專題08矩形存在性問(wèn)題

(2024?濟(jì)寧二模)

1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線＞=0^+加+。(。＜0)與x軸交于N(-2,0),8(4,0)

(1)試求拋物線的解析式;

(2)直線＞=履+1(后＞0)與y軸交于點(diǎn)。，與拋物線在第一象限交于點(diǎn)P,與直線2c交于點(diǎn)

s

M,記加=六"，試求比的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

、ACDM

(3)在(2)的條件下，加取最大值時(shí)，是否存在x軸上的點(diǎn)。及坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)N,使得

P,D,Q,N四點(diǎn)組成的四邊形是矩形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的。點(diǎn)和N點(diǎn)

的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

2.如圖，己知二次函數(shù)y=-工2+4"2X-4〃/+加+1的頂點(diǎn)為3,點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別是

/(0,-2),C(8,2),以ZC為對(duì)角線作口Z8CD.

(1)點(diǎn)8在某個(gè)函數(shù)的圖象上運(yùn)動(dòng)，求這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式；

(2)若點(diǎn)。也在二次函數(shù)y=+4mx-4jn2+m+1的圖象上，求加的值;

試卷第1頁(yè)，共6頁(yè)

(3)是否存在矩形/BCD,使頂點(diǎn)3、。都在二次函數(shù)＞=-〃(x-2加y+加+1的圖象上？若存

在，請(qǐng)求出己的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

m

(2023?東源縣三模)

(1)求拋物線的解析式.

⑵點(diǎn)P是直線5c上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)交x軸于點(diǎn)N,過(guò)點(diǎn)P

作PQ〃y軸交BC于點(diǎn)Q,求PQ+亭尸N的最大值及此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo).

(3)將拋物線了="2+區(qū)+4沿射線。2平移26個(gè)單位，平移后得到新拋物線V.。是新拋

物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，在平面內(nèi)確定一點(diǎn)總使得以2、C、D、E四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是矩

形.直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo).

(2023?羅定市三模)

4.如圖1,拋物線了=竽/+a+。過(guò)8(3,0)，兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)”從點(diǎn)2出發(fā)，以

圖1圖2

(1)求拋物線y=+bx+c的表達(dá)式；

試卷第2頁(yè)，共6頁(yè)

(2)如圖1,過(guò)點(diǎn)M作軸于點(diǎn)。，交拋物線于點(diǎn)E,當(dāng)y1時(shí)，求四邊形。8EC的面

積；

(3)如圖2,動(dòng)點(diǎn)N同時(shí)從點(diǎn)。出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿方向運(yùn)動(dòng)，'將ABMN

繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180。得到△GMF.

①當(dāng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到多少秒時(shí)，四邊形尸G是菱形；

②當(dāng)四邊形NBFG是矩形時(shí)，將矩形NSPG沿x軸方向平移使得點(diǎn)尸落在拋物線上時(shí)，直

接寫出此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo).

(2023秋?鐵東區(qū)校級(jí)月考)

(2)在拋物線上求點(diǎn)尸，使△P/2的面積是△402面積的一半；(寫出詳細(xì)解題過(guò)程)

(3)點(diǎn)M在拋物線上，點(diǎn)N在坐標(biāo)平面內(nèi)，是否存在以N,B,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是矩形,

若存在直接寫出M的坐標(biāo)，若不存在說(shuō)明理由.

(2023?歙縣校級(jí)模擬)

6.如圖，若二次函數(shù)了=狽2+瓜+4的圖象與％軸交于點(diǎn)/(-1，0)、8(4,0),與〉軸交于點(diǎn)

試卷第3頁(yè)，共6頁(yè)

(1)求該二次函數(shù)的解析式；

(2)若點(diǎn)0是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)K,使以點(diǎn)2、C、。、K為頂點(diǎn)，BC為

邊的四邊形是矩形？若存在請(qǐng)求出點(diǎn)K的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(2024?淮陰區(qū)校級(jí)模擬)

7.如圖1,二次函數(shù)y=-；/+6x+c與x軸交于48兩點(diǎn)，與〉軸交于點(diǎn)C.點(diǎn)2坐標(biāo)

為(6,0),點(diǎn)C坐標(biāo)為(0,3),點(diǎn)尸是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作尸軸,

圖1圖2圖3

(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式；

⑵如圖2,過(guò)點(diǎn)P作尸尸，BC,垂足為尸，當(dāng)加為何值時(shí)，尸尸最大？最大值是多少？

(3)如圖3,連接CP,當(dāng)四邊形OC尸。是矩形時(shí)，在拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)0,使原點(diǎn)。

關(guān)于直線CQ的對(duì)稱點(diǎn)。'恰好落在該矩形對(duì)角線所在的直線上，請(qǐng)直接寫出滿足條件的點(diǎn)。

的坐標(biāo).

(2024?張店區(qū)二模)

8.如圖1,拋物線了=如2+云+3(。30)與x軸交于點(diǎn)4(-1,0),8(3,0)與>軸交于點(diǎn)C,

連接NC,BC.

(1)求該拋物線及直線8c的函數(shù)表達(dá)式；

(2)如圖2,在2c上方的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)尸(不與2,。重合)，過(guò)點(diǎn)P作尸?！?C,交.BC

試卷第4頁(yè)，共6頁(yè)

于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)P作PE〃了軸，交BC于點(diǎn)E.在點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，請(qǐng)求出周長(zhǎng)的最

大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）如圖3,若點(diǎn)尸是該拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)。

使以2,C,P,0為頂點(diǎn)為對(duì)角線的四邊形是矩形，若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)。的坐標(biāo);

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（2024?婁底二模）

9.如圖，拋物線》=x2+bx+c交x軸于2（3,0）兩點(diǎn)，交了軸于點(diǎn)C,點(diǎn)尸是拋物

（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

⑵當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2,-3）時(shí)，求四邊形/CP8的面積；

（3）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在直線5c上方時(shí)，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)是否存在點(diǎn)。，使得以8,C,P,Q

為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（2024?榆次區(qū)三模）

10.綜合與探究

13

如圖，拋物線＞=：X2-；X-4與x軸交于48兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與歹軸交于點(diǎn)

42

C（0,-4）,作直線NCBCPBC是直線下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn).

試卷第5頁(yè)，共6頁(yè)

⑴求兩點(diǎn)的坐標(biāo)，并直接寫出直線/C,BC的函數(shù)表達(dá)式.

(2)過(guò)點(diǎn)尸作PQ〃J，軸，交直線8c于點(diǎn)。，交直線/C于點(diǎn)T.當(dāng)尸為線段7。的中點(diǎn)時(shí)，

求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

⑶在(2)的條件下，若N是直線2c上一動(dòng)點(diǎn)，試判斷在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)M,使以

3,尸,為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)〃的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理

由.

試卷第6頁(yè)，共6頁(yè)

1

1.(l)y=-—x?+x+4

2

(2)當(dāng)f=2時(shí)，加取得最大值,，此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(2,4)

(3)存在,乂生3同訓(xùn)或3(6,一3)，2(8,0)

【分析】(1)先求出點(diǎn)。(0,4),然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式即可；

(2)過(guò)點(diǎn)尸作尸￡〃了軸交直線8C于E,連接CP,先求出直線8c的解析式為y=-x+4,

設(shè)尸”，一32+:+“，貝iJE。,T+4),PE=-^t2+2t,由得出

「

瑞PM=P狹E=1+o打2,因止匕=SAp"=PM=122最后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可

DMCD63S^CDMDM63

求出m最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)分兩類進(jìn)行討論：①當(dāng)。尸是矩形的邊時(shí)，有兩種情形，當(dāng)四邊形尸為矩形時(shí),

如圖2,連接尸C,過(guò)點(diǎn)凡作ywA軸于M,證明△尸。C之△0MM(AAS),/XPDC^^DQfl,

337

求出"M=CD=3,OQt=—,OM=OQX+QXM=—+2=—,從而得出滿足條件的0點(diǎn)和N

點(diǎn)的坐標(biāo)；當(dāng)四邊形尸口3。2是矩形時(shí)，如圖2,過(guò)點(diǎn)。2作2K，x軸交CP的延長(zhǎng)線于K,

過(guò)點(diǎn)小作/TLx軸于7,證明△尸DCs^oPK,ADC尸絲△N2702(AAS),求出02=8,

NJ=CD=3,OT=OQ2-Q2T=6,從而得出滿足條件的。點(diǎn)和N點(diǎn)的坐標(biāo)；②當(dāng)。尸是

對(duì)角線時(shí)，設(shè)0(x,0),由。是直角頂點(diǎn)，根據(jù)勾股定理得出方程f-2X+4=0,此方程無(wú)

解，此種情形不存在.

【詳解】(1)???4(-2,0),

/.OA=2,

???OC=2OA,

/.0C=4,

.?.C(0,4),

拋物線?=江+云+°經(jīng)過(guò)點(diǎn)/(-2,0),5(4,0),C(0,4),

4。一2b+c=0

<16a+4b+c=0,

c=4

答案第1頁(yè)，共34頁(yè)

解得：＜6=1,

c=4

???該拋物線的解析式為＞=-g/+x+4；

(2)如圖1,過(guò)點(diǎn)尸作尸￡〃丁軸交直線8c于￡,連接”,

圖1

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+d,

?■?5（4,0）,C（0,4）,

j4k+d=0

jd=4

???直線8c的解析式為>=-x+4,

設(shè)尸[,一5/+/+4],則E（/,-/+4）,

：.PE=一三/+/+4—（一/+4）=-1■/+2/,

???直線>=履+1（后>0）與y軸交于點(diǎn)。，

.-.0（0,1）,

.-，cr>=4-i=3,

?；尸￡〃了軸，即PE〃CD,

???/\EMPs公CMD,

答案第2頁(yè)，共34頁(yè)

--t2+2/

PM_PE212

~DM~~CD~3~6f2+3

S

?m=^CPM=PM_

■SmDM'

???當(dāng)f=2時(shí)，a取得最大值此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(2,4)；

(3)存在這樣的點(diǎn)。、N,使得以尸、D、。、N四點(diǎn)組成的四邊形是矩形.

由(2)知：0(0,1),尸(2,4),

圖2

當(dāng)四邊形尸為矩形時(shí)，如圖2,連接尸C,過(guò)點(diǎn)乂作口軸于M,

則ZDCP=NN\MQ[=90°,

：.2Q\N、M+NN&M=90°,

???四邊形尸口。乂為矩形，

PD=N&NPDQi=NDQN=90°,

NPDC+ZQtDO=NNQ'M+DQXO=90°,

ADOQX=90°,

.-.ZQlDO+ZDQlO=90°,

ZPDC=ADQfl=QNM,

答案第3頁(yè)，共34頁(yè)

??.△PZX?gZk0iNi"(AAS),

...QiM=CP=2,MN、=CD=3,

ZDCP=DOQX=90°,ZPDC=ZDQ.O,

.-.△PDC^ADQO,

,OQL_OD即些=，

''CDCP"32'

3

°Qi=2，

37

：.OM=OQX^QXM=-+2=-,

??,M加,嗚q；

當(dāng)四邊形尸。生。2是矩形時(shí)，如圖2,過(guò)點(diǎn)。2作。2長(zhǎng)，無(wú)軸交CP的延長(zhǎng)線于K,過(guò)點(diǎn)小作

軸于7,

?.?四邊形尸口色。2是矩形，

.?./OPQ=90。，PD=N2Q2,

NDPC+/Q?PK=90。,

vZK=ZDCP=90°f

??.ZPDC+ZDPC=90°f

ZPDC=ZQ2PKf

:.XPDCSXQFK,

.?.生=里，即生=土

DCCP32

??.PK=6,

.??0。2=8,

-.?ZPQ2K+ZPQ2O=ZPQ2O+N202T=90°,

..ZPQ2K=ZN2Q2Tf

VZPQ2K=ZDPC,

答案第4頁(yè)，共34頁(yè)

,-.ZN2Q2T=ZDPCf

VZDCP=N2TQ2=90。,

.-.△Z)CP^A7V2722(AAS),

,Q2T=CP=2,N2T=CD=3,

??.OT=OQ2-Q2T=S-2=6,

???乂（6,-3）,Q（8,0）；

②當(dāng)DP是對(duì)角線時(shí)，設(shè)。（x,0）,則0斤=/+1,。戶=（2_力2+42,尸02=13,

"Q是直角頂點(diǎn),

：.QD-+QP2^PD-,

.-.X2+1+(2-X)2+16=13,

整理得/-2工+4=0,此方程無(wú)解，此種情形不存在；

綜上所述，*,3）,0（|,0）或抽（6,一3）,02（8,0）.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，待定系數(shù)法，相似三角形的判

定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，熟練掌握二次函數(shù)

的圖象與性質(zhì)，根據(jù)題意正確作出圖形，進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵.

2.（l）y=?+l

33±V97

UI

16

125

（3）存在,

【分析】（1）把二次函數(shù)的解析式化成頂點(diǎn)式，得出頂點(diǎn)8的坐標(biāo)，再根據(jù)坐標(biāo)特點(diǎn)寫出函

數(shù)解析式即可；

（2）由平移的性質(zhì)，用加表示。點(diǎn)的坐標(biāo)，再將。點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)的解析式，得到加

的方程，解方程即可；

（3）根據(jù)平行四邊形/BCD是矩形，得NB4D=90°,由勾股定理列出方程求出機(jī)的值，再

根據(jù)頂點(diǎn)3、。都在二次函數(shù)y=-〃（x-2加y+〃?+l的圖象上，求得〃?、力的關(guān)系，進(jìn)而求

解.

答案第5頁(yè)，共34頁(yè)

【詳確軍】（1）y=-x2+4mx-4m2+m+l=-（x-2m）2+m+l,

B（2加，加+1）,

m+1=—Ix2Cm+1,

2

???點(diǎn)B（2也加+l）在函數(shù)尸g%+l上，

所求函數(shù)的表達(dá)式為y=^+i;

（2）???四邊形是平行四邊形，

：.AB||DC,AB=DC,

.?.將4B沿BC方向平移可得。C,

C（8,2）,B（2m,m+1）,

Z）（8—2加，一加一I）,

把。（8-2加，—加一1）代入＞=—X2+4mx—4m2+冽+1中，得

—m-l=-（8-2w）2+4m（8-2w）-4m2+/M+l,

化簡(jiǎn)為：8/-33根+31=0,

解得：機(jī)=史主叵；

16

（3）???平行四邊形45C。是矩形，

??.ABAD=90°,

AB2+AD2=BD2,

???（2m）2+（加+3『+（8—2m）2+（—m+1）2=（8—4m）2+（2加+2）2,

化簡(jiǎn)得,5加2—14加一3=o,

解得：加=3或加=一"，

,??。點(diǎn)在二次函數(shù)尸一九（％-2加廣+機(jī)+1的圖象上，

???-m-1=一〃（8—4m）2+m+l,

m+1

?n-z-

-8（2-'

答案第6頁(yè)，共34頁(yè)

1〃|

當(dāng)機(jī)=3時(shí)，〃=:，此時(shí)己=+,

2m6

當(dāng)機(jī)=一1時(shí)，?=—,此時(shí)"=一義_.

5242m242

故存在矩形N8C。，使頂點(diǎn)3、。都在二次函數(shù)y=(x-2〃zy+〃z+l的圖象上，上的值

m

為工或-二.

6242

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)與判定、勾股

定理，熟練掌握上述性質(zhì)及其應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

11

3.(I)y=--x?+-X+4；

o2

(3)^(-2,0),￡(14,12),￡(2,6),￡(2,-2).

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求解即可；

(2)延長(zhǎng)尸。交x軸于“點(diǎn)，則尸H_Lx軸，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到拽尸N=PH,即

5

PQ+^-PN=PQ+PH,+,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；

(3)求得平移后的拋物線解析式，再分情況討論求解即可.

1

a=—

16。-4b+4=0解得8

【詳解】(1)解:由題意得

64a+8b+4=0

b=-

[2

該拋物線的解析式為＞=-+

o2

(2)由>=一三/+彳1+4可得，C(0,4)

o2

延長(zhǎng)P。交X軸于〃點(diǎn)，則軸,

,:PM1BC

??.ZPMQ=ZPHB=90°

答案第7頁(yè)，共34頁(yè)

又丁ZPQM=ZBQH

??.ANPH=ZOBC

設(shè)直線BC：y=k+t

f/4

???C(0,4)，8(8,0)，則—=o

...直線8C:昨-gx+4,。8=4,0c=2

???BC=V(9C2+052=275

okPH

???cosZNPH=cosZOBC=工=——

5PN

???^~PN=PH

5

2R

???PQ+^-PN=PQ+PH

設(shè)尸(加，一^■加2+；加+4),。(加，一;加+4)

111

PH=——m9+—m+4,PQ=——m7+m

828

2尺

PQ+^-PN=PQ+PH

134

=——m2+—m+4

42

——＜0,開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為直線加=3,且0＜加＜8

4

???當(dāng)加=3時(shí)，PQ+冬5PN有最大值不，

54

此時(shí)小心

(3)由題意可得：拋物線〉=-：/+!》+4沿射線尊平移2近個(gè)單位，即拋物線向右平移

了4個(gè)單位，向下平移了2個(gè)單位，

止匕時(shí)拋物線為：.y=-i(x-4)2+l(^-4)+4-2=-1x2+|x-2

0202

13

則拋物線尸-石工2+k-2的對(duì)稱軸為x=6

02

設(shè)。(6,〃)，E(xj)

當(dāng)以BC、OE為對(duì)角線時(shí)，由矩形的性質(zhì)可得:

答案第8頁(yè)，共34頁(yè)

6+x=8x=2fx=2

<〃+y=4解得〈k6或=-2

2222n=-21〃=6

(x_6)+(y_?)=8+4

即E（2,6）,￡（2,-2）；

當(dāng)以5。、CE為對(duì)角線時(shí)，由矩形的性質(zhì)可得:

x=8+6x=14

<4+y=n解得,>=12

x2+(y-4『=22+n2n=16

即E（4,12）

當(dāng)以BE、CD為對(duì)角線時(shí)，由矩形的性質(zhì)可得:

8+x=6x——2

<y=4+幾,解得<y=0

2222

(X-8)+J；=6+(Z7-4)n=-4

磯-2,0),

綜上，￡（-2,0）,￡（14,12）,E（2,6）,￡（2,-2）.

【點(diǎn)睛】此題為二次函數(shù)的綜合題，涉及了待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的平移，二次函

數(shù)與矩形的綜合，二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基礎(chǔ)

知識(shí)，能夠靈活運(yùn)用，學(xué)會(huì)分類討論的方法求解問(wèn)題.

4.（l）y=^^-x2-A/3X-3A/3

-3

⑵亍

⑶①當(dāng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到1秒時(shí)，四邊形NBFG是菱形；②點(diǎn)尸的坐標(biāo)為［立普，-26［或

一2句.

4

1）

【分析】（1）利用待定系數(shù)法將夙C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線了=竽/+云+。求解即可；

（2）當(dāng)/=1時(shí)求得長(zhǎng)度，并且利用平行線分線段成比例求得￡點(diǎn)橫坐標(biāo)，代入拋物線

解析式即可求得E點(diǎn)縱坐標(biāo)，再根據(jù)S四邊形0BEC=S梯形ODEC+S&BDE求解即可；

（3）①根據(jù)題意可求出ON=f,BN=3-t,BM=2f.再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)易證四邊形A?FG

答案第9頁(yè)，共34頁(yè)

是平行四邊形，則四邊形NBFG是菱形，只需BG_LNF即可，又可求出

cosZMBN=*=",cosNCBO=E=三則三=:，解出/的值即可；②當(dāng)四邊形

BN3—tnC23—t2

NBFG是矩形時(shí)，只需/BNG=90°.由/BNG=/BOC=90°,得出NG〃OC,利用平行

線分線段成比例，求得f=l；將矩形NBq/沿x軸方向平移時(shí)，點(diǎn)尸落在拋物線的圖象上,

即力=-26，再代入解析式即可求得點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【詳解】(1)解：???拋物線〉=苧/+云+。的圖象過(guò)8(3,0)，C(0,-36)兩點(diǎn)，

-----x9+36+c=0b=-^3

?,?13,解得：\廠，

|-3艮c儲(chǔ)=一3班

???拋物線的表達(dá)式為y=孚/一&X-3百；

(2)解:如圖:

?.?5(3,0),C(0,-3⑹,

.??<95=3,OC=3拒,

■■BC=yJOB2+OC2=6-

當(dāng)/=1時(shí)，BM=2t=2.

■.■DM1AB,OCLAB,

:.DM//OC,

BDBMBD2

——=---,即Rn——=-,

OBBC36

*'?BD=1,

：.OD=OB-OD=3-1=2.

答案第10頁(yè)，共34頁(yè)

2

在卜=￥》2一瓜一3。中，令X=2,得：T=^X2-V3X2-3A/3=-

..12,一述］

I3J

泗+3eX21XM1^

,$四邊形OBEC=$梯形O0EC+S、BDE=]+X1=

3232

（3）解：①如圖：

?.?將ABMN繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到AGMF,

：.BM=GM,NM=FM,

四邊形NBFG是平行四邊形，

若四邊形尸G是菱形，只需BG工NF,即/3MV=90。,

此;時(shí)cos/〃5N=*4=2—.

BN3-t

在Rt/kBOC中，cos/LOBO—=—=—,

BC62

2/_1

3-t2

3

解得：％=丁

3

答：當(dāng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到1秒時(shí)，四邊形NSbG是菱形；

②如圖：

答案第11頁(yè)，共34頁(yè)

由①得四邊形NBFG是平行四邊形.

當(dāng)四邊形N5/G是矩形時(shí)，只需NBNG=90。.

,?"BNG=/BOC=90。,

：.NG//OC,

BNBG口口3T

——=——，即=—，

OBBC36

解得：”1.

???當(dāng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)1秒時(shí)，四邊形NBFA/是矩形.

:?NB=3-\=2,BG=4,

-NG=^BG2-NB2=2A/3.

將矩形沿x軸方向平移時(shí)，點(diǎn)尸落在拋物線的圖象上，即力=-26.

當(dāng)了尸=一26時(shí)，即竿/一屈一36=一26，

解得：的=也畫，％=三叵，

144

，一2句或］一2道.

二點(diǎn)F的坐標(biāo)為JI4)

【點(diǎn)睛】本題為二次函數(shù)綜合題，考查求函數(shù)解析式，勾股定理，平行線分線段成比例，特

殊四邊形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，屬于中考?jí)狠S題.利用數(shù)形結(jié)合的思想是解

題關(guān)鍵.

5.(l)a=-1,k=—l,5的坐標(biāo)為(2,-4)

答案第12頁(yè)，共34頁(yè)

⑵[.-而-7+V13^p[1+&-7-V13^R'1-V5-3+VT

1+y/~5—3--\/5

4252

I/乙)

〃(c"f-l-V5-3-75^1〃f-l+V5-3+7^1

(3)M(o,o),M—，M—

<227v22)

【分析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法即可求得m左的值，解析式聯(lián)立，解方程組即可求得8的坐

標(biāo)；

(2)設(shè)直線》=履一2與y軸的交點(diǎn)為G,則G(0,—2),利用心緲=5,"+5根00求得A4O8

的面積.過(guò)點(diǎn)尸作PC〃x交直線于點(diǎn)C,設(shè)尸(加，-加2),分兩種情況列方程求解即可；

(3)分42為矩形的邊和為矩形的對(duì)角線利用勾股定理列方程求解.

【詳解】(1)解：?.?了=”過(guò)點(diǎn)/(一1,一1),

.?.-1=0x1,解得a=-l,

???一次函數(shù)了=履-2的圖象相過(guò)點(diǎn)4(-1,-1),

??--1=-k-2,解得左=-1；

??.3的坐標(biāo)為(2,-4)；

(2)解：設(shè)直線y=f-2與了軸的交點(diǎn)為G,則G(0,-2),

x

SMOB=SMOG+1^ABOG=-2xl+—x2x2=3.

過(guò)點(diǎn)P作PC//x交直線AB于點(diǎn)C,

設(shè)尸(九-/)，則°(加2-2,-療)，

當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)尸的右側(cè)時(shí)，

答案第13頁(yè)，共34頁(yè)

當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)尸的左側(cè)時(shí),

(3)解：設(shè)〃(凡-"2),

貝!JNA/2=(-l—+(-1+〃”=/-n2+2n+2,

BM2=(2—ny+(—4+/)=7j4-76—4w+20,

答案第14頁(yè)，共34頁(yè)

當(dāng)43為矩形的邊的邊時(shí),

由題意得

?4-?2+2?+2+18=?4-7〃2-4〃+20,

整理得/+〃=0,

解得4=0,%=-1（與/重合，舍去）

當(dāng)42為矩形的對(duì)角線時(shí),

由題意得

?4-zz2+2〃+2+“4-7〃2—4〃+20=18

整理得+“一］）=0,

2

解得％=T；括,%=T丁，?4=（與8重合，舍去），?5=-1（與/重合，舍去）

"-1-V5-3-E—1+>/5—3+Vs

???M21^^，2J

"-1-V5-3-V5"—l+y/S—3+V5

綜上可知：（）

0,0,M22JM

答案第15頁(yè)，共34頁(yè)

【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)

的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何

圖形結(jié)合起來(lái)，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長(zhǎng)度，從而求出線段之間的關(guān)系.

6.(1)^=-x2+3x+4

（2）存在，K點(diǎn)的坐標(biāo)為（-6,-2）或（6,2）

【分析】（1）將/（-1，0）、8（4,0）代入了="2+瓜+4,聯(lián)立方程組，求出a、b的值，即可

得出該二次函數(shù)的解析式；

（2）設(shè)。（加，-機(jī)2+3心+4）,當(dāng)加＞0時(shí)，過(guò)點(diǎn)。作軸交“點(diǎn)，過(guò)K作KG/x軸交G

點(diǎn)，證明也A3GK（44S）,得至?。?-/+3加+4―4,則強(qiáng)=2,所以K（6,2）；當(dāng)加＜0

時(shí)，設(shè)KC與x軸的交點(diǎn)為尸，3。與V軸的交點(diǎn)為〃，過(guò)點(diǎn)。作。GSy軸交G點(diǎn)，過(guò)K作

KE/x軸交E點(diǎn)，證明A02/G之AKFE（44S）,貝ij有一切=-4一（-加?+3〃2+4）,求得加=-2,

則GQ=2,可求K（-6,-2）,綜合即可得出K點(diǎn)的坐標(biāo).

【詳解】（1）解：把4（-1，0）、8（4,0）代入了="2+取+4,

fa-6+4=0

可得：|16a+4/?+4=0，

a=-l

解得:

b=3

??.該二次函數(shù)的表達(dá)式為y=-x2+3x+4.

（2）解：存在，理由如下：

設(shè)。（如一冽2+3加+4）,

當(dāng)加〉0時(shí)，如圖1,

???矩形是以為邊，

QK//BC,CQ1BCfKB1BC,

過(guò)點(diǎn)。作"，V軸交〃點(diǎn)，過(guò)K作KG，x軸交G點(diǎn),

vCQ=BK,OC=OB,

：,NOCB=NOBC=45。,

答案第16頁(yè)，共34頁(yè)

：./HC止/GBK=45°,

：.ACHQ%BGK（AAS）,

：.HC=HQ=BG=GK,

m=-m2+3m+4—4,

.,.%=2或%=0（舍去），

.?.”0=2,

；.K（6,2）；

當(dāng)機(jī)＜0時(shí)，如圖2,

???矩形是以8c為邊，

.-.QK//BC,KC1BC,BQ1BC,

設(shè)KC與x軸的交點(diǎn)為尸，臺(tái)。與V軸的交點(diǎn)為〃，

過(guò)點(diǎn)。作。G,了軸交G點(diǎn)，過(guò)K作KEL尤軸交E點(diǎn),

?：NOCB=NOBC=45。,

NOBH=NOHB=45°,ZFCO=ZCFO=A5°,

OF=OC=OB=OH=4,NHQG=NEFK=45。,

■：KC=BQ,CF=HB,

,-.FK=QH,

：.AQHGAKFE（AAS）,

：.QG=HG=EF=EK,

：.—m=—4—^—m2+3m+4）,

???他=-2或〃?=4（舍去）,

.-.GQ=2,

K（—6,-2）；

綜上所述，K點(diǎn)的坐標(biāo)為K（-6,-2）或K（6,2）.

答案第17頁(yè)，共34頁(yè)

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，靈活應(yīng)用矩形和

等腰直角三角形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

7.(1)歹+%+3

⑵當(dāng)加為3時(shí)，尸尸最大，最大值是噸

10

⑶點(diǎn)Q的坐標(biāo)為",j或(2,-1)或(2,4)

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求解即可；

(2)利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，根據(jù)題意設(shè)？］加,-；蘇+加+3］，則

E^m,-^m+3^,從而可求出PE的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理可求出8c.易證ABOCS/FE,得

BO-PF

出尸尸=“，代入數(shù)據(jù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；

JDC

(3)設(shè)0(24,拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)〃，交C尸于點(diǎn)G,則G0=37,CG=2,

ZCG2=90°.分類討論：①當(dāng)點(diǎn)?！『寐湓谠摼匦螌?duì)角線OP所在的直線上時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)。'

恰好落在該矩形對(duì)角線。上時(shí)和③當(dāng)點(diǎn)?！『寐湓谠摼匦螌?duì)角線DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，分別

畫出圖形，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，三角形相似的判定和性質(zhì)，勾股定理分析求

解即可.

【詳解】(1)解：???拋物線》=-$2+/+。與x軸交于/、8兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)8

坐標(biāo)為(6,0),點(diǎn)C坐標(biāo)為(0,3),

0=-9+6b+。b=l

解得:

c=3c=3

???該二次函數(shù)的表達(dá)式為：歹=-$2+x+3；

答案第18頁(yè)，共34頁(yè)

(2)解：設(shè)5C的解析式為歹=履+6"。0),

16左+〃=0k=--

解得：,2,

[b'=3

b'=3

???直線5C的解析式為：＞=—；%+3.

??,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m,

.?.尸（加，一；m2+加+3；則石（加，―g加+3：,

1（1A123

PE=——m2+機(jī)+3———m+3\=——m+—m.

4I2J42

vPFICE,軸,

???/EPF+ZPEF=/EBD+/BED=90°.

???APEF=/BED,

???/EPF=ZEBD.

???ZBOC=ZPFE=90°,

???4BOCS^PFE,

BO_BC

''~PF~~PE'

在RMB。。中，05=6,。。=3,

??BC=YJBO2+CO2=375，

???當(dāng)加為3時(shí)，PF最大,最大值是見(jiàn)1；

10

(3)解：???拋物線解析式為》=-；f+%+3,

1。

JV——-------2

???拋物線的對(duì)稱軸為直線一2x1J一?

???點(diǎn)。在拋物線的對(duì)稱軸上，

故可設(shè)0(2#.

設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)〃，交CP于點(diǎn)G,則GQ=3-f,CG=2,ZCGQ=90°.

分類討論:①當(dāng)點(diǎn)?！『寐湓谠摼匦螌?duì)角線。尸所在的直線上時(shí)，如圖，則C。垂直平分。。',

即C0_LOP,

答案第19頁(yè)，共34頁(yè)

.-.ZCOP+ZOCQ=90°.

又???四邊形oc尸。是矩形,

：.CP=OD=4,OC=3,NOCP=90。，

??.ZPCQ+ZOCQ=90°,

：.ZPCQ=ZCOPf

CP4

tanZPCQ=tanZCOP=——=—,

OC3

GQ4即

tanZ-PCQ-=f

CG-323

解得：f=;,

②當(dāng)點(diǎn)。'恰好落在該矩形對(duì)角線CO上時(shí)，如圖，連接CD交G8于點(diǎn)K,

???點(diǎn)。與點(diǎn)。'關(guān)于直線。。對(duì)稱,

???。。垂直平分。。',

...ZOCQ=NDCQ.

■■GH//OC,

...ZCQG=ZOCQ,

...ZDCQ=ZCQG,

CK=KQ.

"C,尸關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，即點(diǎn)G是C尸的中點(diǎn),

又???GH〃OC〃尸。，

答案第20頁(yè)，共34頁(yè)

，點(diǎn)K是CD的中點(diǎn),

0+43+0,即K(2,|

???K

22

3

：,GK=~,

2

-CK=ylCG2+GK2==.KQ,

；2，0，Q（2J）,

?：K

3

^KQ=--t,

35

22

解得，=—1，

???0(2,-1)；

③當(dāng)點(diǎn)。’恰好落在該矩形對(duì)角線。。的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)。作OKI》軸于點(diǎn)K,

連接OO'交直線CQ于點(diǎn)M,

???點(diǎn)O與點(diǎn)。，關(guān)于直線C。對(duì)稱,

???。。垂直平分。

:,ZOCM=ZOfCM,NOMC=NO'MC=90。,OrC=OC=3.

?.?NO'KC=/DOC=90°,/O'CK=ZDCO,

:?叢O'CKs叢DCO,

O'KCKCO'O'KCK3

-----f即-----f

DOOCCD4T~5

129

O，K=—^CK=§

924

??.QK=OC+CK=3+—=—

55

??。-"

答案第21頁(yè)，共34頁(yè)

???點(diǎn)”是OO'的中點(diǎn),

612

:.M

《'了

由C（0,3）,得直線CM的解析式為y=；x+3,

當(dāng)x=2時(shí)，y=—x2+3=4,

2

???0(2,4).

綜上所述，點(diǎn)0的坐標(biāo)為（2,口或（2,-1）或（2,4）.

【點(diǎn)睛】本題為二次函數(shù)綜合題，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、坐標(biāo)與圖形、二次函數(shù)的

圖象與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、對(duì)稱性質(zhì)、銳角三角函數(shù)以及勾股定

理等知識(shí)，解答的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合和分類討論思想求解是

解答的關(guān)鍵.

8.（l）y=-/+2x+3,y=-x+3

（2）ZiPQE的周長(zhǎng)最大值：++9后,p的坐標(biāo)為］

-小，…（5-V51-V5Vf5+V51+指1

（3）點(diǎn)。的坐標(biāo)為—z—或

【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，直角三角形勾

股定理，分類討論是解題的關(guān)鍵.

（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；

⑵證明△/O-APOE,得求出直線2C的解析式，設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)（加，-加2+2加+3）,則

39

點(diǎn)E的坐標(biāo)（%-加+3）,得尸￡=-加2+2加+3-（-加+3）；當(dāng)機(jī)=5時(shí)，PE取得最大值a，

3

即，當(dāng)機(jī)=］時(shí)，△尸DE的周長(zhǎng)取得最大值；

（3）設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)（加,-/+2加+3）,設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)（x°,%）,分所求情況討論：當(dāng)點(diǎn)P

CMPM

在/軸右邊的拋物線上時(shí)，當(dāng)時(shí)，NBPC=9Q°,則=列方程求

PNBN

解加；當(dāng)點(diǎn)P在〉軸左邊的拋物線上時(shí)，同理求解.

【詳解】（1）解：（1）將點(diǎn)/（T,0）,2（3,0）代入＞=°/+-+3,

Q—b+3=0

得,

9。+36+30

答案第22頁(yè)，共34頁(yè)

fa=-l

解，得A。，

所以，該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=-/+2x+3,

設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為》=后■+〃，

將點(diǎn)C(0,3),3(3,0)代入v=Ax+",

[H=3

得'\3k+n=Q

所以，直線5c的函數(shù)表達(dá)式為y=-x+3；

(2)如圖，過(guò)點(diǎn)/作軸，交BC于點(diǎn)、F,

所以，AF//PE,

所以，NAFC=NPED,

因?yàn)?，PD//AC,

所以，ZACD=ZPDC,

所以，ZACF=ZPDE,

在AACF和NPDE中，

,NAFC=NPED

[ZACF=NPDE'

所以，AACFsAPDE

APDE的周長(zhǎng)=尸￡

所人尸的周長(zhǎng)一7萬(wàn)'

由直線8C:y=r+3和點(diǎn)

答案第23頁(yè)，共34頁(yè)

得點(diǎn)尸坐標(biāo)為(T,4),

所以，4F=4,

AC=YIAO2+OC2=Vl+9=Vio>CF=yflAO=V2，

所以，△/CF的周長(zhǎng)=/尸+/C+C/=4+麗+亞，

所以，△/＞用的周長(zhǎng)==.AACF的周長(zhǎng)=4+廂+0,

AF4

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)("?,-/+2加+3),則點(diǎn)E的坐標(biāo)(加，-優(yōu)+3),

所以，PE=-m2+2m+3-(-m+3)

=-m2+3m

所以，當(dāng)加"3時(shí)，房取得最大值9;，

即，當(dāng)加=1時(shí)，△PDE的周長(zhǎng)取得最大值：4+M+0X2=36+9M+9,

24416

此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為］|與；

(3)設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)(也-+2"+3),設(shè)點(diǎn)0的坐標(biāo)(%,%)

①當(dāng)點(diǎn)尸在y軸右邊的拋物線上時(shí)，存在NAPC=90。即可存在點(diǎn)。使以8,C,P,0為頂

點(diǎn)BC為對(duì)角線的四邊形是矩形，過(guò)點(diǎn)P作血W〃尤軸，交y軸于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)2且平行于y

軸的直線于點(diǎn)N,如圖(1),

CM=-m2+2m，PN=3-加，

答案第24頁(yè)，共34頁(yè)

因?yàn)椋?dāng)△CWSANB時(shí)，NBPC=90。，

CMPM

所以,

PNBN

-m2+2mm

Rn即，--------

2，

3-m-m+2加+3

1+V5…符(舍)

解，得加i=

2

(1+V55+6

所以，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為

22J

33)

由題意，易得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為

2,2)，

因?yàn)?，點(diǎn)。與點(diǎn)尸關(guān)于線段的中點(diǎn)成中心對(duì)稱,

31+V55-V5

所以，=—x2-

22

_3_5+V51-V5

=于2_

22

'5-舊1-后

所以，點(diǎn)。的坐標(biāo)為

22J

②當(dāng)點(diǎn)尸在y軸左邊的拋物線上時(shí)，存在NBPC=90。即可存在點(diǎn)。使以8,C,P,為頂點(diǎn)

2c為