第一章集合與常用邏輯用語、不等式[知識網(wǎng)絡(luò)][命題方向]1．集合是高考的必考內(nèi)容，一般以選擇題的形式出現(xiàn)，試題較為簡單，屬于送分題，命題的熱點為集合的基本運算，常結(jié)合一元二次不等式的解法進行考查．2．高考對常用邏輯用語的考查涉及的知識點較廣，主要以其他知識為背景考查充分條件、必要條件的判斷，全稱量詞命題、存在量詞命題的否定，題目難度中等或偏下，以選擇題或填空題為主．3．高考在不等式部分的命題點有：(1)不等式的性質(zhì)及應(yīng)用，不等式常與函數(shù)相結(jié)合；(2)不等式的解法，常與集合的基本運算相結(jié)合；(3)利用基本不等式求最值、證明不等式等．難度一般不大，常與其他知識相結(jié)合．探究1(人教A版必修第一冊P11、P12)下列關(guān)系式成立嗎？(1)A∪A＝A；(2)A∪?＝A；(3)A∩A＝A；(4)A∩?＝?._______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________探究2(人教A版必修第一冊P18)例1中命題(1)給出了“四邊形是平行四邊形”的一個充分條件，即“四邊形的兩組對角分別相等”．這樣的充分條件唯一嗎？如果不唯一，那么你能再給出幾個不同的充分條件嗎？_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________探究3(人教A版必修第一冊P39)如圖是在北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)，會標(biāo)是根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計的，顏色的明暗使它看上去像一個風(fēng)車，代表中國人民熱情好客．你能在這個圖中找出一些相等關(guān)系和不等關(guān)系嗎？_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2021·浙江卷)我國古代數(shù)學(xué)家趙爽用弦圖給出了勾股定理的證明．弦圖是由四個全等的直角三角形和中間的一個小正方形拼成的一個大正方形(如圖所示)．若直角三角形直角邊的長分別是3，4，記大正方形的面積為S1，小正方形的面積為S2，則eq\f(S1,S2)＝________．_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________探究4(人教A版必修第一冊P45)如圖，AB是圓的直徑，點C是AB上一點，AC＝a，BC＝b.過點C作垂直于AB的弦DE，連接AD，BD.你能利用這個圖形，得出基本不等式的幾何解釋嗎？____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(多選)(2024·泰州模考)《幾何原本》中的幾何代數(shù)法是以幾何方法研究代數(shù)問題，這種方法是西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)公理或定理都能夠通過圖形實現(xiàn)證明，稱之為無字證明．現(xiàn)有圖形如圖所示，C為線段AB上的點，且AC＝a，BC＝b，O為AB的中點，以AB為直徑作半圓．過點C作AB的垂線交半圓于D，連接OD，AD，BD，過點C作OD的垂線，垂足為E.則利用該圖形可以完成的證明為()A.eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab) B．a(chǎn)2＋b2≥2abC.eq\r(ab)≥eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b)) D.eq\f(a2＋b2,2)≥eq\f(a＋b,2)典題1(人教A版必修第一冊P9習(xí)題1.2T4)在平面直角坐標(biāo)系中，集合C＝{(x，y)|y＝x}表示直線y＝x，從這個角度看，集合D＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(（x，y）|\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y＝1,x＋4y＝5))))表示什么？集合C，D之間有什么關(guān)系？__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________典題2(人教A版必修第一冊P9習(xí)題1.2T5)(1)設(shè)a，b∈R，P＝{1，a}，Q＝{－1，－b}，若P＝Q，求a－b的值；(2)已知集合A＝{x|0＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，若B?A，求實數(shù)a的取值范圍．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________典題3(人教A版必修第一冊P13例6)設(shè)全集U＝{x|x是三角形}，A＝{x|x是銳角三角形}，B＝{x|x是鈍角三角形}，求A∩B，?U(A∪B)．_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2023·全國甲卷)設(shè)全集U＝Z，集合M＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，則?U(M∪N)＝()A．{x|x＝3k，k∈Z} B．{x|x＝3k－1，k∈Z}C．{x|x＝3k－2，k∈Z} D．?點評本題主要考查集合的并集與補集運算，與教材例題角度相同，只不過換了用字母表示的集合．典題4(人教A版必修第一冊P14習(xí)題1.3T1)集合A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，求A∪B，A∩B._____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2023·新高考Ⅰ卷)已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，則M∩N＝()A．{－2，－1，0，1} B．{0，1，2}C．{－2} D．{2}點評本題主要考查集合的交集運算，與教材習(xí)題的考查角度完全相同，對于此類問題一定要注意不等式中端點的取舍．典題5(人教A版必修第一冊P14習(xí)題1.3T5)設(shè)集合A＝{x|(x－3)(x－a)＝0，a∈R}，B＝{x|(x－4)(x－1)＝0}，求A∪B，A∩B._____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________典題6(人教A版必修第一冊P14習(xí)題1.3T6)已知全集U＝A∪B＝{x∈N|0≤x≤10}，A∩(?UB)＝{1，3，5，7}，試求集合B._______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________典題7(人教A版必修第一冊P22習(xí)題1.4T2)在下列各題中，判斷p是q的什么條件(請用“充分不必要條件”“必要不充分條件”“充要條件”“既不充分也不必要條件”回答)：(1)p：三角形是等腰三角形，q：三角形是等邊三角形；(2)p：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有實數(shù)根，q：b2－4ac≥0；(3)p：a∈P∩Q，q：a∈P；(4)p：a∈P∪Q，q：a∈P；(5)p：x＞y，q：x2＞y2._____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2023·天津卷)“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件點評本題主要考查利用充分、必要條件的意義判斷命題間的充分、必要性，與教材習(xí)題角度完全一致，且難度小于教材習(xí)題．典題8(人教A版必修第一冊P23習(xí)題1.4T6)設(shè)a，b，c分別是△ABC的三條邊，且a≤b≤c.我們知道，如果△ABC為直角三角形，那么有a2＋b2＝c2(勾股定理)．反過來，如果a2＋b2＝c2，那么△ABC為直角三角形(勾股定理的逆定理)．由此可知，△ABC為直角三角形的充要條件是a2＋b2＝c2.請利用邊長a，b，c分別給出△ABC為銳角三角形和鈍角三角形的一個充要條件，并證明．_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________典題9(人教A版必修第一冊P31例5)寫出下列命題的否定，并判斷真假：(1)任意兩個等邊三角形都相似；(2)?x∈R，x2－x＋1＝0.____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________典題10(人教A版必修第一冊P35復(fù)習(xí)參考題1T8)已知集合A＝{(x，y)|2x－y＝0}，B＝{(x，y)|3x＋y＝0}，C＝{(x，y)|2x－y＝3}，求A∩B，A∩C，并解釋它們的幾何意義．_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________典題11(人教A版必修第一冊P46例3)(1)用籬笆圍一個面積為100m2的矩形菜園，當(dāng)這個矩形的邊長為多少時，所用籬笆最短？最短籬笆的長度是多少？(2)用一段長為36m的籬笆圍成一個矩形菜園，當(dāng)這個矩形的邊長為多少時，菜園的面積最大？最大面積是多少？_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________典題12(人教A版必修第一冊P46練習(xí)T2)已知x，y都是正數(shù)，且x≠y，求證：(1)eq\f(x,y)＋eq\f(y,x)＞2；(2)eq\f(2xy,x＋y)＜eq\r(xy)._________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________