北師大版八年級勾股定理折疊路徑最值等應用

考點9平面展開圖-最短路徑問題

幾何體中最短路徑基本模型如下：

長方體

M1M2

類型一、圓柱形展開

【例23]如圖是一個圓柱高8cm,底面半徑為2cm的圓柱

（1）一只螞蟻從點A爬到點B處吃食,要爬行的最短路程（n取3）是多少？

【變式1】在底面直徑為3cm,高為3cm的圓柱體側面上，用一條無彈性的絲帶從A至C按如圖所示的圈數(shù)纏繞，則絲帶的

最短長度為___cm.（結果保留加）

3

【變式2】如圖，圓柱的高為4cm,底面半徑為一切，在圓柱下底面的/點處有一只螞蟻，它想吃到上底面8處的食物，已

知四邊形"比1的邊40、比恰好是上、下底面的直徑、問：螞蟻食到食物爬行的最短距離是（）cm

4_芻

A.5B.5"C.3+7D.3+乃

【變式3】如圖，圓柱的底面周長為16,BC=12,動點P從A點出發(fā)，沿著圓柱的側面移動到BC的中點S,則移動的最短距

離為（）

A.10B.12C.14D.20

【例24】圖，透明的圓柱形玻璃容器（容器厚度忽略不計）的高為16切，在容器內(nèi)壁離容器底部4c?的點8處有一滴蜂蜜,

此時一只螞蟻正好在容器外壁，位于離容器上沿4M的點/處，若螞蟻吃到蜂蜜需爬行的最短路徑為20M,則該圓柱底面

周長為（）

【變式1】如圖，圓柱形玻璃杯高為14cm,底面周長為32cll1,在杯內(nèi)壁離杯底5cm的點B處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好

在杯外壁，離杯上沿3cm與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻從外壁A處到內(nèi)壁B處的最短距離為cm（杯壁厚度不計）.

【變式2】如圖，桌上有一個圓柱形玻璃杯（無蓋）高6厘米，底面周長16厘米，在杯口內(nèi)壁離杯口1.5厘米的4處有一滴

蜜糖，在玻璃杯的外壁，/的相對方向有一小蟲尸，小蟲離杯底的垂直距離為1.5厘米，小蟲爬到蜜糖A處的最短距離是

()

A.J元厘米B.10厘米C.8&厘米D.8厘米

【變式3】如圖，圓柱形容器的高為0.9m,底面周長為L2m,在容器內(nèi)壁離容器底部0.3m處的點8處有一蚊子.此時，一

只壁虎正好在容器外壁，離容器上沿0.2m與蚊子相對的點A處，則壁虎捕捉蚊子的最短距離為m.

類型二、幾何展開

【例25］如圖，長方體的長為15項，寬為10an,高為20c〃，點B距離C點5o?,一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點力

爬到點B,則螞蟻爬行的最短距離是—cm.

【變式1】如圖，正方體的棱長為4讖，4是正方體的一個頂點，8是側面正方形對角線的交點.一只螞蟻在正方體的表面上

爬行，從點4爬到點8的最短路徑是（）

A.9B.3加+6C.2-/10D.12

【變式2】如圖，長方體的高為9dm,底面是邊長為6dm的正方形?一只螞蟻從頂點A開始爬向頂點8,那么它爬行的最短

路程為（）

A.10dmB.12dmC.15dmD.20dm

【變式3】如圖，在長方體透明容器（無蓋）內(nèi)的點6處有一滴糖漿，容器外A點處的螞蟻想沿容器壁爬到容器內(nèi)吃糖漿，

已知容器長為6CM,寬為4cm,高為3cm,點A距底部2。機，請問螞蟻需爬行的最短距離是（容器壁厚度不計）

A.2^29cmB.10cmC.6y/2cmD.4非cm

【變式4】如圖，長方體的長為20cm,寬為15clli,高為10cm,點B離點C為5clli,一只螞蟻如果要沿著長

方體的表面從點A爬到點B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距離是（）

A.5^29cmB.25cmC.cmD.16cm

類型三、樓梯展開

【例26］如圖是一個三級臺階，它的每一級的長、寬、高分別為20血、3dm、2dm.4和8是這個臺階上兩個

相對的端點，點/處有一只螞蟻，想到點6處去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬行到點6的最短路程

為（）

A.7481/B.20dmC.25dmD.35dm

【變式1】如圖是一個三級臺階，它的每一級長、寬、高分別是2米、0.3米、0.2米，/、8是這個臺階上

兩個相對的端點，/點有一只螞蟻，想到8點去吃可口的食物，則螞蟻沿臺階面爬行到8點最短路程是多少

米？

考點10勾股定理與折疊問題

【例27］如圖，矩形紙片ABCD中，AB=8,將紙片折疊，使頂點B落在邊AD的E點上，BG=10,當折痕的另一端F在AB邊上

時，求AEFG的面積.

【變式1】如圖，四邊形ABCD是一個矩形，BC=10cm,AB=8cmo現(xiàn)沿AE折疊，使點D恰好落在BC邊上的點F處，求：（1）

BF的長；（2）CE的長.

【變式2】在長方形4及力中，AB=5,BC=12,點￡是邊4?上的一個動點，把△物￡沿班'折疊，點4落在4'處，當△/'施

是直角三角形時，%1的長為

【變式3】如圖，矩形紙片加9中，AB=18ca,把矩形紙片沿直線/。折疊，點8落在點￡處，AE交DC于息F,若加'=13,

則股的長為（)A.5cmB.6cmC.10cmD.12cm

D'

【變式4】如圖，將一個邊長分別為4,8的長方形紙片/四折疊，使。點與4點重合，則折痕"的長是（）

A.V3B.C.疾D.2>/5

【變式5】如圖所示，在長方形紙片4?切中，AB=32cm,把長方形紙片沿4c折疊，點8落在點E處，熊交比■于點F,AF=

23cm,則4〃的長為（）A.16cmB.20cmC.24cmD.28cm

【例28］如圖，在RtAABC中，ZC=90°.AC=8cm,5C=6cm.現(xiàn)將，ABC進行折疊，使點A恰好與點B

重合，求折痕DE的長.

【變式1】如圖，直角三角形紙片的兩直角邊46=6頷，BC=8ca.現(xiàn)將直角邊〃1沿4。折疊，使它落在斜邊48上，點。與點

￡重合.求⑦的長.

【變式2】如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊/C=6的，BC=8cm,現(xiàn)將直角三角形紙片沿直線折疊，使點。恰好落

在斜邊？上點￡處.（1）求4?的長；（2）直接寫出4￡、龍的長及立質(zhì)的度數(shù)；（3）求切的長.

考點11勾股定理是計算的工具，識別環(huán)境對同學們來說至關重要如果能夠了解模型背后的結論，做題可以節(jié)省大量的時

間。等腰直角三角形的手拉手全等模型容易出現(xiàn)垂美四邊形。

【例29】連接四邊形不相鄰兩個頂點的線段叫做四邊形的對角線，如圖1,四邊形四⑺

中線段4G線段他就是四邊形4加9的對角線.把對角線互相垂直的四邊形叫做；0

垂美四邊形.

(1)概念理解：如圖2,在四邊形4閱9中，AB=AD,"=切，間四邊形/以力是

垂美四邊形嗎？請說明理由.

(2)性質(zhì)探究：試探索垂美四邊形/比Z?兩組對邊切的平方和與比；4。的平方和之間的數(shù)量關系.

猜想結論：(要求用文字語言敘述).

寫出證明過程(先畫出圖形，寫出已知、求證).

(1)問題解決：如圖3,分別以的直角邊4c和斜邊A5為邊向外作正方形4FG和正方

形ABDE,連接綏BG,GE,已知4C=4,AB=5,求而長.

圖1圖2圖3

【變式1】如圖1,對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.

(1)概念理解：如圖2,在四邊形加力中，AB=AD,"=切，問四邊形是垂美四邊形嗎？請說明理由;

(2)性質(zhì)探究：如圖1,四邊形/靦的對角線亦、血交于點。，ACVBD.試證明：A#+Clf=Al}+BC；

(3)解決問題：如圖3,中，ZACB=90°,AC±AG5.AC=AG,ABLAEV.AE=AB,連接龍、BG、GE.已知4=4,

49=5,求G￡的長.

圖1圖2圖3

【變式2】【圖形定義】我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.

【性質(zhì)探究】如圖1,四邊形4?切是垂美四邊形，試探究兩組對邊4ACD與BC,4?之間的數(shù)量關系，并證明你的結論;

【拓展應用】如圖2,中，NACB=90°,分別以〃和A5為直角邊向外作等腰RtzM0和等腰RtA4跖連接您,

若4C=4,AB=5,求加'的長.

【變式3】對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美"四邊形ABCD,

角線AC、BD交于點0.若A￡>=2,3C=4,則4序+。2=

考點13勾股定理與動點問題

【例32］如圖，在雙△<%■中，NB=90°,AB=lcm,4C=25aB.點尸從點力出發(fā)沿48方向以lc?/s的速度向終點￡運動,

點。從點8出發(fā)沿況1方向以6c〃/s的速度向終點C運動，P,。兩點同時出發(fā)，設點？的運動時間為2秒.(1)求死的長;

(2)當e=2時，求P,。兩點之間的距離;(3)當/々的時，求f的值？

A

變式1如圖，在RtzX/比中，NB=90°,AB=lcm,47=25頌，點？從點4沿4?方向以lc〃/s的速度運動至點昆點。從

點8沿比1方向以6c〃/s的速度運動至點GP、。兩點同時出發(fā)，設運動時間為t秒.(1)求比的長；

(2)運動幾秒后，△〃%是等腰三角形；(3)運動過程中，直線可能否平分△放的周長，若能，求出t的值，若不能，請

說明理由.

A

BQ

變式2如圖，在RtA4比中，ZC=90°,AB=10cm,AC=6an,動點尸從點B出發(fā)，以21W秒的速度沿比1移動至點C,

設運動時間為2秒.（1）求能的長；（2）在點尸的運動過程中，是否存在某個時刻t,使得點〃到邊4?的距離與點？到點。

的距離相等？若存在，求出f的值；若不存在，請說明理由.

考點11利用勾股定理求兩線段平方和（差）

【例30］如圖，NAOB=90°,（M=9Qcm,03=30cm,一機器人在點8處看見一個小球從點/出發(fā)沿著4。方向勻速滾向點（9,機

器人立即從點￡出發(fā)，沿直線勻速前進攔截小球，恰好在點。處截住了小球，如果小球滾動的速度與機器人行走的速度相等,

試求機器人行走的路程比■是多少？

【變式1】如圖，在AABC中，AC=13,BC=14,AB=15,求物的值.某學習小組經(jīng)過合作交流，給出了下面的

解題思路，請你按照他們的解題思路，完成解答過程.（1）過點A作AD_L3C交比于〃，設8D=x,用含x的代數(shù)式表

示CD,則CD=.

（2）請根據(jù)勾股定理，利用4?作為“橋梁”建立方程，并求出尤的值.

考點12、利用勾股定理求線段之間關系

【例31］如圖，在四邊形ABCD中，ZABC=90°-。＞，"＞于點。，AD?+8＞2=2.2.求證45=3。.

【變式1】如圖△ACB和..ECD都是等腰直角三角形，CA=CB,CE=CD，A4cB頂點A在，ECD的斜邊OE

上，求證：AE2+AD2=2AC2-

【變式2】如圖在，ABC中，NB=90。，點瓦尸分別在上，求證：AF2+CE2AC2