高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1上海市浦東新區(qū)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷一、填空題(本大題共有12題，滿分36分)選對(duì)得3分，否則一律得零分.1.集合的子集的個(gè)數(shù)為_________.【答案】4【解析】集合有個(gè)元素，集合的子集的個(gè)數(shù)為.2.函數(shù)的定義域?yàn)開______________.【答案】【解析】由得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?3.已知陳述句或x>2，則的否定形式為__________.【答案】【解析】由或x>2，則的否定形式為.4.已知函數(shù)y=fx的表達(dá)式為，則_________.【答案】【解析】因?yàn)?，且，則.5.已知，用有理數(shù)指數(shù)冪的形式表示________.【答案】【解析】.6.已知，，且，則的最大值為_________.【答案】【解析】∵，，∴，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．7.若關(guān)于的不等式的解集是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________．【答案】【解析】因?yàn)椴坏仁降慕饧?，在上恒成立，，即?.若冪函數(shù)（為整數(shù)）的定義域?yàn)?，則的值為________．【答案】1【解析】若冪函數(shù)（為整數(shù)）的定義域?yàn)镽，則，解得，而是整數(shù)，則只能，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.9.已知，，則_________.（結(jié)果用a，b表示）【答案】【解析】.10.如果函數(shù)在區(qū)間2，+∞上是嚴(yán)格增函數(shù)，那么實(shí)數(shù)的取值范圍為_________【答案】【解析】由二次函數(shù)的性質(zhì)，可知函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，所以，即.11.若關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________.【答案】【解析】令，由題意可知，對(duì)任意的恒成立，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上為減函數(shù)，則；當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上為增函數(shù)，.綜上所述，函數(shù)在上的最小值為，故.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.12.已知集合，其中.若存在正數(shù)，使得對(duì)任意，都有，則的值是_________.【答案】【解析】因?yàn)?，則只需考慮下列三種情況：因?yàn)?，，則，又因?yàn)?，則，因?yàn)?，則且，可得，所以，解得.二、選擇題(本大題共有4題，滿分12分)每小題都給出四個(gè)選項(xiàng)，其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，選對(duì)得3分，否則一律得零分.13.如果，那么下列不等式中成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)椋视刹坏仁降男再|(zhì)得，故C選項(xiàng)正確；對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)滿足，但不成立，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，由于，但，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，由于，但，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C.14.已知，，若是的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】已知，，若是的充分不必要條件，則，所以.故選：B.15.如圖，等腰直角三角形ABC中，AB=AC=，在AB邊上任取一點(diǎn)P，過P作斜邊BC的垂線交BC于Q，則當(dāng)P點(diǎn)按B→A→C的方向移動(dòng)時(shí)，圖中陰影部分的面積S隨BQ的長度h變化的函數(shù)關(guān)系S（h）的圖象是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)（如下圖所示），在等腰直角三角形ABC中，，所以陰影部分的面積，當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上時(shí)（如下圖所示），在等腰直角三角形ABC中，，所以陰影部分的面積，根據(jù)二次函數(shù)的圖像得：面積增加的速度：先慢后快，當(dāng)P過A點(diǎn)后面積增加的速度：先快后慢.故選：D.16.已知，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.不等式的解集為B.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.若、為實(shí)數(shù)，且，則D.若、為實(shí)數(shù)，且，則【答案】D【解析】任取、且，則，且，，所以，，則函數(shù)在上為增函數(shù)，對(duì)于A選項(xiàng)，由可得，所以，不等式的解集為，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，若、為實(shí)數(shù)，且，則，所以，，則，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，取，，則，D錯(cuò).故選：D.三、解答題(本大題共有5題，滿分52分)解答下列各題必須寫出必要的步驟.17.已知集合，集合，求.解：因?yàn)?，所以或，即，因?yàn)椋?，所以?18.已知是常數(shù)，設(shè)是二次方程的兩個(gè)實(shí)根.（1）求的值；（2）當(dāng)取到最小值時(shí)，求的值.解：（1）因?yàn)橛袃蓚€(gè)根，所以，，即，解得或，由韋達(dá)定理，得，，.（2），設(shè)拋物線方程，定義域?yàn)榛?，開口向上，拋物線對(duì)稱軸，當(dāng)時(shí)，函數(shù)嚴(yán)格減函數(shù)，即在上是嚴(yán)格減函數(shù)，時(shí)，函數(shù)為嚴(yán)格增函數(shù)，即在上是嚴(yán)格增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取最小值32即取最小值.19.已知函數(shù)y=fx的表達(dá)式為.（1）判斷函數(shù)y=fx（2）用定義證明：函數(shù)y=fx在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù).解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椴魂P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以y=fx既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)（2）任取則，因?yàn)樗?，所以，即，所以函?shù)y=fx在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù).20.某校為了鼓勵(lì)學(xué)生利用業(yè)余時(shí)間閱讀名著，預(yù)備制定一個(gè)每日閱讀考核評(píng)分制度，建立一個(gè)每日得分(單位：分)與當(dāng)日閱讀時(shí)間(單位：分鐘)的函數(shù)關(guān)系.要求如下：(i)函數(shù)的部分圖象接近圖示；(ii)每日閱讀時(shí)間為0分鐘時(shí)，當(dāng)日得分為0分；(iii)每日閱讀時(shí)間為30分鐘時(shí)，當(dāng)日得分為3分；(iiii)每日閱讀時(shí)間設(shè)置上限，最多得分不超過6分.現(xiàn)有以下三個(gè)函數(shù)模型供選擇:①；②；③.（1）請你根據(jù)函數(shù)圖象性質(zhì)，從中選擇一個(gè)合適函數(shù)模型，不需要說明理由；（2）根據(jù)你對(duì)(1)的判斷以及所給信息，寫出合適函數(shù)模型的解析式；（3）若該校要求每日的得分不少于5分，問每日至少閱讀名著多少分鐘？(結(jié)果精確到整數(shù)).解：（1）根據(jù)題意可得應(yīng)選擇增加速度為先快后慢的增長模型，所以選對(duì)數(shù)型模型，故選.（2）由題意及（1）可知，在上，所以，解得3，，所以，令6，可得，解得，所以函數(shù)的解析式為.（3）令，可得，即，解得，所以每天得分不少于5分，至少需要閱讀66分鐘.21.若函數(shù)y=fx滿足：在定義域內(nèi)存在，使得成立，則稱函數(shù)y=fx為“函數(shù)”.（1）若，問y=fx是否為“函數(shù)”，請說明理由；（2）若，問y=fx是否為“函數(shù)”，請說明理由:（3）若，且y=fx是“函數(shù)”，則求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）若函數(shù)為“函數(shù)”，則，得，明顯不成立，所以不為“函數(shù)”.（2）若存在滿足條件，即，則，整理可得，設(shè)，則函數(shù)在上為增函數(shù)，因?yàn)?，，所以，，由零點(diǎn)存在定理可知，存在，使得，故函數(shù)為“函數(shù)”.（3）由條件得，令，可得，整理可得，所以關(guān)于的方程有正根，則，可得，解得或，設(shè)方程的兩根分別為、，則，且，解得，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.上海市浦東新區(qū)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷一、填空題(本大題共有12題，滿分36分)選對(duì)得3分，否則一律得零分.1.集合的子集的個(gè)數(shù)為_________.【答案】4【解析】集合有個(gè)元素，集合的子集的個(gè)數(shù)為.2.函數(shù)的定義域?yàn)開______________.【答案】【解析】由得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?3.已知陳述句或x>2，則的否定形式為__________.【答案】【解析】由或x>2，則的否定形式為.4.已知函數(shù)y=fx的表達(dá)式為，則_________.【答案】【解析】因?yàn)椋?，則.5.已知，用有理數(shù)指數(shù)冪的形式表示________.【答案】【解析】.6.已知，，且，則的最大值為_________.【答案】【解析】∵，，∴，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．7.若關(guān)于的不等式的解集是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________．【答案】【解析】因?yàn)椴坏仁降慕饧?，在上恒成立，，即?.若冪函數(shù)（為整數(shù)）的定義域?yàn)?，則的值為________．【答案】1【解析】若冪函數(shù)（為整數(shù)）的定義域?yàn)镽，則，解得，而是整數(shù)，則只能，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.9.已知，，則_________.（結(jié)果用a，b表示）【答案】【解析】.10.如果函數(shù)在區(qū)間2，+∞上是嚴(yán)格增函數(shù)，那么實(shí)數(shù)的取值范圍為_________【答案】【解析】由二次函數(shù)的性質(zhì)，可知函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，所以，即.11.若關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________.【答案】【解析】令，由題意可知，對(duì)任意的恒成立，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上為減函數(shù)，則；當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上為增函數(shù)，.綜上所述，函數(shù)在上的最小值為，故.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.12.已知集合，其中.若存在正數(shù)，使得對(duì)任意，都有，則的值是_________.【答案】【解析】因?yàn)?，則只需考慮下列三種情況：因?yàn)?，，則，又因?yàn)椋瑒t，因?yàn)?，則且，可得，所以，解得.二、選擇題(本大題共有4題，滿分12分)每小題都給出四個(gè)選項(xiàng)，其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，選對(duì)得3分，否則一律得零分.13.如果，那么下列不等式中成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，故由不等式的性質(zhì)得，故C選項(xiàng)正確；對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)滿足，但不成立，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，由于，但，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，由于，但，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C.14.已知，，若是的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】已知，，若是的充分不必要條件，則，所以.故選：B.15.如圖，等腰直角三角形ABC中，AB=AC=，在AB邊上任取一點(diǎn)P，過P作斜邊BC的垂線交BC于Q，則當(dāng)P點(diǎn)按B→A→C的方向移動(dòng)時(shí)，圖中陰影部分的面積S隨BQ的長度h變化的函數(shù)關(guān)系S（h）的圖象是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)（如下圖所示），在等腰直角三角形ABC中，，所以陰影部分的面積，當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上時(shí)（如下圖所示），在等腰直角三角形ABC中，，所以陰影部分的面積，根據(jù)二次函數(shù)的圖像得：面積增加的速度：先慢后快，當(dāng)P過A點(diǎn)后面積增加的速度：先快后慢.故選：D.16.已知，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.不等式的解集為B.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.若、為實(shí)數(shù)，且，則D.若、為實(shí)數(shù)，且，則【答案】D【解析】任取、且，則，且，，所以，，則函數(shù)在上為增函數(shù)，對(duì)于A選項(xiàng)，由可得，所以，不等式的解集為，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，若、為實(shí)數(shù)，且，則，所以，，則，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，取，，則，D錯(cuò).故選：D.三、解答題(本大題共有5題，滿分52分)解答下列各題必須寫出必要的步驟.17.已知集合，集合，求.解：因?yàn)?，所以或，即，因?yàn)?，所以，所以?18.已知是常數(shù)，設(shè)是二次方程的兩個(gè)實(shí)根.（1）求的值；（2）當(dāng)取到最小值時(shí)，求的值.解：（1）因?yàn)橛袃蓚€(gè)根，所以，，即，解得或，由韋達(dá)定理，得，，.（2），設(shè)拋物線方程，定義域?yàn)榛颍_口向上，拋物線對(duì)稱軸，當(dāng)時(shí)，函數(shù)嚴(yán)格減函數(shù)，即在上是嚴(yán)格減函數(shù)，時(shí)，函數(shù)為嚴(yán)格增函數(shù)，即在上是嚴(yán)格增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取最小值32即取最小值.19.已知函數(shù)y=fx的表達(dá)式為.（1）判斷函數(shù)y=fx（2）用定義證明：函數(shù)y=fx在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù).解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椴魂P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以y=fx既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)（2）任取則，因?yàn)樗?，所以，即，所以函?shù)y=fx在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù).20.某校為了鼓勵(lì)學(xué)生利用業(yè)余時(shí)間閱讀名著，預(yù)備制定一個(gè)每日閱讀考核評(píng)分制度，建立一個(gè)每日得分(單位：分)與當(dāng)日閱讀時(shí)間(單位：分鐘)的函數(shù)關(guān)系.要求如下：(i)函數(shù)的部分圖象接近圖示；(ii)每日閱讀時(shí)間為0分鐘時(shí)，當(dāng)日得分為0分；(iii)每日閱讀時(shí)間為30分鐘時(shí)，當(dāng)日得分為3分；(iiii)每日閱讀時(shí)間設(shè)置上限，最多得分不超過6分.現(xiàn)有以下三個(gè)函數(shù)模型供選擇:①；②；③.（1）請你根據(jù)函數(shù)圖象性質(zhì)，從中選擇一個(gè)合適函數(shù)模型，不需要說明理由；（2）根據(jù)你對(duì)(1)的判斷以及所給信息，寫出合適函數(shù)模型的解析式；（3）若該校要求每日的得分不少于5分，問每日至少閱讀名著多少分鐘？(結(jié)果精確到整數(shù)).解：（1）根據(jù)題意可得應(yīng)選擇增加速度為先快后慢的增長模型，所以選對(duì)數(shù)型模型，故選.（2）由題意及（1）可知，在上，所以，解得3，，所以，令6，可得，解得，所以函數(shù)的解析式為.（3）令，可得，即，解得，所以每天得分不少于5分，至少需要閱讀66分鐘.21.若函數(shù)y=fx滿足：在定義域內(nèi)