/專題四二次函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)1.拋物線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)(1)拋物線y=ax2+bx+ca≠0與直線y=m交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程ax2+bx+c=m的解x?,x?說明：由于直線y=m平行于x軸或與x軸重合，故(2)拋物線y=ax2+bx+ca≠0若方程組y=ax2+bx+c,y=kx+d2.拋物線y=ax2+bx+ca≠0(1)方程ax2+bx+c=kx+m(即ax2+b?k①b?k2?4a②b?k2?4a③b?k(2)含參二次函數(shù)y=ax2+bx+ca≠0的圖象與已知直線y=kx+m(k≠0)在一個(gè)范圍內(nèi)有交點(diǎn)一般轉(zhuǎn)化為方程ax2+bx+c=kx+m①僅常數(shù)項(xiàng)未知時(shí)，轉(zhuǎn)化為動直線y=c與定拋物線在某范圍內(nèi)的交點(diǎn)問題(例2變式1)；②僅二次項(xiàng)系數(shù)未知時(shí)，轉(zhuǎn)化為動拋物線y=ax2與定線段的交點(diǎn)問題(例2變式2)；③僅一次項(xiàng)系數(shù)未知時(shí)，轉(zhuǎn)化為動直線y=bx與定拋物線在某范圍內(nèi)的交點(diǎn)問題(例2變式3).應(yīng)用舉例1.二次函數(shù)圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)例1在平面直角坐標(biāo)系中,已知a≠b,設(shè)函數(shù)y=(x+a)(x+b)的圖象與x軸有M個(gè)交點(diǎn),函數(shù)y=(ax+1)(bx+1)的圖象與x軸有N個(gè)交點(diǎn)，則()變式設(shè)函數(shù)y?=x+ax+b的圖象與x軸有m個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)y?=(ax+1)(bx+1)白的圖象與x軸有n個(gè)交點(diǎn)，則所有可能的數(shù)對(m,n)是2.二次函數(shù)圖象與直線或線段的交點(diǎn)例2已知拋物線y=ax2?2x+1a≠0(1)求a的值;(2)設(shè)直線y=m(m>0)與拋物線y=ax2?2x+1交于點(diǎn)A,B,與拋物線y=3x?1變式1拋物線y=?x2+3x+c0≤x≤3A.2<c≤5B.2<c≤5或c=1C.2≤c≤5D.2≤c≤5或c=1變式2在平面直角坐標(biāo)系中,已知M(--1,--2),N(2,1),若拋物線y=ax2?2x+1a≠0A.1≤a<9B.1≤a<C.a≤1或a>D.a≤-5或a≥1變式3已知點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(-2,0),(2,0),若拋物線y=x2+bx+1與線段AB只有一個(gè)交點(diǎn)，則b的取值范圍為 進(jìn)階訓(xùn)練1.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)分別為(0,2)和(4,2),若拋物線y=ax2?2ax+3(a<0)與線段AB有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則a的取值范圍是.2.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過(--3,0)與(1,0)兩點(diǎn),關(guān)于x的方程ax2+bx+c+m=0(m>0)有兩個(gè)根,其中一個(gè)根是3.若關(guān)于x的方程ax2+bx+c+n=0(0<n<m)有兩個(gè)整數(shù)根，則這兩個(gè)整數(shù)根是()A.-2或0B.-4或2C.-5或3D.-6或43.已知A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(3,-4),(0,-2),線段AB上有一動點(diǎn)M(m,n),過點(diǎn)M作x軸的平行線交拋物線y=ax?12+2于P(x?,y?),Q(x?,y?)兩點(diǎn).若A.?4≤a<?32C.?32≤a<04.將二次函數(shù)y=?x2+2x+3的圖象在x軸上方的部分沿x軸翻折后，所得新函數(shù)的圖象如圖1-4-1所示.當(dāng)直線y=x+b與新函數(shù)的圖象恰有3個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，b的值為()A.?214或-3C.214或-3D.135.如圖1-4-2,已知拋物線y?=?x2+4x和直線y?=2x+b.我們規(guī)定：當(dāng)x取任意一個(gè)值時(shí)，x對應(yīng)的函數(shù)值分別為y?和y?.若y?≠y?,取y?和y?中較大者為M;若.y?=y?,記M=y?=y?..①當(dāng)x=2時(shí),M的最大值為4;②當(dāng)b=-3時(shí),使M>y?的x的取值范圍是-1<x<3;③當(dāng)b=-5時(shí),使M=3的x的值是x?=1,x?=3;④當(dāng)b≥1時(shí),M隨x的增大而增大.上述結(jié)論正確的是(填寫所有正確結(jié)論的序號).6.如圖1-4-3,拋物線y=x2+mx與直線y=-x+b交于點(diǎn)A(2,0)和點(diǎn)B.(1)求m和b的值;(2)求點(diǎn)B的坐標(biāo)，并結(jié)合圖象寫出不等式x2+mx>?x+b的解集；(3)點(diǎn)M是直線AB上的一個(gè)動點(diǎn)，將點(diǎn)M向左平移3個(gè)單位長度得到點(diǎn)N，若線段MN與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，直接寫出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)xM的取值范圍.7.已知拋物線y=x2?(1)當(dāng)m=0時(shí)，請判斷點(diǎn)(2，4)是否在該拋物線上；(2)該拋物線的頂點(diǎn)隨著m的變化而移動，當(dāng)頂點(diǎn)移動到最高處時(shí)，求該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；(3)已知點(diǎn)E(-1,-1),F(3,7),若該拋物線與線段EF只有一個(gè)交點(diǎn)，求該拋物線頂點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍.8.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y?=?(x+4)x?n與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B(n,0)(n≥?4),頂點(diǎn)坐標(biāo)記為??k?.拋物線y?=?(1)寫出A點(diǎn)坐標(biāo);(2)求k?,k?的值(用含n的代數(shù)式表示)；(3)經(jīng)過點(diǎn)M2n+9?5n2和點(diǎn)N(2n,9-5n2)的直線與拋物線y?=?x+4 專題四二次函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)答案|應(yīng)用舉例|例1C[解析]·:y=x+a∴∴函數(shù)y=(x+a)(x+b)的圖象與x軸有2個(gè)交點(diǎn).∴M=2.∵函數(shù)yax+1bx+1∴當(dāng)ab≠0時(shí),a+b函數(shù)y=(ax+1)(bx+1)的圖象與x軸有2個(gè)交點(diǎn),即N=2,此時(shí)M=N;當(dāng)ab=0時(shí),不妨令a=0,∵a≠b,∴b≠0,函數(shù)y=(ax+1)(bx+1)=bx+1為一次函數(shù).圖象與x軸有一個(gè)交點(diǎn),即N=1,此時(shí)M=N+1.綜上可知,M=N或M=N+1.故選C.變式(1,0),(1,1),(2,1),(2,2)[解析]當(dāng)a≠b時(shí),m=2;當(dāng)a=b時(shí),m=1.當(dāng)a=b=0時(shí),n=0;當(dāng)a=b≠0時(shí),n=1;當(dāng)a≠b=0或0=a≠b時(shí),n=1;當(dāng)非零數(shù)a≠非零數(shù)b時(shí)，n=2.∴(m,n)可能是(1,0),(1,1),(2,1),(2,2).例2解:(1)拋物線.y=ax2?2x+1a≠0的對稱軸為直線(2)由(1)可知，拋物線的解析式為y=x2?2x+1.由y=m(m>0)與.y=x2?2x+1,得x?1∴∴線段AB長度為x由y=m(m>0)與.y=3(x-1)2, 可得3x?1∴線段CD長度為23m3變式1B[解析]?x2+3x+c=x+2,即c=x2?2x+2.∴當(dāng)0≤x≤3時(shí),拋物線y=x2?2x+2與直線y=c只有一個(gè)交點(diǎn).如圖,點(diǎn)A(0,2),B(3,5),頂點(diǎn)C(1,1),結(jié)合圖象，可知當(dāng)c=1或2<c≤5時(shí)只有一個(gè)交點(diǎn).變式2A[解析]解法1(轉(zhuǎn)化為方程求解)：易得過M(-1,-2),N(2,1)的直線表達(dá)式為y=x-1.當(dāng)ax2?2x+1=x?1時(shí)，ax2=3x?2.當(dāng)x=-1時(shí),3x-2=3×(-1)-2=-5;當(dāng)x=2時(shí),3x-2=3×2-2=4,∴線段的端點(diǎn)轉(zhuǎn)化為A(-1,-5),B(2,4).∴拋物線.y=ax2與線段AB有兩個(gè)交點(diǎn).①當(dāng)a>0時(shí)，若直線AB與拋物線y=ax2只有一個(gè)交點(diǎn)，則方程ax2=3x?2有兩個(gè)相等的根，有?32?4a?此時(shí)有98x2?3x+2=0,解得當(dāng)拋物線y=ax2過B(2,4)時(shí),得a=1.由圖象知：拋物線.y=ax2的開口大小位于上述兩種情況之間時(shí)，與線段AB必有兩個(gè)交點(diǎn)，∴1≤a<②當(dāng)a<0時(shí)，顯然拋物線y=ax2與線段AB在第四象限必有一個(gè)交點(diǎn).當(dāng)拋物線y=ax2過點(diǎn)A(-1,-5)時(shí),得a=-5.由圖象知：當(dāng)拋物線y=ax2的開口大小不大于拋物線y=?5x2的開口大小時(shí)與線段AB在第三象限必有一個(gè)交點(diǎn),∴a≤-5.綜上，1≤a<9解法2(數(shù)形結(jié)合求解):易得過M(-1,-2),N(2,1)的直線表達(dá)式為y=x-1.令ax2?2x+1=x?1,則ax2?3x+2=0.∵直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，.∴△=?32?4×a×2>0.解得當(dāng)x=0時(shí),y=1,∴拋物線恒過定點(diǎn)(0,1).結(jié)合圖象可知：①當(dāng)a<0時(shí),a+2+1≤?2,4a?4+1≤1,②當(dāng)0<a<98時(shí).解得a≥1,∴1≤a<綜上，1≤a<9變式3b=±2或b>2.5或b<-2.5[解析]解法1(轉(zhuǎn)化為方程求解)：當(dāng)y=0時(shí)，x2+bx+1=0,∴bx=?x2?1在--2≤x≤2范圍內(nèi)只有一個(gè)解.當(dāng)x=-2時(shí),?x2?1=?5,當(dāng)x=2時(shí),?x2?1=?5,記M(-2,-5),N(2,-5),∴直線y=bx與定拋物線.y=?x2?1在線段MN上只有一個(gè)交點(diǎn).如圖，當(dāng)直線y=bx與定拋物線.y=?x2?1只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，方程x2+bx+1=0有兩個(gè)相等的根，由△=b2?4=0得b=±2,此時(shí)x2±2x+1=0,,解得x=±1(在-2≤x≤2范圍內(nèi)),∴成立.由圖象知：當(dāng)b≤-2或b≥2時(shí)直線y=bx與定拋物線y=?x2?1有一個(gè)或兩個(gè)交點(diǎn).當(dāng)直線y=bx過點(diǎn)M(-2,-5)時(shí),b=2.5;當(dāng)直線y=bx過點(diǎn)N(2,-5)時(shí),b=-2.5.由圖象知:當(dāng)直線y=bx位于直線y=-2.5x與直線y=-2x之間或位于直線y=2x與直線y=2.5x之間時(shí)與拋物線y=?x2?1有兩個(gè)交點(diǎn),即-2.5≤b<-2或2<b≤2.5時(shí),直線y=bx與拋物線.綜上,b=±2或b>2.5或b<-2.5.解法2(數(shù)形結(jié)合求解)：依題意，應(yīng)分為兩種情況討論：①當(dāng)Δ=0，即二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在x軸上時(shí)，b2?4=0,解得b=±2.此時(shí)交點(diǎn)為(-1,0)或(1,0),符合題意.②當(dāng)△>0，即二次函數(shù)圖象頂點(diǎn)在x軸下方時(shí)，根據(jù)二次函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)(0，1)，結(jié)合圖象可知有以下四種可能：或4+2b+1=0,?b2>2或4+2b+1>0,4?2b+1<0|進(jìn)階訓(xùn)練|1.a≤?18[解析]拋物線y=ax2?2ax+3的對稱軸為直線：x=?∵a<0，∴拋物線的開口向下.其大致圖象如圖.當(dāng)拋物線.y=ax2?2ax+3經(jīng)過點(diǎn)B(4,2)時(shí),2=a×42?2a×4+3,解得a=?18,對于拋物線∵拋物線y=ax2?2ax+3與線段AB只有一個(gè)交點(diǎn)，∴|a|≥?又∵a<0,∴a≤-18.∴a的取值范圍是2.B[解析]方程ax2+bx+c+m=0的根,即拋物線y=ax2+bx+c與直線y=-m交點(diǎn)的橫坐標(biāo).∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過(--3,0)與(1,0)兩點(diǎn),∴拋物線的對稱軸為直線x=-1.又∵關(guān)于x的方程ax2+bx+c+m=0m0)有兩個(gè)根，其中一個(gè)根是3，設(shè)方程ax2+bx+c+n=0的兩根為x?,x?,∵0<n<m,∴拋物線.y=ax2+bx+c和直線y=-m,y=-n的大致圖象如圖.∴?5<x?<?3,1<x?<3.∵方程ax2+bx+c+n=0有兩個(gè)整數(shù)根，∴方程的兩個(gè)整數(shù)根為-4或2.3.C[解析]如圖,拋物線.y=ax?12+2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2),當(dāng)拋物線.y=ax?12+2經(jīng)過點(diǎn)A(3,-4)時(shí),觀察圖象可知，當(dāng)拋物線與線段AB沒有交點(diǎn)或經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)滿足條件，∴?34.A[解析]拋物線y=?x2+2x+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4),與x軸的交點(diǎn)為A(-1,0),B(3,0).把拋物線y=?x2+2x+3在x軸上方的部分沿x軸翻折到x軸下方，則翻折部分所在拋物線的解析式為y=x?1∴3+b=0.解得b=-3.當(dāng)直線y=x+b與拋物線y=x?12?4(?1≤x≤3)只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，直線y=x+b與該新圖象恰好有三個(gè)公共點(diǎn)，即方程(x?12?4=x+b有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解，整理得x2?3x?b?3=0,△=32?4?b?3=0,解得b=5.②④[解析]對于①:當(dāng)x=2時(shí),.y?=?22+4×2=4,y?=2×2+b=4+b,顯然只要b>0,M的值就為4+b,故①錯誤;對于②：當(dāng)b=-3時(shí)，在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出y?，y?的圖象，如圖①，解y=?x2+4x,y=2x?3,得∴兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為(-1，-5)和(3，3)，觀察圖象可知使M>y?的x的取值范圍是-1<x<3,故②正確；對于③：當(dāng)b=-5時(shí)，在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出.y?,y?的圖象，如圖②，故M=3時(shí)分類討論：當(dāng)y?=?x2+4x=3時(shí),解得x?=3,x?=1;當(dāng)y?=2x?5=3時(shí)，解得.x?=4,，故③錯誤；對于④：令?x2+4x=2x+b,由△=0,解得b=1.結(jié)合圖③可知當(dāng)b≥1時(shí),y?≥y?.故此時(shí)M=y?，故M隨x的增大而增大，故④正確.故答案為②④.6.解:(1)∵拋物線y=x2+mx經(jīng)過點(diǎn)A(2,0),∴4+2m=0.∴m=-2.∵直線y=-x+b經(jīng)過點(diǎn)A(2,0),∴-2+b=0.∴b=2.(2)當(dāng)x2?2x=?x+2時(shí)，解得x?=?1,x?=2.∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-1,3).結(jié)合圖象可知，不等式x2+mx>?x+b的解集為x<-1或x>2.(3)-1≤xM<2或xM=3.[解析]當(dāng)點(diǎn)M在線段AB上(不含點(diǎn)A)時(shí)，∵M(jìn)N=3，而A，B兩點(diǎn)間的水平距離為3，故此時(shí)只有一個(gè)交點(diǎn),即-1≤xM<2;當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，線段MN與拋物線沒有公共點(diǎn)；當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)，當(dāng)xM=3時(shí)，拋物線和線段MN交于拋物線的頂點(diǎn)(1,--1),即xM=3時(shí),線段MN與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn).綜上，-1≤xM<2或x7.解:(1)當(dāng)m=0時(shí),拋物線為y=x2?x+3.將x=2代入得y=4-2+3=5,∴點(diǎn)(2，4)不在拋物線上.(2)拋物線.y=x2?m+1x+2m+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為化簡得m+12而?∴當(dāng)m=3時(shí)，頂點(diǎn)縱坐標(biāo)最大，即頂點(diǎn)移動到了最高處，此時(shí)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2，5).(3)由點(diǎn)E(-1,-1),F(3,7)得直線EF的解析式為y=2x+1.由y=2x+1,得x=2,y=5或∴直線y=2x+1與拋物線y=x2?m+1而(2,5)在線段EF上,∴若該拋物線與線段EF只有一個(gè)交點(diǎn)，則(m+1，2m+3)不在線段EF上或(2,5)與(m+1,2m+3)重合,∴m+1<-1或m+1>3或m+1=2(此時(shí)2m+3=5).∴拋物線頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)x頂點(diǎn)=m+12<?18.解:(1)∵y?=-(x+4)(x-n),令y?=0,則-(x+4)(x-n)=0,