計(jì)算3帶電粒子在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)

考點(diǎn)內(nèi)容考情分析

考向一電磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)類問(wèn)題帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)是力電綜合的重點(diǎn)和高考

考向二動(dòng)態(tài)圓、磁聚焦問(wèn)題的熱點(diǎn)，常見(jiàn)的考查形式有組合場(chǎng)（電場(chǎng)、磁場(chǎng)、重力

考向三帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)場(chǎng)依次出現(xiàn)）、疊加場(chǎng)（空間同一區(qū)域同時(shí)存在兩種以上

的場(chǎng)）、周期性變化的場(chǎng)等，近幾年高考試題中，涉及

考向四有關(guān)電磁場(chǎng)的科技應(yīng)用本專題內(nèi)容的頻率極高，特別是計(jì)算題，題目難度

大，涉及面廣.

蜀深究懈題攻略”

1.思想方法

一、帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的分析方法

確定圓心

「①軌道半徑與磁感應(yīng)強(qiáng)度、運(yùn)動(dòng)速度相聯(lián)系,

即/?=胃

qB

②由幾何方法----般由數(shù)學(xué)知識(shí)（勾股定

理、三角函數(shù)等）計(jì)算來(lái)確定半徑。

③偏轉(zhuǎn)角度與圓心角、運(yùn)動(dòng)時(shí)間相聯(lián)系。

〔④粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間與周期相聯(lián)系。

牛頓第二定律和圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律等，特別是

周期公式、半徑公式。

二、“5步”突破帶電粒子在組合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題

陰性質(zhì)要清楚場(chǎng)的性質(zhì)、方向、強(qiáng)弱、范圍等.

」帶電粒子依次通過(guò)不同場(chǎng)區(qū)時(shí),由受力情況

與曾尸F(xiàn)確定粒子在不同區(qū)域的運(yùn)動(dòng)情況.

@—*1正確地畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡圖。

根據(jù)區(qū)域和運(yùn)動(dòng)規(guī)律的不同，將粒子運(yùn)動(dòng)的

用規(guī)正〉一過(guò)程劃分為幾個(gè)不同的階段，對(duì)不同的階段

選取不同的規(guī)律處理。

要明確帶電粒子通過(guò)不同場(chǎng)區(qū)的交界處時(shí)速

3%關(guān)系度大小和方向關(guān)系，上一個(gè)區(qū)域的末速度往

往是下一個(gè)區(qū)域的初速度。

三、帶電粒子在疊加場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的分析方法

復(fù)合場(chǎng)

弄清電場(chǎng)、磁場(chǎng)、重力場(chǎng)的組合情況

的組成

先分析場(chǎng)力（重力、電場(chǎng)力、洛倫茲力），再分

受力分析

析彈力、摩擦力、其他力

運(yùn)動(dòng)分析注意運(yùn)動(dòng)情況和受力情況的結(jié)合

分段分析粒子通過(guò)不同種類的場(chǎng)時(shí)，分段討論

勻速直線運(yùn)動(dòng)-平衡條件

畫出軌述

選擇規(guī)豫勻速圓周運(yùn)動(dòng)一?牛頓運(yùn)動(dòng)定律和圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律

復(fù)雜曲線運(yùn)動(dòng)—?jiǎng)幽芏ɡ砘蚰芰渴睾愣?/p>

2.模型建構(gòu)

一、常見(jiàn)的基本運(yùn)動(dòng)形式

電偏轉(zhuǎn)磁偏轉(zhuǎn)

偏轉(zhuǎn)條件帶電粒子以vlE進(jìn)入勻強(qiáng)電場(chǎng)帶電粒子以vlB進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)

示意圖rt**

H

V'0」

受力情況只受恒定的靜電力只受大小恒定的洛倫茲力

運(yùn)動(dòng)情況類平拋運(yùn)動(dòng)勻速圓周運(yùn)動(dòng)

運(yùn)動(dòng)軌跡拋物線圓弧

物理規(guī)律類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律、牛頓第二定律牛頓第二定律、向心力公式

mv2mv

qvB=---，r=—

1rqB

L=vt,y=^afi

2jimOT

基本公式T=——，t=—

qEatqB2兀

a——,tan8=一

mvL

sin8=一

r

靜電力既改變速度方向，也改變速度洛倫茲力只改變速度方向，不改變

做功情況

大小，對(duì)電荷做功速度大小，對(duì)電荷永不做功

二、動(dòng)態(tài)圓與磁聚焦

（一）動(dòng)態(tài)放縮法

粒子源發(fā)射速度方向一定、大小不同的帶電粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)，

速度方向一定、

這些帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑與粒子速度大小

大小不同

有關(guān)

如圖所示（圖中只畫出粒子帶正電的情景），速度V越大，運(yùn)動(dòng)半徑

適用條也越大?？梢园l(fā)現(xiàn)這些帶電粒子射入磁場(chǎng)后，它們運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心

件在垂直初速度方向的直線PP上

軌跡圓圓心共線XXXXXX

P'

XX

X/x---------X

Xx作\XX\X

x

XXXX&X

界定方

以入射點(diǎn)P為定點(diǎn)，圓心位于尸P直線上，將半徑放縮作軌跡圓，從而探索出臨界條

法

件，這種方法稱為“放縮圓”法

（二）定圓旋轉(zhuǎn)法

粒子源發(fā)射速度大小一定、方向不同的帶電粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)

時(shí)，它們?cè)诖艌?chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑相同，若射入初速度大

mvo

小為vo，則圓周運(yùn)動(dòng)半徑為r=--，如圖所示

qB

速度大小一定，方

XXXXx①X

向不同xX

適用條

件

\，......./'；\0%

...

帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心在以入射點(diǎn)。為圓心、

軌跡圓圓心共圓

半徑廠=」mvo的圓上

qB

"Abmvo

將半徑為的軌跡圓以入射點(diǎn)為圓心進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，從而探索粒子的臨界條件，這種

方法qB

方法稱為“旋轉(zhuǎn)圓”法

（三）平移圓法

粒子源發(fā)射速度大小、方向一定，入射點(diǎn)不同但在同一直線上的

帶電粒子，它們進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑相同，

速度大小一定，方

mvo

若入射速度大小為V0,則運(yùn)動(dòng)半徑r=——，如圖所示

適用條向一定，但入射點(diǎn)qB

件在同一直線上XXXXXXX

X|/x祗、\X

軌跡圓圓心共線帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心在同一直線

界定方mvo

將半徑為r=，的圓進(jìn)行平移，從而探索粒子的臨界條件，這種方法叫“平移圓”法

法qB

（四）磁聚焦、磁發(fā)散

點(diǎn)入平出：若帶電粒子從圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域圓周上一點(diǎn)沿垂直于磁場(chǎng)方向進(jìn)入磁場(chǎng)，當(dāng)帶電粒子做

圓周運(yùn)動(dòng)的半徑與圓形磁場(chǎng)區(qū)域的半徑相同時(shí)，所有帶電粒子都以平行于磁場(chǎng)區(qū)域圓周上入射點(diǎn)處

的切線方向射出磁場(chǎng)，如圖所示。

平入點(diǎn)出：若帶電粒子以相互平行的速度射入磁場(chǎng)，且?guī)щ娏Ｗ釉诖艌?chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑和圓形

磁場(chǎng)區(qū)域半徑相同，則這些帶電粒子將會(huì)從磁場(chǎng)區(qū)域圓周上同一點(diǎn)射出，且磁場(chǎng)區(qū)域圓周上該點(diǎn)的

切線與帶電粒子射入磁場(chǎng)時(shí)的速度方向平行，如圖所示。

三、現(xiàn)代科技

質(zhì)譜儀的原理和分析

1.作用

測(cè)量帶電粒子質(zhì)量和分離同位素的儀器。

2.原理(如圖所示)

4

7674737270衛(wèi)支

I口口「

仇?；；?

,?■應(yīng)?

〃1/

一4

(1)加速電場(chǎng)：qU=^mv2；

mv2

(2)偏轉(zhuǎn)磁場(chǎng)：qvB=----,l=2r,?

r

,1\2mUqr2B2q_2U

由t以t上t兩式可得尸=—1----，m--------:

q2UmB2T2

回旋加速器的原理和分析

271m

1.加速條件：T電場(chǎng)—T回旋—-二-;

qB

mv2aBr

2.磁場(chǎng)約束偏轉(zhuǎn)：qvB=-=>v=---o

rm

3.帶電粒子的最大速度Vmax="”，小為。形盒的半徑。粒子的最大速度Vmax與加速電壓。無(wú)關(guān)。

m

4.回旋加速器的解題思路

(1)帶電粒子在縫隙的電場(chǎng)中加速，交變電流的周期與帶電粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期相等，每

經(jīng)過(guò)電場(chǎng)一次，粒子加速一次。

(2)帶電粒子在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)、半徑不斷增大，周期不變，最大動(dòng)能與。形盒的半徑有關(guān)。

霍爾效應(yīng)的原理和分析

1.定義：高為〃，寬為d的金屬導(dǎo)體(自由電荷是電子)置于勻強(qiáng)磁場(chǎng)2中，當(dāng)電流通過(guò)金屬導(dǎo)體時(shí),

在金屬導(dǎo)體的上表面/和下表面4之間產(chǎn)生電勢(shì)差，這種現(xiàn)象稱為霍爾效應(yīng)，此電壓稱為霍爾電壓。

2.電勢(shì)高低的判斷：如圖，金屬導(dǎo)體中的電流/向右時(shí)，根據(jù)左手定則可得，下表面，的電勢(shì)高。

3.霍爾電壓的計(jì)算：導(dǎo)體中的自由電荷（電子）在洛倫茲力作用下偏轉(zhuǎn)，4、4間出現(xiàn)電勢(shì)差，當(dāng)自由

電荷所受靜電力和洛倫茲力平衡時(shí)，4、4間的電勢(shì)差（S就保持穩(wěn)定，由/=叩vS,S=

h

BIBI1

hd；聯(lián)立得U=-k—，k——稱為霍爾系數(shù)。

nqddnq

速度選擇器、磁流體發(fā)電機(jī)

速度選擇11

X?XXXE

o-*roB若qv（）B=Eq,即Vo=萬(wàn)，粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng)

器XXXX

A-

等離子體射入，受洛倫茲力偏轉(zhuǎn)，使兩極板帶正、負(fù)電荷，

磁流體發(fā)XXXXf

A="。Bd

o-*-o-*-兩極板間電壓為。時(shí)穩(wěn)定，qU=qvoB,U=vWd

電機(jī)XXXx|

i___________________________?d

/夕親臨"高考練場(chǎng)"

考向一電磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)類問(wèn)題

1.（2024?安徽二模）如圖甲，豎直面內(nèi)有一小球發(fā)射裝置，左側(cè)有光滑絕緣圓弧形軌道ABC,A

與圓心O等高，C處于坐標(biāo)原點(diǎn)，y軸左側(cè)有一水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)（圖中未畫出），電場(chǎng)強(qiáng)度

的大小Ei=lCPy/a?，F(xiàn)將帶正電絕緣小球從A點(diǎn)由靜止釋放進(jìn)入軌道，一段時(shí)間后小球從C

點(diǎn)離開(kāi)并進(jìn)入y軸右側(cè)，y軸右側(cè)與直線DF（平行于y軸）中間范圍內(nèi)有周期性變化的水平方

向電場(chǎng)，規(guī)定向右為正方向，交變電場(chǎng)周期T=1.6s,變化規(guī)律如圖乙。已知圓弧形軌道半徑

R=，，小球質(zhì)量m=0.3kg,電荷量q=4X10-3（2,NBOC=53°,重力加速度g=lOm/s2,

sin53°=0.8,不計(jì)空氣阻力的影響及帶電小球產(chǎn)生的電場(chǎng)。求：

（1）小球在C點(diǎn)時(shí)的速度；

3

(2)若小球在t=0時(shí)刻經(jīng)過(guò)C點(diǎn)，在t=,T時(shí)刻到達(dá)電場(chǎng)邊界DF,且速度方向恰與直線DF平

行，E2的大小及直線DF到y(tǒng)軸的距離；

(3)基于(2)中直線DF到y(tǒng)軸的距離，小球在不同時(shí)刻進(jìn)入交變電場(chǎng)再次經(jīng)過(guò)x軸時(shí)的坐標(biāo)

范圍。

【解答】解：(1)小球在y軸左側(cè)，根據(jù)矢量合成的特點(diǎn)可得:

F=J(jng)2+(qEi)2

解得：F=5N

方向與水平方向成53°向下，根據(jù)動(dòng)能定理，小球A到C運(yùn)動(dòng)過(guò)程

1,

FR(1+cos37°)=~^mv2—0

解得：v=10m/s

方向?yàn)榕c水平方向成53°o

(2)小球到達(dá)直線DF時(shí)速度方向恰與DF平行，即水平速度恰減到0,根據(jù)電場(chǎng)的周期性

T

vcos53°—ax-=0

解得：=7.5m/s2

根據(jù)牛頓第二定律可得：

qE2

a=---

ym

解得：E2=562.5V/m

根據(jù)速度一位移關(guān)系式

3(vcos530)2

Xn=-----------------

"2a

解得：xD=7.2m

(3)小球在y軸右側(cè)豎直方向做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，小球再次經(jīng)過(guò)x軸的運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同

2vsin53°

t=-------------

g

恰經(jīng)過(guò)一個(gè)周期，t=0時(shí)刻進(jìn)入電場(chǎng)，小球在一個(gè)周期內(nèi)水平方向先減速運(yùn)動(dòng)再加速，此過(guò)程小

球水平方向平均速度最小，離c點(diǎn)最近

1

x3=](ucos53。+0)T

聯(lián)立解得：X3=4.8m

因?yàn)閄3〈XD

小球在電場(chǎng)內(nèi)經(jīng)過(guò)x軸，t=5時(shí)刻進(jìn)入電場(chǎng)，小球在一個(gè)周期內(nèi)水平方向先加速運(yùn)動(dòng)

1TT

Xi=~(ycos530+vcos530+

解得：xi=7.2m

且Xi=XD

恰加速運(yùn)動(dòng)至DF所在直線，小球出電場(chǎng)后做勻速運(yùn)動(dòng)

TT

x2=(vcos53°+ax-)-

解得：X2=9.6m

貝UXm=xi+x2=7.2m+9.6m=16.8m

此過(guò)程小球水平方向平均速度最大，離C點(diǎn)最遠(yuǎn)，綜上，小球經(jīng)過(guò)x軸時(shí)的坐標(biāo)范圍為

4.8mWxW16.8m

2.(2024?洛陽(yáng)一模)如圖所示，Q是x正半軸上的一點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為X。(未知)。在xOy的第一

象限，xWxo的區(qū)域內(nèi)存在大小為E、沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)。速率為V。的帶正電荷的粒子,

從P點(diǎn)沿y軸負(fù)方向射入電場(chǎng)后，通過(guò)O點(diǎn)時(shí)速率為2v°；從P點(diǎn)沿x軸正方向射入電場(chǎng)后恰

好從Q點(diǎn)射出。若將區(qū)域內(nèi)的電場(chǎng)換成垂直xOy平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，同樣讓該粒子從P點(diǎn)沿

x軸正方向射入，粒子也恰能從Q點(diǎn)射出。不考慮重力的作用，求磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小。

八y；

p，一?：

%：

OQx

【解答】解：因?yàn)镺點(diǎn)和Q點(diǎn)電勢(shì)相同，所以粒子通過(guò)Q點(diǎn)時(shí)的速度大小與通過(guò)O點(diǎn)時(shí)的速度

大小相等，均為2vo。設(shè)粒子運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)時(shí)速度方向與x軸間的夾角為。，如圖所示，則

2Voeos。=vo

1

解得cos。=-

可得6=60°

設(shè)粒子在電場(chǎng)中從P運(yùn)動(dòng)到Q的時(shí)間為t,P點(diǎn)的縱坐標(biāo)yp,則

Vy=votan0

XQ-vot

Vy

yp=Q

解得yp=^o

設(shè)粒子的質(zhì)量為m、電荷量為q,由動(dòng)能定理有

1

2

qEyP=^7n(2v0)-

解得E=^遇

<7%o

設(shè)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑為r,磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B,根據(jù)洛倫茲力提供向心力得

VQ

=m-

v

聯(lián)立解得B=病

4E

答：磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為行

3.(2024?羅湖區(qū)校級(jí)模擬)亥姆霍茲線圈是一對(duì)平行的完全相同的圓形線圈。如圖所示，兩線圈

通入方向相同的恒定電流，線圈間形成平行于中心軸線。1。2的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，沿。1。2建立X軸,

一足夠大的圓形探測(cè)屏垂直于X軸放置，其圓心P點(diǎn)位于X軸上。在線圈間加上平行于X軸的

勻強(qiáng)電場(chǎng)，粒子源從X軸上的O點(diǎn)以垂直于X軸的方向持續(xù)發(fā)射初速度大小為V0的粒子。已知

粒子質(zhì)量為m,電荷量為(q>0),電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E,磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B,電場(chǎng)和磁場(chǎng)均沿

x軸正方向，不計(jì)粒子重力和粒子間相互作用。若未加電場(chǎng)，粒子可以在線圈間做勻速圓周運(yùn)

動(dòng)。

(1)若未加電場(chǎng)，求粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r；

(2)加入電場(chǎng)后，沿x軸方向左右調(diào)節(jié)探測(cè)屏，求粒子打在探測(cè)屏上的點(diǎn)距探測(cè)屏圓心P點(diǎn)的

最遠(yuǎn)距離D；

(3)加入電場(chǎng)后，沿x軸方向左右調(diào)節(jié)探測(cè)屏，若要使粒子恰好打在探測(cè)屏的圓心P點(diǎn)，求此

時(shí)P點(diǎn)與粒子源間的距離do

【解答】解：(1)粒子在磁場(chǎng)中，由洛倫茲力提供向心力得皿08=噂

mvo

解得軌道半徑為「=而

(2)粒子在垂直于x軸的平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在x軸方向上做勻加速運(yùn)動(dòng)。若粒子在垂直

mvo

于x軸的平面內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)奇數(shù)個(gè)半圈，此時(shí)打到探測(cè)屏上的位置距離P點(diǎn)最遠(yuǎn)D=2r=2/

2nr

(3)垂直于x軸的平面內(nèi)，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期T=『

Vo

2Tlm

則粒子回到x軸時(shí)間為弋=nT=n—(n=l,2,3…)

qb

1

沿、x軸方向d=]at29,qE=ma

2n27i2mE

聯(lián)立解得d=(n=l,2,3…)

qB2

考向二動(dòng)態(tài)圓、磁聚焦問(wèn)題

4.（2024?鄭州三模）如圖所示，有一足夠大絕緣平板MN水平放置，平板上O點(diǎn)處持續(xù)向上方

各方向發(fā)射帶電小球。射出小球的質(zhì)量為m,電荷量為+q,小球速度大小均為vo。在距離MN

上方L處平行放置一足夠大光屏，光屏中心O正對(duì)平板上的O點(diǎn)。在平板和光屏之間有豎直向

2mg

上的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度為E=丁。不考慮小球間的相互作用，小球可看作質(zhì)點(diǎn)，重力加速

度為g。

（1）求小球打在光屏上的速度大??；

（2）求小球打在光屏上的范圍面積；

E

（3）將電場(chǎng)強(qiáng)度調(diào)整為萬(wàn)，同時(shí)在平板和光屏之間加上垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，若在紙面內(nèi)射

出的小球打在光屏兩側(cè)到O'的最遠(yuǎn)距離均為岸3求所加磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小。

【解答】解：（1）小球到達(dá)光屏的速度為v,從O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到光屏過(guò)程，由動(dòng)能定理得

（qE—mg）L=—mv2—77m詔

解得小球打在光屏上的速度大小為

（2）平行于MN發(fā)射的小球，落在光屏上距離O'點(diǎn)最遠(yuǎn)，由牛頓第二定律得

qE-mg=ma

_1_

小球做類平拋運(yùn)動(dòng)，則有L=]at2,x=vot

小球打在光屏上的范圍面積為S=irx2

聯(lián)立解得s=2學(xué)

E

（3）電場(chǎng)強(qiáng)度調(diào)整為E'=5,止匕時(shí)qE=mg

小球在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律得=警

經(jīng)分析沿ON方向發(fā)射的小球打在光屏上的距離0'最遠(yuǎn)，如圖所示

由幾何關(guān)系可得當(dāng)0號(hào)嚀

可得0=30°

又Reos。=

3mvo

聯(lián)立解得

B2qL

5.（2024?重慶模擬）質(zhì)譜儀是檢測(cè)和分離同位素的儀器。如圖，速度選擇器的磁感應(yīng)強(qiáng)度為Bi，

方向垂直紙面向里，電場(chǎng)強(qiáng)度為E。分離器中磁感應(yīng)強(qiáng)度為B2,方向垂直紙面向外。離子室內(nèi)

充有大量氨的同位素離子,經(jīng)加速電場(chǎng)加速后從速度選擇器兩極板間的中點(diǎn)O平行于極板進(jìn)入,

選擇出的部分離子通過(guò)小孔O進(jìn)入分離器的磁場(chǎng)中，在底片上形成3個(gè)有一定寬度分別對(duì)應(yīng)1

He、和名/Ze三種離子的感光區(qū)域。第一片感光區(qū)域的中心P到O'點(diǎn)的距離為山。忽略離

子的重力及相互間作用力，不計(jì)小孔O'的孔徑。

（1）求沿直線運(yùn)動(dòng)通過(guò)速度選擇器，并打在感光區(qū)域中心P點(diǎn)離子的速度，vo及比荷*；

（2）以速度為丫=丫0土Av從O點(diǎn)射入的離子，其在速度選擇器中的運(yùn)動(dòng)可視為速度為vo的勻

速直線運(yùn)動(dòng)和速度為Av的勻速圓周運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)，感光板上要出現(xiàn)3個(gè)有一定寬度的感光區(qū)域,

求該速度選擇器極板的最小長(zhǎng)度L；

（3）在（2）的情況下，為能區(qū)分3種離子，求該速度選擇器的極板間最大間距d。

【解答】解：(1)離子在速度選擇器中沿直線運(yùn)動(dòng)，需滿足電場(chǎng)力與洛倫茲力平衡，則有:

qv0Bi=qE

E

解得：v=—

0D1

在分離器中離子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌跡為半個(gè)圓周，易知打在感光區(qū)域中心P點(diǎn)的離子的運(yùn)動(dòng)半

徑為:

di

r1=萬(wàn)

根據(jù)洛倫茲力提供向心力得:

VQ

qv0B2=m-

q2E

解得：三二瓦嬴

,,一1,

(2)在加速電場(chǎng)中，根據(jù)動(dòng)能定理得：qU=Ynvo

在分離器中有：qvB=

02V

mvom

可得：「=詞=而2mU

mBq

.q2Er

三種離子電荷量相同，則質(zhì)量最小的汨e軌跡半徑最小，則(1)問(wèn)中所解比荷生=是孤e

771￡、>1J7D2U”1

離子的比荷，可得:

4m5m

加e離子的比荷為：而；劑e離子的比荷為：—

iHe,如e、三種離子在速度選擇器中分運(yùn)動(dòng)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期分別為:

271mTIB2dl

L=西=~

27rx4m4

T2=^T=/

27rx5m5

T3=萬(wàn)丁=式1

使三種離子都能通過(guò)速度選擇器，最短時(shí)間是上述3個(gè)周期的最小公倍數(shù)，可得：

三種離子都能通過(guò)速度選擇器的最短時(shí)間為：tmin=20Ti

207rB2dl

L=

可得極板最小長(zhǎng)度為：votmln=------------

d

(3)離子在速度選擇器中分運(yùn)動(dòng)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑最大為：-

dmAvi4mAv25mAv3

同理由洛倫茲力提供向心力，對(duì)三種離子都有："===

4Qo1DQDiDQJDi

2m(vo+^vi)

在分離器中的最大直徑為：^maxl=QB2

聯(lián)立可得：

2mZlvi2mJviBidBi

Dsi=%+qB2=心+qB[*瓦^(guò)心+萬(wàn)*及

同理可得：的最小直徑為：

2x4m(vo-21v2)4d

Dmin2=3^=一萬(wàn)x瓦

為能區(qū)分？"e、禺子需滿足：Dmin2>Dmaxl

解得：dV2~di

D￡>1

44dBi

同理?He的最大直徑為：^max2中1+5X豆

2x5m(vo-21v3)5dB\

的最小直徑為：Dmin3=------而;-----=3dl~2X~B^

為能區(qū)分￡"e、離子需滿足：Dmin3>Dmax2

B

解得：d<港2~di

on1

故該速度選擇器的極板間最大間距為粵辦。

6.(2024?重慶模擬)如題圖所示，兩個(gè)相同的光滑彈性豎直擋板MN、PQ固定在紙面內(nèi)，平行

正對(duì)且相距足夠遠(yuǎn)，矩形MNQP區(qū)域內(nèi)(含邊界)充滿豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度大小為

E?緊鄰MN板右側(cè)有一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，方向垂直紙面向里，磁場(chǎng)右邊界為半圓，圓心為MN板的

中點(diǎn)0。現(xiàn)有一帶負(fù)電小球在紙面內(nèi)從M點(diǎn)射入磁場(chǎng)，速度大小為V、方向與MP的夾角為3

恰好能在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，且第一次飛出磁場(chǎng)時(shí)速度恰好水平。已知重力加速度為g,

MN=PQ=d,NQ=MP=L,該小球可視為質(zhì)點(diǎn)且電荷量保持不變，擋板厚度不計(jì)，忽

略邊界效應(yīng)。該小球每次與擋板(含端點(diǎn))碰撞后瞬時(shí)，水平速度大小不變、方向反向，豎直

速度不變。

(1)求該小球第一次與MN板碰撞前在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的路程;

(2)求該勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B；

(3)若該小球能通過(guò)N點(diǎn)，求。的大小，以及該小球第二次離開(kāi)矩形MNQP區(qū)域前運(yùn)動(dòng)的總時(shí)

間。

【解答】解：(1)根據(jù)題意畫出小球第一次與MN板碰撞前的運(yùn)動(dòng)軌跡如下圖所示

設(shè)小球在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R,由幾何關(guān)系得:

.2j2

瞪_R（1-COS。）］+（Rs譏0）2=（卷）

d

解得：R=-

由圖中幾何關(guān)系可知，所求路程為兩端圓弧軌跡的總長(zhǎng)為:

s=2R0=d0

(2)小球恰好能在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，需要電場(chǎng)力與重力平衡，則有:

mg=qE

由洛倫茲力提供向心力得:

V2

qvB=m—

聯(lián)立解得：B=—

d7T1

（3）情況①：由R=7,可知當(dāng)e=5時(shí)，小球在磁場(chǎng)中先后做兩段7圓周運(yùn)動(dòng)可通過(guò)N點(diǎn)，且

在N點(diǎn)沿MN方向離開(kāi)矩形區(qū)域，再由N點(diǎn)回到該區(qū)域，沿NM邊界勻速向下運(yùn)動(dòng)（NM邊界

處無(wú)磁場(chǎng)），最終從M點(diǎn)離開(kāi)，此情況小球的運(yùn)動(dòng)軌跡如下圖所示

設(shè)小球在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為力，則有:

12nRnd

2'~iT=2v

設(shè)小球在電場(chǎng)中水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為t2,則有:

小球從N點(diǎn)離開(kāi)后再次回到N點(diǎn)經(jīng)過(guò)的時(shí)間為：t3=：■

一d

小球從N點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)經(jīng)過(guò)的時(shí)間為：t=—

4v

此情況小球第二次離開(kāi)矩形MNQP區(qū)域前運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為：t=ti+t2+t3+t4

2v

聯(lián)立解得：t=——+—

2v9

71

情況②：當(dāng)0＜。＜萬(wàn)時(shí)，由"MN與PQ相距足夠遠(yuǎn)”可知，要使小球能通過(guò)N點(diǎn)，小球第一次

與MN板碰撞后，再次飛出磁場(chǎng)時(shí)，速度方向也應(yīng)該水平，則小球在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡如下圖所

_d17T

由幾何關(guān)系可知：2--cos0=R解得：COS0=",即

ZZf。

7T

設(shè)小球在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t「，則有

402TIR2nd

til=—?-----=-------

27rv3v

小球在水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為t2',則有：

?,4QL-Rsin0)4L-V3d

=-------------=------------

VV

小球從N點(diǎn)離開(kāi)后，從NQ上D點(diǎn)再次進(jìn)入矩形MNQP區(qū)域時(shí)，此過(guò)程經(jīng)過(guò)的時(shí)間為：

vsinOV3v

tz=2-二

3g9

該小球從NQ上D點(diǎn)再次進(jìn)入矩形MNQP區(qū)域時(shí)，到N點(diǎn)的水平距離為：

A八，四/

△X=VCOS0-to=-------

2g

己知：d<Y交，可得：Ax>(,可知該小球再次進(jìn)入矩形MNQP區(qū)域后，不會(huì)進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域,

將沿斜向右下方做勻速直線運(yùn)動(dòng)，且速度大小仍為V,方向與水平方向夾角仍為。，該過(guò)程中小

球做勻速直線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：

,,d2V3d

LA=----------=----------

vsinO3v

此情況小球第二次離開(kāi)矩形MNQP區(qū)域前運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為：t'=t1'+t2'+t3'+t4'

聯(lián)立解得：F--------J----------+--

3vg

考向三帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)

7.(2024?泉州模擬)如圖甲所示，在水平地面上方分布有相互垂直的勻強(qiáng)電場(chǎng)與勻強(qiáng)磁場(chǎng)，電場(chǎng)

方向豎直向上，場(chǎng)強(qiáng)大小為E,磁場(chǎng)方向垂直紙面向里。在離地高為h的0點(diǎn)處建立一直角坐

標(biāo)系xOy,y軸豎直向上。一個(gè)帶正電小球A從O點(diǎn)以速率vo沿x軸負(fù)方向射出，恰好可以垂

直打到地面。已知重力加速度大小為g,A受到的電場(chǎng)力恰好等于重力，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中帶電量不

變，忽略空氣阻力。

(1)求勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B；

(2)若大量與A相同的小球仍從。點(diǎn)以速率vo在xOy平面內(nèi)沿各個(gè)方向先后射出，小球間的

相互作用均不計(jì)，落地后均不反彈，求小球落地點(diǎn)區(qū)間的長(zhǎng)度；

(3)若撤去電場(chǎng)，小球仍從。點(diǎn)以某一速率沿y軸正方向射出，恰好不會(huì)打到地面。

i.求小球從。點(diǎn)射出時(shí)的速率vi；

ii.已知小球的速率v與時(shí)間t的關(guān)系如圖乙所示，求小球速率達(dá)到最小時(shí)兩個(gè)位置之間的距離。

【解答】解：(1)由于小球所受電場(chǎng)力等于重力

qE=mg

故小球在場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律，由洛倫茲力提供向心力有

qvo=m-

0R

根據(jù)幾何知識(shí)R=h

聯(lián)立解得8=正;

(2)當(dāng)小球的運(yùn)動(dòng)軌跡與地面相切時(shí)可運(yùn)動(dòng)到左側(cè)最遠(yuǎn)落地點(diǎn)，此時(shí)小球在第二象限與y軸正

根據(jù)幾何知識(shí)，其水平位移為

Xi=V3/?

當(dāng)小球沿-y方向射出時(shí)，可運(yùn)動(dòng)到右側(cè)最遠(yuǎn)落地點(diǎn)，軌跡圖像如(1)所示，根據(jù)幾何知識(shí)，其

水平位移為X2=R

則落地點(diǎn)區(qū)間的長(zhǎng)度為L(zhǎng)=X1+X2

聯(lián)立解得卜=(V3+1)/1；

(3)i.利用配速法，在。點(diǎn)給小球兩個(gè)大小相等，方向平行于X軸且方向相反的速度V2,使其

滿足qv2B=mg

mggh

解得丫2=正=益

如此即可將小球的運(yùn)動(dòng)分解為圓周運(yùn)動(dòng)與水平方向的勻速運(yùn)動(dòng)，則圓周運(yùn)動(dòng)的速度V'=窈/

1/2

根據(jù)牛頓第二定律，有洛倫茲力提供向心力有qvB=m—

r

解得

mvr

r=—-

qB

這里不考慮水平方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)，則粒子的軌跡圖像如圖所示

V2

h=r+rcosacosa=~

v

聯(lián)立解得Vi=J詔—2gh；

ii.由題意可知，當(dāng)小球做圓周運(yùn)動(dòng)的速度水平向右時(shí)合速度最小，故合速度最小的時(shí)間間隔為

一個(gè)周期的整數(shù)倍，故小球速度達(dá)到最小時(shí)的位置之間的距離AXMIIV2T(n=0,1,2...)

根據(jù)周期公式T=一丁

v

2nh

解得T=■—

vo

2717rg九2

聯(lián)立解得Ax=―—(n=1,2,3…)。

8.(2024?泰州一模)高能微粒實(shí)驗(yàn)裝置，是用以發(fā)現(xiàn)高能微粒并研究和了解其特性的主要實(shí)驗(yàn)工

具。為了簡(jiǎn)化計(jì)算，一個(gè)復(fù)雜的高能微粒實(shí)驗(yàn)裝置可以被最簡(jiǎn)化為空間中的復(fù)合場(chǎng)模型。如圖

甲所示，三維坐標(biāo)系中，yOz平面的右側(cè)存在平行z軸方向周期性變化的磁場(chǎng)B(圖中未畫出)

和沿y軸正方向豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)E。有一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電的高能微粒從

xOy平面內(nèi)的P點(diǎn)沿x軸正方向水平射出，微粒第一次經(jīng)過(guò)x軸時(shí)恰好經(jīng)過(guò)O點(diǎn)，此時(shí)速度大

mg

小為vo,方向與X軸正方向的夾角為45°。已知電場(chǎng)強(qiáng)度大小E=7,從微粒通過(guò)O點(diǎn)開(kāi)始

mgTIVO

計(jì)時(shí)，磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間的變化關(guān)系如圖乙所示，已知B。=藐;，t=—,規(guī)定當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度

q“u0<y

沿Z軸正方向時(shí)為正，重力加速度大小為g。

(1)求拋出點(diǎn)P到X軸的距離y；

(2)求微粒從通過(guò)O點(diǎn)開(kāi)始做周期性運(yùn)動(dòng)的周期T；

(3)若t=:時(shí)撤去yOz右側(cè)的原電場(chǎng)和磁場(chǎng)，同時(shí)在整個(gè)空間加上沿y軸正方向引=哼50

的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，求微粒向上運(yùn)動(dòng)到離xOz平面最遠(yuǎn)時(shí)的坐標(biāo)。

【解答】解：（1）粒子做平拋運(yùn)動(dòng)，由于經(jīng)過(guò)O點(diǎn)時(shí)方向與x軸正方向的夾角為45°,則有:

Vy=v（）sm45v0

根據(jù)平拋規(guī)律可得：=2gy,即有：（乎⑹2=2”，解得：丫=段=遺叱=普；

」2Ag2g初

（2）根據(jù)題意，粒子受到的重力與電場(chǎng)力平衡，則有：qE=mg

v2mvo

由洛倫茲力提供向心力，則有：=解得：R=~^~

27rH271m

粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期為：T=--=—

ovoq5

Vn27TVO

當(dāng)3=3（）時(shí)，有：R1=—,T——

,y1=y

Bo2儲(chǔ)4TTV0

當(dāng)3=〒時(shí)，則有：R2=—，T2=——

乙y.y

結(jié)合題中信息可知：0?訪，微粒剛好轉(zhuǎn)過(guò)180°；訪?2訪，微粒轉(zhuǎn)過(guò)90°；2to?3to與0?訪的運(yùn)

動(dòng)軌跡大小一樣，只是偏轉(zhuǎn)方向不一樣；3to?4to與to?2to的運(yùn)動(dòng)軌跡大小一樣，只是偏轉(zhuǎn)方向

不一樣，綜上所述，微粒一個(gè)周期的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示:

（3）t=to時(shí)，把速度分解到水平方向和豎直方向，即有：vj=%s譏45°=孝處，vj=v0cos45°=

V2

TVo

粒子在豎直方向上做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，則有：（孝％）2=29>2,解得：丫2=篇

V2加日立笫0

—vo=gt,解得：t2=f-

z2乙y

粒子水平方向向上做圓周運(yùn)動(dòng)，則有：

mvxv2

口3=冠=扁

2兀-2缶o

13=營(yíng)=^-

5

由此可知：t2="T3

1v2

則有：x'-V2RI+R3=（V2+~）—

57rg

___1Vov0v0

因此粒子向上運(yùn)動(dòng)到離xOz平面最遠(yuǎn)時(shí)的坐標(biāo)為：（（V2+—）—,—,--）0

5兀g4g57rg

9.（2024?浙江二模）如圖所示，直角坐標(biāo)系第一象限內(nèi)有一豎直分界線PQ,PQ左側(cè)有一直角三

角形區(qū)域OAC,其中分布著方向垂直紙面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度為Bo的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，已知OA與y

軸重合，且OA=a,9=60°,C點(diǎn)恰好處于PQ分界線上。PQ右側(cè)有一長(zhǎng)為L(zhǎng)的平行板電容

器，板間距為a,上極板與左側(cè)磁場(chǎng)的上邊界平齊，內(nèi)部分布著方向垂直紙面向里，強(qiáng)弱隨y

坐標(biāo)變化的磁場(chǎng)，和豎直向下場(chǎng)強(qiáng)大小為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)。該復(fù)合場(chǎng)能使沿水平方向進(jìn)入電容器

的電子均能沿直線勻速通過(guò)電容器。在平行板電容