等腰三角形的存在性問題

1.如圖1,拋物線yax2+bx+c經(jīng)過點A(-2,5),與x軸相交于點B(-1,O),C(3,O)兩點

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)點D在拋物線的對稱軸上，且位于x軸的上方，將△BCD沿直線BD翻折得到4BCD,若點C恰好落在

拋物線的對稱軸上，求點C和點D的坐標(biāo)；

(3)設(shè)P是拋物線上位于對稱軸右側(cè)的一點，點Q在拋物線的對稱軸上，當(dāng)小CPQ為等邊三角形時，求直線

BP的函數(shù)表達(dá)式.

2.如圖1,拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C(0,—2),點A的坐標(biāo)是(2,0),P為拋物線上的一個

動點，過點P作PDLx軸于點D,交直線BC于點E,拋物線的對稱軸是直線x=-L

⑴求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

⑵若點P在第二象限內(nèi)，且PE=：。。,求4PBE的面積；

⑶在(2)的條件下，若M為直線BC上一點，在x軸的上方，是否存在點M，使△BDM是以BD為腰的等腰

三角形？若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

3如圖1,矩形ABCD中,AB=6,BC=8,P、E分別是線段AC、BC上A的點,四邊形PEFD是矩形，連結(jié)CF.

⑴若4PCD為等腰三角形，求AP的長;

(2)若AP=VX求CF的長.

4.拋物線L:y=-x2+bx+c經(jīng)過點A(0,1),與它的對稱軸直線x=l交于點B.

(1)直接寫出拋物線L的解析式；

⑵如圖1.過定點的直線y=kx-k+4(k<0)與拋物線L交于點M、^若^BMN的面積等于1,求k的值；

(3)如圖2,將拋物線L向上平移m(m>0)個單位長度得到拋物線Lx,拋物線L1與y軸交于點C,過點C作y

軸的垂線交拋物線J于另一點D.F為拋物線Li的對稱軸與x軸的交點,P為線段OC上一點.若△PCD與△POF

相似，并且符合條件的點P恰有2個，求m的值及相應(yīng)點P的坐標(biāo).

思路點撥

1.第⑵題探究定點的方法，可以把解析式的中含k的項提取k,就可以看到當(dāng)x=l時，不論k為何值，y的值

都為4.

2.探究得到的定點Q也在對稱軸上，這樣求不規(guī)則△BMN的面積就可以割補了.

3.第(3)題恰有2個點P的意義，就是/DPF等于90。只存在一種情況.

5如圖1.在半徑為2的扇形AOB中,NAOB=90。,點C在半徑OB上,AC的垂直平分線交OA于點D,交弧AB

于點E,聯(lián)結(jié)BE、CD.

(1)若C是半徑OB中點，求NOCD的正弦值：

⑵若E是弧AB的中點，求證：BE2=B0-BC-,

(3)聯(lián)結(jié)CE,當(dāng)ADCE是以CD為腰的等腰三角形時，求CD的長.

備用圖

6如圖1,已知在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線.y=ax2-2x+c與x軸交于點A和點B(1,O),與y軸相交于點C

(0,3).

(1)求拋物線的解析式和頂點D的坐標(biāo)；

(2)求證:ZDAB=ZACB;

(3)點Q在拋物線上，且小ADQ是以AD為底的等腰三角形，求點Q的坐標(biāo).

7如圖1,拋物線y="2_1_4與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側(cè)),與y軸交于點C,連接AC、

BC點P是第四象限內(nèi)拋物線上的一個動點，點P的橫坐標(biāo)為m,過點P作PM±x軸,垂足為M,PM交BC于點Q,

過點P作PE〃AC交x軸于點E,交BC于點F.

⑴求A、B、C三點的坐標(biāo);

(2)試探究在點P運動的過程中，是否存在這樣的點Q,使得以A、C、Q為頂點的三角形是等腰三角形.若存

在，請直接寫出此時點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

(3)請用含m的代數(shù)式表示線段QF的長，并求出m為何值時QF有最大值.

區(qū)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A的坐標(biāo)為(3,1),點B的坐標(biāo)為(6,5),點C的坐標(biāo)為(0,5),某

二次函數(shù)的圖像經(jīng)過A、B、C三點.

(1)求這個二次函數(shù)的解析式；

(2)假如點Q在該二次函數(shù)圖像的對稱軸上，且小ACQ是等腰三角形，請直接寫出點Q的坐標(biāo)；

⑶如果點P在⑴中求出的二次函數(shù)的圖像上，且tanzPCX=［，求NPCB的正弦值.

專題直擊

在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A(3,l),點C(0,5),假如點Q在直線x=3上，且△ACQ是等腰三角形，求點Q的坐

9如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點D的坐標(biāo)為(3,4),點P是x軸正半軸上的一個動點，如果△DO

P是等腰三角形，求點P的坐標(biāo).

10如圖.在矩形ABCD中.AB=6,BC=8動點P以2個單位/秒的速度從點A出發(fā)，沿AC向點C移動，同時動

點Q以1個單位/秒的速度從點C出發(fā)，沿CB向點B移動，當(dāng)Pd點到達(dá)終點時則停止運動.在P、

Q兩點移動過程中，當(dāng)△PQC為等腰三角形時，求t的值.

1滿分解答

(1)設(shè)拋物線的交點式為y=a(x+l)(x-3),代入點人(-2,5),得5=5a.

解得a=l.所以y=(%+1)(%-3)=%2一2x-3..對稱軸是直線x=l.

(2)如圖2,因為點C落在拋物線的對稱軸上，所以(C'B=CC.

因為翻折前后的對應(yīng)線段相等，所以(C'B=CB.

所以△CBC是等邊三角形.

因為對稱軸BD平分NCBC,所以/DBC=30。.

設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交于點H.

在等邊三角形CBC中,BH=2,所以(LH=2次.所以C(l,2V3

在RtABDH中,/DBH=30。，BH=2,所以=竽所以D(1,學(xué)).

(3)等邊三角形BCC與等邊三角形QCP有一個公共頂點C.分兩種情況討論.

①如圖3,當(dāng)點P在x軸上方時,/BCQ繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)60。與4CCP重合.

所以PC'=QB,PC=QC.

當(dāng)點Q落在對稱軸上時,QB=QC.

等量代換，得PC=PC.所以點P在線段CC的垂直平分線上.

又因為直線BD垂直平分線段CC,所以直線BP就是直線BD.

由B(-l,0),D(l,2同得直線BP的解析式為y=yx+f.

②如圖4,當(dāng)點P在x軸下方時,△BCP繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)60。與小CCQ重合.

所以NPBC=NQC'C.

當(dāng)點Q落在對稱軸上時，NQC'C=30。.等量代換，得/.PBC=30°.

設(shè)直線BP與y軸交于點E,那么E(0,一f).

由B(—1,0),E(0,—日)得直線BP的解析式為y=--y%—-y.

考點伸展

第⑶題兩種情況的解法不同，是因為“手拉手”模型中，旋轉(zhuǎn)全等的三角形不同.根本原因是兩個等邊三角形PC

Q不同，圖3中線段CP繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到等邊三角形PCQ,圖4中線段CP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60。得

到等邊三角形PCQ.

2.滿分解答

⑴點A(2,0)關(guān)于對稱軸x=-l的對稱點為B(-4,0),設(shè)y=a(x-2)(x+4).

代入點C(0,-2),得-2=-8a.

解得a=[.所以拋物線的解析式為y=久久—2)(%+4)=ix2+|x-2.

(2)由B(-4,0)、C(0,-2),可得直線BC的解析式為y=-|x-2.

設(shè)P(%'[久2+)—2),E:久一2).

所以PE=Qx2+|x—2^)—Qx-2^=i%2+x

由PE=：OD,得|x2+x=：(一%).解得x=-5,或x=0(舍去).

所以PE=工/+x=至—5=g,BD=1

444

所以SPBE==|.

Zo

(3)如圖2,BD=l,tanzMBD=tanzCBO=|,sinzMBD=

分兩種情況討論以BD為腰的等腰三角形BDM.作MH，x軸于H.

①如圖3,BM=BD=1.在RtAMBH中，MH=~,BH=手.

所以0"=OB+B”=4+等.此時M(-4一手，g).

DIIB

②如圖4,DB=DM=1.設(shè)MH=m,BH=2m,那么在RtAMDH中,由勾股定理得I2=m2+(2m-解得m=1

所以O(shè)H=OB+BH=4+2m=學(xué)此時M(-乳)

HDB//B

圖4圖5

考點伸展

第⑶題如果沒有以BD為腰的限定，還存在第③種情況：如圖5,當(dāng)MD=MB時，點M在DB的垂直平分線

上.所以%=一

討論等腰三角形BDM,用代數(shù)法方便一些.已知B(-4,0)、D(-5,0),設(shè)M(x--|x-2).

所以BD2=1,BM2=(久+4)2+(-|%-2)2,DM2=(%+5)2+(-|x-2)2.

然后分三種情況?BD2=BM2,@DB2=DM2,@MD2="爐列方程求解.

3.滿分解答

(1)在RtAACD中,CD=6,AD=8,所以.AC=10,coszXCD=|.

等腰三角形PCD存在三種情況：

①如圖2,當(dāng)PC=PD時，點P在CD的垂直平分線上，此時P是AC的中點,AP=5.

②如圖3,當(dāng)CP=CD=6時,AP=10-6=4.

③如圖4,當(dāng)DP=DC時，由\CP=|CD,得CP=曰CD=學(xué)所以AP=10-^-=^.

⑵如圖5,過點P作PM1AD于M,交BC于N,那么△PNE^ADMP.

所以畀券唱=ta"C8=*所以器*3

41

如圖6,由NPDF=ZADC=90。彳導(dǎo)NCDF=ZADP.

所以△CDFMADP.所以泊次浙以AP=2

考點伸展

在本題情景下，點P從點A向點C運動的過程中，點F運動的路徑長是多少?

由于△DCFs^DAP,所以/DCF=NDAP為定值.所以點F的路徑為一條線段.

如圖7,當(dāng)點E與點C重合時，點F運動停止.

此時CF=^CD=^,,即點F運動的路徑長是y

4.滿分解答

(1)拋物線L的解析式是y=-x2+2x+1.

(2)如圖3,由y=kx--k+4=k(x--l)+4,可知不論k為何值，當(dāng)x=l時,y=4.

所以直線MN過定點Q(1,4),點Q在拋物線的對稱軸上.

由y=_%2+2x+1=_(比—1)2+2,得B(l,2).所以QB=2.

聯(lián)立y=—x2+2x+1和y=kx-k+4消去y,整理得x2+(k-2)x+3-k=0.

解得x=ri)”所以.布一XM=7k2-8.

過點M、N分別向?qū)ΨQ軸作垂線，垂足分別為M，、Nf.

所以SQBM=]QB(NN'—MM')=xN-xM=xN-xM=

解方程"2—8=L得k=-3,或k=3(不符合題意，舍去).

⑶第一段，說理、計算，求m的值.

首先，如圖4,/OPF=ZCPD總是存在的，且/=2=/所以PO=|0C.

因此NOPF與/CPD互余只能存在一種情況.

已知OC=l+m.設(shè)PO=n,那么CP=l+m-n.

如圖5,由箓=:得五念=今整理，得"—⑺+1加+2=0.

解△=(m+I)2-8=得m=2近一1,或m=-2&-1(舍去).

所以當(dāng)m=2V2-1時，恰有2個點P符合△PCD與^POF相似.

it匕時。。=1+zn=2V2.

第二段，分兩種情況求點P的坐標(biāo).

①如圖4,當(dāng)/OPF=NCPD時,PO=1OC=誓.所以P(0,乎).

2

②如圖5,當(dāng)/OPF與NCPD互余時,n-2V2n+2=0.解得nr=n2=所以P(0,a).

考點伸展

第⑶題的幾何意義就是以DF為直徑的。G與y軸相切于點P時，△PCD與△P。尸相似，并且符合條件的點

P恰有2個.如果。G與y軸相交，那么有3個點P符合△PCD與△POF相似.如果。G與y軸相離，那么只有1

個點P符合△PCD與APOF相似.

5滿分解答

⑴如圖2,設(shè)AD=CD=x.

在RtADOC中,DO=2-x,CO=l,由勾股定理，得X2=(2-%)2+I2.

解得x=J.所以DO=2-x=2*所以sinzOCO=頭=|.

444CD5

⑵如圖3,若E是弧AB的中點，那么EA=EB.

又因為EA=EC,所以EB=EC.

聯(lián)結(jié)OE,那么OE=OB.

又因為NB是兩個等腰三角形的公共底角，所以△OBE^AEBC.

所以霹=器.于是得到BE2=B0.BC.

BOBE

■灌

oICIBOcB

圖2圖3

(3)如圖4,因為△DCE絲4DAE,我們討論以AD為腰的等腰三角形DAE:

①如圖5,當(dāng)AD=AE時，由于AD=CD,AE=CE,所以四邊形ADCE是菱形此時ECXOB.

因為0C2=CD2-DO2=/一(2—%)2=4久一4,0C2=0E2-EC2=22-久？所以4x-4=2Z—x2.

整理，得+4%-8=0.解得CD=x=2V3-2.

②如圖6,當(dāng)DA=DE時，點D在AE的垂直平分線上.

而弦AE的垂直平分線一定經(jīng)過原點0,所以點D與點0重合.

此時點C與點B重合,CD=2.

圖4圖5

考點伸展

等腰三角形DAE的第3種情況EA=ED怎么討論呢？

如圖7,討論ED=DC比較方便.此時點E在CD的垂直平分線上.

由垂徑定理,可知半徑0E垂直平分弦AB，所以DC〃AB.

所以△DOC是等腰直角三角形.此時DC=V2DO.

解方程x=V2(2-x)彳導(dǎo)CD=x=4-2V2.

圖7

6滿分解答

(1)將B(1,O)、C(0,3)分別代入y=aY-2x+c,得〔=3.解得『二，L.所以y=_x2_2x+3=-(x+3)(x-l)=-

(x+l)2+4.

所以A(-3,0),頂點D(-l,4).

(2)如圖2,設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交于點E.

在RtADAE中，tanzDAB=-^-=2.

AE2

如圖3,作BF_LAC于F.

在RtAAOC中,OA=OC=3,所以NA=45。，AC=3V2

在等腰直角三角形ABF中，AB=4,所以4F=BF=2&.

在RtABCF中,(CF=AC-AF=VX所以tan乙4cB=毀=半=2.

由tan/DAB=/ACB=2彳導(dǎo)/DAB=/ACB.

(3)如圖4,作AD的垂直平分線，與拋物線交于點Q,垂足為H,那么△ADQ是以AD為底的等腰三角形.

由A(-3,0)、D(-l,4),得中點爾-3,2).設(shè)(Q(x>-%2-2%+3).

過點H作y軸的平行線，過D、Q分別作y軸的垂線，構(gòu)造RtADNH-RtAHMQ.

由空="得工=2_(*-2x+3),整理得2/+3%-4=0.

NHMQ2X+27

解得久=三旦.

所以QF警，三),或F/，H回)

考點伸展

第⑶題也可以聯(lián)立方程組求點Q的坐標(biāo).

設(shè)AD的垂直平分線與x軸交于點G,垂足為H,那么H(-3,2).

由于的三邊比為1:2:逐,由此可計算出AG的長，得到G(2,0).

由H(-3,2)、G(2,0)得到直線HG的解析式為y=-jx+l.

然后聯(lián)立直線HG與拋物線的解析式，解方程組得到兩個點Q的坐標(biāo).

7滿分解答

⑴由y=1久2一,一4=*乂+3)(久一4＞得A(-3,0),B(4,0),C(0,-4).

(2)點Q的坐標(biāo)為(學(xué),竽-4),或(1,-3).

⑶第一段，說理.

如圖2,由PE〃AC得N1=N2.

又因為N2與N3互余，所以/3與N1互余.

因為N1為定值，所以N3為定值.

如圖3,由PM〃y軸,所以/PQF=/BCO=45。為定值

所以△QFP的形狀是確定的.當(dāng)QP取得最大值時，QF也取得最大值.

第二段，用m表小QP.

由B(4,0)、C(0,-4)彳導(dǎo)直線BC的解析式為y=x-4.

所以P^m2—1m—4^,Q(m-m—4)

所以QP=(m—4)—Qm2—|m—4^=—|m2+|m=—|(m2—4m)

第三段，用m表示QF.如圖4,作FHXQP于H.

由tanzl=*所以tanz3=|.

在小QFP中，設(shè)FH=3a,PH=4a,那么QH=3a.所以(QF=3近a.

圖4

由QP=74得a=,QP.所以QF=3近a=^QP=-4m).

所以當(dāng)m=2時，QP和QF都取得最大值.

考點伸展

第⑵題的思路是這樣的:已知A(-3,0),C(0,-4),所以AC=5.

因為點Q在直線BC:y=x-4上，設(shè)Q(m,m-4).

分三種情況討論等腰三角形ACQ:

①如圖5,如果AQ=AC=5,|由AQ2=25得(m+3)2+(m-4)2=25.解得m=l,或m=O(Q與C重合，舍去).

②如圖6,如果CQ=CA=5,那么m2+m2=25.解得m=土警舍去負(fù)值).

③如圖7,如果QA=QC,由QA2=Q片得(m+3)2+(m-4)2=m2+/.解得m=12.5(此時點Q在CB的延

長線上，舍去).

8滿分解答

⑴由B(6,5)、C(0,5),可知拋物線的對稱軸是直線x=3.

由A(3,l),可知點A是拋物線的頂點.

設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a(x-3)2+1,代入點B(6,5)彳導(dǎo)9a+l=5.

解得a='所以y=-3)2+1=|x2+5.

⑵點Q的坐標(biāo)為(3,6),(3,7),(3,9)或(3,?」

⑶如圖2,繞著點A將線段AC的中點旋轉(zhuǎn)90。得到點D,那么射線CD與拋物線的交點就是要求的點P.

當(dāng)點D在CA左側(cè)時,射線CD與拋物線沒有交點.

如圖3,當(dāng)點D在CA右側(cè)時，作D