浙江省臺(tái)州市六校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題姓名：__________班級(jí)：__________考號(hào)：__________題號(hào)一二三四總分評(píng)分一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，不選?多選?錯(cuò)選均不得分）1．設(shè)函數(shù)fx=ax+1，若f'A．2 B．?2 C．3 D．?32．已知隨機(jī)變量X的分布列為PX=k=1A．116 B．332 C．5423．若函數(shù)y=fx在x=x0處的導(dǎo)數(shù)等于aA．a(chǎn) B．2a C．3a D．14．2013年華人數(shù)學(xué)家張益唐證明了孿生素?cái)?shù)（注：素?cái)?shù)也叫做質(zhì)數(shù)）猜想的一個(gè)弱化形式.孿生素?cái)?shù)猜想是希爾伯特在1900年提出的23個(gè)問(wèn)題之一，可以這樣描述：存在無(wú)窮多個(gè)素?cái)?shù)p使得p+2是素?cái)?shù)，素?cái)?shù)對(duì)p,p+2稱為孿生素?cái)?shù)，從20以內(nèi)的素?cái)?shù)中任取兩個(gè)，其中能構(gòu)成孿生素?cái)?shù)的概率為（）A．114 B．17 C．3145．2?3x2A．17 B．20 C．75 D．1006．函數(shù)fxA．f'1<C．f'1<f7．已知P(A)=0.6，P(AB)=0.A．P(B)=0.4 C．P(A|B)=08．把函數(shù)f(x)=x3?3x的圖像C1向右平移u個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移v個(gè)單位長(zhǎng)度后得到圖像C2．若對(duì)任意的u>0，曲線CA．2 B．4 C．6 D．8二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中至少有一個(gè)是符合題目要求的.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9．設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01234Pq0.20.10.40.1若離散型隨機(jī)變量Y滿足Y=2X+1，則下列結(jié)果正確的有（）A．EX=2 B．DX=1.8 C．10．已知(2x?1)7A．a(chǎn)0=1 C．a(chǎn)5=?672 11．已知函數(shù)f(x)A．不等式f(x)B．若直線y=k與函數(shù)f(x)的圖象有且只有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則C．方程f(D．若關(guān)于x的不等式f(x)<ax三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12．方程C15x213．過(guò)原點(diǎn)的直線l與y=ex相切，則切點(diǎn)的坐標(biāo)是14．若函數(shù)fx=x?13sin2x+asin四、解答題（本題共5小題；共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.）15．已知函數(shù)fx=2x（1）求實(shí)數(shù)a,b的值；（2）當(dāng)x∈0,3時(shí)，求函數(shù)f16．在x+（1）求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；（2）若第k+1項(xiàng)是有理項(xiàng)，求k的取值集合；（3）系數(shù)最大的項(xiàng)是第幾項(xiàng).17．某班共有團(tuán)員12人，其中男團(tuán)員8人，女團(tuán)員4人，并且男?女團(tuán)員各有一名組長(zhǎng)，現(xiàn)從中選5人參加學(xué)校的團(tuán)員座談會(huì).（用數(shù)字做答）（1）若至少有1名組長(zhǎng)當(dāng)選，求不同的選法總數(shù)；（2）若至多有2名女團(tuán)員當(dāng)選，求不同的選法總數(shù)；（3）若既要有組長(zhǎng)當(dāng)選，又要有女團(tuán)員當(dāng)選，求不同的選法總數(shù).18．有兩個(gè)盒子，其中1號(hào)盒子中有3個(gè)紅球，2個(gè)白球；2號(hào)盒子中有4個(gè)紅球，6個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同.（1）如果從兩個(gè)盒子中摸出3個(gè)球，其中從1號(hào)盒子摸1個(gè)球，從2號(hào)盒子摸兩個(gè)球，規(guī)定摸到紅球得2分，摸到白球得1分，用X表示這3個(gè)球的得分之和，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）先等可能地選擇一個(gè)盒子，再?gòu)拇撕兄忻?個(gè)球.若摸出球的結(jié)果是一紅一白，求這2個(gè)球出自1號(hào)盒子的概率.19．已知函數(shù)fx（1）當(dāng)a=12時(shí)，求函數(shù)（2）若函數(shù)fx有兩個(gè)極值點(diǎn)x（i）求a的取值范圍；（ii）證明：f

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】∵f'1=∴a=2．故答案為：A．【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義可求a的值.2．【答案】D【解析】【解答】P1<X≤3故答案為：D.【分析】根據(jù)隨機(jī)變量的分布列結(jié)合互斥事件概率和公式計(jì)算即可.3．【答案】B【解析】【解答】limΔ答案為：B.【分析】根據(jù)給定條件，利用導(dǎo)數(shù)的定義直接計(jì)算可求解.4．【答案】B【解析】【解答】依題意，20以內(nèi)的素?cái)?shù)共有8個(gè)，從中選兩個(gè)共包含C8而20以內(nèi)的孿生素?cái)?shù)有(3,5),(5,7),(11,13),(17,19)共四對(duì)，包含4個(gè)基本事件，所以從20以內(nèi)的素?cái)?shù)中任取兩個(gè)，其中能構(gòu)成字生素?cái)?shù)的概率為P=4故答案為：B.【分析】根據(jù)古典概型概率公式的計(jì)算，即可求解.5．【答案】A【解析】【解答】因?yàn)??3因?yàn)?1+x)5的通項(xiàng)為：T令r=3可得C53x3=10所以2?3x2(1+x)5故答案為：A.【分析】由2?3x2(1+x)5=2(1+x)5?6．【答案】C【解析】【解答】設(shè)A1,f(1),B2,f(2)而kAB故f'故答案為：C.【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義和割線的斜率可得三者之間的大小關(guān)系.7．【答案】B【解析】【解答】因?yàn)镻(A)=0.6，所以P(A)=0.4,P(AB)=0.3,

P(AB)+P(AB)=P(B),P(BA)=P(BA)P(8．【答案】B【解析】【解答】根據(jù)題意曲線C2的解析式為y=(x?u)3?3(x?u)?v,則方程(x?u)3?3(x?u)?v=x3?3x，即3ux2(u3?3u+v)≤0，即v=?14ai2+3u對(duì)任意u>0恒成立，于是v=?14ai2+3u的最大值，令g(u)=?14u3+3u(u>0),則9．【答案】A,B,C【解析】【解答】對(duì)于A：由q+0.2+0.1+0.4+0.1=1，解得q=0.2，所以E(X)=0×0.2+1×0.2+2×0.1+3×0.4+4×0.1=2，故A正確；對(duì)于B：D(X)=(0?2)對(duì)于C：E(Y)=E(2x+1)=2E(X)+1=5，故C正確；對(duì)于D：D(Y)=D(2x+1)=2故答案為：A、B、C.【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)求得參數(shù)q，結(jié)合分布列求得E(x),D(X)，再結(jié)合期望和方差的性質(zhì)，即可判斷和選擇.10．【答案】A,B,D【解析】【解答】對(duì)于A：令x=1，可得a0對(duì)于B：令x=2，a0所以a1對(duì)于C：[1+2(x?1)]7二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為T6所以a5對(duì)于D：令x=32，可得所以a0所以a1故答案為：A、B、D.【分析】利用賦值法可判斷A、B、D正確；由(2x?1)711．【答案】A,D【解析】【解答】解：A、函數(shù)f(x)=x當(dāng)x<?2或x>1時(shí)，f'(x)<0，所以f(x)在當(dāng)?2<x<1時(shí)，f'(x)>0，所以f(x)在所以f(x)在x=?2處取得極小值，f(?2)=?e2，在x=1處取得極大值，而x>1時(shí)，恒有f(x)>0成立，所以f(x)的最小值是?e2，即f(x)B、若函數(shù)f(x)與直線y=k有且只有兩個(gè)交點(diǎn)，由A可得函數(shù)f(x)的大致圖象如下：由圖可知，當(dāng)?e2<k≤0或k=5eC、由f(x)=0，得x2+3x+1=0，解得x=?3±52，令f(x)=?3+52，和f(x)=?3?綜上，方程f(D、直線y=ax過(guò)原點(diǎn)，且f(?1)=?e，f(?2)=?e2，記k1易判斷，k1<k2，不等式f(x)<ax恰有1個(gè)負(fù)整數(shù)解，即曲線f(x)在故答案為：AD.【分析】對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)，判斷其單調(diào)性，求出其最小值，可判斷A選項(xiàng)；作出曲線f(x)的圖象，根據(jù)圖象可判斷B選項(xiàng)；令f(x)=0，解得x=?3±5212．【答案】1或2【解析】【解答】由C15x2+2x=則：x2?2x+1=x?1解得：x=1或x=2或x=?8，當(dāng)x=-8時(shí)，顯然不符合題意；當(dāng)x=1時(shí)，則C15當(dāng)x=2時(shí)，則C15故x=1或x=2.故答案為：1或2.【分析】由組合數(shù)的性質(zhì)由C15x2+2x=13．【答案】(1,e)【解析】【解答】由題意設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x由y=ex，得y'=e則直線l的方程為y?e將(0,0)代入，得?e則切點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,e)，故答案為：(1,e)【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,14．【答案】?【解析】【解答】解：函數(shù)fx=x?1由題意，函數(shù)fx=x?1∴f'x=1?即?43cos令t=cosx，則t∈?1,1∵?43cos∴gt=?4又∵gt∴g?1=?4∴a的取值范圍是?1故答案為：?1【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，由函數(shù)在?∞15．【答案】（1）解：f'因?yàn)閒x在x=1所以f'1此時(shí)f'令f'x<0可得：1<x<2；令f'x所以fx在1,2上單調(diào)遞減，在?∞,1所以fx在x=1所以a=9,fx又f1=2?9+12+b=6（2）解：fx=2列表如下：x00,111,222,33f+0-0+f1↗極大值6↘極小值5↗10由于1<5，故x∈0,3時(shí)，f【解析】【分析】（1）由f1=6f（2）對(duì)fx求導(dǎo)，得出fx的單調(diào)性和極值，結(jié)合端點(diǎn)值即可求出函數(shù)fx（1）f'因?yàn)閒x在x=1所以f'1此時(shí)f'令f'x<0可得：1<x<2；令f'x所以fx在1,2上單調(diào)遞減，在?∞,1所以fx在x=1所以a=9,fx又f1=2?9+12+b=6（2）fx=2列表如下：x00,111,222,33f

+0-0+

f1↗極大值6↘極小值5↗10由于1<5，故x∈0,3時(shí)，f16．【答案】（1）解：x+2x28（2）解：二項(xiàng)式x+2x當(dāng)4?52r為整數(shù)時(shí)為有理項(xiàng)，即r=0,2,4,6,8，則k（3）解：設(shè)第r+1項(xiàng)的系數(shù)最大，則C8r2r≥故系數(shù)最大的項(xiàng)為第6項(xiàng)和第7項(xiàng).【解析】【分析】（1）由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求解即可；（2）由二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式代入計(jì)算求解即可；（3）根據(jù)題意，由項(xiàng)的系數(shù)列出不等式，代入計(jì)算求解即可.?17．【答案】（1）解：方法一（直接法）：至少有一名組長(zhǎng)含有兩種情況：有一名組長(zhǎng)和兩名組長(zhǎng)，故共有C2方法二（間接法）：至少有一名組長(zhǎng)可以采用排除法，有C12（2）至多有2名女團(tuán)員含有四種情況：有2名女團(tuán)員，有1名女團(tuán)員，沒(méi)有女團(tuán)員，故共有C8（3）既要有組長(zhǎng)當(dāng)選，又要有女團(tuán)員當(dāng)選含兩類情況：第一類：女組長(zhǎng)當(dāng)選，有C11第二類：女組長(zhǎng)不當(dāng)選，男組長(zhǎng)當(dāng)選，有C10共有C11【解析】【分析】（1）方法一、分類討論組長(zhǎng)的人數(shù)，利用分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算即可；方法二、利用排除法，先選人參加座談會(huì)，再把不選組長(zhǎng)的情況去掉即可；（2）分類討論女團(tuán)員當(dāng)選的人數(shù)情況，利用分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算即可；（3）分類討論女組長(zhǎng)當(dāng)選情況，利用分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算即可.（1）方法一（直接法）：至少有一名組長(zhǎng)含有兩種情況：有一名組長(zhǎng)和兩名組長(zhǎng)，故共有C2方法二（間接法）：至少有一名組長(zhǎng)可以采用排除法，有C12（2）至多有2名女團(tuán)員含有四種情況：有2名女團(tuán)員，有1名女團(tuán)員，沒(méi)有女團(tuán)員，故共有C8（3）既要有組長(zhǎng)當(dāng)選，又要有女團(tuán)員當(dāng)選含兩類情況：第一類：女組長(zhǎng)當(dāng)選，有C11第二類：女組長(zhǎng)不當(dāng)選，男組長(zhǎng)當(dāng)選，有C10共有C1118．【答案】（1）解：由題意，X的可能值為3,4,5,6.PX=3PX=5所以X的分布列為X3456P231282所以EX（2）解：記“摸出球的結(jié)果是一紅一白”為事件A，“選擇1號(hào)盒子”為事件B1，“選擇2號(hào)盒子”為事件B2，則PB1=PB2=12【解析】【分析】（1）由題設(shè)X的可能值為3,4,5,6，并計(jì)算出對(duì)應(yīng)概率，即得分布列，進(jìn)而可求數(shù)學(xué)期望.（2）應(yīng)用條件概率公式及貝葉斯概率公式求解即可.（1）由題意，X的可能值為3,4,5,6.PX=3PX=5所以X的分布列為X3456P231282所以EX（2）記“摸出球的結(jié)果是一紅一白”為事件A，“選擇1號(hào)盒子”為事件B1，“選擇2號(hào)盒子”為事件B則PBPA=PB由貝葉斯公式，若摸球的結(jié)果是一紅一白，出自1號(hào)盒子的概率為：PB19．【答案】（1）解：當(dāng)a=12時(shí)，f'顯然f'x≥0所以fx在0,+（2）解：（i）由題設(shè)f'x=若a≤0，則f'x<0即fx單調(diào)遞減，不可能有兩個(gè)極值點(diǎn)，不符合題意；故a>0又fx則x1,x所以Δ=4a?12?4a2=4（ii）由（i）0<a<12且x1則f==aln要證fx1?fx2只需證lnx即12lnx1x由（1）可知當(dāng)a=12時(shí)，fx又0<t<1，故f