浙江省五校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷姓名：__________班級(jí)：__________考號(hào)：__________題號(hào)一二三四總分評(píng)分一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知函數(shù)fx=xA．1 B．2 C．3 D．42．如下表給出5組數(shù)據(jù)x,y，為選出4組數(shù)據(jù)使其線性相關(guān)程度最大，且保留第1組數(shù)據(jù)5,3，則應(yīng)去掉（）i12345x5432?4y3271?6A．4,2 B．3,7 C．2,1 D．?4,?63．已知點(diǎn)A為曲線y=lnx+1x+3上的動(dòng)點(diǎn)，B為圓x?1A．3 B．4 C．32 D．4．在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)A1,1，B?1,?1，點(diǎn)P為動(dòng)點(diǎn)，且直線AP與BP的斜率之積為?1A．x2+2yC．x2?2y5．棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1，A．3 B．23 C．43 6．已知m為滿足S=n+C1002+C1004A．第6項(xiàng) B．第7項(xiàng)C．第11項(xiàng) D．第6項(xiàng)和第7項(xiàng)7．已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，首項(xiàng)a1=?1A．?910 B．?109 C．8．已知雙曲線C的左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為B，P為C上一點(diǎn)，滿足PA=3，PB=1，ABA．3+2 B．3+1 C．2二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．已知點(diǎn)P1,a不在函數(shù)fx=ex（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）圖象上，且過點(diǎn)PA．e B．e2 C．1 D．10．盒中有編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)紅球和編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)白球，從盒中不放回的依次取球，每次取一個(gè)球，用事件Ak表示“第k次首次取出紅球”，用事件Bk表示“第k+1次取出編號(hào)為1的紅球”，用事件CkA．PB1∣C．PB3∣11．已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=14n?3，其前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列1aA．a(chǎn)n+1an<1C．Sn<43三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．隨機(jī)變量X～N1,σ2，Px≤013．甲乙丙丁戊5個(gè)人排成一排拍照，要求甲不站在最左端，且甲乙不相鄰，則共有種不同的排法.14．已知關(guān)于x的不等式xlnx+e?x≥?x2+ax在0,+∞四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15．兩名足球門將甲和乙正在進(jìn)行撲點(diǎn)球訓(xùn)練.已知甲、乙每次撲中的概率分別是12和3（1）甲撲點(diǎn)球兩次，乙撲點(diǎn)球一次，記兩人撲中次數(shù)的和為X，試求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望（用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示）；（2）乙撲點(diǎn)球6次，其撲中次數(shù)為ξ，試求ξ=4的概率和隨機(jī)變量ξ的方差（用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示）.16．如圖，在四棱錐P?ABCD中，側(cè)面PCD是正三角形且垂直于底面ABCD，底面ABCD是矩形，AB=2，AD=1，E，F(xiàn)分別是線段PD，PB上的動(dòng)點(diǎn)（1）是否存在點(diǎn)E，使得CE⊥平面PAD？若存在，試求EPPD（2）若直線AF與直線BC所成角的余弦值為24，試求二面角A?DC?F17．已知函數(shù)fx=12x（1）討論函數(shù)fx（2）判斷函數(shù)fx能否有3個(gè)零點(diǎn)？若能，試求出a18．已知F為拋物線Γ：x2=2pyp>0的焦點(diǎn)，點(diǎn)F到拋物線Γ（1）試求拋物線Γ的方程；（2）如圖，設(shè)動(dòng)點(diǎn)A,B,C都在拋物線Γ上，點(diǎn)B在A,C之間.（i）若AC=4，求△ABC面積的最大值；（ii）若點(diǎn)B坐標(biāo)為?1,1，AB⊥BC，AC=n，求正整數(shù)n19．二階遞推公式特征方程是一種常見的數(shù)學(xué)方法，主要用于求解二階線性遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式.例如：一個(gè)數(shù)列滿足遞推關(guān)系an+2=pan+1+qan，且a1，a2為給定的常數(shù)（有時(shí)也可以是a0，a1為給定的常數(shù)），特征方程就是將上述的遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的二次特征方程：x2=px+q，若α，β是特征方程的兩個(gè)不同實(shí)根，我們就可以求出數(shù)列的通項(xiàng)公式a（1）若數(shù)列an滿足：a1=2，a2=3，a（2）若an=3?（3）若定義域和值域均為0,+∞的函數(shù)fx滿足：ff

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】limΔ由fx=x故limΔ故選：C【分析】本題考查導(dǎo)數(shù)的定義.根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的定義可得limΔx→0f1+Δx?f2．【答案】B【解析】【解答】根據(jù)表格數(shù)據(jù)，得到散點(diǎn)圖如下所示：

由散點(diǎn)圖可知數(shù)據(jù)3,7偏離程度最高，故應(yīng)該去掉數(shù)據(jù)3,7.故選：B

【分析】本題考查線性相關(guān)性.先將數(shù)據(jù)作在坐標(biāo)系中作出散點(diǎn)圖，觀察散點(diǎn)圖可得數(shù)據(jù)3,7偏離程度最高，故應(yīng)該去掉數(shù)據(jù)3,7.據(jù)此可選出答案.3．【答案】A【解析】【解答】由y=lnx+1當(dāng)x>1時(shí)，y'=x?1x2當(dāng)0<x<1時(shí)，y'=x?1x2故對(duì)x>0，有l(wèi)nx+設(shè)At,lnt+1t因?yàn)锽在圓x?12+y由lnt+1t+3≥4知AC=注意到點(diǎn)A1,4，B1,1分別在曲線y=lnx+1x+3所以AB的最小值是3，A正確.故選：A．【分析】本題考查曲線的切線方程.先進(jìn)行求導(dǎo)可得y'=x?1x2，進(jìn)而可求出函數(shù)的單調(diào)性可得：lnx+1x+3≥4，設(shè)At,lnt+1t+3，C1,0，這里4．【答案】B【解析】【解答】設(shè)P(x,y)，∵A1,1，B∴kAP=由kAP?k即x2∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x2故選：B．【分析】本題考查軌跡方程的求法.設(shè)P(x,y)，利用直線的斜率公式進(jìn)行計(jì)算可得：kAP=y?1x?1(x≠1)，kBP=5．【答案】C【解析】【解答】

由于正方體的棱長(zhǎng)為2，所以AB1由余弦定理可得cos∵∠B故S△S△E設(shè)點(diǎn)A1到平面AB1E的距離為即S△A故選：C【分析】本題考查點(diǎn)到直線的距離.先求出cos∠B1AE=110,再利用同角關(guān)系可得sin∠B1AE=6．【答案】B【解析】【解答】因?yàn)镃100所以C100所以C100則S=n+===C顯然C33所以C330×又n≥3且S能被9整除，所以n?2能被9整除，所以n?2=9kk∈N*，則n=9k+2所以m=11，所以x?1所以在x?1x11的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第6又x?1x11因?yàn)榈?項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)數(shù)，第7項(xiàng)的系數(shù)為正數(shù)，所以第6項(xiàng)的系數(shù)最小，第7項(xiàng)的系數(shù)最大.故選：B．【分析】本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì).根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和的特征得到S=299+n?1=9?133+n?1，寫出9?133的展開式，即可得到n?27．【答案】C【解析】【解答】由Sn+1所以a1=?1S3=-1S7故選：C【分析】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系.根據(jù)Sn+1Sn+2=ann≥28．【答案】D【解析】【解答】取雙曲線的左焦點(diǎn)為C，連接PC，

由于PA=3，PB=1，AB設(shè)雙曲線為x2a2則在△BCP中，BC=2c，AB由余弦定理可得cos∠CBP=1+4c故e=c故選：D【分析】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).根據(jù)長(zhǎng)度關(guān)系可得BP⊥AP,∠ABP=π3，根據(jù)雙曲線定義可得9．【答案】B,C【解析】【解答】依題意可知a≠e，由fx=ex，則則f'所以切線方程為y?e又切線過點(diǎn)P1,a，所以a=?即關(guān)于x的方程a=?xex+2令gx=?xe所以當(dāng)x<1時(shí)g'x>0，當(dāng)x>1所以gx在?∞,1又g1=e，當(dāng)x<0時(shí)gx>0且依題意y=gx與y=a有兩個(gè)交點(diǎn)，所以0<a<e結(jié)合選項(xiàng)可知只有B、C符合題意.故選：BC【分析】本題考查曲線的切線方程.先利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示出切線方程為y?ex0=ex0x?x0，再根據(jù)切線過點(diǎn)P1,a，可得a=?x0ex10．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：A、由題意可知，PA所以PB1∣所以PBB、PB2∣所以PBC、PBPC所以PBD、PBPC所以PB故選：ABC【分析】結(jié)合題意，先求出PA1根據(jù)條件概率概率公式PB11．【答案】A,C,D【解析】【解答】A，由an=14nB，1a4n所以TnC，由于n≥3時(shí)，4n?1故an=14n?3<D，記Pn故Pn+1?P當(dāng)且僅當(dāng)n=1取等號(hào)，故Pn+1?P故Pn故選：ACD【分析】本題考查數(shù)列的求和.根據(jù)an=14n12．【答案】0.38【解析】【解答】因?yàn)閄～N1,σ2所以P1≤x≤2故答案為：0.38【分析】本題考查正態(tài)曲線的對(duì)稱性.利用正態(tài)分布的對(duì)稱性可得Px≤0=Px>213．【答案】54???????【解析】【解答】若甲在第2，3，4位置中選擇一個(gè)位置安排甲，有C3接下來安排乙，則有C2再安排剩余三個(gè)人，有A3故一共有C3若甲在最后一位，則由C3因此一共有36+18=54，故答案為：54【分析】本題考查排列組合的實(shí)際應(yīng)用.根據(jù)題意需要分兩種情況：若甲在第2，3，4位置中選擇一個(gè)位置安排甲；若甲在最后一位；利用排列組合的知識(shí)依次求出兩種情況的種數(shù)，再進(jìn)行相加可求出答案.14．【答案】a≤1【解析】【解答】由于x∈0,+∞，故由xlnx+e記g∵x>0,∴記hx=xe故hx由于h0=?1<0，所以存在唯一的x0∈0,1，使得h當(dāng)x0,+∞故當(dāng)x=x0時(shí)，且gx故a≤gx故a≤1，故答案為：a≤1【分析】本題考查函數(shù)的恒成立問題.通過分離常數(shù)可得：a≤lna≤gx15．【答案】（1）由題意X可能的取值有0，1，2，3.PX=0PX=1PX=2PX=3故分布列：X0123P1723故E（2）由題意，ξ=4的概率為Pξ=4由題意ξ~B6,3【解析】【分析】本題考查離散型隨機(jī)變量分布列和期望，二項(xiàng)分布.（1）根據(jù)題意可得X可能的取值有0，1，2，3，利用相互獨(dú)立事件的概率公式可求出對(duì)應(yīng)變量的概率，據(jù)此可列出隨機(jī)變量X的分布列，利用期望計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算可求出數(shù)學(xué)期望.（2）由題意乙撲點(diǎn)球6次中撲中4次，利用二項(xiàng)分布的計(jì)算公式可求出ξ=4的概率，再根據(jù)二項(xiàng)分布方差公式可求出隨機(jī)變量ξ的方差.（1）由題意X可能的取值有0，1，2，3.PX=0PX=1PX=2PX=3故分布列：X0123P1723故E（2）由題意，ξ=4的概率為Pξ=4由題意ξ~B6,3516．【答案】（1）存在，PEPD如題圖，取PD的中點(diǎn)為E，

由于側(cè)面PCD⊥底面ABCD，且兩平面交線為CD,AD?平面ABCD，AD⊥CD，所以AD⊥平面PCD，CE?平面PCD，所以AD⊥CE，由于三角形PCD是正三角形，且E是PD的中點(diǎn)，所以PD⊥CE，AD∩PD=D,AD,PD?平面PCD，故CE⊥平面PCD，得證.（2）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA,DC為則D0,0,0BP設(shè)BF=λBP=?λ,?λ,3由于直線AF與直線BC所成角的余弦值為24所以cosAF,所以λ=23，從而AF=平面ADC的法向量為n=設(shè)平面FDC的法向量為m=x,y,z，則DF?m=所以cosm由于二面角A?DC?F的平面角為銳角，故二面角A?DC?F的平面角的余弦值為13【解析】【分析】本題考查直線與平面垂直的判定，利用空間向量求二面角.（1）取PD的中點(diǎn)為E，利用平面與平面垂直的性質(zhì)及直線與平面垂直的判定定理可證明CE⊥平面PCD，據(jù)此可得PEPD（2）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA,DC為x,y正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的夾角計(jì)算公式可列出方程：cosAF,BC=λ?λ2（1）存在，PEPD如題圖，取PD的中點(diǎn)為E，由于側(cè)面PCD⊥底面ABCD，且兩平面交線為CD,AD?平面ABCD，AD⊥CD，所以AD⊥平面PCD，CE?平面PCD，所以AD⊥CE，由于三角形PCD是正三角形，且E是PD的中點(diǎn)，所以PD⊥CE，AD∩PD=D,AD,PD?平面PCD，故CE⊥平面PCD，得證.（2）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA,DC為則D0,0,0BP設(shè)BF=λBP=?λ,?λ,3由于直線AF與直線BC所成角的余弦值為24所以cosAF,所以λ=23，從而AF=平面ADC的法向量為n=設(shè)平面FDC的法向量為m=x,y,z，則DF?m=所以cosm由于二面角A?DC?F的平面角為銳角，故二面角A?DC?F的平面角的余弦值為1317．【答案】（1）由fx所以f'當(dāng)a≤0時(shí)，x?a>0，令f'x>0，則x>1令f'x<0，則0<x<1當(dāng)0<a<1時(shí)，令f'x>0，則x>1或0<x<a令f'x<0，則a<x<1當(dāng)a>1時(shí)，令f'x>0，則x>a或0<x<1令f'x<0，則1<x<a當(dāng)a=1時(shí)，令f'x≥0恒成立，此時(shí)f綜上可得：當(dāng)a≤0時(shí)，fx在1,+∞單調(diào)遞增，在當(dāng)0<a<1時(shí)，fx在1,+∞，0,a單調(diào)遞增，在當(dāng)a=1時(shí)，fx在0,+當(dāng)a>1時(shí)，fx在a,+∞，0,1單調(diào)遞增，在（2）若fx有3個(gè)零點(diǎn)，則由（1）知必有0<a<1或a>1若0<a<1，則fx在x=a處取極大值，在x=1f1令ga=-1令ha=g故g'a在0,1單調(diào)遞增，g'a<當(dāng)a→0時(shí)，ga→0，故因此fa<0在0<a<1上恒成立，故若a>1，則fx在x=a處取極小值，在x=1且f1=-1綜上可得fx【解析】【分析】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的零點(diǎn).（1）先求出導(dǎo)函數(shù)可得：f'x=x?1x?ax，分三種情況：當(dāng)a≤0時(shí)；當(dāng)0<a<1時(shí)；當(dāng)（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得必有0<a<1或a>1，分兩種情況：當(dāng)0<a<1時(shí)，fx在x=a處取極大值，在x=1處取極小值，利用導(dǎo)函數(shù)可推出fa<0在0<a<1上恒成立，故fx不可能有3個(gè)零點(diǎn)；若a>1，fx在x=a（1）由fx所以f'當(dāng)a≤0時(shí)，x?a>0，令f'x>0，則x>1令f'x<0，則0<x<1當(dāng)0<a<1時(shí)，令f'x>0，則x>1或0<x<a令f'x<0，則a<x<1當(dāng)a>1時(shí)，令f'x>0，則x>a或0<x<1令f'x<0，則1<x<a當(dāng)a=1時(shí)，令f'x≥0恒成立，此時(shí)f綜上可得：當(dāng)a≤0時(shí)，fx在1,+∞單調(diào)遞增，在當(dāng)0<a<1時(shí)，fx在1,+∞，0,a單調(diào)遞增，在當(dāng)a=1時(shí)，fx在0,+當(dāng)a>1時(shí)，fx在a,+∞，0,1單調(diào)遞增，在（2）若fx有3個(gè)零點(diǎn)，則由（1）知必有0<a<1或a>1若0<a<1，則fx在x=a處取極大值，在x=1f1令ga=-1令ha=g故g'a在0,1單調(diào)遞增，g'a<當(dāng)a→0時(shí)，ga→0，故因此fa<0在0<a<1上恒成立，故若a>1，則fx在x=a處取極小值，在x=1且f1=-1綜上可得fx18．【答案】（1）由拋物線Γ的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為12，知p=所以拋物線Γ的方程為x（2）設(shè)Ax1（i）由于點(diǎn)A,C都在拋物線x2=y上，故直線AC有斜率，設(shè)直線AC的方程為聯(lián)立y=kx+m與x2=y可得x2?kx?m=0，故由韋達(dá)定理知所以AC=由條件知AC=4，這表明1+k2?k2對(duì)固定的點(diǎn)A,C，將直線AC平移到直線lB，使得lB經(jīng)過點(diǎn)B，則當(dāng)lB為經(jīng)過點(diǎn)B的拋物線的切線時(shí)，此時(shí)B設(shè)Bb,b2，由x2=y得y'=2x，故過點(diǎn)B從而對(duì)固定的點(diǎn)A,C，若直線AC的方程為y=kx+m，則當(dāng)點(diǎn)B的坐標(biāo)為k2,k24時(shí)，點(diǎn)B此時(shí)點(diǎn)B到直線AC的距離d=k?k2當(dāng)A?2,4，C2,4，B0,0時(shí)，AC所以△ABC面積的最大值是8.（ii）由AB⊥BC可得?1=y1?1將x1+x2=k，x1x2=?m設(shè)AC=n，n是正整數(shù)，則故n=1+而1+==≥=5=5k?故n>7，從而n≥8.當(dāng)A?2,2，C2,2時(shí)，由k綜上，n的最小值為8【解析】【分析】本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與拋物線的位置關(guān)系.（1）根據(jù)拋物線Γ的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離等于p，據(jù)此可得p=12，進(jìn)而可求出拋物線（2）設(shè)Ax1,y1，Cx2,y2（ii）根據(jù)AB⊥BC，利用直線的斜率公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化可得k+m=2，所以直線AC經(jīng)過1,2，利用弦長(zhǎng)公式計(jì)算可得：AC2=t（1）由拋物線Γ的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為12，知p=所以拋物線Γ的方程為x（2）設(shè)Ax1（i）由于點(diǎn)A,C都在拋物線x2=y上，故直線AC有斜率，設(shè)直線AC的方程為聯(lián)立y=kx+m與x2