2024-2025學(xué)年上學(xué)期人教A版高二年級(jí)期末教學(xué)質(zhì)量模擬檢測(cè)

本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。

注意事項(xiàng)：

1.答題前，務(wù)必將自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)填寫在答題卡規(guī)定的位置上。

答選擇題時(shí)，必須使用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦

2.擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。

3.答非選擇題時(shí)，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上。

4.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無(wú)效。

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)

中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.

1.中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且過(guò)兩點(diǎn)(4,0),(0,2)的橢圓方程為()

2222

A.土+匕=1B.匕+七=1

4242

2222

C上+土—1D.土+工=1

164164

2.如圖，在正方體ABC?！狝4GA中，AB=bMN分別是棱AB，eg的中點(diǎn)，則點(diǎn)A到

直線MN的距離為()

0

AM-------B

A.正C.lD.l

4123

3.直線/：3x-y+4=0的一個(gè)方向向量為()

D,聞

A.(3,-1)B.(3,l)C.(l,3)

4.已知點(diǎn)4(3,1)，3(2,3)，若過(guò)點(diǎn)的直線與線目4A3相交，則該直線斜率的取值范圍是()

A.(-oo,-4][l,^o)

C.(0,4]D.[l,4]

5.已知坐標(biāo)原點(diǎn)不在圓c：/+y2+x+2y+加=0的內(nèi)部，則根的取值可能為()

A.lB._iC.2D._2

6.已知直線1+加丁一3=0的傾斜角為150°，則實(shí)數(shù)根的值為()

A.-./3B._"C.白D.昱

33

7.已知點(diǎn)人(-4,4)，8(—2,—3)，直線—y+左+1=0,若42位于直線/的兩側(cè)，則左的取

值范圍為()

A(-4,l)B.(-l,4)

C.(f—1)J(4,+CO)D.(YO,-4)_(l,y)

8.已知空間向量Q，b，c滿足a+26+J7c=0，|?|=|^|=|c|=1＞則。與匕的夾角為()

A.30°B-150°C.60°D,120°

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)

中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.過(guò)點(diǎn)(0,1)且與拋物線y2=%有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是()

A.%=0B.y=0C.x=lD.y=l

10.已知直線/過(guò)點(diǎn)(1,3),且在x軸上的截距是y軸上的截距的3倍，則直線/的方程為()

A.3x+y=0B.%+3y-10=0C.3x+y-6=0D.3x-y=0

11.下列圓中與圓C：(%—4)2+(y—4)2=16相切的是()

22

A.(x—2y+(y-4)2=4B.(x-l)+-y

22

C.(X-3)+(J-3)=4D.(x+4y+(y+4)2

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

12.南宋晚期的龍泉窯粉青釉刻花斗笠盞如圖1所示，忽略杯盞的厚度，這只杯盞的軸截面如圖2所示,

其中光滑的曲線是拋物線的一部分，已知杯盞盛滿茶水時(shí)茶水的深度為3cm，則該拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)

線的距離為cm.

13.過(guò)原點(diǎn)的一條直線與圓C：(X+2)2+y2=3相切,交曲線y2=2px{p>0)于點(diǎn)P，若|。陽(yáng)=8,則P

的值為.

22

14.設(shè)雙曲線曰__21=1的左、右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn),,P為雙曲線右支上一點(diǎn)，且1=31PE,則

43

NRPF2的大小為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

2

15.已知拋物線C:y=2px(p>0)的準(zhǔn)線方程為x=-l-

(1)求拋物線C的方程；

⑵直線l-,y=x-l交拋物線C于A、8兩點(diǎn),求弦長(zhǎng)\AB\.

16.如圖，已知正方體ABC。-A4GR的棱長(zhǎng)為2"為44］的中點(diǎn).

⑴求證：A3〃平面MCR；

⑵求平面MCDX與平面GCR夾角的余弦值.

17.求滿足下列條件的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(1)圓心為(2,3)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,—1)；

(2)圓心在直線％=—1上，且與y軸交于點(diǎn)A(0,4)，8(0,2).

18.定義：尸是圓C外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P所作的圓C的兩條切線pw，PN(M,N為切點(diǎn))相互垂直,

記圓。經(jīng)過(guò)點(diǎn)P,M,N,C,則稱尸為圓C的“伴隨點(diǎn)”，圓。為“c—p伴隨圓”.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn),

圓。：一+丁2=26,P為圓。的“伴隨點(diǎn)”，圓G為“。―p伴隨圓”.

⑴求點(diǎn)尸所在曲線的方程.

(2)已知點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為6,且位于第一象限.

(i)求圓G的方程；

(ii)己知N為過(guò)點(diǎn)尸所作的圓0的兩條切線的切點(diǎn)，直線肱V與x,y軸分別交于點(diǎn)E,F,過(guò)

點(diǎn)T(0,5)且斜率為左的直線/與圓G有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A,B,若OB=36(|OE|+|M),求/

的方程.

19.如圖，在四棱錐P-ABCD中，是正三角形，四邊形ABCD為等腰梯形，且有

AD=2BC=2AB=2CD=PB=PCE，F(xiàn)分別是A。，的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)。在PR上?

(1)證明:平面平面尸BC；

(2)當(dāng)尸尸時(shí)，求平面QA5與平面QCD所成角的余弦值.

參考答案

1.答案：D

解析：設(shè)橢圓方程為mx1+ny2=l(m>0,〃>0)，

1

1—1m=—,

把點(diǎn)(4,0),(0,2)代入得："'所以<16

4n=l,1

n=一

故選：D.

2.答案：B

解析：如圖，以。為原點(diǎn)，DA，DC，DD｛方向?yàn)閤，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下所示:

易知A(1,O』)，N[O/，3

==H=^1+7+7=T；

MN_2(1ii)』C卡⑹

則a?=』，a七=一^~'

412

[5~r_7174

所以點(diǎn)A到直線MN的距離為7?2-(?-w)2

\4~24~12

故選：B.

3.答案：C

解析：由3x—y+4=0,得y=3x+4,所以直線斜率為左=3，

又當(dāng)直線斜率存在時(shí)，直線的一個(gè)方向向量為v=(l,Q,所以直線3x-y+4=0的一個(gè)方向向量為

(L3),

故選:C.

4.答案：D

解析：記(1,—1)為點(diǎn)尸，則直線外的斜率繪4=1±1=1，直線網(wǎng)的斜率左="1=4，

3-12-1

因?yàn)橹本€/過(guò)點(diǎn)尸(1,-1),且與線段相交，結(jié)合圖象，可得直線/的斜率左的取值范圍是[1,4].

故選：D.

5.答案：A

解析：依題意，方程％2+,2+》+2,+根=0表示圓，則儼+22_4m>0,解得根

因?yàn)樽鴺?biāo)原點(diǎn)不在圓C\x1+y2+x+2y+加=0的內(nèi)部，所以加

綜上所述，0K根<2,結(jié)合選項(xiàng)可知A符合題意.

4

故選：A

6.答案：C

解析：直線x+zny—3=0的傾斜角為150°，

所以斜率一定存在，且左=tanl50°=-無(wú)，

3

13

直線x+my—3=0即,=x-\——，

mm

所以斜率左=_4L_L即機(jī)

3m

故選：C

7.答案：B

解析：由Ax—y+k+1=0，可得上(x+1)—y+1=0，

所以直線/恒過(guò)點(diǎn)尸(-1,1),

由題意，直線只需與線段相交(不包括端點(diǎn))即可，

故上的取值范圍為(一1,4).

故選：B

8.答案：C

解析：設(shè)。與。的夾角為夕由4+2。+J7c=0，得a+26=—J7c，

兩邊平方得/+44.5+4/>2=7c2，所以l+4xlxlxcos8+4=7，

解得cos6=；?又6e[0,兀]，所以。=60.

故選：C.

9.答案：AD

解析：點(diǎn)(0,1)在拋物線外，過(guò)此點(diǎn)且與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)的直線共有3條:

其中兩條是拋物線的切線;一條平行于拋物線的對(duì)稱軸；

可得：直線％=0是過(guò)(0,1)且與拋物線相切的直線，

直線y=1是過(guò)(0,1)且平行于拋物線的對(duì)稱軸的直線，

BC選項(xiàng)的直線不滿足條件.

故選：AD.

10.答案：BD

解析：當(dāng)截距為0時(shí)，設(shè)直線/的方程為y=

將點(diǎn)(1,3)代入可得3=左，左=3,所以y=3尤,即3x-y=0；

當(dāng)截距不等于0時(shí),設(shè)直線I的方程為二+上=1,

3aa

將點(diǎn)(1,3)代入二+上=1可得2+3=1,解得a=3,

3aa3aa3

上+上=1

所以直線/的方程為1010一,即x+3y—10=0,

所以直線/的方程為x+3y—10=0或3x—y=0.

故選:BD

11.答案：AB

解析：由題知，圓C的圓心為(4,4)，半徑為4.

A選項(xiàng)，(X—2)2+(y—4)2=4的圓心為4(2,4)，半徑為2,故|與0|=代―23+(4-4)=2,

由于|AC|=4—2，所以圓C與(x—2)2+(y—4)2=4內(nèi)切，A正確；

B選項(xiàng)，(％一1)2+,2=1的圓心為8(1,0),半徑為1,故?5cl='(4—1)2+42=5，

由于|BC|=4+1，故圓C與(x—ly+V=1外切，B正確；

C選項(xiàng)，(%一3)2+(丁一3)2=4的圓心為石(3,3)，半徑為4,故|石。|=J(4—3f+(4-3)2=夜，

由于|EC|<4—2，故圓C與(％—3)2+(y—3)2=4不相切，C錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)，(x+4)2+(,+4)2=1的圓心為尸(-4,-4)，半徑為1，故|FC|=J(4++(4+4)=8應(yīng),

由于|F。>4+1，故圓C與(x+4y+(y+4)2=l不相切，D錯(cuò)誤.

故選：AB.

12.答案：—

8

解析：如圖,以拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為y軸，建立直角坐標(biāo)系，

依題意可得A的坐標(biāo)為3)

設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為f=2py(〃〉0〉則?=6p，解得p=q.

故該拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2cm.

8

13.答案：6

解析：易知圓(x+2)2+y2=3和曲線j?=2°x關(guān)于x軸對(duì)稱，不妨設(shè)切線方程y=kx，k>0.

x-女

所以上工=6,解得：Z=百,由<y=6x解得：,%—0I、3

或《

y2=2pxy=02舟’

y二-----

3

所以Qp|==■1^=8,解得：p=6.

3

當(dāng)左=-G時(shí)，同理可得?

故答案為：6.

14.答案：工

3

22_______

解析：因?yàn)殡p曲線?—三=1，則。=2/=6,所以c="77=S，

因?yàn)槭瑸殡p曲線右支上一點(diǎn)，所以1—1Pg1=2a=4,又IPE1=31PgI，

所以|「耳|=6,|/鳥|=2,|耳瑪\=2c=2幣,

由余弦定理陽(yáng)閶2=「片「+歸閭2—2忸片HpggsN片尸鳥，

即修⑺2=6?+2?-2X2X6cosN耳柱，解得cos/FJF?=g,又0<N4P工<無(wú),

所以/耳尸g=g.

故答案為：1.

3

15.答案：(1)/=4x

⑵8

解析：(1)由拋物線C：V=>0)的準(zhǔn)線方程為1=—1,得光=1,0=2.

拋物線C的方程為丁=4-

⑵設(shè)A（%，x），川孫M，

由,,2x1消去y,得f_6%+]=0,則為+4==].

。=4x

又?直線/過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)，

|AB|=A^+X9+2=8-

16.答案：（1）證明見(jiàn)解析；

（2）1.

3

解析：⑴以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB、">、AA]所在直線分別為了、y、z軸建立如圖所示的空間直角

坐標(biāo)系A(chǔ)—xyz-

因?yàn)檎襟wABC。-的棱長(zhǎng)為2,M是441的中點(diǎn),

所以4（0,0,0）、。（2,2,0）、￡）（0,2,0）、四（0,0,1）、〃（0,2,2）、4（。，。，2）、B（2,0,0）,

MDX=(0,2,l)，MC=(2,2,-l).

m-MD】=2y+z=0

設(shè)平面的法向量為m=（尤//），由<

m-MC=2x+2y-z=Q

令y=1,則z=—2，x=—2，所以加=(―2,1,—2)?

因?yàn)?8=(2,0,—2)，所以43-m=2*(—2)+0><1+(—2)2=0,

因?yàn)锳.B<z平面MCR，所以A5//平面MCDi；

⑵由⑴知，平面MCDj的法向量加=（一2,1,—2>

又平面CCR的法向量為A￡>=（0,2,0）.

設(shè)平面MCD[與平面GCR的夾角為0，

?_____?AD21

則cos0=cos<m,AD>=r—(-；----T=-------=—,

11|m|.|A￡)|3x23

所以平面與平面GCR夾角的余弦值為；.

17.答案：⑴(%—2y+(y—3)2=17；

(2)(x+l)2+(y-3)2=2

解析：(1)由兩點(diǎn)間的距離公式可得圓的半徑廠=JQ—1)2+(3+Ip=J萬(wàn),

故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(X—2)2+(>—3)2=17.

(2)因?yàn)閳A與y軸交于點(diǎn)A(0,4)，8(0,2)，所以圓心在直線y=3上.

又圓心在直線x=—1上，所以圓心的坐標(biāo)為(—1,3)，

所以圓的半徑廠=’(—1—0)2+(3-4)2=,

故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+(y—3)2=2.

18.答案：(1)%2+/=52；

(2)(i)(x-3)2+(y-2)2=13；(①_y=5.

解析：(1)因?yàn)槭瑸閳A。的“伴隨點(diǎn)”，所以四邊形？為正方形，

貝”叫=而腐=2舊,

所以點(diǎn)P的軌跡是以。為圓心，2為半徑的圓，

故點(diǎn)P所在曲線的方程為Y+V=52.

(2)由題可知尸(6,4).

(i)因?yàn)樗倪呅问琈QV為正方形，所以圓心G的坐標(biāo)為(3,2)，

半徑為J62+4=岳,

2

故圓G的方程為(x—3)2+(>—2)2=13.

(ii)因?yàn)橹本€“N為圓G與圓。的公共弦所在直線，

所以直線肱V的方程為3x+2y-13=0.

令y=0，可得％=一,令％=0,可得y二一,

32

所以36（|。目+|"1）=史xg+U]=3。.

1313132J

由題意，可知直線/的方程為y=Ax+5，

代入方程（x—3）2+（y—2）2=13，整理得（1+左2）犬—6（1—左）％+5=0.

設(shè)A（Xi，yJ，B（x2,y2y則占+”6,1）,Xix2=-1-^,

所以O(shè)A-OB=x^x2+yxy2=%/+（g+5）（Ax2+5）

=（1+左2）xx+5%（%i+々）+25=3°"2"+30?

x2。

1?/C

由題意可得3飯（1—