4<14支導(dǎo)圓、直鐵易圓的彼置房東

■

5年考情?探規(guī)律

考點(diǎn)五年考情(2020-2024)命題趨勢(shì)

考點(diǎn)1點(diǎn)與圓2024?廣州卷：垂徑定理，圓周角定理，點(diǎn)與圓的

的位置關(guān)系位置關(guān)系，銳角三角函數(shù)

2020?廣州卷：由三角函數(shù)解直角三角形、勾股定

考點(diǎn)2直線與理、直線和圓的位置關(guān)系

圓的位置關(guān)系2021?廣州卷：直線與圓的位置關(guān)系，四邊形內(nèi)角在中考中，與圓有關(guān)的位置關(guān)系、

和，弧長(zhǎng)公式與切線有關(guān)的計(jì)算常以填選形式

2022?深圳卷：圓周角定理、切線的性質(zhì)、等腰三考察，而圓的切線判定及性質(zhì)常出

角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)現(xiàn)在圓的綜合大題中，解決與圓有

2022?廣州卷：等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定關(guān)的綜合題目不僅需要掌握?qǐng)A的

考點(diǎn)3切線的與性質(zhì)、切線的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)基本性質(zhì)、圓切線的判定和性質(zhì)，

性質(zhì)用、弧長(zhǎng)的計(jì)算及圓中的一些計(jì)算，還需要我們熟

2020?深圳卷：切線的性質(zhì)、相似三角形練的結(jié)合全等三角形、相似三角

2024?深圳卷：切線的性質(zhì)、圓周角定理、中垂線形、特殊四邊形、特殊三角形、三

的判定和性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)角函數(shù)、解三角形等綜合分析問(wèn)

2023,深圳卷：格點(diǎn)作圖、圓切線的性質(zhì)和判定、題，并需要考生注意幾何大題的邏

全等三角形的性質(zhì)和判定、相似三角形的性質(zhì)和輯語(yǔ)言使用，在解答時(shí)，思路要清

考點(diǎn)4切線的判定晰、書寫要工整，做到每一步都有

判定2020?廣東卷：圓的切線的判定與性質(zhì)、圓周角定理有據(jù)。

理、切線長(zhǎng)定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、正

切三角函數(shù)

考點(diǎn)5切線長(zhǎng)2023?廣州卷：三角形內(nèi)切圓、切線長(zhǎng)定理、圓周

定理角定理、切線的性質(zhì)

■——

5年真題?分點(diǎn)精準(zhǔn)練

考點(diǎn)1點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

1.（2024?廣東廣州?中考真題）如圖，。。中，弦的長(zhǎng)為46,點(diǎn)C在。。上，OC±AB,ZABC=30°.QO

所在的平面內(nèi)有一點(diǎn)尸，若。尸=5,則點(diǎn)尸與。。的位置關(guān)系是（）

A.點(diǎn)尸在。。上B.點(diǎn)尸在。。內(nèi)C.點(diǎn)尸在。。外D.無(wú)法確定

【答案】C

【分析】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，銳角三角函數(shù)，掌握?qǐng)A的相關(guān)性質(zhì)是解

題關(guān)鍵.由垂徑定理可得AD=26，由圓周角定理可得ZAOC=60°，再結(jié)合特殊角的正弦值，求出。。的半

徑，即可得到答案.

【詳解】解：如圖，令OC與AB的交點(diǎn)為。，

?.?OC為半徑，A5為弦，且OC_LAB,

2

?.?/ABC=30°

...ZAOC=2ZABC=60°,

在3130中，ZADO=90。，ZA(9D=60°,AD=2&,

AJ~)

?/sinZAOD=——

OA

?OA=^^="4

"sin60°6,即0。的半徑為4,

2

?.?OP=5>4,

???點(diǎn)P在。。外,

故選：C.

C

考點(diǎn)2直線與圓的位置關(guān)系

4

2.（2020?廣東廣州?中考真題）如圖,&AABC中,NC=90°,AB=5,cosA=-,以點(diǎn)3為圓心，一為半

徑作08,當(dāng)r=3時(shí)，與AC的位置關(guān)系是（）

B.相切C.相交D.無(wú)法確定

4

【分析】根據(jù)R/A4BC中，ZC=90°,cosA=-,求出AC的值，再根據(jù)勾股定理求出BC的值，比較BC

與半徑r的大小，即可得出與AC的位置關(guān)系.

4

【詳解】解：回心AABC中，ZC=90°,cosA=-

AC4

團(tuán)cosA==—

AB5

0AB=5,

0AC=4

0BC=7AB2-AC2=3

當(dāng)r=3時(shí)，。3與AC的位置關(guān)系是：相切

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查了由三角函數(shù)解直角三角形，勾股定理以及直線和圓的位置關(guān)系等知識(shí)，利用勾股定理

解求出BC是解題的關(guān)鍵.

3.（2021?廣東廣州?中考真題）一根鋼管放在V形架內(nèi)，其橫截面如圖所示,鋼管的半徑是24cm,若ZACB=60°,

則劣弧AB的長(zhǎng)是（）

B.1671cmC.32兀cmD.192兀cm

【答案】B

【分析】先利用v形架與圓的關(guān)系求出EIC+a4OB=180。，由EIC=60。，可求0X08=120。，由。B=24cm,利用弧

長(zhǎng)公式求即可.

【詳解】解：媯。與8C是圓的切線,

團(tuán)0A財(cái)C,OB^CB,

盟OAC二團(tuán)03090°,

團(tuán)團(tuán)。+財(cái)03=360°-團(tuán)0AC-團(tuán)05。=360°-90°-90°=180°,

團(tuán)團(tuán)C=60°,

的4。樂180°-60°=120°,

團(tuán)O5=24cm,

j120x^x24

團(tuán)二=-------=lo7rcm.

"180

故選擇5.

【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，四邊形內(nèi)角和，弧長(zhǎng)公式，掌握直線與圓的位置關(guān)系，四邊形內(nèi)

角和，弧長(zhǎng)公式是解題關(guān)鍵.

考點(diǎn)3切線的性質(zhì)

4.（2022?廣東深圳?中考真題）如圖所示，己知三角形ABE為直角三角形，ZABE=90°,BC為。。切線，C

為切點(diǎn)，DE為0。直徑，C4=CD,則VABC和ACDE面積之比為（）

C.72:2D.(>/2-l):l

【答案】B

【分析】根據(jù)圓周角定理，切線的性質(zhì)以及等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算

即可.

【詳解】解：如圖取OE中點(diǎn)O,連接OC.

團(tuán)是圓0的直徑.

^\ZDCE=ZDCA=900.

團(tuán)與圓O相切.

國(guó)/BCO=90。.

回ZDCA=ZBCO=90。.

⑦ZACB=NDCO.

0ZABD+ZACZ)=180°.

0ZA+ZBDC=180°.

又團(tuán)ZBDC+ZCDO=180。.

團(tuán)NA=NCDO.

回/ACB=NDCO,AC=DC,ZA=ZCDO.

團(tuán)AABC=AZ)OC(ASA).

回S/\ABC=$4DOC?

團(tuán)點(diǎn)。是。E的中點(diǎn).

團(tuán)SADOC=0.5SACDE?

—

0,^AABC0,5S4CDE-

0,^AABC'ZcDE=1：2

故答案是：102.

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)，圓周角定理，等腰三角形以及全等三角形的性質(zhì)，理解切線的性質(zhì)，圓周

角定理以及全等三角形的判定和性質(zhì)是解決問(wèn)題的前提.

5.(2022?廣東廣州?中考真題)如圖，在0ABe中，AB=AC,點(diǎn)。在邊AC上，以。為圓心，4為半徑的圓恰

好過(guò)點(diǎn)C,且與邊48相切于點(diǎn)。，交8c于點(diǎn)E,則劣弧￡>E的長(zhǎng)是(結(jié)果保留")

【答案】2兀

【分析】如圖，連接OE,證明A8〃0E,可得？A?COE,再證明？COE1AOD90?,可得

?DOE180?90?90?,再利用弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：如圖，連接O。，OE,

回<9石=OC=4,

國(guó)？OEC2OCE,

NB=/ACB,

\?B?OEC,

\AB//OE,

\?A?COE,

團(tuán)?0與邊A8相切于點(diǎn)。，

醴ADO90?,

團(tuán)？A?AOD90?,

\?COE?AOD90?,

\?DOE180?90?90?,

,,1/90p'4

￡>E的長(zhǎng)==2p,

loU

故答案為：2萬(wàn).

【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，切線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)

用，弧長(zhǎng)的計(jì)算，求解/DOE=90。是解本題的關(guān)鍵.

6.（2020?廣東深圳?中考真題）如圖，48為回。的直徑，點(diǎn)C在回。上，與過(guò)點(diǎn)C的切線互相垂直，垂足

為。連接BC并延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

E

（2）若A5=10,BC=6,求CD的長(zhǎng).

24

【答案】（1）見解析；（2）CD=-,

【分析】⑴連接0C,由同旁內(nèi)角互補(bǔ)得出AD〃。卻可得回OCB=E1E,即可推出國(guó)ABE=%AE=AB.

⑵連接AC,由勾股定理求出AC,由回EDC麗ECA得出相似比，求出CD即可.

團(tuán)CD與回0相切于C點(diǎn)

0OC0CZ)

又團(tuán)QM4E

0OC//AE

盟0CB=[2E

^OC=OB

團(tuán)團(tuán)ABE=R10CB

團(tuán)團(tuán)ABE=?E

^\AE=AB

(2)連接AC

她8為回0的直徑

團(tuán)團(tuán)ACB=90°

^AC=V102-62=8

^\AB=AEfACSBE

^\EC=BC=6

團(tuán)R1DEC=R]CEA,R1EDC=R]ECA

盟EDCffiECA

DCEC

團(tuán)---=---

ACEA

EC._6,,24

團(tuán)CD---AC=——x8=—.

EA105

【點(diǎn)睛】本題考查圓與三角形的綜合性質(zhì)及相似的證明和性質(zhì)，關(guān)鍵在于合理作出輔助線將已知條件轉(zhuǎn)換求

解.

7.（2024?廣東深圳?中考真題）如圖，在△AB。中，AB=BD,O。為△A3。的外接圓，BE為。。的

切線，AC為。。的直徑，連接。C并延長(zhǎng)交助于點(diǎn)E.

（1）求證：DE上BE；

（2）若AB=5娓,BE=5,求。。的半徑.

【答案】（1）見解析（2）3y/5

【解析】

【分析】本題考查切線的性質(zhì)，圓周角定理，中垂線的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)：

（1）連接50并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)連接0。，易證80垂直平分A。，圓周角定理，切線的性質(zhì)，推

出四邊形5HDE為矩形，即可得證；

（2）由（1）可知。/=5石=5,勾股定理求出的長(zhǎng)，設(shè)OO的半徑為「，在中，利用勾

股定理進(jìn)行求解即可.

【小問(wèn)1詳解】

證明：連接80并延長(zhǎng)，交AD于點(diǎn)、H,連接。D,

VAB=BD,OA=OD,

：.80垂直平分AT＞，

ABHJ.AD,AH=DH,

,：BE1為。。的切線，

:.HB±BE，

：AC為。。的直徑，

ZADC=90°,

二四邊形3HDE為矩形，

/.DEVBE-,

小問(wèn)2詳解】

由（1）知四邊形5HDE為矩形，BHJ.AD，AH=DH，

^\AH=DH=BE=5,

BH=7AB2-AH2=5亞，

設(shè)。。的半徑為,，貝1J：OA=OB=r,OH=BH-OB=575-r,

在RtZVLOT/中，由勾股定理，得：/乂5）2+（5百

解得：r—3也;

即：。。的半徑為3石.

考點(diǎn)4切線的判定

8.（2023,廣東深圳?中考真題）如圖，在單位長(zhǎng)度為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)O,A,3均在格點(diǎn)上，（M=3,AB=2,

以。為圓心，Q4為半徑畫圓，請(qǐng)按下列步驟完成作圖，并回答問(wèn)題：

①過(guò)點(diǎn)A作切線AC,且AC=4(點(diǎn)C在A的上方);

②連接OC,交0。于點(diǎn)。；

③連接80,與AC交于點(diǎn)E.

⑴求證：8。為。。的切線；

⑵求AE的長(zhǎng)度.

【答案】⑴畫圖見解析，證明見解析

3

(2)AE=-

［分析1(1)根據(jù)題意作圖，首先根據(jù)勾股定理得到oc=VCM2+AC2=5，然后證明出AAOC^ADOB(SAS),

得到ZOAC=ZODB=90°,即可證明出8。為。。的切線；

(2)首先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到3D=AC=4,然后證明出VWEsV%)0,利用相似三角形的性質(zhì)求

解即可.

【詳解】(1)如圖所示，

E1AC是。。的切線，

E1Q41AC,

0OA=3,AC=4,

<30C=y/0A2+AC2=5>

回OA=3,AB=2,

團(tuán)OB=OA+AB=5,

^\OB=OC,

又138=04=3,ZAOC=NDOB,

0△A(9C^AD0B(SAS),

SZOAC=ZODB=90°,

^ODLBD,

團(tuán)點(diǎn)。在。。上，

團(tuán)50為。。的切線；

(2)EIVAOCAOQ8,

團(tuán)BD=AC=4,

^\ZABE=ZDBO,NBAE=/BDO,

^NBAE^NBDO,

AEABAE2

0一=一，即an一=-

ODBD34

3

團(tuán)解得AE=；.

【點(diǎn)睛】此題考查了格點(diǎn)作圖，圓切線的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判

定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn).

9.(2020?廣東?中考真題)如圖1,在四邊形ABC。中，AD//BC,ZDAB=90°,A3是。。的直徑，CO平

分/BCD.

圖1

(1)求證：直線CD與。。相切；

(2)如圖2,記(1)中的切點(diǎn)為E,尸為優(yōu)弧舛E上一點(diǎn)，AD=1,3c=2.求tanNAPE的值.

圖2

【答案】（1）證明見解析；（2）也.

2

【分析】（1）如圖（見解析），先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出03,CB,再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得OE=03,

然后根據(jù)圓的切線的判定即可得證；

（2）如圖（見解析），先根據(jù)圓周角定理可得=ZAEB=90°,再根據(jù)圓的切線的判定、切

AFDF1

線長(zhǎng)定理可得CE=BC=2DE=AD=1,然后根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得笠=等==,設(shè)AE=e

9EFCE2

RFAF

從而可得EF=2〃，又根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得r=",從而可得缶，最后根據(jù)正切三

EFBE

角函數(shù)的定義即可得.

【詳解】（1）如圖，過(guò)點(diǎn)。作OELCD于點(diǎn)E

QADIIBC,ZZMB=90°

0ZOBC=90°,即OB_LCB

又回CO平分/BCD,OE1CD

^OE=OB

即0E是。。的半徑

回直線CD與。。相切；

（2）如圖，連接BE,延長(zhǎng)AE交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)下

由圓周角定理得：ZAPE^ZABE,ZAEB=90°

〈AB是。0的直徑，AB±AD,ABLBC

二?AD、BC都是0。的切線

由切線長(zhǎng)定理得：CE=BC=2,DE=AD=1

AD!IBC

⑦ZDAE=NCFE

ZAED=ZFEC

在VAD石和△■二￡1中,

ZDAE=ZCFE

團(tuán)AADE~AFCE

AEDE

團(tuán)----=----

EFCE2

設(shè)A石=〃(a>0),則砂=2〃

?.?ZBAE+ZABE=ZFBE+ZABE=90°

.\ZBAE=ZFBE

ZBAE=ZFBE

在人45￡和△BFE中,

ZAEB=ZBEF=90°

.".^ABE~^FE

BEAE口口BEa

——二——,即——=——

EFBE2aBE

解得BE=無(wú)a

在RGABE中，tanZABE=—=-^=—

BEV2a2

貝hanZAPE=tanZABE=

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的判定與性質(zhì)、圓周角定理、切線長(zhǎng)定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、正切

三角函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題（2）,通過(guò)作輔助線，構(gòu)造相似三角形是解題關(guān)鍵.

考點(diǎn)5切線長(zhǎng)定理

10.（2023?廣東廣州?中考真題）如圖，AABC的內(nèi)切圓。/與BC,CA,AB分別相切于點(diǎn)。，E,F,若

。/的半徑為r，NA=a,則（政+CE—3。）的值和/EDE的大小分別為（）

ao(

A.2r,90°—。B.0,9Q0-aC.2r,90°--D.O,90°——

22

【答案】D

【解析】

【分析】如圖，連接3,IE.利用切線長(zhǎng)定理，圓周角定理，切線的性質(zhì)解決問(wèn)題即可.

【詳解】解：如圖，連接7F,IE.

：AABC的內(nèi)切圓。/與8C,CA,AB分別相切于點(diǎn)E,F,

：.BF=BD,CD=CE,IF工AB,IE±AC,

BF+CE—BC=BD+CD—BC=BC—BC=0,AAFI=ZAE1—90°,

???ZEIF=180°-a,

：.ZEDF=-ZEIF=90°--a.

22

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，圓周角定理，切線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握切線的性

質(zhì)，屬于中考常考題型.

1年模擬?精選?？碱}

11.（2024?廣東廣州?二模）VABC中，AB=AC=6,BC=4,以點(diǎn)A為圓心，5為半徑畫圓，那么該圓與BC

的位置關(guān)系是（）

A.相離B.相切C.相交D.不能確定

【答案】A

【分析】本題考查了直線和圓的位置關(guān)系、等腰三角形三線合一的性質(zhì)、勾股定理，明白要作AD13C、

求出AD是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)題意畫出VABC,并過(guò)點(diǎn)A作AD2BC于點(diǎn)。，根據(jù)等腰三角形三線合一求得8。的長(zhǎng)，再利用勾股

定理求得的長(zhǎng)，把與圓的半徑5比較大小，判定該圓與BC的位置關(guān)系即可.

【詳解】解：如圖，根據(jù)題意畫出VABC,并過(guò)點(diǎn)A作AD13C于點(diǎn)。，

13BD=CD=—BC=—x4=2,

22

^AD=yjAB2-BD2=V62-22=4A/2，

0472=V32>A/25=5,

團(tuán)以點(diǎn)A為圓心，5為半徑的圓，與8C的位置關(guān)系是相離，

故選：A.

12.（2024?廣東河源?二模）如圖，PA.P3是。。的切線，切點(diǎn)分別為點(diǎn)43,點(diǎn)C為。。上一點(diǎn)，ZP=66°,

則NC等于（）

A.66°B.63°C.57°D.60°

【答案】C

【分析】本題主要考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，四邊形內(nèi)角和定理，先由切線的性質(zhì)得到

NOBP=NOAP=90°,再由四邊形內(nèi)角和為360度求出NAO3=H4。，則由圓周角定理即可得到

ZC=-ZAOB=5T.

2

【詳解】解：回外、總是。。的切線，

ZOBP=ZOAP=9Q°,

回々=66°,

0ZAOB=360°-ZOBP-ZOAP-ZP=114°,

0ZC=-ZAOB=57°,

2

故選：C.

13.（2024?廣東汕頭?一模）如圖，為。。的直徑，AC是。。的切線，點(diǎn)A是切點(diǎn)，連接BC交。。于點(diǎn)

D,連接O。，若NC=40。，則ZAOE>=（）

A.40°B.50°C.80°D.100°

【答案】D

【分析】本題考查了切線的性質(zhì)和圓周角定理.先根據(jù)切線的性質(zhì)得到NBAC=90。，再利用互余計(jì)算出

4=50。，然后根據(jù)圓周角定理得到/AOD的度數(shù).

【詳解】解：團(tuán)A3為。。的直徑，AC是。。的切線，點(diǎn)A是切點(diǎn)，

13AsiAC,

0ZBAC=90°,

EIZC=40o,

0ZB=5O°,

團(tuán)OB=OD

⑦ZB=NODB

^ZAOD=2ZB=100°.

故選：D.

14.（2024?廣東廣州?二模）如圖，AB是。0的直徑，直線。石與相切于點(diǎn)C,過(guò)A,5分別作">_1。石,

E,連接AC,BC,若AD=6,CD=3,則VABC的面積為（）

4A/3C.6D.6A/3

【答案】D

【分析】本題考查了切線的定義，解直角三角形，直徑所對(duì)的圓周角，解題的關(guān)鍵是掌握切線的定義，熟

記各個(gè)特殊角度的三角函數(shù)值，以及直徑所對(duì)的圓周角是直角.

連接OC,得出OC，OE,易得tanNACD=器=當(dāng)，AC=y/AD2+CD2=，推出44。。=60°，則^OAC

是等邊三角形，進(jìn)而得出AB=204=4有，再根據(jù)圓周角定理得出NACB=90。，根據(jù)勾股定理得出

BC=YIAB2-AC2=6>即可得出?

【詳解】解：連接OC,

團(tuán)直線DE與。。相切于點(diǎn)C,

0OC±DE,

BAD±DE,AD=4i,CD=3,

Eltan/ACD=若=亭，AC=^AEr+CD1=2-^3>

0ZACD=30°,

團(tuán)NACO=60°,

^OA=OC,

回^OAC是等邊三角形，

國(guó)OA=OC=AC=26,

^AB=2OA=4y/3,

團(tuán)A8是。。的直徑，

^\ZACB=90°,

?BC7AB「AC?=6,

團(tuán)VA6C的面積=工AC。5C=4x2百x6=,

22

15.（2024?廣東清遠(yuǎn)?三模）如圖，PAP5是。。的切線，4B是切點(diǎn)，C是。。上一點(diǎn)，若"=40。，則

/C=

【答案】70。/70度

【分析】題目主要考查切線的性質(zhì)，圓周角定理，連接根據(jù)題意得出々4O=/PBO=90。，再由

多邊形內(nèi)角和得出203=140。，最后利用圓周角定理即可求解，熟練掌握這些基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

【詳解】解：連接03,04

團(tuán)PAP3是。。的切線，

^PA±OA,PB±OB,

EI/B4O=/PBO=90。，

ia/p=40°,

0/AOB=360°-ZP-ZPAO-ZPBO=140°,

￥C=402=70°.

2

故答案為：70°.

16.（2024?廣東汕頭?二模）如圖，已知VABC中，ZC=90°,AF=10,內(nèi)切圓0。半徑為2,則圖中陰影

部分面積是.

【分析】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，扇形面積的計(jì)算，根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)可得圖中陰影部分面積

和是VA03的面積一扇形MON的面積，進(jìn)而即可求解.解決本題的關(guān)鍵是掌握三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心.

【詳解】解：設(shè)是VABC的內(nèi)切圓。。與AB,AC,3c的切點(diǎn)分別為E,F,G,令Q4,02與。。分

別交于M,N,

貝IJQ4、分別是一CAB、NCB4的角平分線,

0NOAB=-ZCAB,AOBA=-ZCBA,

22

0ZACB=90°,

團(tuán)ZCAB+ZCBA=180°-90°=90°,

^ZOAB+ZOBA=-ZCAB+-ZCBA=45°,

22

0ZAOB=180-(ZOAB+AOBA)=135°,

由圓的對(duì)稱性及角平分線的對(duì)稱性可知，圖中陰影部分面積和是VA03的面積一扇形MON的面積，

11353

團(tuán)S陰影=S.AOB-S扇形MON=-X10X2--X7TX22=10--7i,

3

故答案為：10--7t.

17.（2024?廣東廣州?二模）如圖，已知0。的半徑長(zhǎng)為2,48為。。直徑，點(diǎn)尸是0。一動(dòng)點(diǎn)，BC=2,

連結(jié)CP,以CP為斜邊，在CP上方構(gòu)造直角三角形。尸。且滿足NCPQ=30。，ZCQP=90°.

（1）若CP是。。的切線，求。。=.

（2）求。。的最大值為.

【答案】M或62A/3+1/1+2^

【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的性質(zhì)與判定；

（1）分情況討論，分別畫出圖形，解直角三角形，即可求解；

（2）以C。為斜邊構(gòu)造直角三角形CPQ且滿足NCOO'=30。，ZCO'O=90°,證明ACOO'S^CP。，得出

△。。0'6右（才。進(jìn)而得出。。=；。尸=1,進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)到圓上的距離最值問(wèn)題，即可求解.

【詳解】解：如圖所示,

回。。的半徑長(zhǎng)為2,A3為。。直徑，BC=2,

團(tuán)CO=4

又回CP是。。的切線，

團(tuán)OP=2,OP1CP

團(tuán)CP=26

團(tuán)NCPQ=30。，ZCQP=90°.

國(guó)CQ=gcP=6/PCQ=60°

PO1

團(tuán)sinN尸CO=——=-

OC2

國(guó)NPCO=30。

^ZQCO=90°

在RRCQO中，OQ=y]CQ2+CO2=+42=V19;

如圖所示，過(guò)點(diǎn)。作Q。，。。于點(diǎn)。，

f?lZPCQ=60°,ZPCO=30°

團(tuán)NQCD=30。

團(tuán)。。=5

團(tuán)QD=；CQ=],CD=y/3DQ=^

35

回OD=CO—CD=4——=一

22

在RtAOOQ中，QO/DQ^+DO。=JR+[I)=幣

故答案為：曬或幣.

（2）如圖所示，以C。為斜邊構(gòu)造直角三角形CPQ且滿足NC0<7=30。，ZCO'O=90°,則

OO'=COsin60°=2/

回NCPQ=30°,ZCQP=90°

ISACOO'SACPQ,

QCO'CQCCP

回---=----即Rn----=---

CPCOO'Cco

又團(tuán)ZQCP=ZO'CO=60°

0ZQCO'=ZPCO=60°-ZO'CP

EIACQO'SACPO

絲一絲」

UJ——

POPC2

0O,2=|OP=I,

回點(diǎn)。在以O(shè)'為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng),

0OQ的最大值為。。+。。=2指+1

故答案為：26+1.

18.（2024?廣東深圳?三模）如圖，A3是。。的直徑，C是。。上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作0。的切線交出的延長(zhǎng)線

于點(diǎn)0,過(guò)點(diǎn)A作AE_LCD于點(diǎn)E,延長(zhǎng)E4交。。于點(diǎn)尸，連接3方.

⑴求證：AC平分NB4E；

（2）若拿DE二：1，求tan/AOE的值.

BF2

【答案】⑴見解析

(2)tanZAD￡=

3

【分析】（1）連接OC,如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OCLCD,則根據(jù)平行線的判定方法得到OC〃AE,

再利用平行線的性質(zhì)得到NC4E=NOC4,力口上NQ4C=NOG4,從而得至l]NQ4C=NC4E；

（2）根據(jù)圓周角定理得/AEB=90。，再證明AADES?超，利用相似三角形的性質(zhì)得到與=若=:，則

ABBF2

AD=AO,接著利用正弦的定義得到ND=30。，然后根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求解.

本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑.也考查了圓周角定理和解直角三角形.

【詳解】（1）證明：連接OC,如圖，

/.OC1CD,

QAE1CD,

OC//AE,

.\ZCAE=ZOCA,

?.?AC=AO,

ZOAC=ZOCA,

.\ZOAC=ZCAE,

二?AC平分/B4E；

(2)解：,「AB是O。的直徑，

ZAFB=90°,

\ZDAE=ZBAF,ZAED=ZF,

..△ADESAABF,

.帥_DE_1

一花一即一5'

:.AD=AO,

在Rt^OCD中，

.OC1

sin￡)=----=—,

OD2

「.NO=30。，

/.tanZADE=tan30°=.

3

19.（2024?廣東深圳?三模）如圖，是8x8的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫作格點(diǎn).A、B、C、。四點(diǎn)

是格點(diǎn)且在圓上，僅用無(wú)刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖.

⑴在圖中，畫出經(jīng)過(guò)A、B、C這三點(diǎn)的圓的圓心O；

⑵在圖中，過(guò)點(diǎn)C作。。的切線CD.

⑶在圖中，每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)等于1,求陰影部分的面積

【答案】⑴見解析

⑵見解析

,25,

(3)—7t—6

8

【分析】本題考查作圖應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，切線的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)

鍵是理解題意，學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題.

（1）連接AC,與AB的垂直平分線的交點(diǎn)。即為圓心；

（2）取格點(diǎn)P、Q、T,連接尸。，取PQ的中點(diǎn)￡>,連接CD,則直線CD即為所作的切線（可證明ADCTs^cAB,

得ZDCT+ZACB=90°,從而^ACD=90°）；

（3）先利用勾股定理求出直徑AC,則可得圓的半徑；根據(jù)“影=5半圓即可求解.

【詳解】（1）解：如圖，點(diǎn)。即為所求；

（2）解：如圖，直線即為所求.

（3）解：回由勾股定理得ac=JAB，+3C，="2+3?=5

；.OA=OC=-,

2

回00的面積=7Tx[g）無(wú).

QSVABC=：AB.BC=gx4x3=6,

125

?'?S陰影部分=ZS。。-S^ABC=《-兀―6.

20.(2024?廣東深圳?模擬預(yù)測(cè))如圖，VABC內(nèi)接于0。，AO平分/B4C交BC邊于點(diǎn)E,交。。于點(diǎn)。,

過(guò)點(diǎn)A作A/[BC于點(diǎn)F,已知QO的直徑為6.

⑴過(guò)點(diǎn)D作直線MN〃3C,求證：是。。的切線;

(2)若AB=4,AC=3,求AF.

【答案】(D見解析

(2)AF=2

【分析】本題考查了圓的相關(guān)性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵正確作

出輔助線.

(1)連接OD,OB,OC,由角平分線的定義可得NB4T>=NC4r),推出/8OD=/COD,得到OD±BC,

最后根據(jù)平行線的性質(zhì)即可證明；

(2)連接AO并延長(zhǎng)交。。于連接,由AH是直徑，得至!JZABH=90°=ZAFC,證明^ACF^^AHB,

根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】(1)證明：如圖1，連接o。，OB,OC,

?.?AD平分/3AC

BD=CD，

../BOD=/COD,

又?.,OB=OC,

:.OD1BC,

■：MN〃BC,

ODLMN,

?.?oo是半徑，

.〔MN是。。的切線；

(2)解：如圖2,連接49并延長(zhǎng)交。。于a,連接3”,

圖2

ZABH=90°=ZAFC,AH=6,

又AB=A3，

ZAHB=ZACF,

:.AACF^AAHB,

.ACAF

"AH~AB,

AB.AC=AH.AF,

AB=49AC=3,AH=6,

:.AF=2.

21.（2024?廣東東莞?一模）如圖，0。是VABC的外接圓，點(diǎn)。在5C邊上，NBAC的平分線交于點(diǎn)。,

連接50、CD,過(guò)點(diǎn)。作5C的平行線與AC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P.

A

D「

⑴求證：尸。是0。的切線；

(2)求證：AABD^ADCP；

⑶當(dāng)AB=12,AC=16時(shí)，求CO和DP的長(zhǎng).

【答案】⑴證明見解析

(2)證明見解析

70

(3)CD=100，DP-

【分析】(])先得出NB4c=2/&位＞,進(jìn)而得出NBOD=NA4C=90。，得出PDLOD即可得出結(jié)論；

(2)先說(shuō)明=再推出NOCP=/ASD,即可得出結(jié)論；

(3)先求出BC,再推出?。?8,利用勾股定理求出BD=CD,最后由△ABDs^CP得出比例式求解

即可得出C。的長(zhǎng)，如圖，過(guò)點(diǎn)C作CELOP于點(diǎn)E,在RtzXECP中，根據(jù)勾股定理尸￡=JcpZ-CE?求解

即可.

【詳解】(1)證明：如圖，連接8,

團(tuán)BC是回。的直徑，

0ZBAC=90°,

134￡＞平分/347,

^ZBAC=2ZBAD,

BZBOD=2ZBAD,

ZBOD=ZBAC=90°,

^DP//BC,

0NODP=ZBOD=90°,

0PD1OD,

團(tuán)OD是。。半徑，

EIPD是。。的切線；

D'P

(2)證明：^\DP//BC,

國(guó)NACB=NP,

回？ACS?ADB,

團(tuán)/ADB=NP,

團(tuán)四邊形ABDC是圓內(nèi)接四邊形，

0ZABD+ZAC￡)=180°,

國(guó)ZACD+NDCP=180。,

國(guó)NABD=NDCP,

^AABD^ADCP；

(3)解：團(tuán)5C是。。的直徑，AB=n,AC=16f

回NBDC=NBAC=90。,

在Rtz^ABC中，BC=y/AB2+AC2=y/122+162=20^

團(tuán)AD平分/A4C,

國(guó)NBAD=NCAD,

^ZBOD=ZCOD,

@BD=CD,

團(tuán)ZDBC=ZDCB=45°,

^\OD=OC,

團(tuán)NODC=NOCD=45。,

在RtZkBCD中，BC=yjBD^CD2=A/CD2+C?2=V2CD，

萬(wàn)i—

^BD=CD=—BC=—BCX20=10429

22

0AAB￡>^ADCP,

ABBD121072

回所二》‘R即n向

0CP=—,

3

如圖，過(guò)點(diǎn)。作CELOP于點(diǎn)￡,

⑦/CED=/CEP=900,

⑦NODP=90。,ZODC=45°,

回/CDE=Z.ODP-ZODC=90°-45°=45°,

團(tuán)ZDCE=90°-ZCDE=90°-45°=45°=ZCDE,

團(tuán)DE-CE,

在RtzXECD中，===6CE,

SDP=DE+PE^10+—^—

33

【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查直徑所對(duì)的圓周角是直角，圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，切線的

判定，圓心角、圓周角、弦、弧之間的關(guān)系，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，同角的補(bǔ)角相等，平

行線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn).判斷出△ABD-AnCP、掌握?qǐng)A的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

22.(2024?廣東深圳?三模)如圖，43是。。的直徑，C為。。上一點(diǎn)，連接AC,BC,延長(zhǎng)AB至點(diǎn)使

得點(diǎn)E為A8的中點(diǎn)，連接CE交48于點(diǎn)孔連接3E.

⑴求證：DC為。。的切線

(2)求證：AACFS/XECB；

(3)若C￡>=4,tan?CEB則直接寫出CFCE=

【答案】⑴見解析

(2)見解析

【分析】(1)如圖：連接OC,可知NQ4C=NOC4進(jìn)而證得NOCA=/OCB,再根據(jù)圓周角定理可得

ZACO+ZOCB=90°,可推出/OC8+NOCB=90。，從而證得結(jié)論；

(2)如圖連接OE,利用圓周角定理即可證明△ACFS/^ECB；

(3)由已知易證△DCKs/VMC,于是些=￡2=生=tan/A=tan/CM=1；再結(jié)合已知條件可得

CDADCA2

AB=AD-BD=6,再根勾股定理列方程求得3C=述，AC=1^-；由△ACFS/XR%,然后根據(jù)相

55

似三角形的性質(zhì)即可解答.

【詳解】(1)證明：如圖：連接OC,

回。4=OC,

^\ZOAC=ZOCA.

又⑦NDCB=NOAC,

回/OCA=/DCB,

0AB是直徑，

0ZACB=90°,BPZACO+ZOCB=90°,

0ZDCB+ZOCB=90°,

0ZOCD=90°,即OC_LCZ),

EIOC為半徑，

團(tuán)。C為。。的切線；

(2)證明：如圖：連接OE,

回點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，

I3ZACF=ZECB,

^ZCAF=ZCEB,

HAACF^AECB；

(3)解：SZDAC=ZDCB,ND=ND,

回△DCBsADAC,

BDCDBC/“…「1

團(tuán)--—tan/A—tan/C￡3——,

CDADCA2

團(tuán)CD=4,

^BD=-CD=2,AD=2CD=S

2f

團(tuán)AB=AD—BD=6,

在RtZkABC中，AB=6,AC=2BC,

SAC2+CB2^AB2,§P（2CB）2+CB2=62,

同它一66A「_12小

團(tuán)JDC------，AC------，

55

團(tuán)△ACFSZ\ECB；

ACCF

團(tuán)m---------

ECCB

團(tuán)CECF=ACCB=x述72

55T

故答案為：—.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定、直徑所對(duì)的圓周角是直角、相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角

形等知識(shí)點(diǎn)，能夠靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

3

23.(2024?廣東廣州?二模)如圖，已知A5為。。直徑，AC是。。的弦，cos/A4c=1/BAC的平分線

交。。于D

備用圖

⑴尺規(guī)作圖：過(guò)點(diǎn)。作DEIAC交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,OE交AD于點(diǎn)、F.

⑵求證：DE是。。的切線；

(3)若A尸=8,求近的長(zhǎng).

【答案】(1)見詳解

(2)見詳解

(3)5

【分析】(1)按照基本作圖"過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線”的作法，作DE1AC交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,再連

接OE交AD于點(diǎn)歹即可；

(2)連接OD,則/34=/及狂)，而ND4c=N54。，貝l|/OZM=/CW,所以O(shè)￡>〃AC,則

ZODE=ZAEP=90°,即可證明OE是00的切線；

(3)作。于點(diǎn)。，則。2=￡>E,可證明R3A。。之RSADE,^OA=OD=5m,由

=cosZQOD=cosABAC=OQ=1OD=3m,則￡4=04=8，〃，再證明ADOFSAM尸，得=

貝尸=5.

o

【詳解】(1)解：作法：1.延長(zhǎng)AC；

2.以點(diǎn)。為圓心，以適當(dāng)長(zhǎng)度為半徑作弧交射線AC于點(diǎn)M、N；

3.分別以點(diǎn)M、N為圓心，以大于;的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)尸；

4.作射線交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)￡(；

5.連接OE交AD于點(diǎn)尸，

線段OE、OE、點(diǎn)產(chǎn)就是所求的圖形.

(2)證明：連接OD,則0D=Q4,

ZODA=ZBAD,

ABAC的平分線AD交。。于。，

ZDACZBAD,

ZODA^ZCAD,

:.OD//AC,

?：DELAC交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,

ZODE=ZAEP=90°,

???OD是。。的半徑，且DE人on,

二DE是。。的切線.

(3)解：作于點(diǎn)。，則NAQD=90°

EIDE是。。的切線.

SZAED=90°

?.?AD平分，BAC,作。。，48于點(diǎn)。，DE1AC交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,

DQ=DE,

?：AD^AD,

^t^ADQ=Px^ADE(HL),

設(shè)。4=?！?gt;=5根，

NQOD=NBAC,

/.器=cosZQOD=cosABAC=|,

33

/.OQ=—OD=—x5m=3m,

/.EA=QA=OA+OQ=5m+3m=8m,

-OD\\EA,A尸=8,

.△DOFSAAEF,

.DFOD5m5

一~AF~^A~Sm~Sf

:.DF=-AF=-x8=5,

88

.?.DF的長(zhǎng)是5.

【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查尺規(guī)作圖、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、切線的判定定理、相似三角

形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)與解直角三角形等知識(shí)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

24.(2024?廣東東莞,一模)已知：如圖，是。。的直徑，C,。是。。上兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C的切線交的延

長(zhǎng)線于點(diǎn)E,DELCE,連接CD,BC.

⑴求證：ZDAB^2ZABC；

(2)若tanNADC=g,3c=8,求0。的半徑.

【答案】⑴證明見解析

(2)2百

【分析】(1)連接OC,根據(jù)切線的性質(zhì)，已知條件可得DE〃OC,進(jìn)而根據(jù)平行線的性質(zhì)可得

ZDAB=ZAOC,根據(jù)圓周角定理可得NAOC=2NABC,等量代換即可得證；

(2)連接AC,根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，可得=進(jìn)而根據(jù)正切值以及已知條件可得AC的長(zhǎng),

勾股定理即可求得A8,進(jìn)而即可求得圓的半徑.

【詳解】(1)連接OC,如圖，

D

,,DEICE,

/.OC//DE,

,\ZDAB=ZAOC,

?/AC=AC，

:.ZAOC=2ZABC,

,\ZDAB=2ZABC.

（2）解：連接AC

?/AC=AC^

.?.ZADC=ZABC,

?/tanZADC=—,

2

1AC

tan2^LA.BC———----,

2BC

團(tuán)3C=8,

團(tuán)AC=4,

0AB=4A/5,

02。的半徑為26.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，正切的定義，同弧所對(duì)的圓周角相等，勾股定理，理解題

意添加輔助線是解題的關(guān)鍵.

25.（2024?廣東中山?三模）如圖，A3是0。的直徑，且AB=4,點(diǎn)C是。。上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，C。是0。的一

條弦，且=點(diǎn)E在A3的延長(zhǎng)線上.

⑴若sin/AED=g,求證：OE是。。的切線；

(2)若點(diǎn)C為半圓的中點(diǎn)，連接CE,求CE的長(zhǎng).

【答案】⑴證明見解析

(2)275

【分析】本題考查了圓周角定理、解直角三角形、含30。角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握以上

知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵.

(1)連接OD,由圓周角定理得出NACB=90。，求出/38=30。得到“。"=2/36=60。，解直角三

角形得出NAED=30。，求出NODE=90。即可得證；

(2)連接OC,則OC=Or>=OB=」A8=2,由含30。角的直角三角形的性質(zhì)得出OE=2OD=4,證明

2

AC=BC,推出NCOE=90。，再由勾股定理計(jì)算即可得解.

【詳解】(1)證明：