y=—3%+2B.y=x3C.y=x2—1D.y=~~

【解題思路】用函數單調性定義可判斷得結果.

【解答過程】選項A：任取久1>%2>0，則yi-=(-3%1+2)-(-3%2+2)=3(X2一％i)，

又X2-％1<0，所以丫1一月<。，即所以函數y=-3支+2在(0,+8)為減函數，故A正確；

選項B：任取久1>%2>0，則=就一益=(%1-X2)(X1+X1X2+X分,

又-汽2>0,好+%1%2+工會>0，所以、1一丫2>0，即、1>丫2，所以函數y=/在(0,+8)為增函數，故B

錯誤；

X=

選項C：任取久1>%2>0,則％-y2=(1-1)-(%2-1)=%1-%2(%1—%2)(%1+%2)，

又K1一比2>0，%1+為2>0，所以%-丫2>0，即丫1>丫2，所以函數y=/-1在(0,+8)為增函數，故C錯

誤；

選項D：任取%1>x2>of則yi-月=(一十)一(一1)=年手，

又久1一％2>。，％1%2>。，所以外-力>。，即丫1>為，所以函數y=-：在(。,+8)為增函數，故D錯誤；

故選：A.

【變式1-1](2024.海南?？?模擬預測)函數/(%)=/—4因+3的單調遞減區(qū)間是()

A.(-00,-2)B.(-8,-2)和(0,2)

C.(-2,2)D.(-2,0)和(2,+8)

【解題思路】將絕對值函數轉化成分段函數，由二次函數的性質即可求

【解答過程】/(x)=x2-4|x|+3=>，

1%，+4久+3,%<0

則由二次函數的性質知，當x20時，、=%2-4久+3=(久一2)2-1的單調遞減區(qū)間為(0,2)；

當x<0,y=%2+4%+3=(%+2)2—1的單調遞減區(qū)間為(—8,—2),

故f(x)的單調遞減區(qū)間是(-8,-2)和(0,2).

故選：B.

【變式1-2](24-25高一上?北京豐臺?期中)下列函數中，在區(qū)間(-8,0)上單調遞減的是()

A.7(%)=%B./(%)=-：

C./(%)=/+2%D./(%)=|%|

【解題思路】根據一次函數，二次函數，反比例函數，絕對值函數及單調性定義判斷.

【解答過程】在(-8,0)上，/(%)=X是增函數，/(X)=是增函數，

/(%)=%2+2%在(-8,-1)上是減函數，在(一1,0)上是增函數，

x<0時，/(%)=\x\=一%是減函數，

故選：D.

【變式1-3](2024.江西.二模)已知函數若/⑷=/(a+3),則g(%)=a/+%的單

調遞增區(qū)間為()

A.&+8)B,(-00)0

c.&+8)D.(-00,0

【解題思路】先根據題目條件求出a的值，再根據二次函數的性質求出g(x)的單調遞增區(qū)間

【解答過程】解：依題意，卜+3:四+3)2-2,解得°=—1,故9(幻=一/+幻可知。0)在(一8,：)上

單調遞增，

故選：D.

【題型2利用函數的單調性求參數】

【例2】(2024?廣東揭陽.二模)已知函數/(X)=—/+ax+1在(2,6)上不單調，則a的取值范圍為()

A.(2,6)B.(-oo,2]U[6,+oo)

C.(4,12)D.(-oo,4]U[12,+oo)

【解題思路】根據給定條件，利用二次函數的單調性列出不等式求解即得.

【解答過程】函數/(x)=—/+ax+l的圖象對稱軸為x=1依題意，2<：<6,得4<a<12,

所以a的取值范圍為(4,12).

故選：c.

【變式2-1](2024?全國?模擬預測)若函數f(x)=4|%-可+3在區(qū)間[1,+8)上不單調，則a的取值范圍是

()

A.[1,4-00)B.(1,+oo)

C.(-oo,l)D.(-co,1]

【解題思路】先分析的單調性，再列不等式即可求解.

【解答過程】因為函數/(%)=4阿-初+3在(-8,(1)上單調遞減，在(a,+8)上單調遞增.

又函數/(x)在區(qū)間[1,+8)上不單調，所以a>1,

故選：B.

【變式2-2](2024?天津河北?一模)設aGR,則“a>一2”是“函數/(久)=2/+4ax+1在(2,+oo)上單調遞

增''的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【解題思路】根據題意，由二次函數的對稱軸和函數的單調性的關系以及充分性與必要性的應用，即可得

到結果.

【解答過程】函數/0)=2/+4ax+1的對稱軸為x=-a,

由函數f(x)=2x2+4ax+1在(2,+8)上單調遞增可得-a<2,即a>-2,

所以“a>一2”是“函數f(x)=2x2+4ax+1在(2,+8)上單調遞增”的充分不必要條件.

故選：A.

c—12_|_2a]+4%V1「

【變式2-3](23-24高三上?江西鷹潭?階段練習)已知函數f(%)=’............

-X>1

Xf

減函數，貝b的取值范圍是()

A.卜1,—|]B.(-00,-1]

C.[-1,-0D.

【解題思路】首先分析知，函數單調遞減，貝卜41也應為減函數，同時注意分界點處的縱坐標大小

關系即可列出不等式組，解出即可.

【解答過程】顯然當X>1時，/(X)=(為單調減函數，fix)</(I)=1

當久<1時,/(x)=—X2+2ax+4,則對稱軸為久=—2x(：i)=a，/(l)=2a+3

a

若f(%)是[一],+8)上減函數，則1~~2解得aG[―1,—|j,

)12a+3>1

故選：A.

【題型3函數的最值問題】

[例3](2024.安徽淮北二模)當實數t變化時，函數f(x)=|x2+t\,xE[—4,4]最大值的最小值為()

A.2B.4C.6D.8

【解題思路】先對內函數y=x2+t對應的方程的根的情況分類討論，得出t>0時，結果為16,對于t<0時,

求出兩根，根據圖象，就內函數的零點與區(qū)間端點的位置進行分類考慮，利用函數單調性分析即得.

【解答過程】若△=一射W0,即t20時，f(X)=/+t,其對稱軸為％=0,f(X)max=t+16,

此時，因t>0,故g(t)=t+16的最小值為16；

若t<0,由y=x2+t=0可得久=+V-1>

圖1

(I)如圖1,當戶<4時，BP-16Wt<0時，/(x)=|x2+t|在［一4,一戶］上遞減，

在［-j,0］上遞增，

在［0,門］上遞減，在［目,4］上遞增，又/(±4)=|t+16|=t+16,/(0)=|t|=-3

①當—16<t<-8時,t+16<-t,故/(x)max一t,而g(t)=—t在［—16,—8］上單調遞

減，則此時，9(t)min=9(-8)=8;

②當一8<t<0時，t+16>-t,故/'(x)max=t+16,而h(t)=t+16在(-8,0)上單調

遞增，則此時,g(t)>h(-8)=8.

(II)如圖2,當戶>4,即t<-16時,/(%)=1/+日在［-4,0］上單調遞增，在［0,4］上單調遞減，

則此時f(x)max=/(0)=|t|=~t,而s(t)=T在(-8,-16)上單調遞減,則貝t)>火一16)=16.

綜上，函數/(x)=\x2+t\,xe［一4,4］最大值的最小值為8.

故選：D.

【變式3-1］(2024.江西鷹潭?三模)若/0)=反+2|+|3乂—￡1|的最小值是4,則實數(1的值為()

A.6或-18B.-6或18

C.6或18D.一6或一18

【解題思路】分a>-6,a<-6,a=-6三種情況，得出每種情況下f(x)的最小值，令其為4,解出a的值.

(4%+2—a,%—

【解答過程】當a>—6時，/(%)=ja+2-2x,-2<x<|>

Va-2-4x,xW-2

???/(%)min=f(9=2+?=4,解得a=6,符合題意；

4%+2—u,xN—2

2x-a-2^<x<-2f

(CL—2—4x,x—

???/(%)min=/(§=-三一2=4，解得a=-18，符合題意；

當。=一6時，/(%)=4|x+2|,/(x)min=/(-2)=0^4,舍掉.

故選：A.

【變式3-2］(2024.山西.模擬預測)已知函數/(%)的定義域為(0,+8),若對于任意的％,ye(0,+00),都

有f(%)+/(y)=/(%y)+2,當％>1時，都有/(%)>2,且/(3)=3,則函數/(%)在區(qū)間［1,27］上的最大值

為()

A.2B.3C.4D.5

【解題思路】令％=y=1可得/(I)=2,再令汽=y=3可得/(9)=4,再令汽=3,y=9即可得/(27),再

利用函數單調性定義可得該函數為單調遞增函數，故/(27)的值即為所求.

【解答過程】令X=y=1,貝葉(1)=2,令x=y=3有/(3)+/(3)=/(9)+2,

又〃3)=3,所以f(9)=4,

令x=3,y=9,所以〃3)+/(9)=/(27)+2,所以/(27)=5,

設刀2>%1>0,則言>1，所以八9>2，

所以「3)-/(g)=/■)-+/管)-2]=2—/管)<0,

則/(勺)<f(久2)，故/'(x)在(0,+8)上單調遞增，

所以函數f(x)在區(qū)間[1,27]上的最大值為f(27)=5.

故選：D.

【變式3-3](2024?全國?三模)已知函數/(久)=bx-(b+3)*在[—1,1]上的最小值為一3,則實數b的取值

范圍是()

A.(―oo,-4]B.[9,+co)C.[—4,9]D.[―1,9]

【解題思路】由已知可得當-1Wx<l時，可得6x(1+久)2-3(/+刀+1)恒成立，通過分離變量，結合函

數性質可求b的取值范圍

【解答過程】

因為汽1)=-3,函數f(x)=bx-(b+3)/在[—1,1]上的最小值為—3,

所以對VxG[—1,1],f(x)>—3恒成立，

所以bx—(b+3)%3>-3恒成立,即6x(1-X2)>—3(1—/)恒成立,

當x—1時，bER,

當一1<%<1時,可得bx(l+%)>-3(x2+x+1)恒成立.

當x=0或%=一1時，不等式顯然成立；

當°<乂<1時,吐蕊箸^Tl+W),

因為小+共(0,2),所以露e6+8),1+備eg+8>-3(1+/)?-8,-3

所以6>—

當一1(久<0時，b<+

因為/+xe(一：,0),所以e(-8,-4),1+6(-oo,-3),一3(1+e(9,+8),

所以6<9.

綜上可得，實數6的取值范圍是[-[,9].

故選：D.

【題型4函數的奇偶性及其應用】

【例4】(2024?廣東惠州?模擬預測)己知/(x)在R上的奇函數,當久＞。時,f(x)-x2-2x-1,則/'(/(一1))=

()

A.2B.-2C.1D.-1

【解題思路】利用函數奇偶性，由內向外求值即可.

【解答過程】由題意義-1)=-/(I)=2,所以=/(2)=-1.

故選：D.

【變式4-1](2024?陜西安康?模擬預測)若函數〃久)=In屋y+a是奇函數，則實數a的值是()

A.2B.-2C.In2D.-ln2

【解題思路】根據f(-x)=-f(x)得到a的方程求解即可

【解答過程】/(—x)=lnU1+a=lnW]+a,因為f(x)是奇函數，所以有f(-x)=-f(x),

In4^+0--fin-^-+a),2a=-(ln^-+=—In三=21n2,

2(z+l)I2(x-l)J\2(x-l)2(x+l)74

因此a=ln2,

故選：c.

【變式4-2](2024.河南.模擬預測)已知/'(x)是定義在R上的偶函數,VxGR,f(4—x)=f(x),當xG[-2,0]

時,/(x)=x2+4x,則/'(2023)+f(2024)+f(2025)口()

A.-2B.0C.-6D.-4

【解題思路】根據題意，推得f(x+4)=f(x),得到f(x)是周期為4的函數，結合xe[-2,0]時，函數的解

析式，求得/(—的值，進而求得/(2023)+/(2024)+/(2025)的值，得到答案.

【解答過程】因為f(x)是定義在R上的偶函數，Vxe/?,/(4-x)=/(x),

可得/'(4-x)=f(x)=/(-%),即/'(x+4)=f(x),

所以函數/(X)是以4為周期的周期函數，

可得“2023)+f(2024)+刊2025)=/(-I)+/(0)+f⑴,

又因為當x6[一2,0]時,f(x)=x2+4x,

可得"T)=/(I)=-3,/(0)=0,所以f(2023)+/(2024)+/(2025)=-6.

故選：C.

【變式4-3](2024?浙江紹興.三模)已知函數/(久)滿足：對任意實數x,y,都有f(/(x+y))=/(*)+/(y)成

立，且f(0)=1,貝U()

A.yo+i)為奇函數B./0)+1為奇函數

C.If0+1)1為偶函數D.If。)—1|為偶函數

【解題思路】由題意令x-y-0,可得/'(1)=2,令y=-x,可得2=/(*)+/(-x),可得y=/(x)關于(0,1)

對稱，據此逐項判斷可得結論.

【解答過程】令x=y=0,貝，(/(0))=/(0)+/(0),/(0)=1,所以/(1)=2,

令y=-X,貝！1/■(/X0))=/(%)+/(-%),

即/⑴=/(x)+/(-%),又2=/(%)+/(-%),

所以y=/(x)關于(0,1)對稱，

所以八萬+1)關于(一1,1)對稱，故A不正確；

/(%)+1關于(0,2)對稱，故B不正確；

由A可知+1)|關于x=-1對稱，故C不正確；

由A可知/'(X)-1關于(0,0)對稱，故/'(X)-1為奇函數，

所以(%)-1|為偶數，故D正確.

故選：D.

【題型5函數的對稱性與周期性綜合】

【例5】(2024.河北.模擬預測)已知函數/0)的定義域為R,且/(2x+1)為奇函數,/(2x+4)=/(2x),

則一定正確的是()

A./0)的周期為2B./O)圖象關于直線x=1對稱

C./(尤+1)為偶函數D./(x+3)為奇函數

【解題思路】根據函數奇偶性、對稱性及周期性對選項逐一分析即可.

【解答過程】/(2x+1)為奇函數，得f(2久+1)+/(-2x+1)=0,

即f(x+l)+/(-%+1)=0,則f(x+l)為奇函數,故C錯誤；

且了(%)圖象關于點(1,0)中心對稱，故B錯誤；

/(2x+4)=/(2x)可知，函數/(x)周期為4,故A錯誤；

f(x)=f(x+4),又/■(%)圖象關于點(1,0)中心對稱，知/'(%)=-f(2-x),

所以“x+4)=-/(2-x),得f(x)關于點(3,0)對稱，

貝，0+3)關于點(0,0)對稱，所以/(x+3)為奇函數，故D正確.

故選：D.

【變式5-1](2024.甘肅慶陽.一模)已知函數f(x)的定義域為R,/(/(x+y))=/(%)+/(y),/(I)=1,

則下列結論錯誤的是()

A./(O)=0B.f(x)是奇函數

C.『(2024)=2024D./(K)的圖象關于點(],0)對稱

【解題思路】利用賦值法x=l,y=0可得f(0)=0,即可判斷A,利用y=-x,即可根據奇函數的定義判

斷B,利用/(/(x+1-x))=f(x)+/(I-x)今1=f(x)+/(I-x)可判斷/(x)的圖象關于點(|,|)對稱，

即可判斷D,結合奇函數的性質，即可求解C.

【解答過程】取x=l,y=0,則fO(l))=f(l)+f(O),即〃l)=f(l)+f(O),得f(0)=0,故A正確；

取y=-x,貝(1/(/(乂一萬))=/(*)+/(-%)，得/(0)=/(*)+/(-x)=0,故/'(%)是奇函數，B正確；

對任意的%都有/(/■(%+1-x))=/(x)+/(I-x),可得1=/(x)+f(l-x),

因此f(x)的圖象關于點C，J對稱，故D錯誤；

由于1=/(x)+/(1-X)且/(X)是奇函數，得1=f(x)—f(x-1),即/(X)=/(X—1)+1,

因此)(2)=/⑴+1=2,/(3)=f(3)+1=3,f(4)=/(3)+1=4,…"(2024)=2024,C正確.

故選：D.

【變式5-2](2024.山東荷澤.模擬預測)已知函數/1(%)滿足：/(x)+f(x+2)++2)=1,/(-1)=0,

則下列說法正確的有()

A./(X)是周期函數

B./(2024)=0

C./(2+x)=/(2-x)

D./(%)圖象的一個對稱中心為(0,1)

0,xG{4k-l|fc6Z}

【解題思路】先證明"％+4)=f(x)得到A正確；再給出f(%)={1,%6{4/C+l|fceZ)作為反例說明

<V2-l,xe{2fc-l|fceZ}

B,C,D錯誤.

【解答過程】對于A,由于(f(x)+1)(/(x+2)+1)=1+/(%)+f(x+2)+f(x)/(x+2)=1+1=2,

故(/(x)+1)(/(%+2)+1)=2.

從而(f(x+2)+1)(/(%+4)+1)=2,這就得到(/(久+2)+1)(/(%+4)+1)=(/(x)+1)(/(x+2)+

1)H0,所以/(比+4)+1=/(x)+1,即/'(%+4)=/(%).

所以“X)是周期函數，故A正確；

0,xG{4fc-l|fcGZ}

對于B,C,D,取f(x)=?l,xG{4fc+l|fcGZ}，則f(x)滿足條件，但f(2024)=&-l,f(2-1)=

^/2-l.xe{2k-l\kEZ}

/(1)=1^0=/(3)=/(2+1),同時由于f(一1)=0,/(I)=1,從而(一1,0)關于(0,1)的對稱點(1,2)并不

在函數圖象上，故B,C,D錯誤；

故選：A.

【變式5-3](2024?陜西商洛?模擬預測)已知定義在R上的函數/。)滿足/(2x+6)=以—2x),且/(x-1)+

/(x+1)=/(—2),/(I)=1,現有下列4個結論：

①/(2024)=1;

②/(無)的圖象關于直線x=-3對稱；

③f(x)是周期函數；

④2譽(T)k好卜-3=2。25.

其中結論正確的個數為()

A.1B.2C.3D.4

【解題思路】根據所給等式，結合賦值法推導出函數的對稱軸及周期，再逐項分析即可.

【解答過程】因為/0-1)+/(%+1)=/(-2),

所以+1)+以x+3)=/(—2),

所以/-1)=f(x+3),即/'(x)=f(x+4),

所以f(x)是周期為4的周期函數，則③正確.

令x=_]得/(-2)+f(0)=f(-2),

則f(0)=0,從而f(2024)=/(0)=0,故①錯誤；

因為f(2x+6)=/(-2x),

所以JO+6)=f(-x),

所以/'(一x)=f(x-6),

所以/(x)的圖象關于直線x=-3對稱，則②正確；

易得f0)的周期為4,且其圖象關于直線％=-3及x=3對稱，

則直線x=—3+4n及x=3+4n(nEZ)均為/'(x)圖象的對稱軸，

從而/(-2)=/(0)=0jg)=/g)=1.

令x=|,得f(|_l)+f(|+l)=O,

則嗚=相）=鹿）=一1，

故2譽（T）k故（D=-/?+2嗚-3f（|）+4/g）---2025f（竽

=(1-2-3+4)+…+(2021-2022-2023+2024)+2025=2025,故④正確.

故選：C.

【題型6利用函數的性質比較大小】

【例6】(2024?廣東深圳?模擬預測)已知函數/(久)的定義域為R,若對VxeR都有f(3+x)=f(l-x),且

f(x)在(2,+8)上單調遞減，貝葉(1),/(2)與f(4)的大小關系是()

A.”4)</(I)</⑵B./⑵</(I)</⑷

C.”1)</⑵</(4)D./(4)<f⑵</(I)

【解題思路】由f(3+x)=/(l—%),得到"1)=/(3),利用單調性即可判斷大小關系，即可求解.

【解答過程】因為對VxCR都有/(3+x)=/1一式),所以/(I)=/(3-2)=/[I-(-2)]=/(3)

又因為『0)在(2,+s)上單調遞減，且2<3<4,

所以"4)<f(3)</?⑵,即/(4)</(I)<f⑵.

故選：A.

【變式6-1](2024?河北?三模)己知a=71誦一5b=下一="3百一11,那么a,6,c的大

小關系是()

A.a>b>cB.a>c>b

C.a<b<cD.c>a>b

【解題思路】分子有理化，化簡后根據函數y=-(的單調性判斷即可.

【解答過程】由題意可知，a="12—>115=?,b=415-a18=

V112+V115V115+V118

c=V118-11=i_二,_由y=一之在(0,+8)上單調遞增可得a<b<c,

V118+V121x

故選：c.

【變式6-21(24-25高一上?河北邯鄲?期中)已知定義在R上的函數f(x)滿足f(l-x)=f(3+%),且在(一8,2]

上單調遞增，a=/(it),b=/(V3),c=/(0),貝！|()

A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.c<a<b

【解題思路】由題意確定對稱軸為x=2,進而確定函數單調性，由單調性即可判斷.

【解答過程】由己知得函數/(為的圖象關于直線x=2對稱，

所以“X)在(-％2]上單調遞增,在[2,+8)上單調遞減，

所以"0)</(舊).又2<亢<4,所以/(it)>/(4)=/(0).

因為豆一2>2—舊，所以/(it)</(百).

故/'(0)</(it)</(V3),即c<a<b.

故選：D.

【變式6-3](24-25高一上?寧夏銀川?期中)函數y=〃x)為定義在R上的偶函數，且對任意與,冷€

[0,+00)(豐久2)都有<0,則下列關系正確的是()

%1-X?

A./(-3)>f(-2)>/(I)B./(-2)>/(1)>/(-3)

C./(-3)>/(1)>/(-2)D./⑴>/(—2)〉/(-3)

【解題思路】由函數y=/(x)為定義在R上的偶函數可得〃-3)=/(3),/(-2)=/(2),然后利用y=的

單調性可得答案.

【解答過程】因為函數y="乃為定義在R上的偶函數，

所以〃—3)=/(3),f(-2)=八2),

因為對任意久1，冷e[0,+8)(%]豐》2)都有“的)一"犯)<0,

—％2

即有y=/(%)在[0,+8)上單調遞減，

所以/(—3)=/⑶</(-2)=f(2)</⑴，

故選：D.

【題型7利用函數的性質解不等式】

【例7】(2024?陜西商洛?一模)已知函數/(%)=-2%3—3%+2,若不等式/(小一1)+-5)>4成立,

貝必的取值范圍是()

A.(—8,—2)U(3,+8)B.(—2,3)C.(—8,—3)U(2,+8)D.(—3,2)

【解題思路】構造函數g(x),驗證其為奇函數，再將問題轉化為g(a2-1)>g(a+5),然后由單調性解抽

象函數不等式即可；

【解答過程】設g(x)=/(x)—2=—2x3-3x,則g(-x)=2x3+3x=-g(x),故g(x)是奇函數.

不等式/'(a?-1)+/(—a—5)>4等價于不等式/(a?-1)—2+f(—a—5)—2>0,

即不等式g(a2-1)+g(—a-5)>0.

因為g(x)是奇函數,所以g(a2-1)>g?+5).

易證g(x)是R上的減函數，則a?-l<a+5,即a?-a-6<0,解得一2<a<3.

故選：B.

【變式7-1](2024?四川資陽.二模)若定義在R上的偶函數/⑺在[0,+8)上單調遞增，則不等式f(2x+1)-

/(x-1)>—3/-6x的解集為()

A.(―OO,—2)U(0,+oo)B.(―CO,—1)u(0,4-00)

C.(-2,0)D.(-1,0)

【解題思路】根據偶函數的性質，結合不等式特征構造新函數，利用新函數的單調性和奇偶性進行求解即

可.

【解答過程】由f(2%+1)—f(x—1)>—3x2—6x,可得/(2%+1)+(2x+l)2>/(x-1)+(x—l)2.

令g(%)=/0)+/,因為/(%)是偶函數，且在[0,+8)上單調遞增，所以g(%)也是偶函數，且在[0,+8)上

單調遞增，從而|2%+1|>-1|,解得久V—2或%>0.

故選：A.

E

【變式7-2](2024.重慶.模擬預測)已知函數y=/(%)的定義域是(一8,0)u(0,+8),對任意的%Ux2

(0,+8),石豐陽都有辿絲三&2>0,若函數y=f(x+1)的圖象關于點(—1,0)成中心對稱，且/(I)=4,

則不等式f(X)>:的解集為()

A.(-1,0)U(0,1)B.(-1,0)U(l,+oo)

C.(-00,-1)u(0,1)D.(-00,-1)u(1,+00)

【解題思路】由題意，構造函數g(x)=x/(x),判斷函數g(x)的奇偶性和單調性，結合函數的奇偶性和單調

性解不等式即可.

【解答過程】由函數y=/(>:+1)圖象關于點(―1,0)中心對稱，知函數“久)圖象關于點(0,0)中心對稱，

所以〃%)為奇函數.

令9(%)=%/(%)，貝物(一%)=-%/(-%)=x/(x)=g(%)，所以g(%)為偶函數，

對于\/汽1，%2E(0,+8),有9(、)一迎二)>0(%1工％2)，所以。(%)在(0,+8)上單調遞增，

所以g(x)在(-8,0)上單調遞減.

由/(1)=4,得g(l)=4，g(-1)=4,

當％>0時，/(%)>:變形為%/(無)>4,即g(%)>g(l),解得久>1;

當久<0時，/(%)>(變形為%/(%)<4,即g(x)<g(-1),解得一1<%<0,

綜上，不等式/(%)>:的解集為(一1,0)U(1,+8).

故選：B.

【變式7-3](2024?廣西柳州?三模)設函數/(x)是定義在R上的奇函數，且對于任意的x,yGR,都有

1/(%)-/(y)|<\x-y].若函數gO)-f(x)=x,則不等式g(2x-x2)+g(x-2)<。的解集是()

A.(-1,2)B.(1,2)

C.(一oo,-1)U(2,+8)D.(-oo,1)U(2,+8)

【解題思路】由/(>)的奇偶性可判斷g(x)也為奇函數，然后結合I/O)-/(y)|<|x-y],及單調性的定義

可判斷g(x)單調遞增，結合單調性及奇函數的定義可求.

【解答過程】vg(%)-/(%)=x,g(x)=/(x)+%,

由于/(%)是定義在R上的奇函數，即/(%)+/(-%)=0,

???g(-x)=/(-%)一%=-/(%)-x=一。(%),故g(%)為奇函數，

;對于任意的％,yGR,有1/(%)-/(y)|v|%-y|，

???|(g(%)-%)-(g(y)-y)|<|x-y|,

當時，有夙<1,

\x-y\

即|年詈-1|<L

.-.0<或：],')<2,二g(%)單調遞增，

???g(2x-x2)+g(x-2)<0,

g(2x-x2)<-g[x-2)=g(2-x),

???2x-x2<2—x,

整理可得，x2-3x+2>0,

解可得，％>2或%<1,

故選：D.

【題型8抽象函數的性質綜合】

【例8】(2024?河南?模擬預測)已知函數f(x)的定義域為R,對于任意實數無，>滿足“久+、)+/(久->)=

且/(I)=1,則下列結論錯誤的是()

A./(0)=2B./(%)為偶函數

C.f(x)為奇函數D.f⑵=-1

【解題思路】由條件等式通過取特殊值求/(0),”2)由此判斷A,D,再取特殊值確定義乃，/(-x)的關系

結合函數的奇偶性的定義判斷選項B,C.

【解答過程】因為Vx,yeR,/(x+y)+/(x-y)=/(x)/(y),

取x=l,y=0可得/(I)+/(!_)=又f(1)=1,所以f(0)=2；A對；

取x=0,y=x可得/(>)+/(—x)=/(0)/(久)，因為/(0)=2,所以/(—%)=f(x),所以f(x)為偶函數,C

錯，B對；

取X=1,y=1可得f(2)+/(0)=/(1)/(1),又/(I)=1,/(0)=2；

所以"2)=-1,D對；

故選：C.

【變式8-1](2024.安徽.二模)已知函數y=/(%)(%+0)滿足f(xy)=f(x)+/(y)-1,當％>1時,/(%)<1,

則()

A./(久)為奇函數B.若f(2x+l)>l,則—l<x<0

C.若/⑵=之，貝仔(1024)=-4D.若fQ=2,則表)=1。

【解題思路】根據賦值法可得f(l)=1,f(-l)=l，進而可得了(-%)=f(x),即可判斷A,根據函數單調

性的定義可判斷y=f(x)(x力0)在(0,+8)上為減函數，即可求解B,代值逐步求解即可判斷CD.

【解答過程】令x=l,y=-l,/(-l)所以f(1)=1；

令x=-Ly=-l,f(l)=f(-l)+f(-l)-l貝妤(-1)=1.

令y=-l,得f(一式)=/(%)，故y=/(%)(%。0)為偶函數.A錯誤，

任取％1，Xe(0,+co),V%2，則盤>1，

2X1

貝V但)=f(xi)+/仔)一1<，(乂1)，故y=f(x)(x力o)在(o,+8)上為減函數.

由已知/'(2x+l)>1,可得/'(|2x+l|)>/(1),故|2x+l|<L解得-l<x<0,且B錯誤，

若f(2)=%則/(1024)=/(2】。)=f(2D+f(2)-1=10/(2)-9=-4,C正確，

若/Q=2,則八或)=2/(|)-1=3,/候)=2/僻)一1=5,

嗚)=嗚+華)-1=6,所以/(急)=2，償)一1=11,故D錯誤,

故選：C.

【變式8-2](2024?遼寧撫順?一模)已知定義域為｛x|x豐0｝的函數/⑺滿足/(久+y)[f(x)+/(則=

f(i)=2,且當％e(o,+8)時，/(%)>o恒成立，則下列結論正確的是()

A.嗚=6B.心)=2/0)

C./(%)為奇函數D./(%)在區(qū)間(0,+8)是單調遞增函數

【解題思路】賦值法可判斷A,利用奇偶函數的定義及賦值法判斷BC,由函數的特例可判斷D.

【解答過程】4x=y=i,貝"(凱

所以2/(1)/6)=產&),因為當xc(0,+8)時，/(X)>0,

所以2雇)=嗚,

令X=|,y*,所以/⑴[/??+嗚]=魔)嗚，

即2嗚+2啕=2產(|),解得:=故A錯誤；

由題意，函數/*(%)的定義域為(一8,0)U(0,+8),關于原點對稱,

令y=-2%,則f(%-2x)[/(x)+/(-2x)]=/(x)/(-2x),即/(-%)[/(%)+/(-2x)]=/(x)/(-2x)

令一%代換％y,貝行(一久-%)[/(-%)+/(-%)]=/(-x)f(-x),BP2/(-2x)/(-x)=/(-%)/(-%),

所以2/(—2%)=/(—%),令r代換，所以2/(2%)=/(%),故B錯誤；

由將2/(-2%)=/(一%)代入/(一%)[/(%)+/(-2x)]=/(x)/(-2x),

可得f(一為[f(X)+△步]=與化簡可得f(一切=S

所以“X)為奇函數，故C正確；

令x=y=l,則/(2)[/(1)+/(1)]=/(1)/(1),解得：/(2)=1,/(I)=2>/(2)=1,故D錯誤.

故選：C.

【變式8-3](2024?廣西玉林?三模)函數f(%)對任意x,yER總有+y)=/(%)+/(y),當％<0時，f(x)<

0,/(1)=%則下列命題中正確的是()

A.八久)是偶函數B.f(x)是R上的減函數

C./(%)在[—6,6]上的最小值為—2D.若/(乃+/(y—3)2—1,則實數尤的取值范圍為[3,+8)

【解題思路】利用賦值法，結合函數奇偶性的定義，即可判斷A；

根據函數單調性的定義，結合條件，即可判斷B；

根據函數的單調性，和奇偶性，以及條件，即可判斷C；

不等式轉化為f(2x-3)2/(-3),利用函數的單調性，即可判斷D.

【解答過程】解：取x=0,y=0,則f(0)=f(0)+f(0)，解得f(0)=0,y=-x,

則汽0)=f(x)+f(-x).即—/(x)=/(—x)，函數/(x)是奇函數，所以選項A錯誤；

令%i，x2GR,且則％1-刀2<。，因為當x<0時，/(x)<0,所以/'(XI-犯)<0.

則-/(X2)=/(X1)+/(-x2)=/(Xj-x2)<0.</(盯)，

函數"x)是R上的增函數，所以選項B錯誤；

因為函數/Xx)是R上的增函數，所以函數/'(X)在[-6,6]上的最小值為/'(-6),

f(-6)=f(-3)+/(-3)=2/(-3),f(-3)=-/(3),f⑶=f⑵+/(I)=3/(1)=1.

故f(一6)=-2,/(￡)在[一6,6]的最小值為-2,所以選項C正確；

f(%)+/(%—3)>—1,BPf(2x—3)>f(-3),

因為函數/0)是R上的增函數，所以2x—32—3,所以X20,

所以實數尤的取值范圍為[0,+8),所以選項D不正確.

故選：C.

【題型9函數性質的綜合應用】

[例9](2024.全國.模擬預測)已知定義在R上的函數f(x)滿足/(久+1)=3/(%),當xG(—1,0]時，/(%)=

田