第09講等腰三角形與等邊三角形（2大知識點+13大典例+變式訓練+隨堂檢測）

G3題型目錄

題型一等邊對等角

題型二根據(jù)等邊對等角證明

題型三根據(jù)三線合一證明

題型四格點圖中畫等腰三角形

題型五根據(jù)等角對等邊證明等腰三角形

題型六根據(jù)等角對等邊證明邊相等

題型七根據(jù)等角對等邊求邊長

題型八直線上與已和兩點組成等腰三角形的點

題型九作等腰三角形（尺規(guī)作園）

題型十等腰三角形的性質(zhì)和判定

題型十一等腰三角形的定義

題型十二等邊三角形的判定和性質(zhì)

題型十三含30度角的直角三角形

醺知識梳理

知識點一：等腰三角形的性質(zhì)

1、等腰三角形

（1）定義：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，相等的兩邊叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫

做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角。

（2）性質(zhì)

①兩腰相等

②兩底角相等（簡稱等邊對等角）

③等腰三角形頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高線互相重合（簡稱為“三線合一”）

④等腰三角形是軸對稱圖形，其頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高線所在的直線式對稱軸。

證明題目中的寫法:

①已知高線：VAB=AC,AD±BC,；.BD=CD,ZBAD=ZCAD

②己知中線：VAB=AC,BD=CD,.\AD±BC,ZBAD=ZCAD

③已知角平分線：VAB=AC,ZBAD=ZCAD,Z.AD1BC,BD=CD

（3）等腰三角形的構(gòu)造

（1）“角平分線+平行線”構(gòu)造等腰三角形

①如下左圖所示，0P評分/AOB,CD〃0A,則AOCD是等腰三角形

第1頁共51頁

②如下右圖所示，0P評分/AOB,CD〃OB,則AOCD是等腰三角形

如下左圖所示，己知AD是NBAC的平分線，AD±BC,得出等腰三角形

（3）“角平分線+中線”構(gòu)造等腰三角形

如下中圖所示，已知AD是/BAC的平分線，D是BC中點，則AABC是等腰三角形

（4）“中點+垂直”構(gòu)造等腰三角形（垂直平分線）如下右圖所示

已知等腰aABC,過腰或底上作腰或底的平行線

知識點六：等腰三角形的判定

等腰三角形的判定

①有兩條邊相等的三角形是等腰三角形。

②有兩個角相等的三角形是等腰三角形。（簡稱“等角對等邊”）

總結(jié)：

第2頁共51頁

'?圖形

定義性質(zhì)細

A兩腰相等兩邊相等

等

有兩條邊相等等邊對等角等角對等邊

腰

的三角形叫做

等腰三角形三線合一

角

形A軸對稱圖形

知識點二：等邊三角形的性質(zhì)與判定

等邊三角形

(1)定義：有三條邊相等的三角形叫做等邊三角形。

(2)性質(zhì)：三條邊都相等，三個角都相等，每一個角都等于60°

(3)判定：

①三條邊都相等的三角形是做等邊三角形

②三個角都相等的三角形是等邊三角形

③有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。

(4)推論：在直角三角形中，銳角為30°所對的直角邊等于斜邊的一半。

總結(jié)：

1等腰三角形和等邊三角形對比

圖形等腰三角形等邊三角形

兩條邊都相等三條邊都相等

性兩個角都相等三個角都相等，且都是60°

底邊上的中線、高和頂角的平分線互相每一邊上的中線、高和這一邊所對的角的

質(zhì)重合平分線互相重合

對稱軸(1條)對稱軸(3條)

②等腰三角形和等邊三角形的判定

第3頁共51頁

圖形等腰三角形等邊三角形

三條邊都相等的三角形是等邊三角

從邊看：兩條邊相等的三角形是等腰三角形

判形

定

三個角都相等的三角形是等邊三角

從角看：兩個角相等的三角形是等腰三角形

形

等邊三角形的判定方法：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形

特殊性

定義底二腰

邊三邊相等

特殊性

三個角都等于

等邊性質(zhì)角60°

三角形一軸對稱性一軸對稱圖形，每條

邊上都具有“三線

合一”性質(zhì)

三邊法

特殊性

判定三角法

等腰三角形法

◎典型例題

31典型例題一等邊對等角】

1.（23-24八年級上?河南許昌?期中）等腰三角形的一個底角為80。，則這個等腰三角形的頂角為（）.

A.20°B.80°C.100°D.20°或100°

2.（23-24八年級上?廣西南寧?階段練習）等腰三角形的頂角是100。，那么它的底角是（）

A.100°B.80°C.40°D.20°

3.（23-24八年級上?湖南張家界?期末）已知等腰三角形一底角為30。，則這個等腰三角形頂角的大小是一

度.

第4頁共51頁

4.（23-24八年級上?浙江紹興?期末）如圖，在“BC中，AB=AC,乙4c0=110。，貝1]Z8=.

A

5.（22-23八年級上?福建福州?期中）如圖，在中，AB=AD=DC,NB=50。，求NC的度數(shù).

6.（2023?陜西西安?模擬預(yù)測）如圖，已知“8C中，BA=BC,4=120。.請用尺規(guī)作圖法，在/C上找

一點。，使得/8DC=60。.（保留作圖痕跡，不寫作法）

第5頁共51頁

一31典型例題二根據(jù)等邊對等角證明】

1.（22-23八年級下?廣東深圳?期末）等腰“3C中，AB=AC,NA=36,用尺規(guī)作圖作出線段BD,則下

A.AD=BDB.ZDBC=36°C.=SBCDD.△BCD的周長=/3+3C

2.（23-24八年級上?四川宜賓?期末）如圖，在AA8C中，AB=AC,。是3C的中點，下列結(jié)論不一定正

確的是（）

A.ZB=ZCB.AD=-ABC.ABAD=ACADD.ADIBC

2

3.（2023八年級上?江蘇?專題練習）如圖，已知“8C中，AB=AC=\2cm,8c=8cm,點。為48的中

點，如果點M在線段上以2厘米/秒的速度由8點向。點運動，同時，點N在線段G4上由。點向/點

運動，若使AADM與ACMN全等，則點N的運動速度應(yīng)為_______厘米/秒.

A

4.（23-24八年級上?湖南長沙?階段練習）如圖，把一張長方形紙片/BCD沿對角線/C折疊，點。的對應(yīng)

點為點尸，CF與AB交于點E.若長方形/BCD的周長為16,貝！U8CE的周長為.

第6頁共51頁

F

BE

5.（23-24八年級上?浙江寧波?階段練習）如圖，在A4BC中，=NC,。是內(nèi)一點，且助=CD.求

證：/ABD=/ACD.

6.（23-24八年級上?河南周口?階段練習）如圖，DBVAB,OC，NC,連接BC交于點0,*8=/C.求

證：Zl=Z2.

第7頁共51頁

【典型例題三根據(jù)三線合一證明】

1.（2024?云南昭通?二模）如圖，在“3C中，AB=AC=13,平分/A4C,若AD=5,則3C=（）

2.（2024?河北唐山?二模）如圖，將“3C折疊，使點C邊落在3C邊上，展開得到折痕小，則僅是“BC

的（）

A

A.中線B.中位線C.角平分線D.高

3.（23-24八年級上?福建廈門?期中）如圖，在中，AB=AC,BC=12,AD為頂角平分線，則

BD=.

4.（22-23七年級下?全國?課后作業(yè)）如圖，48=Z。，若平分ZBAC,則AD與BC的位置關(guān)系是.

第8頁共51頁

A

5.（22-23八年級上?全國?單元測試）在“3C中，AB=AC,是中線，“3C的周長為34cm,AABD

的周長為30cm,求的長.

6.（22-23八年級上?全國?課后作業(yè)）如圖，在“3C中，AB=AC,點。在3C上.

⑴若N1=/2,則AD.

Q)若ADLBC,則4。.

(3)若80=0,則/D

第9頁共51頁

今【典型例題四格點圖中畫等腰三角形】

1.（22-23八年級上?遼寧盤錦?期末）如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點稱為格點.已知/、3是兩

格點，如果C也是圖中的格點，且使得為軸對稱圖形，則點。的個數(shù)是（）

；B

才

A.6B.7C.8D.9

2.（23-24八年級上?吉林四平?期末）如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點稱為格點.已知N、5是兩

格點，如果點C也是圖中的格點，且使得“3C為等腰直角三角形，則點C的個數(shù)是（）

B.6個C.8個D.9個

3.（23-24八年級下?全國?假期作業(yè)）如圖，A/8尸的頂點均在正方形網(wǎng)格的格點上，則

ZPAB+ZPBA=

4.（22-23八年級上?浙江寧波?階段練習）在如圖所示的3x3方格中，以NB為邊，第三個頂點也在格點上

的等腰三角形有?個.

5.（22-23八年級上?浙江溫州?期中）如圖，在8x8正方形網(wǎng)格中，“3C的頂點均在格點上.

第10頁共51頁

(1)請在圖中作出^ABC關(guān)于直線I成軸對稱的^A'B'C.

(2)在線段4?上找一點P(點尸在格點上)，使得為等腰三角形.

6.(22-23八年級上?吉林長春?期末)圖①、圖②是4x4的正方形網(wǎng)格，A、B兩點均在格點上.在圖①、

圖②中各畫一個頂點在格點、以為一邊的等腰三角形，且所畫兩個三角形不全等.

第11頁共51頁

51典型例題五根據(jù)等角對等邊證明等腰三角形】

1.（22-23八年級下?寧夏中衛(wèi)?開學考試）下列條件中，不能判定是等腰三角形的是（）

A.ZA:ZB:ZC=VA-.3B.BC:AC:AB=2:2:3C.ZS=50°,ZC=80°

D.2ZA=ZB+ZC

2.（22-23八年級上?黑龍江哈爾濱?階段練習）如圖，在“8C中，NB=NC,AD平分NB4C,AB=5,BC=6,

則BD=（）

A.3B.4C.5D.6

3.（22-23八年級上?全國?課后作業(yè)）等腰三角形的判定定理：如果一個三角形有角相等，那么這

個三角形是等腰三角形.

4.（22-23八年級上?吉林白城?期中）如圖，ZA=36°,ZDBC=36°,ZC=72°,則圖中等腰三角形有一個.

5.（22-23八年級上?浙江溫州?階段練習）已知：如圖，DBLAB,DCLAC,Z1=Z2.求證：平分

ABAC.

第12頁共51頁

6.（22-23八年級上?湖北黃石?期末）如圖，已知點A、C分別在/GBE的邊BG、BE上，且AB=AC,

AD//BE,/GBE的平分線與AD交于點D,連接CD.

（1）求證：①AB=AD；②CD平分NACE.

（2）猜想NBDC與/BAC之間有何數(shù)量關(guān)系？并對你的猜想加以證明.

-31典型例題六根據(jù)等角對等邊證明邊相等】

1.（22-23八年級上?陜西渭南?期中）在AABC中，N/=NC,則（）

A.AB=BCB.AB=ACC.AC=BCD.AB=AC=BC

2.（23-24八年級下?陜西西安?期中）如圖是一個蹺蹺板的示意圖，立柱0C與地面垂直（OCL/C于點C）,

蹺蹺板的一頭4著地時NO4C=27。，點/、C、Q在同一?水平線上，NOB'C=NOAC,若O4=lm,貝lj

的長度為（）

A.1.5mB.2mC.2.5mD.3m

3.（23-24八年級上?河北廊坊?期末）在“3C中，/3>90。，要使“3C為等腰三角形，寫出一個可添加

的條件：.

第13頁共51頁

4.（23-24七年級上?山東泰安?期中）如圖，在AASC中，/C的垂直平分線交8C于點D,交ZC于點E,

ZS=ZADB.若48=10,則。C的長是.

5.（22-23八年級上?江蘇連云港?階段練習）如圖4ABC中，BD、CD分別平分/ABC,ZACB,過點D

作EF//BC交AB、AC于點E、F,試說明BE+CF=EF的理由.

6.（22-23七年級上?山東東營?階段練習）如圖所示，四邊形Z8CD的對角線/C、5。相交于點。，已知

ZOAB=ZOBA，ZCBA=ZDAB.求證：

(1)AABC%BAD；

Q)OC=OD.

第14頁共51頁

一31典型例題七根據(jù)等角對等邊求邊長】

1.（23-24八年級上?四川樂山?期末）如圖，在“3C中，ZABC=ZACB,48的垂直平分線交/C于點尸,

若43=5cm,5C=3cm,則MBC的周長等于（）

A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm

2.（23-24八年級下?陜西?期中）如圖是一個蹺蹺板的示意圖，立柱OC與地面垂直（OCLNC于點C）,

蹺蹺板的一頭/著地時NO/C=27。，當蹺蹺板的另一頭3在夕處著地時，點/、C、Q在同一水平線上,

NOB'C=NOAC,若O/=lm,則的長度（）

A.1.5mB.2mC.2.5mD.3m

3.（22-23八年級上?山東德州?期中）如圖，A48C中，BO、C。分別平分N48C、ZACB,OM//AB,ON//AC,

5C=10cm,貝必。跖V的周長為.

4.（23-24八年級下?甘肅酒泉?期中）如圖，上午9時，一條船從N處出發(fā)，以20海里/時的速度向正北航

行，11時到達3處，從4,2處望燈塔C,測得NM4C=35。，ZNBC=70°,那么從2處到燈塔C的距離

是海里.

第15頁共51頁

5.(22-23八年級下?陜西咸陽?階段練習)如圖，在“3C中，NB=NC,若/B=3,8C=4,求“3C的

周長.

A

6.(23-24八年級上?廣西南寧?期中)如圖，上午8時，一條船從海港A出發(fā)，以15海里/小時的速度向正

北航行，11時到達海島B處，從海港A,海島B處望燈塔C,分別測得乙B/C=38。，ZNBC=16°.

(1)求海島B與燈塔C之間的距離；

(2)若該船每海里耗油0.5升，油箱容量為40升，求該船當天裝滿油箱從海港/出發(fā)到海島8,再從海島2

去到燈塔C的過程中至少還需補充多少升油？

第16頁共51頁

-31典型例題八直線上與已和兩點組成等腰三角形的點】

1.（2024?貴州畢節(jié)?一模）點/,3在直線/同側(cè)，若點C是直線/上的點，且“3C是等腰三角形，則這

樣的點C最多有（）

A.5個B.4個C.3個D.2個

2.（23-24八年級上?江蘇鹽城?期末）在平面直角坐標系中，已知點4（2,2）,在y軸上確定點3,使008

為等腰三角形，符合條件的點3共有（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

3.（23-24八年級上?河北滄州?階段練習）如圖所示，用兩根鋼索加固直立的電線桿，若要使鋼索N8與NC

的長度相等，需加條件，理由是.

4.（22-23八年級上?山東濟寧?期中）如圖，已知中，NC=90。,/2=30。.在直線或/C上取

一點P,使得AP/2是等腰三角形，則符合條件的尸點有個.

5.（22-23八年級上?陜西西安?階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，已知點/（0,3）,B（4,0）,

試在x軸上找點P使△/AP為等腰三角形，求點P的坐標.

第17頁共51頁

6.（22-23八年級上?浙江金華?階段練習）（1）如圖1,線段0A的一個端點0在直線1上，且與直線1

所成的銳角為50。，以O(shè)A為一邊畫等腰三角形，并且使另一個頂點P在直線1上，這樣的等腰三角形能畫

個.

（2）如圖1,如果OA與直線1所成的銳角為60。，以O(shè)A為一邊畫等腰三角形，并且使另一個頂點P在直

線1上，這樣的等腰三角形能畫_____個.

想一想：如圖2,AABC中，ZA=20°,/B=50。，過頂點C作一條直線，分割出一個等腰三角形這樣的

直線最多可以畫____條.

算一算：如圖3,在AABC中，NBAC=20。，若存在過點C的一條直線，能把該三角形分成兩個等腰三角

形，試求/B的度數(shù).

今【典型例題九作等腰三角形（尺規(guī)作園）】

1.（22-23八年級上?河南周口?期末）“己知等腰三角形的底邊和底邊上的高，用尺規(guī)作圖求作等腰三角形”

里用到的基本作圖是

A.作一條線段等于已知線段，作已知線段的垂直平分線B.作已知角的平分線

C.過直線外一點作已知直線的垂線D.作一個角等于已知角

第18頁共51頁

2.（2023?河北保定?一模）如圖，給出線段4，h,作等腰A1BC,使4B=/C=a,3C邊上的高AD=h.

嘉嘉的作法是：①作線段②作線段4D的垂線血W；③以點A為圓心，。為半徑作弧，與MN分

別交于點B,C；④連接N8,AC,A43c為所求作的等腰三角形.上述作法的四個步驟中，你認為有錯誤

的一步是（）

A.①B.②C.③D.④

3.（2023九年級?北京?專題練習）“直角”在初中幾何學習中無處不在.課堂上李老師提出一個問題：如圖

1,已知判斷N49B是否為直角（僅限用直尺和圓規(guī)）.小麗的方法如圖2,在。/、08上分別

取點C,D,以點C為圓心，。。長為半徑畫弧，交05的反向延長線于點￡.若OE=OD,則乙403=90。.李

老師說小麗的作法正確，請你寫出她作圖的依據(jù)：.

4.（22-23八年級上?福建寧德?期中）已知A（2,0）,B（0,2）,在x軸上確定點M,使三角形MAB

是等腰三角形，則M點的坐標為_（任寫一個）.

5.（23-24八年級上?陜西西安?期末）如圖，已知線段機、求作等腰三角形NBC,使底邊45的

長為機，底上高的長為“（不寫作法，保留作圖痕跡）.

mn

第19頁共51頁

6.（23-24七年級上?湖北襄陽?期末）如圖.已知一個含有30。角的直角三角形，請利用它用兩種不同的方

法構(gòu)造一個含45。角的直角三角形.（尺規(guī)作圖，不寫做法，保留作圖軌跡）

j【典型例題十等腰三角形的性質(zhì)和判定】

1.（23-24八年級下?吉林白山?階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，△O2C的頂點。（0,0）,5（-8,0）,

/。。8=90。，且OC=3C,則點C關(guān)于y軸對稱的點的坐標是（）

A.（4,4）B.（-4,4）C.（-4,-4）D.卜3,4旨）

2.（2024?浙江嘉興?三模）在。8c中，4=30。，小豪作圖過程如下：

（1）以/為圓心，/C長為半徑作弧交于點。，連結(jié)：

（2）分別以c,。為圓心，大于作弧交于點E：

2

（3）作射線/￡交CD于點F.

則下列結(jié)論正確的是（）

A./B=/BADB.CD=BD

C.AC+CF=BFD.AFIBC

第20頁共51頁

3.（23-24八年級上?廣東湛江?期中）如圖，在AABC中，AB=AC,ZA=40°,CE平分AABC的外角//CO,

則/1=.

4.（23-24八年級下?陜西渭南?期中）如圖，AD1BC,=,點C在線段ZE的垂直平分線上且點8,

C,￡三點共線，連接CE,若43=3,BC=4,則線段DE的長度為.

5.（2024?陜西咸陽?模擬預(yù)測）如圖，已知“3C,ZABC=45。.請用尺規(guī)作圖法在3c的延長線上找一點

D,連接使得（不寫作法，保留作圖痕跡）.

6.（23-24八年級下?山西太原?期中）如圖，中，/3=ZC,點。是邊A4延長線上一點.

（1）尺規(guī)作圖：過點。作于點E,交ZC于點尸（要求：保留作圖痕跡，標明字母，不寫作法；如

果完成有困難，可畫出草圖后解答（2）題）；

（2）在（1）得到的圖中，求證：AD=AF.

第21頁共51頁

一31典型例題十一等腰三角形的定義】

1.（22-23七年級下?重慶渝中?期末）等腰三角形的一邊長為4cm,另一邊長為2cm,則它的周長為（）

A.6cmB.8cmC.10cmD.8cm或10cm

2.（23-24八年級下?河北保定?期中）等腰三角形一邊上的高與一腰所夾的銳角是50。，則該等腰三角形頂

角是（）

（1）甲的結(jié)果是100°;（2）乙的結(jié)果是40。；（3）丙的結(jié)果是140°.

A.甲、乙的結(jié)果合起來才對B.乙、丙的結(jié)果合起來才對

C.甲、乙、丙的結(jié)果合起來才對D.甲、乙、丙的結(jié)果合起來也不對

3.（23-24七年級下?江西九江?期末）等腰三角形的一邊等于1,一邊等于3,則它的周長等于.

4.（23-24七年級下?重慶?階段練習）已知等腰三角形的周長為18,其中一邊長為5,則該等腰三角形的底

邊長為.

5.（2024七年級下?全國?專題練習）已知一個等腰三角形的周長為18cm.

（1）如果腰長是底邊的2倍，那么各邊的長是多少？

（2）如果一腰上的中線將該等腰三角形的周長分為1:2兩部分，那么各邊的長為多少？

6.（23-24八年級下?廣東惠州?期中）如圖，等腰AABC的周長為21,底邊&C=5,的垂直平分線DE交

于點D,交/C于點E,求的周長.

第22頁共51頁

一31典型例題十二等邊三角形的判定和性質(zhì)】

1.（2024七年級下?全國?專題練習）在“BC中，AB=AC,Z5=60°,8c=2,則“3C的周長是（）

A.2B.4C.6D.7

2.（2024七年級下?全國?專題練習）如圖，已知N4O3的大小為30。，尸是內(nèi)部的一個定點，且O尸=1,

點E、尸分別是03上的動點，貝!I!PEF周長的最小值等于（）

3.（23-24七年級下?全國?假期作業(yè)）如圖，在等邊三角形4BC中，點。是邊8C的中點，則ZBAD=.

4.（23-24七年級下?上海?階段練習）在A/l8c中，AB=AC,要使。是等邊三角形需添加一個條件，

這個條件可以是.（只需寫出一種情況）

5.（23-24八年級上?甘肅慶陽?期中）如圖，在AA8C中，44=40。，點E在邊NC上，連接BE/C=NCBE.若

ZABE=20°,求證：ABCE是等邊三角形.

第23頁共51頁

6.（23-24八年級下?四川達州?期中）如圖，段5C為等邊三角形，BD平分/ABC交AC于點、D,DE//BC

交AB于點E.

（1）求證：V4DE1是等邊二角形.

⑵求證：AE=^AB.

【典型例題十三含30度角的直角三角形】

1.（23-24八年級下?廣西桂林?期中）如圖，在“8C中，ZC=90°,N/=30。，//3C的平分線交NC

于。，DEJ.AB于點、C,若/C=3cm,則。E=（）

A.1cmB.4cmC.6cmD.8cm

2.（23-24八年級下?陜西西安?期中）如圖是某公園一段索道的示意圖，已知/、2分別為索道的起點和終

點，且N、8兩點間的距離為40米，/B4c=30°,則纜車從N點到8點的過程（8C的長）為（）

C.15米D.12.5米

第24頁共51頁

3.（23-24八年級下?陜西寶雞?期中）如圖，“3C是等邊三角形，。是BC延長線上一點，DE人AB于點、

E,交NC于點G,跖_L3c于點F.若CD=3NE,CF=9,則/C的長為.

4.（2024七年級下?全國?專題練習）如圖，在“BC中4B=/C,ZA=120°.分別以點/和C為圓心，

以大于1/C的長度為半徑作弧,兩弧相交于點尸和點Q,作直線分別交8C,/C于點。和點￡.若C。=2,

則BD的長為.

5.（23-24八年級上?全國?課后作業(yè)）“舊城改造”中計劃在市內(nèi)一塊如圖所示的三角形空地上種植某種草皮

以美化環(huán)境，已知/C=30m,AB=20m,ZBAC=150°,這種草皮每平方米的售價是。元，求購買這種草

皮需要多少元.

第25頁共51頁

6.（23-24八年級上?遼寧大連?期中）如圖，“8C是邊長為6cm的等邊三角形，3尸=4cm,點。為射線8C

邊上一點，當C0的長為多少時，人心。是直角三角形.

備用圖

0變式訓練

■【變式訓練1等邊對等角】

1.（23-24八年級上?黑龍江哈爾濱?階段練習）等腰三角形底角為35。，則此等腰三角形的頂角度數(shù)為（）

A.55°B.110°C.55°或110°D.35°

2.（22-23八年級上?云南昭通?期中）等腰三角形有一個內(nèi)角為80。，則它的頂角為（）

A.80°B.20°C.80°或20。D.不能確定

3.（22-23八年級上?江蘇南京?期末）若等腰三角形的底角為55。，則這個等腰三角形的頂角是

4.（22-23八年級上?云南昭通?期中）等腰三角形一個角的度數(shù)為65。，則頂角的度數(shù)為.

5.（2023八年級上?全國?專題練習）在等腰三角形中，有一個角為40。，求其余各角.

第26頁共51頁

6.（23-24八年級下?陜西西安?期中）如圖，在“BC中，AB=AC,求/C的度數(shù).

【變式訓練2根據(jù)等邊對等角證明】

1.（22-23八年級上?北京?期中）已知：是等腰三角形，AB=AC,是底邊8c上的高，下面結(jié)

論不一定成立的是（）

=ADC.4D平分/BACD.ZS=ZC

2.（2020?河北石家莊?模擬預(yù)測）老師在投影屏上展示了如下一道試題:

己知：如圖，BD平分N4BC,AB=AD.求證：ADHBC.

證明：?:BD平分/4BC,：.ZABD=ZCBD（①角平分線定義），

VAB=AD,：.ZABD=ZADB（②等角對等邊），

：.@AADB=ADBC,

ADHBC（④內(nèi)錯角相等，兩直線平行）.

則以上證明過程中，結(jié)論或者依據(jù)錯誤的是一項是（）.

A.①B.②C.③D.④

第27頁共51頁

3.（22-23八年級上?重慶江北?期末）如圖，在AABC中，48=NC,點。,E都在邊3C上，/BAD=NCAE,

若8。=7,則CE的長為.

4.（22-23八年級上?安徽?單元測試）如圖，在A48c中，=/C,點E在。延長線上，EP工BC于點、P,

交于點尸，若/尸=2,BF=5,則CE的長度為.

5.（2023?北京豐臺?一模）如圖，AABC中，AB=AC,D、E分別是BC、AC上的點，/BAD與/CDE

滿足什么條件時AD=AE?寫出你的推理過程.

第28頁共51頁

6.（23-24八年級上?江蘇泰州?期中）已知：如圖，在“3C中，/3=/C,點。在8c上，且/￡>=2D.

⑴求證：ZADB=ABAC；

(2)^ZDAC=2ZBAD,求/C的度數(shù).

■【變式訓練3根據(jù)三線合一證明］

1.（22-23八年級下?四川瀘州?期末）如圖,在中，AB=AC,4D是/胡。的平分線，若瓦）=5,

C.5D.6

2.（22-23八年級上?吉林白城?階段練習）如圖.在△45。中，AB=AC.若4。是△力8。的角平分線，則

下列說法錯誤的是（）

B.ADLBC

D.AC=2CD

第29頁共51頁

3.（23-24八年級上?浙江溫州?階段練習）如圖，等腰“BC中，AB=AC,是/A4C的平分線，BC=6,

則BD的長為.

4.（22-23八年級上?山東濱州?期末）如圖，“3C中，AB=AC=6,S^ABC=12,BD=CD,E、尸分

別是/C、上的動點，則CF+跖的最小值為

5.（23-24八年級上?湖南益陽?期中）如圖，08c中，AB=AC,4D是8c邊上的高，“8C的周長為30cm,

BD=4cm,求/C的長.

6.（23-24八年級上?湖南岳陽?期中）如圖，在中，點。在8c延長線上，S.CA=CD,CE^^ACDW

中線，CF平貨/4CB,交48于點尸.

(1)C￡±CF；

⑵CF〃AD.

第30頁共51頁

?【變式訓練4格點圖中畫等腰三角形】

1.（22-23八年級上?吉林長春?期末）如圖，在5x5的正方形網(wǎng)格中，點/、2均在格點上.要在格點上確

定一點C,連接/C和3C,使是等腰三角形，則網(wǎng)格中滿足條件的點C的個數(shù)是（）

A.5個B.6個C.7個D.8個

2.（22-23七年級下?山東淄博?期末）如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點稱為格點.已知3是兩

個格點，如果點C也是圖形中的格點，且△/2C為等腰三角形，所有符合條件的點C有（）

A.3個B.4個

C.5個D.6個

3.（22-23八年級上?湖北武漢?期中）在平面直角坐標系中，A（4,0）,B（0,4）,D在第一象限，且

DO=DB,ADOA為等腰三角形，則/OBD的度數(shù)為.

4.（22-23九年級上?江蘇泰州?階段練習）如圖，A.8兩點在正方形網(wǎng)格的格點上，每個方格都是邊長為

1的正方形、點C也在格點上，且△/BC為等腰三角形，則符合條件的點。共有個.

5.（23-24八年級上?吉林長春?期末）圖①、圖②、圖③均是5x5的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長為1,

每個小正方形的頂點稱為格點，線段N8的端點均在格點上.只用無刻度的直尺，在圖①、圖②、圖③中以

為邊各畫一個等腰三角形，使其依次為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形，且所畫三角形的頂點均

在格點上.

第31頁共51頁

圖①圖②

6.（22-23八年級上?吉林長春?期末）圖①、圖②、圖③均是4x4的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長均為

1,每個小正方形的頂點稱為格點，分別在三幅圖中的線段8上畫出格點P,使點尸滿足以下要求:

■,

—

-

G

—

I

.

—

u

BBB

圖①圖②圖③

⑴在圖①中，連結(jié)PB,使尸8最小;

（2）在圖②中，連結(jié)尸/、PB,使P4=PB；

（3）在圖③中，連結(jié)尸N、使APNB為直角三角形.

1變式訓練5根據(jù)等角對等邊證明等腰三角形】

1.（22-23八年級上?浙江金華?階段練習）下列能斷定AABC為等腰三角形的是（）

A.NA=30。，ZB=60°B.ZA+ZB=ZC

C.ZA=55°,ZB=70°D.ZA：ZB=1：2

2.（22-23八年級上?福建廈門?階段練習）下列條件中，不能判定^ABC是等腰三角形的是（）

A.a=3,b=3,c=4B.a：b：c=4：5：6

C.ZB=50°,ZC=80°D.ZA：ZB：ZC=1：1：2

第32頁共51頁

3.（22-23八年級上?浙江臺州?期中）如圖，已知//。。=28。，點C是射線0D上的一個動點，在點C

的運動過程中，力。C恰好是等腰三角形，則此時/A所有可能的度數(shù)為一.

4.（22-23八年級下?全國?課前預(yù)習）等有三角形的判定：如果一個三角形有,那么這兩個角所

對的邊也相等（簡寫成“等角對等邊“）.

幾何書寫：

:.AB=AC（等角對等邊）.

5.（22-23八年級上?江蘇蘇州?期末）如圖，在△/2C中,/。平分點￡在胡的延長線上，且EC〃/。.證

明：△NCE是等腰三角形.

第33頁共51頁

6.（22-23八年級上?四川德陽?階段練習）如圖，點尸是的平分線和“3C的外角44CG平分線的

交點，DF//BG,則線段DB、EC之間有何數(shù)量關(guān)系，并證明.

■【變式訓練6根據(jù)等角對等邊證明邊相等】

1.（22-23八年級上?廣東佛山?階段練習）在ZU2C中，/B=/C,AB=5.貝！I/C=（）

A.12B.9C.5D.2

2.（22-23八年級上?浙江嘉興?期中）將一平板保護套展開放置在水平桌面上，其側(cè)面示意圖如圖所示，若

ZABC=ZACB,48=10cm,則/C的長為（）

A.10cmB.11cmC.12cmD.13cm

3.（22-23八年級上?湖南株洲?期中）如圖所示，在小BC中，8C=8cm,BP、CP分別是//8C和NZCB

的平分線，S.PD//AB,PE//AC,則的周長是cm.

第34頁共51頁

4.（22-23七年級下?上海普陀?期中）如圖，△4BC中，NB,/C的平分線相交于點凡過廠作DE〃3C,

分別交48、NC于。、E,若/8+/C=10,則的周長等于.

5.（23-24八年級上?福建泉州?階段練習）如圖，在“3C中，ZC=90°.

（1）用尺規(guī)作的平分線5D,交/C于點。.（保留作圖痕跡，不寫作法）

⑵若N/BC=60。，求證：AD=BD.

6.（22-23八年級下?山東濟南?期中）如圖，在AABC中，AE是NBAC的角平分線，交BC于點E,DE〃AB

交AC于點D.

⑴求證AD=ED；

(2)若AC=AB,DE=3,求AC的長.

第35頁共51頁

?【變式訓練7根據(jù)等角對等邊求邊長】

1.（23-24八年級上?湖南邵陽?期中）如圖，在中，/C的垂直平分線交3c于點。，交/C于點E,

NB=NADB,若A8=4,則。C的長是（

3C.4D.不能確定

2.（22-23八年級上?山西太原?階段練習）在23c中，NB=NC,AB=2,則/C的長為（）

A.1B.2C.3D.4

3.（22-23八年級上?吉林長春?期中）如圖，在AJBC中，//3C和N/C3的平分線交于點￡,過點E作

MN〃BC交AB于交4c于N,若4B+/C=8,貝限㈤VW的周長為.

4.（22-23七年級下?江蘇鹽城?期末）如圖，//8C的平分線時與△N3C中NNC3的相鄰?fù)饨荖NCG的

平分線CF相交于點R過歹作。尸〃5C,交于。，交4c于E,若7cm,DE=3cm,求CE1的長

5.（22-23八年級?全國?課后作業(yè)）如圖，在Rt448C和RtA34D中，為斜邊，AC=BD,BC、/D相

交于點E.

（1）請說明/￡=8￡的理由；

（2）若N/EC=45。，ZC=1,求CE的長.

第36頁共51頁

6.(22-23八年級上?福建福州?期中)如圖，上午8時，一條船從海島A出發(fā)，以20海里/小時的速度向正

北方向航行，10時到達海島3處.在海島A測得燈塔C在北偏西70。的方向上，在海島3測得燈塔C在南偏

西40。的方向上，求海島3到燈塔。的距離.

■【變式訓練8直線上與已和兩點組成等腰三角形的點】

1.(23-24八年級上?浙江寧波?期中)如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，四邊形N8CD是矩形,

頂點A,B,C,。的坐標分別為(-L0),(5,0),(5,2),(-1,2),點￡(3,0)在x軸上，點尸在邊上運動,

使AOPE為等