專題34最值模型之阿氏圓模型

最值問題在中考數(shù)學常以壓軸題的形式考查，“阿氏圓”又稱“阿波羅尼斯圓”，主要考查轉化與化歸等的

數(shù)學思想。在各類考試中都以高檔題為主，中考說明中曾多處涉及。本專題就最值模型中的阿氏圓問題進

行梳理及對應試題分析，方便掌握。

目錄導航

1

6

例題講模型］

模型1.阿氏圓模型

模型解讀

動點到兩定點距離之比為定值（即：平面上兩點A、B,動點尸滿足PA/PB=k（左為常數(shù)，且厚1））,

那么動點的軌跡就是圓，因這個結論最早由古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)的，故稱這個圓稱為阿波羅尼斯

圓，簡稱為阿氏圓。

模型證明

如圖1所示，。。的半徑為r,點A、B都在。0外，尸為。。上一動點，已知片。（即”=后）,連

OB

接PA、PB,則當“PA+kPB”的值最小時，尸點的位置如何確定？最小值是多少呢？

OPOBOBOP

VZPOC=ZBOP,:ZOCs&BOP,,即左尸B=PC。

PB

故本題求“PA+kPB”的最小值可以轉化為“PA+P。'的最小值。

其中與A與C為定點，尸為動點，故當A、P、C三點共線時，“P4+PC，值最小，如圖3所示。

阿氏圓求最值的本質就是通過構造母子相似，化去比例系數(shù)，轉化為兩定一動將軍飲馬型求最值，難點在

于如何構造母子相似。

阿氏圓最值問題常見考法：點在圓外：向內(nèi)取點（系數(shù)小于1）；點在圓內(nèi)：向外取點（系數(shù)大于1）；一內(nèi)

一外：提系數(shù)；隱圓型阿氏圓等。

注意區(qū)分胡不歸模型和阿氏圓模型：在前面的“胡不歸”問題中，我們見識了“八陰+尸6’最值問題，其中P點

軌跡是直線，而當尸點軌跡變?yōu)閳A時，即通常我們所說的“阿氏圓”問題.

模型運用

例1.（2024?安徽合肥?二模）在"RC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,點。是平面上一點，且CD=4,

連接AD、BD,則下列說法正確的是（）

A.AD長度的最大值是9B.+的最小值是|a6

C.ZCBD=30°D.△ABD面積的最大值是40

例2.（2024?廣東?模擬預測）如圖，已知正方ABCD的邊長為6,圓B的半徑為3,點P是圓B上的一個動

點，則的最大值為

2

例3.（2023?北京?九年級專題練習）如圖，邊長為4的正方形，內(nèi)切圓記為0O,P是。。上一動點，則0

PA+PB的最小值為.

例4.（2024?江蘇?無錫市九年級期中）如圖，。。與y軸、x軸的正半軸分別相交于點/、點N,。。半徑

為3,點A（0,1）,點8（2,0）,點P在弧MN上移動，連接B4,PB,則3P4+PB的最小值為一.

例5.（2024.山東?模擬預測）如圖，在AABC中，ZABC=90°,AB=2BC=6,BD=1,P在以3為圓心

3為半徑的圓上，則AP+6PD的最小值為

例6.（2024廣東.模擬預測）如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,D、E分別是邊8C、

AC上的兩個動點，且上=4,尸是DE的中點，連接R4,PB,則PA+的最小值為.

B

例7.（2024?福建?校考一模）如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，M為A8上一點，且BM=2,N為邊BC

上一動點.連接"N,將ABMN沿MN翻折得到APMN,點尸與點8對應，連接上4,PC,則PA+2PC的

最小值為?

例8.（2024?廣東??？级＃?）初步研究：如圖1,在△必8中，已知以=2,AB=4,。為AB上一點且AQ=1,

證明：PB=2PQ；（2）結論運用：如圖2,已知正方形ABC。的邊長為4,0A的半徑為2,點P是。A上的

一個動點，求2PC+PB的最小值；（3）拓展推廣：如圖3,已知菱形ABCD的邊長為4,ZA=60°,的

半徑為2,點P是。A上的一個動點，求2PC-PB的最大值.

DC

DC

圖1圖2圖3

例9.（2023?山東煙臺?統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線y=ad+6x+5與x軸交于兩點，與》軸交于點

C,AB=4.拋物線的對稱軸x=3與經(jīng)過點A的直線、=區(qū)-1交于點。，與x軸交于點E.

（1）求直線AD及拋物線的表達式；（2）在拋物線上是否存在點V,使得△ADM是以AD為直角邊的直角三角

形?若存在，求出所有點”的坐標；若不存在，請說明理由；（3）以點3為圓心，畫半徑為2的圓，點尸為08

上一個動點，請求出尸C+JPA的最小值.

習題練模型

1.（2024?安徽六安?模擬預測）如圖，在矩形ABCD中，已知4?=3,BC=6,E為AD邊上一動點，將AME

沿BE翻折到AEBE的位置，點A與點廠重合，連接。尸，CF,則。廠的最小值為（）

2

2.（2024年廣東深圳中考模擬試題）如圖，矩形ABCD中AB=8,AD=6,點E是矩形ABC。內(nèi)部一個動

點，且￡B=4,連接CE,則DE十三分之二CE的最小值為（）

2623

A.8B.—C.-D.9

33

3.（2024?安徽六安?模擬預測）如圖，在矩形ABC。中，已知AB=3,BC=6,E為AD邊上一動點，將△鉆石

沿BE翻折到AFBE的位置，點A與點廠重合，連接。RCF,則。F+的最小值為（）

A.-B.叵C.4D.

222

4.（2024?山東泰安?二模）如圖，在RAABC中，ZACB=90°,CB=2立,AC=9,以C為圓心，3為半

徑作。C,尸為。C上一動點，連接AP、BP,則3AP+BP的最小值為（）

A

A.1B.2C.3D.4

5.（2024?陜西西安?模擬預測）如圖，在矩形ABCD中，AB=6,40=9,點P為邊8的中點，點E在邊AD

上，連接3尸，點尸為3尸上的動點，則EP+典3尸的最小值為.

6.（2024.安徽合肥?模擬預測）如圖所示，正方形ABCD邊長為8,M為3c中點，E為AC上的動點，F(xiàn)為

班上的點，且3/=3,連接DE,貝！I2MF+DE的最小值是（）

A.辰B.3幣C.2.714D.2a

7.（2024?江蘇鎮(zhèn)江?二模）如圖，邊長為2的正方形ABCD中，E、尸分別為3C、CD上的動點，BE=CF,

連接AE、BF交于點P,貝UP￡?+gpC的最小值為一.

8.（2024?浙江溫州?模擬預測）如圖，在正方形ABCD中，點N分別在邊AB,BC上（不與頂點重合），

且滿足AM=8N,連接AN,DM交于點、P.E,尸分別是邊AB,3C的中點，連結接PE,PF.若正方

形的邊長為8,則尸E+;尸尸的最小值為一一

9.（2024?廣西?一模）圖所示，在半徑為6的扇形ABC中，/BAC=60°,點。，E分別在半徑AB,

3

AC上，且Br）=CE=2,點F是弧BC上的動點，連接。EEF,則。/十萬￡尸的最小值為.

10.（23-24九年級上?江蘇徐州?階段練習）如圖正方形ABC。的邊長是4,。4的半徑是2,點E是。A上一

動點，連接EB,EC.則EC+：EB的最小值=.

11.（2024九年級?廣東?專題練習）如圖，在VABC中，ZACB=90°,AC=BC=4,0c的半徑為2,。是。C

上一動點，點E在CB上，CE=l,連接則;4O+2OE的最小值_____

12.（2024?四川??？家荒＃┤鐖D，為。。的直徑，點C與點。在A3的同側，且BC1AB,

AD=L,3c=3,點尸是。。上的一動點，則正尸D+PC的最小值為

2

13.（23-24九年級上?江蘇鹽城?期末）已知：等腰RtaABC中，ZACB=90°,AC=BC=4,。是AB上一

點，以。為圓心的半圓與AC、3c均相切，P為半圓上一動點，連尸C、PB,如圖，貝!]PC+也P8的最小

2

值是.

14.（2024?江蘇鎮(zhèn)江?二模）如圖，邊長為2的正方形ABCD中，E、尸分別為3C、CD上的動點，BE=CF,

連接AE、族交于點P,貝|PD+（PC的最小值為一.

15.（2024?江蘇??？级＃┤鐖D，在AABC中，ZACB=90°,BC=12,AC=9,以點C為圓心，6為半徑的圓

上有一個動點D連接A。、BD、CD,則24D+32D的最小值是

16.（23-24九年級上.江蘇南京?期末）如圖，在RtAABC中，ZACB=9Q°,AC=6,8c=8,D、E分別是

邊BC、AC上的兩個動點，且OE=4,尸是DE的中點，連接R4,PB,則尸A+：的最小值為

17.（2024?江蘇?無錫市九年級階段練習）問題提出：如圖①，在Rt^ABC中，/C=90。，CB=4,CA=6,

0c的半徑為2,P為圓上一動點，連接AP、BP,求+尸的最小值.

（1）嘗試解決:為了解決這個問題,下面給出一種解題思路:如圖①,連接CP,在CB上取一點D,使CD=1,

CDCP1PDCD1

則W=W=又NPCD=/BCP,所以APCDSABCP.所以短二修二^.

所以PD=LpB,所以42+18尸=AP+PD.

22

請你完成余下的思考，并直接寫出答案：尸的最小值為；

（2）自主探索：在“問題提出”的條件不變的前提下，求g4P+8尸的最小值；

（3）拓展延伸：如圖②，已知在扇形COD中，ZCOD=9Qa,0C=6,0A=3,OB=5,P是CD上一點,

求2X4+PB的最小值.

18.（2023春?江蘇宿遷?九年級?？奸_學考試）

圖4圖5

【問題呈現(xiàn)】如圖1,ZAOB=90°,OA=4,。2=5,點尸在半徑為2的。。上，求尸+族的最小值.

2

OC1OP

【問題解決】小明是這樣做的：如圖2,在上取一點C使得。。=1,這樣可得/=上=匕，又因為/

OP2OA

CPOP111

COP=ZPOA,所以可得ACOP/△尸。4所以一=一=-,得CP=-A尸所以一AP+BP=CP+BP.

APOA222

又因為CP+BP2cB=yj0C2+0B2，所以;人尸+BP最小值為一.

【思路點撥】小明通過構造相似形（圖3）,將gAP轉化成CP,再利用“兩點之間線段“最短“求出CP+8P

的最小值.

2

【嘗試應用】如圖4,NAOB=60。，OA=10,。8=9,點P是半徑為6的。。上一動點，求4尸+,8尸最小值.

【能力提升】如圖5,ZABC=120°,BA=BC=8,點。為平面內(nèi)一點且3CD,連接A。，則AAB。面積

的最大值為一.

19.（2023?江蘇連云港?統(tǒng)考一模）如圖1,平面內(nèi)有一點尸到AABC的三個頂點的距離分別為m、PB、PC,

若有PA1=PB2+PC2,則稱點P為AABC關于點A的勾股點.

（1）如圖2,在5x5的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1,點A,B、C、。、E均在小正方形的格點上，則

點。是44BC關于點的勾股點；若點產(chǎn)在格點上，且點E是△回/關于點尸的勾股點，請在方格紙

中畫出△他/；（2）如圖3,菱形ABCD中，AC與BD交于點O,點E是平面內(nèi)一點，且點。是AABE關于

點E的勾股點.①求證：OE=AB；②若=05=1,則AE的最大值為（直接寫出結果）；

③若。4=g,OB=1,且“WE是以AE為底的等腰三角形，求AE的長.

（3）如圖4,矩形A8C￡＞中，AB=3,3c=4,E是矩形ABCD內(nèi)一點，且點C是AABE關于點A的勾股點,

3

那么+的最小值為______（直接寫出結果）.

4

20.（23-24九年級上.重慶.階段練習）如圖，在VABC中，ABAC=45°,交AC于點。，M為線

段上一動點，連接CM.（D如圖1,連接AM,若AM是Z54C的角平分線且=時，求的

度數(shù).（2）如圖2,將線段CB繞點C按逆時針方向旋轉90。，得到線段CF,連接,交線段CM于點G,連

接DG,若點G為線段AF的中點，求證：A2+CM=0AC.（3）如圖3,在⑵的基礎上，若3AB=45BM,

將ABDC繞點8順時針旋轉。角度（0°4。4360。），旋轉后ABDC對應△BD'C',點〃對應的點為AT,連接

AM',DM',AC.旋轉過程中，當線段AC'與線段3￡）存在交點“且cos/CB〃=姮時，記

17

ZBAH+ZBC'H=a；當+取得最小值時，記為=A.請直接寫出強回的值.

4tana

專題34最值模型之阿氏圓模型

最值問題在中考數(shù)學常以壓軸題的形式考查，“阿氏圓”又稱“阿波羅尼斯圓”，主要考查轉化與化歸等的

數(shù)學思想。在各類考試中都以高檔題為主，中考說明中曾多處涉及。本專題就最值模型中的阿氏圓問題進

行梳理及對應試題分析，方便掌握。

目錄導航

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例題講模型］

模型1.阿氏圓模型

模型解讀

動點到兩定點距離之比為定值（即：平面上兩點A、B,動點尸滿足PA/PB=k（左為常數(shù)，且厚1））,

那么動點的軌跡就是圓，因這個結論最早由古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)的，故稱這個圓稱為阿波羅尼斯

圓，簡稱為阿氏圓。

模型證明

如圖1所示，。。的半徑為r,點A、B都在。0外，尸為。。上一動點，已知片。（即”=后）,連

OB

接PA、PB,則當“PA+kPB”的值最小時，尸點的位置如何確定？最小值是多少呢？

,?ZPOC=ZBOP,:ZOCs^BOP,,即k-PB=PC。

PB

故本題求“PA+kPB”的最小值可以轉化為“PA+P。'的最小值。

其中與A與C為定點，尸為動點，故當A、P、C三點共線時，“P4+PC，值最小，如圖3所示。

阿氏圓求最值的本質就是通過構造母子相似，化去比例系數(shù)，轉化為兩定一動將軍飲馬型求最值，難點在

于如何構造母子相似。

阿氏圓最值問題常見考法：點在圓外：向內(nèi)取點（系數(shù)小于1）；點在圓內(nèi)：向外取點（系數(shù)大于1）；一內(nèi)

一外：提系數(shù)；隱圓型阿氏圓等。

注意區(qū)分胡不歸模型和阿氏圓模型：在前面的“胡不歸”問題中，我們見識了“八力+尸8”最值問題，其中P點

軌跡是直線，而當尸點軌跡變?yōu)閳A時，即通常我們所說的“阿氏圓”問題.

模型運用

例1.（2024?安徽合肥?二模）在AABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,點。是平面上一點，且CD=4,

連接AD、BD,則下列說法正確的是（）

A.AD長度的最大值是9B.+的最小值是|a6

C.ZCBD=30°D.△ABD面積的最大值是40

【答案】B

【分析】本題考查了相似三角形判定與性質、勾股定理、點和圓的位置關系等知識，牢記相關性質是解題

關鍵，根據(jù)點和圓的位置關系直接判斷A、C、D,根據(jù)相似三角形判定與性質及勾股定理、兩點之間線段

最短判斷B即可.

【詳解】解：A、?.?AC=6,點。是平面上一點，且CD=4,

二點4、C、。在同一直線上且。在AC延長線上時，AD長度的最大值是6+4=10,故本選項不符合題意;

EC￡>?DCA:.Z\CDE^Z\CAD\—=—=-\DE=-AD

CDCA3ADCD33

27

\—AD+BD=DE+BD?BE當B、D、E共線時—AD+2。最小，

33

此時，|AD+BD=BE=^|^+82=當0,故本選項符合題意；

C、■.?點。是平面上一點，且CD=4,.:。點在以點C為圓心，4為半徑的圓上，

隨著點。的變化而變化，故本選項不符合題意；

D、,.?￡）點在以點C為圓心，4為半徑的圓上，

如下圖，當DC所在直線垂直于時，△ABD面積的最大，

在AABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,.-,AB=V62+82=10-

\S=-^i￡8=1倉ioCH,\CH=4.8,\=4.8+4=8.8,

△/iDc22

\S"加=；創(chuàng)。8.8=44,.?.△ABD面積的最大值是44,故本選項不符合題意；故選：B.

例2.（2024廣東?模擬預測）如圖，已知正方ABCD的邊長為6,圓B的半徑為3,點P是圓B上的一個動

點，則po-Lpc的最大值為.

2

AD

【答案】—

2

13

【解析】當P點運動到BC邊上時，此時PC=3,根據(jù)題意要求構造-PC,在BC上取M使得此時PM=—,

22

則在點P運動的任意時刻，均有PM=-PC,從而將問題轉化為求PD-PM的最大值.連接PD,對于APDM,

2

PD-PM<DM,故當D、M、P共線時，PD-PM=DM為最大值”.

2

例3.（2023?北京?九年級專題練習）如圖，邊長為4的正方形，內(nèi)切圓記為。O,P是。。上一動點，則也

PA+PB的最小值為

【答案】2谷

【分析】應以+吁④Z與PB），利用相似三角形構造?依即可解答.

【詳解】解：設。。半徑為八

DC

OP=r=*BC=2,。3=后廠=20,取。8的中點/,連接P/,：.0I=IB=母,

,噂=玉=0翁￥=魚一嗡嚼-』。是公共角，—?！姡?/p>

：.IL=2L=顯,：.PI=J3LPB,:.AP+^PB=AP+PI,

PBOP222

...當A、P、/在一條直線上時，AP+正尸8最小，作/E_LA8于E,

2

：NA8O=45°,：.IE=BE=-BI=1,：.AE^AB-BE^3,

2

/.AI=后+仔=而,：.AP+今PB最小值=AI=V10,

VV2B4+PB=V2(PA+昱PB),二0B4+P2的最小值是應A/=癡=2斯.故答案是2石.

2

【點睛】本題是“阿氏圓”問題，解決問題的關鍵是構造相似三角形.

例4.(2024?江蘇?無錫市九年級期中)如圖，。。與y軸、x軸的正半軸分別相交于點M、點N,。。半徑

為3,點A(0,1),點B(2,0),點P在弧MN上移動，連接P4,PB,則3E4+PB的最小值為一.

【答案】V85

04AP1

【分析】如圖，在y軸上取一點C(0,9),連接PC,根據(jù)僚=算=；,NAOP是公共角，可得AAOPS4

POC,得尸C=3必，當民C,尸三點共線時，3B4+PB的值最小為BC,利用勾股定理求出BC的長即可得答案.

【詳解】如圖，在y軸上取一點C(0,9),連接PC,

：。。半徑為3,點A(0,1),點3(2,0),：.OP=3,OA=1,OB=2,OC=9,

QAQp1

—=-=NA。尸是公共角，A/\AOP^/\POC,：.PC=3PA,

?)PA+PB=PC+PB,：.當B,C,P三點共線時，3PA+PB最小值為BC,

二BC=Jg+OB?=的2+22=庖,???3B4+PB的最小值為故答案為：體

【點睛】本題主要考查相似三角形的判定與性質及最小值問題，正確理解C、P、B三點在同一條直線上時

3PA+PB有最小值，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題關鍵.

例5.（2024?山東?模擬預測）如圖，在AABC中，ZABC=90°,AB=2BC=6,BD=1,尸在以3為圓心

3為半徑的圓上，則AP+6PD的最小值為.

【解答】解：在AB上取點E,使BE=*,?.?AB=2BC=6,:再=些=工,

2ABBP2

PFDp11

?；ZPBE=ZABP,:ZBES/\ABP,..—=一=_,：.PE=—PA,

PAAB22

在班)延長線上取加'=9,-,BD=l,貝11挺=絲=3,

PBBD

又,；ZPBD=NFBP,..AP瓦A加BP,—=—=3,:.PF=3PD,

PDBD

:.PA+6PD=2(^PA+3PD)=2(PE+PF),

.?.當P為EF和圓的交點時PE+PF最小，即上4+620最小，且值為2￡F,

EF=4BE?+BF。=J(|y+9<=,.?.JR4+6FD的最小值為2斯=3折，故答案為：3后.

例6.(2024?廣東?模擬預測)如圖，在RtAABC中，ZAGB=90°,AC=6,BC=8,D、E分別是邊8C、

AC上的兩個動點，且上=4,尸是DE的中點，連接R4,PB,則PA+的最小值為.

【解答】解：如圖，在CB上取一點P，使得CF=二，連接PF,AF.

2

1CF1CP_1CFCP

???ZDCE=90。，DE=4,DP=PE,:.PC=—DE=2,丁——=-

2CP4ci-4CPCB

PFCF111

\ZPCF=ZBCP,.-.APCF^ABCP,.?——=——=—,:.PF=-PB,PA+-PB=PA+PF,

PBCP444

■：PA+PF..AF,AF=>/CF2+AC2=^(1)2+62=,

，PA+；吟券的最小值為華

例7.（2024?福建??？家荒＃┤鐖D，在邊長為6的正方形ABCD中，〃為AB上一點，且BM=2,N為邊BC

上一動點.連接MZV,將ABMN沿MTV翻折得到APMN,點尸與點8對應，連接R4,PC,則PA+2尸。的

最小值為____________

【答案】

【分析】由折疊的性質可得，點尸在以M為圓心，以2為半徑的圓上，在線段上取一點E,使得用E=l,

利用相似三角形的性質得到PE=^PA,從而得到PA+2PC=21%+尸。=2（P￡+PC）＞2CE,當且僅當

P、C、E三點共線時，取得最小值2CE,即可求解.

【詳解】解：由題意可得：==2；.點尸在以M為圓心，以2為半徑的圓上，

MPME1

在線段M4上取一點E,使得ME=1,則BE=3'：AM=AB-BM=4,MP=2：.——=——=-

AMPM2

PEME1]

又,/NEMP=ZPMA：.AEMP^4PMA'——=——=一：.PE=-PA

PAPM22

PA+2PC=2（gPA+Pc[=2（PE+PC）＞2CE

如下圖所示，當且僅當尸、C、E三點共線時，取得最小值2CE

CE=MBE2+BC?=3亞,，R1+2PC的最小值為：6后

例8.（2024?廣東??？级＃?）初步研究：如圖1,在ARIB中，已知B4=2,4B=4,。為A8上一點且4。=1,

證明：PB=2.PQ；（2）結論運用：如圖2,已知正方形ABCD的邊長為4,。4的半徑為2,點尸是。A上的

一個動點，求2PC+PB的最小值；（3）拓展推廣：如圖3,已知菱形ABCD的邊長為4,乙4=60。，。4的

圖1圖2圖3

【答案】（1）見解析；（2）10；（3）2737

【分析】（1）證明△RIQSABAP,根據(jù)相似三角形的性質即可證明PB=2PQ；

（2）在AB上取一點Q,使得AQ=1,由（1）<PB=2PQ,推出當點C、尸、。三點共線時，PC+P。的值

最小，再利用勾股定理即可求得2PC+PB的最小值；（3）作出如圖的輔助線，同（2）法推出當點尸在C。

交。A的點P時，PC-P。的值最大，再利用勾股定理即可求得2PC-PB的最大值.

PAAB

【詳解】解：（）證明：：：2

1'PA=2,AB=4,AQ=1,.B\=AQAB=4.~AQ~PA'

PQpa]

XVZA=ZA,:ZAQSXBAP.A-^=—=-.：.PB=2PQ；

（2）如圖，在AB上取一點Q,使得A0=1,連接AP,PQ,CQ.

：.AP=2,AB=4,AQ=1.由(1)得PB=2PQ,：.2PC+PB=2PC+2PQ=2(PC+PQ).

?：PC+PQ>QC,當點C、尸、。三點共線時，PC+PQ的值最小.

QC=ylQB2+BC2=5,：.2PC+PB=2(PC+PQ)>10.：.2PC+PB的最小值為10.

（3）如圖，在A8上取一點。使得AQ=1,連接AP,PQ,CQ,延長CQ交。4于點P,過點C作C”垂

直的延長線于點X.易得AP=2,AB=4,AQ=1.

由（1）得PB=2PQ,：.2PC-PB=2PC-2PQ=2（PC-PQ）,

,/PC-PQ<QC,當點P在C。交。A的點P時，PC-PQ的值最大.

QC=^QH2+CH-=歷，：.2PC-PB=2(PC-PQ)<2y/31..?.2PC-P8的最大值為2歷.

【點睛】本題考查了圓有關的性質，正方形的性質，菱形的性質，相似三角形的判定和性質、兩點之間線

段最短等知識，解題的關鍵是學會構建相似三角形解決問題，學會用轉化的思想思考問題，把問題轉化為

兩點之間線段最短解決.

例9.（2023?山東煙臺?統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線、=依2+法+5與x軸交于A3兩點，與》軸交于點

C,AB=4.拋物線的對稱軸x=3與經(jīng)過點A的直線y=履-1交于點。，與x軸交于點E.

（1）求直線AD及拋物線的表達式；（2）在拋物線上是否存在點V,使得"DM是以AD為直角邊的直角三角

形?若存在，求出所有點〃的坐標；若不存在，請說明理由；（3）以點8為圓心，畫半徑為2的圓，點尸為08

上一個動點，請求出尸C+；尸A的最小值.

【答案】（1）直線的解析式為y=xT；拋物線解析式為y=/-6x+5

（2）存在，點M的坐標為（4,-3）或（0,5）或（5,0）（3）41

【分析】（1）根據(jù)對稱軸尤=3,AB=4,得到點A及3的坐標，再利用待定系數(shù)法求解析式即可；

（2）先求出點。的坐標，再分兩種情況：①當/ZMM=90。時，求出直線AM的解析式為丁=-尤+1,解方

[y=~x+1

程組2°＜，即可得到點M的坐標；②當NAZW=90。時，求出直線DM的解析式為y=r+5,

[y=x-6x+5

[y=-x+5BFPB

解方程組2/＜，即可得到點M的坐標；（3）在AB上取點尸，使3尸=1,連接CP,證得F=大，

[y=x-6x+5PBAB

又NPBF=ZABP,得到APBRSAABP,推出PF=；PA,進而得到當點C、P、尸三點共線時，PC+；PA的

值最小，即為線段CP的長，利用勾股定理求出CP即可.

【詳解】（1）解：：拋物線的對稱軸X=3,A3=4,.?.A（l,0）,3（5,0）,

將A（l,0）代入直線、=丘-1,得左-1=0,解得％=1,.?.直線4。的解析式為＞=＞1；

a+b+5=0a=l

將A（1,0）,3（5,0）代入y=ax2+bx+5,解得

25a+5b+5=0b=-6

???拋物線的解析式為y=Y—6%+5；

（2）存在點M,,?,直線AD的解析式為y=x-1,拋物線對稱軸x=3與％軸交于點￡.

???當x=3時，y=x-l=2,/.￡）（3,2）,

①當NZMM=90。時，設直線AM的解析式為丁=-x+J將點A坐標代入，

得-1+。=0,解得。=1,1?直線AAf的解析式為y=-x+i,

[y=—x+lfx=l,fx=4/、

解方程組，24一z得八或，，???點”的坐標為（4,—3）；

[y=x-6x+5[y=。[>=一3

②當NADM=90。時，設直線DM的解析式為y=-%+d,將。（3,2）代入，

得-3+d=2,解得d=5,，直線DA/的解析式為y=-%+5,

[y=—x+5[x=0fx=5/、/、

解方程組|；=/_6X+5,解得Jy=5或1y=0'二點加的坐標為（°，5）或0，°）

綜上，點M的坐標為（4,-3）或（0,5）或（5,0）；

（3）如圖，在上取點/，使BF=1,連接CP,

..….BF1PB21.BFPB

?PB=2,??——,?=—=—,、??=,

PB2A342PBAB

PFBF11

XVZPBF^ZABP,：.APBF^AABP,gpPF=-PA,

PC+:PA=PC+"NCF,.?.當點C、P、/三點共線時，尸C+gpA的值最小，即為線段CP的長，

2222

VOC=5,OF=OB-1=5-1=4,：.Cp=y/oC+OF=75+4=A/41-；?PC+；PA的最小值為日，

【點睛】此題是一次函數(shù)，二次函數(shù)及圓的綜合題，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，直角三角形的性質,

勾股定理，相似三角形的判定和性質，求兩圖象的交點坐標，正確掌握各知識點是解題的關鍵.

習題練模型]

1.（2024?安徽六安?模擬預測）如圖，在矩形ABCD中，已知4?=3,BC=6,E為AD邊上一動點，將AME

沿BE翻折到AEBE的位置，點A與點P重合，連接。尸，CF,則。廠的最小值為（）

2

【答案】D

【分析】本題考查了矩形的性質，相似三角形的判定與性質，勾股定理等知識，找到最小距離是解題的關

31

鍵.在2C上取點G,使8G=j,連接尸G,DG,證明AFBG-ACB尸，可得出FG=/B,貝l]

DF+^FC=DF+GF>DG,當。、F、G三點共線時，￡>尸+；/C最小，在RtACDG中，利用勾股定理

求出DG即可.

3

【詳解】解：如圖，在3c上取點G,使BG=],連接產(chǎn)G,DG.

?.?△ABE沿BE邊翻折到△版，，/="=3,又...BC=6,：.黑=：,黑=:，??筌=箓，

GFBF11

又,NFBG=NCBF,;△FBG^ACBF,.----=-----=—,/.FG=—CF,

CFBC22

:.DF+-FC=DF+GF>DG,當。、F、G三點共線時，OF+工尸C最小，

22

在Rt2\C￡>G中，CD=AB=3,CG=BC-BG=4.5,ZBCD=90°,

:.DG=dCD、CG2=迦,即OF+'RS的最小值為"3.

222

2.（2024年廣東深圳中考模擬試題）如圖，矩形ABCD中AB=8,AD=6,點E是矩形ABCD內(nèi)部一個動

點，且ES=4,連接CE,則DE+三分之二CE的最小值為（）

2623

A.8B.—C.—D.9

33

【答案】B

【分析】根據(jù)題意可得：點E在以8為圓心，4為半徑的圓弧上運動，在上取一點尸，使跖=|,連接班',

102

由矩形的性質可得3C=AD=6,CD=AB=8,推出CP=§,證明△BEFSABCE,得到EF=§CE,推

22

出￡>E+§CE=￡>E+E尸，即當￡）、E、p共線時，DE+§CE取最小值，最小值為。尸，最后根據(jù)勾股定

理求出。尸，即可求解.

【詳解】解：根據(jù)題意可得：點E在以8為圓心，4為半徑的圓弧上運動，在BC上取一點F，使BF=|,

Q1A

連接斯，???矩形ABCD中，AB=8,AD=6,ABC=AD=6,CD=AB=8,ACF=BC-BF=6--=—,

BEBF2FF22

?：EB=4,——==—,又1N/?=NB,「./\BEFs/\BCE,——EF=—CE,

BCBE3CE33

22

DE+-CE^DE+EF,，當。、E、尸共線時，+取最小值，最小值為

DF=JCF2+CD?=][雪+8?=g,故選:B.