?圓錐曲線的綜合問題

［考情分析］從近幾年的新高考試題來看，解析幾何是高考的重點(diǎn)，通常以一大兩小的模式

命題.對解析幾何大題的考查綜合性較強(qiáng)、難度較大，通常作為兩道壓軸題之一.下面我們

重點(diǎn)講解一下解析幾何部分?？紗栴}的解題方法.

第1課時定點(diǎn)、定值、定線問題

考點(diǎn)一定點(diǎn)問題(多考向探究)

考向1直接推理法求定點(diǎn)問題

例1(2023?浙江?？寄M預(yù)測)已知點(diǎn)4(2,0),小|,一§在橢圓M-.^+^=l(a>Z?0)

上.

⑴求橢圓"的方程;

(2)直線/與橢圓M交于C,。兩個不同的點(diǎn)(異于A,B),過C作x軸的垂線分別交直線

于點(diǎn)P,Q,當(dāng)尸是C。的中點(diǎn)時，證明：直線/過定點(diǎn).

解⑴由題意知a=2,又橢圓經(jīng)過8(一小一六)，代入可得&(—D+樂］一號=1，解得

〃=1,

y2

故橢圓"的方程為點(diǎn)+y2=l.

(2)證明：由題意知，當(dāng)軸時，不符合題意，故/的斜率存在，設(shè)直線/的方程為>=日

+m,

y=kx+m,

聯(lián)立消去A

彳十丁9匕

得(4標(biāo)+l)f+8Zmx+4機(jī)2—4=0,

則J=64^m2—16(m2—1)(4^+1)=16(4^—m2+1)>0,

即4於+l>m2.

—8kmA—4

X1X2=

設(shè)C(xi，yi),D(X2,y2)，%1+尬=正百，4^+r

直線AB的方程為y=；(x—2),

令x=xi，得尸Qi，七2)，

直線AD的方程為y='\(L2),

X2—2

令X=X1,得°Q1，二|)j,

由尸是C。的中點(diǎn)，得y=yi+"%2,

乙X2-Z

即已

XI—2X2—22

即(辰1+m)(x2—2)+(kx2+m)(xi—2)

即（1—4左）西工2+（4左一2m—2）（xi~\~xi）+4+8m=0,

即4m2+（16女+8）根+163+16%=0,

所以（機(jī)+2左）（機(jī)+2女+2）=0,

得m=-2k—2或m=-2k.

當(dāng)根=一2%一2時，由49+1>m2,

3

得N—符合題意；

O

當(dāng)相=—2左時，直線/經(jīng)過點(diǎn)A,與題意不符，舍去.

所以直線/的方程為y=kx~2k—2,

即y=k（x—2）—2,

所以直線/過定點(diǎn)（2,-2）.

名師點(diǎn)撥】

探索直線過定點(diǎn)時，注意討論直線的斜率是否存在.若直線的斜率存在，可設(shè)直線方程為y

=kx+m,然后利用條件建立機(jī)，A之間的等量關(guān)系，消元后借助于直線系的思想找出定點(diǎn).

訓(xùn)練

1.（2023?福建名校聯(lián)盟模擬）設(shè)拋物線C：丁=2/無。>0）的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)、A的坐

標(biāo)為（3,-2）.已知點(diǎn)尸是拋物線C上的動點(diǎn)，|朋|+行尸|的最小值為4.

（1）求拋物線C的方程；

(2)若直線以與C交于另一點(diǎn)Q,經(jīng)過點(diǎn)2(3,-6)和點(diǎn)。的直線與C交于另一點(diǎn)T,證明:

直線PT過定點(diǎn).

2

解⑴若A和尸在拋物線產(chǎn)=2t的同側(cè)，貝ij(-2)2<3x2p,解得

設(shè)點(diǎn)P在準(zhǔn)線上的射影為H,于是|尸網(wǎng)=|尸H|.

過A作A/T與準(zhǔn)線垂直，垂足為"，

故|PF|+1朋|=|PH|+1必|N|AH'|=3+5=4,

2

當(dāng)且僅當(dāng)A,P,反三點(diǎn)共線時取等號，由此得p=2>?符合題意;

2

若A和尸在拋物線的異側(cè)或A在拋物線上，則pW?

由|尸引十陷|N|AF|=q(3—，+(-2)2=4,

當(dāng)且僅當(dāng)A,P,尸三點(diǎn)共線(或A與尸重合)時取等號，得到p=6±4小(舍去).

綜上所述，拋物線C的方程為y2=4x.

(2)設(shè)Q?，yo)，尸?，V)，好，立).

直線。尸的斜率煬=言=意？

4

則其方程為y=&;G—?+加=今言”.

同理可得直線。7的方程為TU；，

直線PT的方程為了=??”

yi+y2

12+joyi

yo+yi

將A(3,-2),B(3,—6)分別代入直線。尸，QT的方程，可得《、一消去州，可

_12±W2

、yo+^2

得”V2=12，

代入直線尸T的方程y=4x?叱

yi-ry2

八AZrZH4x+124.

化簡得y=-T-=-T-(x+3),

yi-ry2yi+y2

故直線尸丁過定點(diǎn)(一3,0).

考向2逆推法求定點(diǎn)問題

例2(2024.遼寧錦州一模)已知橢圓C5+樂=1(4心1)的離心率為竽其上焦點(diǎn)到直線

bx-\~lay~y[2=0的距離為?

(1)求橢圓。的方程；

(2)過點(diǎn)0)的直線I交橢圓C于A,B兩點(diǎn).試探究以線段AB為直徑的圓是否過定點(diǎn).若

過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由.

解⑴由題意得，旺=坐，

又/=〃+。2,所以〃=也。，C=b.

\2ac-y[2\y[2

[/+叱3

所以〃=1,4=2,

故橢圓c的方程為A-n.

(2)當(dāng)軸時，以線段A8為直徑的圓的方程為

當(dāng)ABLy軸時，以線段A8為直徑的圓的方程為f+y2=i.

可得兩圓交點(diǎn)為。（-1,0）.

由此可知，若以線段為直徑的圓恒過定點(diǎn)，則該定點(diǎn)為。（一1,0）.

下證0（—1,0）符合題意.

設(shè)直線/的斜率存在，且不為0,

其方程為W）,代入5+天2=1,

21

并整理得（F+ZM2—w&+gS—2=0.

設(shè)A（xi，y。,Bgm），

幻23女2—18

則用+4=3（於+2），為X2=9（7+2）'

所以國?途=（X1+1）（%2+1）+%p2=即兀2+沏+%2+1+sQ1-'口2—'=（1+^）-XlX2+

（1一1）（X1+X2）+1+/嚴(yán)=（1+官）,*5）工+l+*=0,

故道，砂，即。（一1,0）在以線段A3為直徑的圓上.

綜上，以線段AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)（一1,0）.

名師點(diǎn)撥】

定點(diǎn)問題，先猜后證，可先考慮運(yùn)動圖形是否有對稱性及特殊（或極端）位置猜想，如直線的

水平位置、豎直位置，即京=0或上不存在時.找出定點(diǎn)，再證明該點(diǎn)符合題意（運(yùn)用斜率相

等或者三點(diǎn)共線）或證明與變量無關(guān).

⑥^訓(xùn)練2.（2023?湖南長沙模擬）已知定點(diǎn)A（T,0）,FQ,0）,定直線/：x=1,不在x

軸上的動點(diǎn)尸與點(diǎn)尸的距離是它到直線/的距離的2倍.設(shè)點(diǎn)P的軌跡為E,過點(diǎn)廠的直線

交E于B,C兩點(diǎn)，直線AB,AC分別交/于點(diǎn)M,N.

（1）求E的方程；

（2）試判斷以線段MN為直徑的圓是否過定點(diǎn).若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，說

明理由.

解（1）設(shè)P（x,y）,依題意有U（X—2）2+y2=2'—二,化簡可得E的方程為x2-f=l（^0）.

⑵假設(shè)以線段MN為直徑的圓過定點(diǎn)，由對稱性可知該定點(diǎn)必在x軸上.

若BCLLx軸，則3（2,3）,直線的方程為y=x+1,

所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為e，D，同理可得點(diǎn)N的坐標(biāo)為e，—D，此時以MN為直徑的圓的方程

該圓與龍軸交于點(diǎn)￡）i（2,0）和。2（—L0）.下面進(jìn)行驗(yàn)證:

設(shè)直線BC的方程為x=my+2,

x=my-\-2,

由（.y2消去工得（3療一1?2+12M丁+9=0,

K3=1>

由題意，知3M2—1和,J>0.

設(shè)5a1，%），C（X2，m），

12%7Q

則以+"=一而三'而二1

因?yàn)橹本€48的方程為y=U，（x+l），

所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為G'2（；"），

同理可得，點(diǎn)N的坐標(biāo)為G，2者1））.

因?yàn)榍?，2（;%））'員Q二-1，2（51）y

所以曲際=23+："+1）

=9__________9yly2______________

44[m2yly2+3m（川+丁2）+9]

81

93m2—1

-4+（9m2_36-2、一°?

4（3源—13m2—1J

同理可得，網(wǎng)a=o.

所以以線段MN為直徑的圓過定點(diǎn)（2,0）和（一1,0）.

考點(diǎn)二定值問題（多考向探究）

考向1直接消參法求定值問題

例3（2024?武漢調(diào)研）如圖，橢圓E：，+^=13乂>0）經(jīng)過點(diǎn)4（0,—1）且離心率為坐.

（1）求橢圓E的方程;

（2）經(jīng)過點(diǎn)（1,1）,且斜率為左的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)P,。（均異于點(diǎn)A）,證明：直

線AP與的斜率之和為定值.

解（1）由題設(shè)知5=當(dāng)，b=\,結(jié)合〃=尻+，，解得啦，

所以橢圓E的方程為^+>2=1.

⑵由題設(shè)知，直線P。的方程為y=?x—1）+1（時2）,代入與+產(chǎn)=1,

得(1+2S)x2—4k(k—l)x+2Z(左一2)—0,

由已知/>0,設(shè)已（為,X）,12（X2,丁2），

…_4k(fe-1)2k(左一2)

易知為12#0,則X1+X2=1+2上，XlX2~

1+2F

從而直線AP,AQ的斜率之和為

.vi+1.?+1fcvi+2-k奴2+2-kAl.1%i+%2

+="+-=2

kAP+kAQ=左+(2—左)(京+高)=2左+(2—k)=2k

,4k(Z—l)

十(2—%(k—2)

=2左一2（左一1）=2（為定值）.

方法總結(jié)】

圓錐曲線中的定值問題的常見類型及解題策略

（1）證明代數(shù)式為定值.依題設(shè)條件得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式，代人所求代數(shù)式，化簡得

出定值.

⑵求點(diǎn)到直線的距離為定值.利用點(diǎn)到直線的距離公式得出距離的表達(dá)式，再利用題設(shè)條件

化簡、變形.

（3）求某線段長度為定值.利用兩點(diǎn)間距離公式求得表達(dá)式，再根據(jù)條件對其進(jìn)行化簡、變形

即可.

訓(xùn)練3.（2024?山西太原聯(lián)考一）已知雙曲線C：，一￡=1（。>0,6>0）與雙曲線，一弓=

1有相同的焦點(diǎn)，且C的一條漸近線與直線x—2y+2=0平行.

（1）求雙曲線C的方程；

（2）若直線/與雙曲線C右支相切（切點(diǎn)不為右頂點(diǎn)），且/分別交雙曲線C的兩條漸近線于點(diǎn)A,

B,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，試判斷AAOB的面積是否為定值.若是，求出定值；若不是，請說明理

由.

〃c=,2+3=小,

a—2,

（1）設(shè)雙曲線。的焦距為2c（c＞0）,由題意可得＜，=〃+戶'則4匕=1，則雙曲線c

解

b=l

Ja~2f

的方程為?一＞2=1.

（2）由于直線/與雙曲線C右支相切（切點(diǎn)不為右頂點(diǎn)），則直線/的斜率存在，設(shè)直線/的方程

為y=kx-\-m,

y=kx-\-m,

由<一得(4啟一1)於+8左mx+4M2+4=0,

彳一尸1，

則A—64k1ni2—4(4Z^—1)(4m2+4)=0,可得1—43=—病.

設(shè)/與X軸的交點(diǎn)為。（一￡,0）,

ni.11-m|—m|

==XA

則S^AOBS^AOD+SABOD=^OD\-\yA-yB\2k?\k\-\XA-XB\=2?\一切|

又雙曲線兩條漸近線的方程為y=±&,

2m

y=kx-\-m,X1C7，

聯(lián)立《1解得不妨令A(yù)

m

y=2x,

產(chǎn)T工？

同理可得B（&-2Tm,m\

2k+ir

G~\~m\,,2m,2m|一洲4m|一m|

=2定值).

貝US^AOB-2~.1羽一切I=21—2k1+2左21—4s2—nr=2(

考向2特殊轉(zhuǎn)化法求定值問題

例4（2023?張家口模擬）已知橢圓C：，+捻=1（。金＞0）上的點(diǎn)到它的兩個焦點(diǎn)的距離之和為

4,以橢圓C的短軸為直徑的圓。經(jīng)過這兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)A,8分別是橢圓C的左、右頂點(diǎn).

⑴求圓。和橢圓C的方程；

（2）已知P,Q分別是橢圓C和圓。上的動點(diǎn)（P,Q位于y軸兩側(cè)），且直線尸。與x軸平行,

直線AP,2尸分別與y軸交于點(diǎn)M,N.求證：/MQN為定值.

2〃=4,

解（1）由題意，得＜c=。，

^a2—b2=c2,

解得〃=2,b=c=也,

所以圓O的方程為f+F=2,

22

橢圓C的方程為a+5=1.

（2）證明：設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（xo,刃）（泗邦），點(diǎn)。的坐標(biāo)為（X。，死）,

季樽=1,［焉=4—2諦

則2即2；

〔用+網(wǎng)=2,〔功=2—w

由直線AP的方程為y=j%（x+2）,

得點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0,康5），

由直線BP的方程為y=U］（x—2）,得點(diǎn)N的坐標(biāo)為（0，一B

所以勛=（—X。，患—泗）=（—X。，一費(fèi)），

效=（一和，—巖—yj=（一X。，—督），

所以如?9=班十普=2—%+上等贄=0,

所以QM_LQV,即NMQN=90。，為定值.

1名師點(diǎn)撥】

將一般問題轉(zhuǎn)化為特殊問題的特征，比如角轉(zhuǎn)化為斜率或向量的夾角，線段比轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)比，

然后利用題設(shè)條件解決問題.

金傘訓(xùn)練4.（2024?北京房山模擬）已知橢圓C：5+奈=1（°>6>0）的長軸的兩個端點(diǎn)分別

為A（—2,0）,8（2,0）,離心率為4-.

⑴求橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）M為橢圓。上除A,3外任意一點(diǎn)，直線AM交直線x=4于點(diǎn)N,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)O

且與直線2N垂直的直線記為/,直線交y軸于點(diǎn)P,交直線/于點(diǎn)。，求證：舐為定

值.

解（1）由已知，得。=2,

又e=：=］=當(dāng)，所以c=小，

所以b=yja2—c2=1,

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為］+y2=i.

2

（2）證明：設(shè)M%1，州），y#0,則號+必=1,Xi+4yi=4,直線AM的方程為尸京^^（%+2）,

6yl

令x=4,得

6yl

xi+23yixi+2xi+2

即4,因?yàn)榻?M所以g—恐,直線’的方程為尸一刀

，kBN=4-2%i+2’

x.因?yàn)橹本€8M的方程為》=武善一2),令x=0,得尸一至，

缶尸I僅尸一切I|0-2|14…估

所以IPCI—II—Ir八1—為定值.

HQI\XQ-XP\|—6—0|3

考點(diǎn)三定線問題

例5(2023?新課標(biāo)II卷)已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為(一2小，0),離心率為小.

(1)求C的方程;

(2)記C的左、右頂點(diǎn)分別為4,A2,過點(diǎn)(一4,0)的直線與C的左支交于M,N兩點(diǎn)，M在

第二象限，直線MAi與乂42交于點(diǎn)P.證明：點(diǎn)P在定直線上.

解(1)設(shè)雙曲線C的方程為a一方=130，6>0)，

由焦點(diǎn)坐標(biāo)可知c=2小，

則由e=\=小可得a=2,b=y]c2—a2-=4,

故C的方程為土方1.

(2)證法一：由(1)可得4(-2,0),A2(2,0),設(shè)M(xi，yi),N(x2,y2),

顯然直線A/N的斜率不為0,所以設(shè)直線MN的方程為無=?jy—4,且一3<相弓,

與三一猿=1聯(lián)立可得(4川一l)y2—32my+48=0,且/=64(4浮+3)>0,

外,32m48

則以十竺=簾二?州”一簾二?

直線MAi的方程為y=々_0（X+2）,直線Uh的方程為y=4式冗-2）,

X1IZX2-乙

聯(lián)立直線MAi與直線Mh的方程可得,

x+2/(為+2)丁2(切1—2)

x~2yi(%2—2)yi(my?-6)

切1>2-2(yi+>2)+2y

myiy2-6yi

48-32m,小

m4m2—14m2—1"

48

m，4m2-l6yl

-16加

4m2—12yl]

=48m~=~39

4m2—19

x+21

由---—彳可得x=—1，即無?=—1，

x—23

據(jù)此可得，點(diǎn)P在定直線x=—1上.

證法二：由題意得4（-2,0）,A2（2,0）.

設(shè)Af（xi,力），N（尤2,yi）＜直線A/N的方程為x=my—4,

則興一器=1，即4xi-ji=16.

如圖，連接四4，

,,*V.元4——16/

%""%必2—為+2尤1—2一后—4一XT-4—4①

X2V2

由^一京=1，得4，一丁=16,4[(x—2)+2]2—j/=16,

4(x—2)2+16(x—2)+16—丁=16,4(x—2)2+16(x—2)—y2=0.

由4,得x—2=?ny—6,my—(x—2)=6,^my—(x—2)]=l.

1QQ

4(x—2)2+16(x—2)-g[my—(x—2)]—y2=0,4(x—2)2+^(x—2)my—^(x—2)2—=0,

兩邊同時除以(X—2)2,得方+等.六一(^[=0,

即(MF竽m—e

yi-2

%]—2,左岫2=及二2'

4

=

由根與系數(shù)的關(guān)系得kMA2,kNA2—②

由①②可得左肪＜1=-3kNA?.

加句：(x+2)=-3左(%+2)，

=

INA2-ykNA2

[y=13fcvA(x+2)，

由彳z2八解得％=—1.

U=fcvA2(工一2),

所以點(diǎn)尸在定直線X=-l上.

名師點(diǎn)撥】

定線問題的求解思路

定線問題是指因圖形的變化或點(diǎn)的移動而產(chǎn)生的動點(diǎn)在定線上的問題.這類問題的核心在于

確定點(diǎn)的軌跡，一般先求出點(diǎn)的坐標(biāo)，看橫、縱坐標(biāo)是否為定值，或者找出橫、縱坐標(biāo)的關(guān)

系.

⑥^訓(xùn)練5.(2024?江西贛州模擬預(yù)測)如圖，過拋物線V=4x的焦點(diǎn)尸的直線與拋物線

交于A,B兩點(diǎn)，AM,AN,BC,BD分別垂直于坐標(biāo)軸，垂足依次為M,N,C,D.

(1)若矩形ANOM和矩形8A0C的面積分別為Si，S2,求S「S2的值;

(2)求證：直線與直線CD的交點(diǎn)在定直線上.

解（1）拋物線y2=4x的焦點(diǎn)尸（1,0）,顯然直線A8不垂直于y軸，設(shè)其方程為x=my+l,

x=my+1,

由

y=4x,

消去工,整理得丁2—4M＞一4=0.

設(shè)A(%i，yi),5(X2,》2)，

則"+'2=4根，yiy2=-4,

矩形ANOM和矩形BDOC的面積分別為

|yi||舅|

51-lxiyil=1^1,52=咫”|=詈，

grp,?&同1/I-4)-

所以豆⑤一“彳―16~4-

(2)證明:由(1)得M(xi，0),N(0,yi),C(x2,0),0(0,y2),

于是得直線MN的方程為y=-3+州，直線。的方程為y=一去+”，

AlA2

（尸一2+”，（、

由《邊消去y,整理得?弋尸yf，

['=一?+竺，

V.4

壬11V2_llV24（V2—V1）

而為.愈一邕―yiy2—PL/，

44

因此有x=l,即直線MN與直線C￡）的交點(diǎn)在直線x=l上.

所以直線MN與直線C。的交點(diǎn)在定直線x=l上.

課時作業(yè)

1.已知橢圓E：'+^=1（。泌＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為品，F(xiàn)z，離心率e=乎，P為橢圓上

一動點(diǎn)，△PRB面積的最大值為2.

（1）求橢圓E的方程；

⑵若C,D分別是橢圓E長軸的左、右端點(diǎn)，動點(diǎn)M滿足KDLCD,連接CM交橢圓于點(diǎn)N,

。為坐標(biāo)原點(diǎn).證明：風(fēng)?而為定值.

a~2'

解（1）當(dāng)P為短軸端點(diǎn)時，△PFiB的面積最大，即6c=2,故〈八

DC一Z,

^a2=b2+c2.

解得〃=2,b=c=y[^.

72

故橢圓E的方程為a+尹1.

(2)證明：由(1)知，C(-2,0),0(2,0),

設(shè)直線CM：y=k(x+2),NQi，9)，

因?yàn)镸￡>_LC￡),所以M(2,4A-),

仁+八

聯(lián)立"42'整理，得(2乃+1)/+83犬+8研-4=0,

,y=k(x+2),

Qp—4

由根與系數(shù)的關(guān)系，得—2元1=而不p

2—4右4k

則XI=2否1'%=網(wǎng)制+2)=2F+r

所以A(左若，3)，威?蘇=2x云4+4左、3=4，

故威.蘇為定值4.

2.(2023?廣東茂名五校聯(lián)考)已知產(chǎn)是拋物線C：V=2pMp>0)的焦點(diǎn)，不過原點(diǎn)的動直線交

拋物線C于A,8兩點(diǎn)，M是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)/在準(zhǔn)線/上的射影為N,當(dāng)#=防時，

|4川=2<1

(1)求拋物線C的方程；

(2)當(dāng)福?址=1時，求證：直線45過定點(diǎn).

解(1)當(dāng)#=防時，A8_Lx軸且A8過點(diǎn)R

不妨設(shè)A在x軸上方，則A@，P)，

此時M(^,0),A^—2>。)，

因?yàn)閨訓(xùn)=2w，所以@+以+p2=8,

解得p=2,

故拋物線C的方程為y2=4x.

⑵證明：當(dāng)直線A8的斜率為0時，顯然不符合題意；

當(dāng)直線AB的斜率不為0時，

設(shè)直線AB：x=my+n,M(xo,州)，人自，yi),8俘，以

\y2=4x,

由J化簡，得y2—4my—4〃=0,

(x=my+nf

,0?,丁1+,2T

/=16(機(jī)+幾)>0,yi+y2=4zn,yiy2=一4〃，yo=~-=2m,N(—1,2m),NA=by\-2mI,

曲=1,y2—2m],

麗?福二+(yi—2m)(j2—2附二號母+(」+—；--？21^+]+/]?-2m(yi+yi)

16加2+8”

+47"2=〃2]^1—4?—8/w2+4m2=M2—2n+L

4

若福?址=1,則〃2—2〃+1=1,

解得〃=0（舍去）或n=2,

所以直線AB過定點(diǎn)（2,0）.

、.A/5

3.（2023?全國乙卷）已知橢圓C：的禺心率是點(diǎn)4（一2,0）在。上.

（1）求C的方程;

（2）過點(diǎn)（一2,3）的直線交C于P,。兩點(diǎn)，直線AP,A。與y軸的交點(diǎn)分別為M,N,證明:

線段MN的中點(diǎn)為定點(diǎn).

'b=2,

4=3,

a2=b2+c2,

解（1）由題意可得＜解得《b=2,

c

e=~。=小，

a3'

27

所以C的方程為5+5=1.

（2）證明：由題意可知，直線尸。的斜率存在，設(shè)直線尸。：y=k（x+2）+3,尸（為，?）,。（松,

”），聯(lián)立方程

y=k（%+2）+3,

則/=642(2%+3)2—64(43+9)(右+3左)=一1728%>0,解得NO,

,8k（24+3）16（出+3左）

可傳％1+尬=_41+9'為必=47+9

因?yàn)锳(—2,0),則直線AP：y=廣占(%+2),

如2y2

口xi+2&+2k（xi+2）+3k（愈+2）+3

'2為+2%2+2

[Axi+（2Z+3）[（m+2）+〔依2+（2左+3）]（%i+2）

（冗1+2）（乃+2）

2fcvi%2+（4Z+3）（即+尬）+4（24+3）

X1X2+2（X1+X2）+4

32k（/+3左）8k（4Z+3）⑵+3）

卜4⑵+3）

4^+9~4一+9

16（王+3%）16%（2左+3）

~4-+9—一—4一+9-+

108。

=~36~3,

所以線段MN的中點(diǎn)是定點(diǎn)(0,3).

4.(2024?山東泰安模擬)已知曲線C上的動點(diǎn)尸滿足|PE|—|PB|=2,且尸1(一2,0),F2(2,

0).

⑴求曲線C的方程；

(2)若直線與C交于A,8兩點(diǎn)，分別過A,8作C的切線，兩切線交于點(diǎn)P，.在以下兩個

條件①②中選擇一個條件，證明另外一個條件成立.

①直線AB經(jīng)過定點(diǎn)M(4,0)；

②點(diǎn)P'在定直線x=9上.

解⑴因?yàn)镮PFil—|產(chǎn)后|=2<4=尸16|,所以曲線C是以尸1,改為焦點(diǎn)，2為實(shí)軸長的雙曲線

的右支,

所以2〃=2,即〃=1,

又因?yàn)锽(—2,0),b2(2,0),所以。=2,得/=3,

所以曲線C的方程為『一曰=1(x^1).

⑵若選擇①，證明②成立.

依題意，點(diǎn)A,B在雙曲線右支上，此時直線A8的斜率必不為0,

設(shè)直線方程為％=my+4,A(xi，y。，B(x2,yi),不妨設(shè)A在第一象限，B在第四象限.

因?yàn)閤2一k=1(%21),所以貫=3"一3,

3Y

且y=y]3x2—3,求導(dǎo)得y'=l亍U

f無1/、

所以過點(diǎn)A的切線方程為了一竺=小不寸f)，

化簡得與1=3尤1尤一3,(i)

同理yy2=3&x-3,(ii)

，y2一“

X一，

xiy2-X2yi

聯(lián)立方程(i)(ii),解得4°\

3x2—3xi

y=，

Ixiy2-JC2yi

所以口產(chǎn)人，上^),

\xiy2—X2yixiy2-X2yiJ

因?yàn)辄c(diǎn)A,B在直線A3上，所以修=機(jī)刃+4,入2=9y2+4,

所以xiy2=my\y2+4y2，x2yi=myiy2+4y1,

所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為小一產(chǎn)=4廣一\4

xiy2~X2yi4(y2—yi)4

,、/3尬―3即3m(刈一男)3m

點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為--------~1=才.

xiy2-X2^i4(中一9)4

即點(diǎn)P在定直線工=:上.

若選擇②，證明①成立.

不妨設(shè)A在第一象限，5在第四象限，A(xi，州)，Bg,").

因?yàn)閤2一女=1(%21),所以g=34—3,

且y=y[3^—3,

求導(dǎo)得曠=下空:

所以過點(diǎn)A的切線方程為y—yi=^==(x-xi),

化簡得?1=3為％—3,(i)

同理yy2=3x2T—3,(ii)

聯(lián)立方程(i)(ii)得，交點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為

陽丁2-元2'1'

由題意,知

即一九2%=4y2-4刃=4。2一%).(iii)

因?yàn)锳(%i，yi)93(x2,及)，

所以直線A5的方程為

y2-yi.、

y~yi=(x—xi),

X2~Xi

SP(X2—Xi)(y—yi)=(j2-yi)(x—Xi),整理得xiy2—X2yi=(y2—yi)x+(xi-xi)y.

聯(lián)立(iii)式可得①一yD(%—4)+(?—%2)y=0，

易知x=4,y=0,即直線AB經(jīng)過定點(diǎn)M(4,0).

5.(2023?河南鄭州統(tǒng)考二模)已知拋物線C丁=2*⑦>0),。為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在直線2x+4y

—1=0上.

⑴求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過點(diǎn)(4,0)作動直線/與拋物線。交于“，N兩點(diǎn),直線。M,ON分別與圓1)2+丁=1

交于點(diǎn)尸，。(異于點(diǎn)。)，設(shè)直線OM,ON的斜率分別為自，fo.

①求證：為定值；

②求證：直線尸。恒過定點(diǎn).

解⑴易知直線2x+4y—1=0與x軸交于點(diǎn)Q,0),

即焦點(diǎn)坐標(biāo)為6，0),所以今=3，p=l,

則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2x.

(2)證明：①設(shè)直線MN的方程為x=my+4,M(x\,%),Ng,m)，

fx=my+4,

聯(lián)立方程j2—2得9一2加丁一8二0,

貨=2xi，

所以yi'2=-8,又

或=2X2,

所以定強(qiáng)=4為%2=64,即XIX2=16,

向7JU2-8_1

則kvk72~xiX2~16~~2-

②設(shè)直線尸。的方程為X=^+mP（X3,g），2（X4,>4），

[x=ty+n,

聯(lián)立方程，.、，，，

[（X-1）2+產(chǎn)=1,

得（P+1）;/+2*W-l）y+/—2〃=0,

2t（n—1）"2——9n

所以乃+%=—?+