專題2-11雙曲線解答題十一大題型匯總

。?？碱}型目錄

題型1弦長問題......................................................................1

題型2求直線方程問題...............................................................3

題型3面積問題......................................................................4

題型4中點弦問題...................................................................6

題型5取值范圍問題.................................................................7

題型6最值問題.....................................................................10

題型7定點問題.....................................................................11

題型8定值問題.....................................................................13

題型9定直線問題..................................................................15

題型10向量相關(guān)問題...............................................................17

題型11探索性問題.................................................................19

但題型分類

題型1弦長問題

【方法總結(jié)】

有關(guān)圓錐曲線弦長問題的求解方法

涉及弦長的問題中，應(yīng)熟練地利用根與系數(shù)的關(guān)系、設(shè)而不求計算弦長；涉及垂直關(guān)系時

也往往利用根與系數(shù)的關(guān)系、設(shè)而不求法簡化運算；涉及過焦點的弦的問題，可考慮用圓

錐曲線的定義求解.

22

【例題1](22-23下?遂寧?階段練習(xí))已知雙曲線今―標(biāo)=l(a>0”>0)的焦距為6,且

虛軸長是實軸長的/倍.

(1)求雙曲線的方程；

(2)過雙曲線的右焦點F且傾斜角為用勺直線I與雙曲線交于A,B兩點，求力8|.

【變式1-1】1.(2223下?河南模擬預(yù)測)已知雙曲線1=1(。>0)的左、右焦點

分別為a,B?過尸2的直線?交C的右支于M,N兩點，且當(dāng)I垂直于x軸時，I與C的兩條

漸近線所圍成的三角形的面積為4.

Q)求C的方程；

(2)證明:MN1&N,求|MN|.

【變式1-1]2.(22-23上?南京?階段練習(xí))如圖,已知圓C：(久+舊/+y2=8M(V3,0),

Q是圓上一動點，AQ的垂直平分線交直線CQ于點M,設(shè)點M的軌跡為E.

片M

(1)求軌跡E的方程：

⑵過點A作傾斜角為三的直線I交軌跡E于B,D兩點，求|BD歸勺值

【變式(2223上遼寧?期末圮知雙曲線C的漸近線為y=±V3x且過點.

(1)求雙曲線C的方程；

(2)若直線y=ax+1與雙曲線C相交于A,B兩點，0為坐標(biāo)原點，若0A與0B垂直，求

a的值以及弦長MB|.

【變式(2223上?江西期中)已知雙曲線C：《—5=l(a>0,b>0)的離心率為8,

雙曲線C的左、右焦點分別為，點P在雙曲線。的右支上，且IP&I-IPF2I=4.

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過點。(4,0)的直線/交雙曲線C于48兩點，目以4B為直徑的圓過原點。，求弦長|4B|.

【變式1-1】5.(22.23下?撫順?模擬預(yù)測)已知雙曲線C:g-g=l(a>0,b>0)的離

心率為竽，F(xiàn)為C的左焦點，P是C右支上的點，點P到C的兩條漸近線的距離之積為，

34

(1)求c的方程；

(2)若線段PF與C的左支交于點Q,與兩條漸近線交于點A,B,且3|4B|=|PQ|,求|PQ|.

題型2求直線方程問題

【方法總結(jié)】

(1)解答直線與雙曲線的題目時，時常把兩個曲線方程聯(lián)立，消去X(或y)建立一元二

次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系；

(2)涉及到直線方程的設(shè)法時，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情

形.

2222

【例題2120-21下漳州?階段練習(xí))已知橢圓3=l(a>b>0)與雙曲線言-七=

1有公共焦點6、F2，點H的坐標(biāo)為(0,6),且△口6&的面積為2世.

(1)求橢圓C的方程.

(2)是否存在直線y=2x+t與橢圓C相交于M、N兩點，使得直線與HN的斜率之和為1?

若存在，求此時的直線方程；若不存在，請說明理由.

【變式2-1J1.(22-23下浙江?二模)已知雙曲線C：￡一§=1的漸近線方程為*±2y=0,

左右頂點為4B,設(shè)點P(-l,t),直線2P,8P分別與雙曲線交于M,N兩點(不同于4B).

(1)求雙曲線的方程；

(2)設(shè)4ABP.AMNP的面積分別為S],$2,若S2=6S]，求直線方程.(寫出一條即可)

【變式2-1]2.(21-22上?鎮(zhèn)江?階段練習(xí))已知雙曲線C：/—5=l(a>0,6>0)離心率

為2,且過點旦2,3).

(1)求C的方程：

(2)若斜率為1的直線I與。交于P,Q兩點，△POQ面積為歷,求直線/方程.

【變式2-1]3.(2324上?株洲?階段練習(xí))已知雙曲線C經(jīng)過點P(2,-夜),且其兩條漸近

線相互垂直.

(1)求雙曲線C的方程；

(2)過點Q(0,2)的直線1與雙曲線C相交于不同的兩點民F,若公OEF的面積為2/(。為坐標(biāo)

原點)，求直線珀勺方程.

【變式2-1]4.(23.24上金華?模擬預(yù)測)已知雙曲線C§-?=1,直線/過雙曲線C的

右焦點F且交右支于48兩點，點S為線段4B的中點，點T在x軸上,ST1AB.

⑴求雙曲線C的漸近線方程；

⑵若麗-TB=^,求直線1的方程.

【變式2-1]5.(23-24上?江西?階段練習(xí))已知雙曲線C:9—苴=1(a>0,6>0)的離心

率為2,右焦點尸到一條漸近線的距離為低

Q)求雙曲線C的方程；

⑵已知點8(0,b)，過點P(-!,。)作直線1與雙曲線C相交于M,N兩點，若|8M|=|BN|,

求直線珀勺方程.

2222

【變式2-1]6.(22-23上■駐馬店?期末)已知圓G：(工+3)+y=9,C2：(x-3)+y=1,

動圓M與圓G,3均外切，記圓心M的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程；

(2)直線2過點。2,且與曲線。交于4B兩點，滿足寤=3空,求直線/的方程.

題型3面積問題

[例題312223上?西寧?期末)已知雙曲線—《=l(a>0,6>0)的漸近線為y=±|x,

拋物線3：/=2py的焦點為F,點P(&,2)在拋物線。2上，且|PF|=3，拋物線C2交雙曲線G

的兩條漸近線于O,A,B三點.

(1)求雙曲線的的離心率；

(2)求4力FB的面積.

22_

【變式3-1]1.(22.23上煙臺?期末)已知雙曲線C與-=1有相同的漸近線，(2V5,2)

416

為c上一點.

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)雙曲線C的左、右焦點分別為尻、F2，過a且傾斜角為45。的直線與C相交于48兩點，

求44B4的面積.

【變式3-1]2.(22-23上?江西期中)已知雙曲線9—5=l(a>0,b>0)的左、右焦點

6

分別為6,F2，-V5,虛軸長為4.

(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)直線Ly=kx(0<k<2)與雙曲線交于4,B兩點且乙4F2B=與，求MF2B的面積.

【變式3-1]3.(23-24上?徐匯?階段練習(xí))已知兩定點&(-四,0),F2(V2,0),滿足條件

\PK\-\PK\=2的點P的軌跡是曲線E,直線y=kx—1與曲線E交于A,B兩個不同的點.

(1)求曲線E的方程；

⑵求實數(shù)k的取值范圍；

⑶如果|431=6V3,且曲線E上存在點C,使UI+OB=mOC,求m的值和△ABC的面積

SA4BC-

【變式3-1]4.(23-24上?江蘇?階段練習(xí))已知雙曲線E：/-5=l(a>0,6>0)的兩條

漸近線分別為k：y=f,%：y=—今

(1)求雙曲線E的離心率；

(2)0為坐標(biāo)原點，過雙曲線上一點P(2夜,1)作直線2分別交直線4，%于4,B兩點(4,B分

別在第一、第四象限)，且麗=2Q,求4AOB的面積

【變式3-1]5.(23-24上江西?階段練習(xí))已知圓。1:(工+5尸+/=1的圓心為0]，圓。2:

(x-5)2+y2=9的圓心為O2,動圓M與圓01和圓。2均外切，記動圓M圓心的軌跡為曲線C.

(1)求C的方程；

⑵若P是C上一點，且。1P1O2p,求4。1。22的面積.

題型4中點弦問題

【方法總結(jié)】

弦中點問題的解法

點差法在解決有關(guān)弦中點、弦所在直線的斜率、弦中點與原點連線斜率問題時可簡化運算，

但要注意直線斜率是否存在

22

【例題4](20-21上?西安期中)已知橢圓與雙曲線?-"=1的焦點相同，且它們的離心

率之和等于？

⑴求橢圓方程；

(2)過橢圓內(nèi)一點作一條弦，使該弦被點“平分，求弦48所在直線方程.

【變式4-1]1.(21-22下浦東新?期中)已知雙曲線「：/-5=1(6>0).

(1)若離心率為y,求b的值，「的頂點坐標(biāo)、漸近線方程；

(2)若b=V5,是否存在被點平分的弦?如果存在，求弦所在的直線方程；如不存在,

請說明理由.

【變式4-1]2.(19-20上?唐山?階段練習(xí))已知一動圓與圓G:(x+3)2+*=9外切,

且與圓。2：(%-3)2+y2=1內(nèi)切.

(1)求動圓圓心P的軌跡方程C；

(2)過點Q(4,l)能否作一條直線1與C交于4,B兩點，且點Q是線段4B的中點，若存在，求

出直線/方程；若不存在，說明理由.

【變式4-1]3.(23-24上?連云港?期中)已知雙曲線E:^-^=l(a>0,b>0)的左、

右焦點分別為&,F2,斜率為2的直線I與E的一條漸近線垂直，且交E于A,B兩點，

llX^I-IXFJl=4.

⑴求E的方程；

(2)設(shè)點P為線段AB的中點，求直線OP的方程.

【變式4-1]4.(23-24上?鹽城?期中)雙曲線C：捺—A=1S＞。,6〉0)的漸近線方程為

y=±x,一個焦點到該漸近線的距離為1.

(1)求C的方程；

(2)是否存在直線/,經(jīng)過點M(l,4)且與雙曲線C于A,B兩點，M為線段AB的中點，若存在，

求/的方程；若不存在，說明理由.

【變式4-115.(2223?全國專題練習(xí))已知4(-2,0),B(2,0),直線AM,相交于點M,

且它們的斜率之積是3.

(1)求點M的軌跡C的方程；

(2)過點N(2,3)能否作一條直線m與軌跡C交于兩點P,Q,且點N是線段PQ的中點？若

能，求出直線m的方程；若不能，說明理由.

題型5取值范圍問題

【方法總結(jié)】

圓錐曲線中取值范圍問題的五種求解策略：

(1)利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；

(2)利用已知參數(shù)的范圍，求新的參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的

等量關(guān)系；

(3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；

(4)利用已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；

(5)利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的

取值范圍.

【例題5](23-24上?哈爾濱?階段練習(xí))已知雙曲線C：弓一g=l(a>0,Z7>0)的漸近線為

y=±小，點P(低手)在C上，直線2:y=kx+t與雙曲線C相交于兩點M,N,線段MN

的垂直平分線分別與x,y軸相交于A,B兩點.

(1)若直線I過點(0,1),且點M,N都在雙曲線的左支上，求k的取值范圍；

⑵若△AOB(O為坐標(biāo)原點)的面積為t，且kA0,求k的取值范圍.

22

【變式5-1]1.(23-24上?全國?階段練習(xí))已知雙曲線C嗑—3=l(a>0,b〉0)上

一點P(2,l)到C的兩條漸近線的距離之積為|.

(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線1與C有兩個不同的交點4,B,且△APB的內(nèi)心恒在直線x=2上,求/在y軸上的截

距的取值范圍.

【變式5-1J2.(2324上金華階段練習(xí))在直角坐標(biāo)系xOy中，48是雙曲線。彳-必=1

的兩條漸近線上的動點，滿足點A在第一象限，點8在第四象限，且直線AB與C的右支有交

點

⑴求|AB|的最小值；

(2)設(shè)P是直線AB與C的一個交點且標(biāo)=4萬.記C上的點到C的焦點的距離的取值集合為S,

若]GS,求^A。8面積的取值范圍.

22

【變式5-1]3.(23-24上?朝陽?階段練習(xí))設(shè)雙曲線。+―言=l(a>0,b>0)的右焦點

為F,a?+/=1,。為坐標(biāo)原點，過F的直線/與C的右支相交于A,B兩點.

(1)若6<y,求C的離心率e的取值范圍；

⑵若乙4。8恒為銳角，求C的實軸長的取值范圍.

【變式5-1]4.(23-24上?深圳?開學(xué)考試)已知雙曲線C:—誓=l(a〉0,b>0)的左、

右焦點分別為6,F2,且IF/2I=4,若C上的點M滿足|國川-|M&I|=2恒成立.

(1)求C的方程；

(2)若過點M的直線I與C的兩條漸近線交于P,Q兩點，且|MP|=\MQ\.

(i)證明：I與C有且僅有一個交點；

(")求就+高的取值范圍?

【變式5-1]5.(2223福州?三模)已知M是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的一個動點，直線MA與

直線y=比垂直，A為垂足且位于第三象限；直線MB與直線y=-x垂直，B為垂足且位于

第二象限.四邊形OAMB(O為原點)的面積為2,記動點M的軌跡為C.

(1)求C的方程；

⑵點E(2a,0),直線PE,QE與C分別交于P,Q兩點，直線PE,QE,PQ的斜率分別

為七，k2,"若償+J.心=-6,求WQE周長的取值范圍.

【變式5-1]6.(22-23下煙臺?三模)已知雙曲線C：5—5=l(a>0,b>0)的焦距為4,

點(聲,1)在C上.

⑴求雙曲線C的方程；

(2)設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為6/2,斜率為k(k豐0)且不過6的直線/與C交于點4B,若

k為直線46,86斜率的等差中項，求尸2到直線Z的距離d的取值范圍.

題型6最值問題

【方法總結(jié)】

圓錐曲線中的范圍或最值問題，可根據(jù)題意構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的目標(biāo)函數(shù)，然后根據(jù)題目中給

出的范圍或由判別式得到的范圍求解，解題中注意函數(shù)單調(diào)性和基本不等式的作用.另外

在解析幾何中還要注意向量的應(yīng)用，如本題中根據(jù)共線得到點的坐標(biāo)之間的關(guān)系，進而為

消去變量起到了重要的作用

【例題6](22-23上?全國?模擬預(yù)測)已知雙曲線C:-預(yù)產(chǎn)=1與x軸的正半軸交于點

M動直線I與雙曲線C交于A心兩點，當(dāng)I過雙曲線C的右焦點且垂直于x軸時，就.礪=[,

0為坐標(biāo)原點.

(1)求雙曲線C的方程；

(2)若乙4MB=90。，求點M到直線I距離的最大值.

【變式6-1]1.(23-24上?溫州?期中)已知2,0),C(2,0),4B與4c兩邊上中線長

的差的絕對值為3次.

(1)求三角形448c重心的軌跡G方程；

(2)g￡(-V3,0),F(V3,0)，點Q在直線比=|上連結(jié)EQ,FQ，與軌跡G的y軸右側(cè)部分交于M,N

兩點，求點E到直線MN距離的最大值.

【變式6-1]2.(23-24上?安徽?階段練習(xí))已知雙曲線'=l{a>b>0)左、右焦點

為&尸2，其中焦距為2位，雙曲線經(jīng)過點。(4,3).

(1)求雙曲線的方程；

(2)過右焦點尸2作直線交雙曲線于M,N兩點(M,N均在雙曲線的右支上),過原點。作射

線。P,其中OP1MN,垂足為E,P為射線OP與雙曲線右支的交點，求4|MN|-|OP|2的最大

值.

22

【變式6-1]3.(22-23下浙江?期末)已知雙曲線C：臺=l(a>0,b>0)離心率為2,

4,4分別是左、右頂點，點M是直線x=1上一點，且滿足3tanNM4i42=tanzMX2711,

直線M4,M4分別交雙曲線右支于8,C兩點.記△MArA2,AM8C的面積分別為Si,S2.

(1)求雙曲線C的方程；

(2)求鈍勺最大值.

【變式6-1]4.(2223?淄博?三模)已知雙曲線C:|-g=l(a>0,b>0)的左、右焦點

分別為6、F2,焦距為4,右頂點為A,以A為圓心，b為半徑的圓與雙曲線的一條漸近線

相交于R,S兩點，且NRAS=60。.

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知點M,Q是雙曲線C上關(guān)于坐標(biāo)原點對稱的兩點，其中M位于第一象限的

角平分線記為I,過點M做I的垂線，垂足為E,與雙曲線右支的另一交點記為點N,求需

的最大值.

【變式6-1]5.(22-23下?淮安?模擬預(yù)測)已知雙曲線M:g-g=l(a>0,fa>0)的離

心率為苧點&尸2分別為其左、右焦點點POo,%)為雙曲線M在第一象限內(nèi)一點設(shè)4BPF2

的平分線PQ交y軸于點Q,當(dāng)PF216尸2時，IP&I=|

⑴求雙曲線M的方程；

⑵若y0>1,此時直線6Q交雙曲線M于A、B兩點，求小F2AB面積的最大值.

題型7定點問題

【方法總結(jié)】

求解直線過定點問題常用方法如下：

(1)"特殊探路，一般證明"：即先通過特殊情況確定定點，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的

一般性證明;

(2)”一般推理，特殊求解"：即設(shè)出定點坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個直線

系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關(guān)于定點坐標(biāo)的方程組，以這個方程組的

解為坐標(biāo)的點即為所求點；

(3)求證直線過定點值,%),常利用直線的點斜式方程y-y0=k(x-久°)或截距式y(tǒng)=

kx+b來證明.

【例題7](2223?石家莊?模擬預(yù)測)雙曲線A=l(a>0,b>0)的左、右焦點分別是

FiE,離心率為3,點(學(xué),1)在雙曲線上.

(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)48分別為雙曲線的左，右頂點，若點P為直線x=]上一點，直線24與雙曲線交于另一

點M,直線與雙曲線交于另一點N,求直線MN恒經(jīng)過的定點坐標(biāo).

【變式7-1]1.(22.23下?佛山?階段練習(xí))已知&(—2,0),F2(2,0),點P滿足

\PF±\-\PF2\=2,記點P的軌跡為E,

⑴求軌跡E的方程；

(2)若直線/過點/2，目與軌跡E交于P、Q兩點.在x軸上是否存在定點M，無論直線/繞點尸2怎

樣轉(zhuǎn)動，使麗-MQ=0恒成立？如果存在，求出定點M；如果不存在,請說明理由.

【變式7-112.(22-23下?武漢?三模)已知雙曲線C1:5-5=1的一條漸近線為y=-緊，

橢圓5=1的長軸長為4，其中a>b>0.過點P(2,l)的動直線交G于A,B兩點，

過點P的動直線b交于M,N兩點.

(1)求雙曲線G和橢圓心的方程；

(2)是否存在定點Q,使得四條直線QA,QB,QM,QN的斜率之和為定值?若存在，求出

點Q坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

【變式7-1]3.(2L22?全國專題練習(xí))設(shè)直線x=爪與雙曲線C:=小(M>0)的

兩條漸近線分別交于a,B兩點，且三角形。48的面積為8.

(1)求小的值；

(2)已知直線/與其軸不垂直且斜率不為0,1與C交于兩個不同的點M,N,M關(guān)于無軸的對稱

點為AT,F為C的右焦點，若,尸，N三點共線，證明：直線/經(jīng)過x軸上的一個定點.

2

【變式7-1]4.(2223?云南?模擬預(yù)測)已知圓C：(%+*)+y2=4,定點。(逐,0),

如圖所示，圓C上某一點4恰好與點。關(guān)于直線PQ對稱，設(shè)直線PQ與直線的交點為「

(1)求證：||TC|-|TD||為定值，并求出點T的軌跡E方程；

⑵設(shè)4(-1,0),M為曲線E上一點，N為圓/+必=1上一點(M,N均不在無軸上).直線AM,

2N的斜率分別記為燈，fc2,且七=-4B.求證：直線MN過定點，并求出此定點的坐標(biāo).

【變式7-1]5.(23-24上?連云港?階段練習(xí))已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點，左焦點為

(-2V5,0),離心率為迷，點兒,4為C的左，右頂點.P為直線x=1上的動點，P4與C

的另一個交點為M,P4與C的另一個交點為N.

(1)求C的方程；

(2)證明：直線MN過定點.

題型8定值問題

【方法總結(jié)】

直線與橢圓綜合應(yīng)用中的定值問題的求解，求解此類問題的基本思路如下：

①假設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，整理為關(guān)于X或y的一元二次方程的形式；

②利用△>0求得變量的取值范圍，得到韋達定理的形式；

③結(jié)合韋達定理表示出所求量，將所求量轉(zhuǎn)化為關(guān)于變量的函數(shù)的形式；

④化簡所得函數(shù)式，消元可得定值.

[例題812324上?南陽?期中)已知雙曲線C卷*=l(a>0,b>0)的右焦點為F(小,0),

離心率e=

(1)求C的方程；

(2)若直線/過點P(4,0)且與C的右支交于M,N兩點，記C的左、右頂點分別為4,4，直

線M4,N4的斜率分別為統(tǒng)…kNA2,證明：”為定值.

【變式8-1]1.(23-24上?南昌?階段練習(xí))已知雙曲線C：*5=l(a>0,6>0)的實軸

長為4,離心率為四.過點P(4,2)的直線I與雙曲線C交于A,B兩點.

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知點Q(3,4),若直線QA,QB的斜率均存在，試問其斜率之積是否為定值？請給出判

斷與證明.

【變式8-1]2.(23.24上?廣西?階段練習(xí))已知雙曲線真-§=1過點(3,|)和點(4,V15).

(1)求雙曲線的離心率；

(2)過M(0,l)的直線與雙曲線交于P,Q兩點，過雙曲線的右焦點F且與PQ平行的直線交雙曲

線于4,B兩點，試問嗎轡是否為定值？若是定值，求該定值；若不是定值，請說明理由.

【變式8-1]3.(22-23下河南?模擬預(yù)測)已知雙曲線C：g=l(a>0)的左、右焦點

分別為6,6-過尸2的直線I交C的右支于M,N兩點，當(dāng)I垂直于x軸時，M,N至IJC的

一條漸近線的距離之和為2V1

Q)求C的方程；

⑵證明：器+霜為定值-

【變式8-1]4.(23-24上?長沙?階段練習(xí))已知雙曲線C：g-g=l(a>O,b>0)的離心

率為近,點M(3,-1)在雙曲線C上.

(1)求雙曲線C的方程；

⑵若F為雙曲線的左焦點，過點尸作直線/交C的左支于4B兩點.點P(-4,2),直線4P交直線

x=-2于點Q.設(shè)直線Q4QB的斜率分別的水2,求證：七-6為定值.

2

【變式8-1J5.(21-22上?大連?階段練習(xí))已知雙曲線*=1的漸近線傾斜角分別為30。

和150。，尸為其左焦點，P為雙曲線右支上一個動點.

⑴求雙曲線方程.

⑵過點P分別作兩漸近線的垂線，垂足分別為Q,R,求證：|PQ|?|PR|為定值.

【變式8-1]6.(23-24上漢中?階段練習(xí))已知雙曲線C：/—5=l(a>0,6>0)的焦距

為2區(qū),且焦點到漸近線的距離為1.

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若動直線/與雙曲線C恰有1個公共點，且與雙曲線C的兩條漸近線分別交于P,Q兩點，。為

坐標(biāo)原點，證明：△OPQ的面積為定值.

題型9定直線問題

【例題9](22-23下?荊門?期末)已知雙曲線C：*5=l(a>0,b>0)的實軸長為2,兩

漸近線的夾角為;.

(1)求雙曲線C的方程：

(2)當(dāng)a<b時，記雙曲線C的左、右頂點分別為&,4,動直線/：久=my+2與雙曲線C的

右支交于M,N兩點(異于4),直線,4N相交于點T,證明：點T在定直線上，并求

出定直線方程.

【變式9-1]1.(22-23下?安慶?一模)如圖1所示,雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線右焦

點發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的左焦點.若雙曲

22

線3=l(b>0)的左、右焦點分別為6、F2,從4發(fā)出的光線經(jīng)過圖2中的人B兩

點反射后，分別經(jīng)過點C和。，且tan/CAB=AB1BD.

\4/<\4Aac

F2x

(1)求雙曲線E的方程；

(2)設(shè)4、4為雙曲線E實軸的左、右頂點，若過P(4,0)的直線/與雙曲線C交于M、N兩點，

試探究直線與直線&N的交點Q是否在某條定直線上？若存在，請求出該定直線方程；

如不存在，請說明理由.

【變式9-1]2.(2223?廣西一模)如圖，已知雙曲線C：/—《=l(a>0,b>0)的右焦

點為尸(2,0),0為坐標(biāo)原點，過點F作直線％與雙曲線的漸近線交于P,Q兩點，且點P在

線段FQ±,0P1PQ,\OP\+\OQ\=V3|P(?|.

(1)求c的方程；

(2)設(shè)公,乙是C的左、右頂點，過點G，0)的直線I與C交于M,N兩點，試探究直線與

&N的交點S是否在某條定直線上，若是，求出該定直線方程，若不是，請說明理由.

【變式9-1]3.(22.23上?福州?期末)在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，已知4(-2,0),8(2,0),動點P滿

足條件：直線P4與直線PB的斜率之積等于;,記動點P的軌跡為E.

(1)求E的方程；

(2)過點C(4,0)作直線1交E于M,N兩點，直線AM與BN交點Q是否在一條定直線上？若是，

求出這條直線方程；若不是，說明理由.

22

【變式9-1】4.(22.23上?南通?階段練習(xí))已知人B分別為雙曲線“W一卷=l(a>0,b>

0)的左、右頂點，尸為雙曲線M的右焦點，點。為雙曲線M左支上異于點4的另一點，當(dāng)。點坐

標(biāo)為(―&,—1)時，\DF\=3.

Q)求雙曲線M的方程；

(2)若點C(2,0),直線CD交雙曲線M的右支于點E,判斷直線4。與直線BE的交點P是否在一

條定直線？若是，請求出該直線方程；若不是，請說明理由.

題型10向量相關(guān)問題

【例題10](2223?徐匯?三模)橢圓「1吟+5=l(a>b>0)的焦點&F2是雙曲線心的頂

點，其頂點是雙曲線「2的焦點雙曲線12的漸近線是y=士x，橢圓與雙曲線心有一個交點。，

APF/2的周長為4+2V2.

(1)求橢圓r1與雙曲線「2的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)直線人：y=k1x+「交雙曲線「2于。、。兩點，交直線％：y=于點E，若心心=1.證

明：E為CD的中點；

(3)過點Q(-4,0)作一動直線Z交橢圓I1于A、B兩點，記瓶=AQBCAeR).若在線段4B上取一

點M，使得前=(-A)MB,求點M的軌跡方程.

22

【變式10-1】1.(2223下浙江?期中)已知雙曲線C曝-琶=1過點M(3,魚),且右焦點

為F(2,0).

(1)求雙曲線C的方程：

(2)過點尸的直線/與雙曲線C的右支交于A,B兩點，交y軸于點P,若m=mAF,PB=nBF,

求證：m+n為定值；

(3)在(2)的條件下，若點Q是點P關(guān)于原點。的對稱點，求三角形Q4B的面積的取值范圍.

【變式10-1】2.(22-23上徐州?期中)已知雙曲線C：《-5=1的離心率為白，點P(2,l)在

雙曲線C上.

(1)求雙曲線C的方程；

⑵設(shè)過點(1,0)的直線/與曲線。交于MN兩點,問在久軸上是否存在定點Q，使得麗?麗為

常數(shù)？若存在，求出Q點坐標(biāo)及此常數(shù)的值，若不存在，說明理由.

【變式10-1]3.(22-23下?上海?期末)已知反比例函數(shù)y=扣勺圖象C是以x軸與y軸為

漸近線的等軸雙曲線.

(1)求雙曲線C的頂點坐標(biāo)與焦點坐標(biāo)；

⑵設(shè)為雙曲線C的兩個頂點點M(x°,yo),N(yo，Xo)是雙曲線C上不同的兩個動點求

直線與&N交點的軌跡E的方程；

⑶設(shè)直線I過點P(0,4)且與雙曲線C交于A、B兩點，與x軸交于點Q當(dāng)配=X1OA=A2OB,

且%+%=-8時，求點Q的坐標(biāo).

【變式10-1]4.(1L12?天水一模)已知向量m=(2,0),OC=AB=(0,1)動點M到定直

線y=1的距離等于d,并且滿足麗?AM=fc(CM-BM-d2),其中。是坐標(biāo)原點，k是參數(shù).

(1)求動點M的軌跡方程，并判斷曲線類型；

(2)當(dāng)k=用寸，求|麗+2前忖勺最大值和最小值；

⑶如果動點M的軌跡是圓錐曲線，其離心率e滿足?<e<當(dāng)求實數(shù)k的取值范圍.

題型11探索性問題

【方法總結(jié)】

解決探索性問題是否存在時，要設(shè)出直線方程并聯(lián)立橢圓方程，得到根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合

已知條件化簡，難點在于計算過程比較復(fù)雜，計算量較大，且基本都是字母參數(shù)的運算，

因此要十分仔細，

【例題111(23?24上?常州?期中)若雙曲線C:捺—2=l(a>0,6>0)的一個焦點是F(2,0),

且離心率為2.

(1)求雙曲線C的方程；

(2)設(shè)過焦點尸的直線/與雙曲線C的右支相交于A,B兩點(不重合)，

①求直線/的傾斜角的取值范圍；

②在x軸上是否存在定點M，使得直線M力和M