專題6.8解三角形的綜合應(yīng)用大題專項訓(xùn)練【七大題型】【人教A版（2019）】姓名：___________班級：___________考號：___________題型一\o"向量坐標(biāo)的線性運(yùn)算解決幾何問題"\t"/gzsx/zsd28612/_blank"\o"正、余弦定理判定三角形形狀"\t"/gzsx/zj168411/_blank"正、余弦定理判定三角形形狀題型一\o"向量坐標(biāo)的線性運(yùn)算解決幾何問題"\t"/gzsx/zsd28612/_blank"\o"正、余弦定理判定三角形形狀"\t"/gzsx/zj168411/_blank"正、余弦定理判定三角形形狀1．（23-24高一下·北京通州·期末）在△ABC中，角A,B,C所對的邊為a,b,c，△ABC的面積為S，且S=a(1)求角C；(2)若c?b=2bcosA，試判斷△【解題思路】（1）應(yīng)用面積公式及余弦定理得出正切進(jìn)而得出角；（2）先應(yīng)用正弦定理及兩角和差的正弦公式化簡得出A=2B，結(jié)合C=π【解答過程】（1）在△ABC中，因為S=a2+整理得tanC=1，且C∈0,（2）由正弦定理得sinC?∵sin∴sin∴sin于是sinA?B又A,B∈0,π，故?π<A?B<π，所以B=π?A?B或∵C=π42．（2025高一·全國·專題練習(xí)）已知△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且a?b=c(cosB?cosA)【解題思路】先根據(jù)題目條件和正弦定理邊化角得出sinA?sinB=sinC(cosB?【解答過程】△ABC為等腰三角形或直角三角形.證明如下：由a?b=c(cosB?cos即sinB+C即sinB整理得:sinB所以cosC故sinA=sinB又因為A、B、C為△ABC的內(nèi)角，所以a=b或C=π因此△ABC為等腰三角形或直角三角形．3．（23-24高一下·江蘇宿遷·階段練習(xí)）已知△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，a+b+cb+c?a(1)求角A的大?。?2)若b+c=2a，試判斷△ABC的形狀.【解題思路】（1）利用余弦定理求出cosA的值，結(jié)合角A的取值范圍可得出角A（2）利用余弦定理結(jié)合已知條件可得出b=c，利用（1）中的結(jié)果可判斷出△ABC的形狀.【解答過程】（1）因為a+b+cb+c?a=3bc，則b+c2由余弦定理可得cosA=又因為A∈0,π，故（2）因為b+c=2a，則a=b+c由余弦定可得a2即b+c22=b2又A=π3，故4．（24-25高一·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）（1）在△ABC中，若a?ccosBsin（2）在△ABC中，若B=60°（3）在△ABC中，若lgsinA?lgcosB?【解題思路】（1）利用正弦定理及余弦定理化角為邊，即可判斷形狀；（2）利用余弦定理進(jìn)行判斷即可；（3）利用正弦定理及余弦定理化角為邊，即可判斷形狀.【解答過程】（1）結(jié)合正弦定理及余弦定理知，原等式可化為a?c?a整理，得a2+b2?當(dāng)a2+b當(dāng)a2?b故三角形為等腰三角形或直角三角形.（2）因為b2=ac,B=得a2+c2?ac=ac又B=60°（3）由條件得sinAcosB?由正、余弦定理，得2×a2+故△ABC為等腰三角形.5．（24-25高一下·北京·階段練習(xí)）在△ABC中，2sin(1)求∠A的大??；(2)若b=2c，求證：△ABC為直角三角形．【解題思路】（1）在△ABC中，cosB+C（2）利用余弦定理a2=b【解答過程】（1）由于在△ABC中，B+C=π?A，則所以2sin2A2+因為A∈(0,π)，所以（2）由（1）知∠A=π3，根據(jù)余弦定理得：由于b=2c，則a2=4c2+c2題型二題型二\o"幾何圖形中的計算"\t"/gzsx/zj168411/_blank"幾何圖形中的計算

用向量證明線段垂直

用向量證明線段垂直6．（24-25高一下·重慶·階段練習(xí)）如圖，已知在平面四邊形ABCD中，∠ADC=45°，CD=3(1)若該四邊形ABCD存在外接圓，且AB=2，求AD(2)若∠BAD=∠BCA=60°，求AB．【解題思路】（1）根據(jù)外接圓得到∠ABC=135°，在△ACB中，有余弦定理得AC2=10，在△ACD（2）設(shè)∠BAC=α∈0,60°，則∠DAC=60°?α，由正弦定理得到方程組，求出sin【解答過程】（1）因為四邊形ABCD存在外接圓，則∠ABC=180°?∠ADC=135°，在△ACB中，由余弦定理可得AC在△ACD中，由余弦定理可得AC解得AD=6（2）設(shè)∠BAC=α∈0,60°，則∠DAC=60°?α分別在△ACB、△ACD中用正弦定理可得3sin60°?α=3sinα=224sin2α+6sin故AB=27．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，四邊形ABCD為梯形，AB//CD，AB=2CD=62，tan(1)求cos∠BDC(2)求BC的長．【解題思路】（1）計算出sinA,cosA,（2）在△ABD中，利用正弦定理可求出BD的長，再在△BCD中利用余弦定理可求得BC的長.【解答過程】（1）因為tanA=sinAcosA=2而cos∠ADB=13所以cos=?(cosAcos∠ADB?sinAsin∠ADB)（2）在△ABD中，由正弦定理得BDsin因為AB=62，所以BD=在△CBD中，由余弦定理得BC2所以BC=338．（2024高一下·山東臨沂·期中）如圖，在平面四邊形ABCD中，AB⊥AD，AB=1，AC=3，∠ABC=2π3

(1)求∠BAC的值；(2)求CD的長．【解題思路】（1）利用余弦定理可得出關(guān)于AC的方程，解出AC的長，判斷出△ABC為等腰三角形，即可求得∠BAC的值；（2）計算出∠CAD的值，以及sin∠ACD，利用兩角和的正弦公式求出sin∠ADC的值，再利用正弦定理可求得【解答過程】（1）解：在△ABC中，AB=1，AC=3，∠ABC=由余弦定理可得3=AB整理可得AC2+AC?2=0，∵AC>0，解得AC=1故△ABC為等腰三角形，故∠BAC=π（2）解：由（1）知，∠BAC=π6，又因為AB⊥AD，則因為cos∠ACD=217且sin∠ACD=所以，sin=3在△ACD中，由正弦定理CDsin可得CD=AC9．（23-24高一下·河南開封·期中）已知四邊形ABCD是由△ABC與△ACD拼接而成，如圖所示，∠BAD=∠B=π3，

(1)求證：AC<3(2)若AD=1，BC=2，求CD的長.【解題思路】（1）求出∠BAC的范圍，利用正弦定理即可證明結(jié)論；（2）寫出AC與∠CAB的關(guān)系，進(jìn)而求出∠CAB的正弦值和余弦值，求出AC的長，利用余弦定理即可求出CD的長.【解答過程】（1）由題意證明如下，在△ACD中，∠ADC=5∴∠DAC<π∵∠BAD=∠CAD+∠BAC=π∴∠BAC>π在△ABC中，由正弦定理得，ACsin即AC32=∴32∴AC<3（2）由題意及（1）得設(shè)AC=x，∠CAB=α，∵B=π3，∠BAD=π3，∠ADC=5則在△ABC中，由正弦定理得，BCsin∠BAC=可得3=x在△ABC中，由正弦定理得，ACsin可得xsin可得x=1∴聯(lián)立①②，可得sinα=2可得tanα=32，可得cos∴在△ABC中，由正弦定理得，BCsinα=在△ACD中，由余弦定理得，AC可得7=1+CD可得CD2+3CD?6=0∴CD的長為3.10．（23-24高一下·河北衡水·期末）如圖所示，在平面四邊形ABCD中，∠ABC=150°，∠ACD=60°，AB=3，BC=1，CD=(1)求BD的長；(2)若AC與BD交于點O，求△AOD的面積．【解題思路】（1）根據(jù)余弦定理在△ABC中求解AC=7，進(jìn)而根據(jù)和差角公式可得cos（2）根據(jù)三角形邊角關(guān)系，結(jié)合余弦定理和和差角公式即可求解AO=5【解答過程】（1）由題意，在△ABC中，∠ABC=150°，AB=3，BC=1由余弦定理得，AC所以AC=7在△ABC中，cos∠ACB=所以sin∠ACB=所以cos∠BCD=在△BCD中，由余弦定理可知BD所以BD=7（2）由（1）可知AC=CD=7，又因為∠ACD=60°，所以△ACD所以∠CAD=60°，AD=7在△BCD中，cos∠BDC=7+7?12×在△AOD中，cos∠ADO=故sin∠ADO=所以cos∠AOD=?所以sin∠AOD=在△AOD中，由正弦定理可知ADsin∠AOD=AOsin所以S△AOD題型三題型三\o"用向量解決夾角問題"\t"/gzsx/zsd28635/_blank"\o"證明三角形中的恒等式或不等式"\t"/gzsx/zj168411/_blank"證明三角形中的恒等式或不等式11．（23-24高二下·湖北咸寧·期末）在△ABC中，角A，B，C的對邊為a，b，c，已知A=2B，且b≠c.(1)若2a=3b，求sinA(2)證明：ab【解題思路】（1）根據(jù)A=2B，sinA=sin2B（2）根據(jù)（1）a=2bcos【解答過程】（1）依題意，A=2B，所以sinA=sin2B由正弦定理可知，a=2bcosB，即從而cosA=A為三角形內(nèi)角，故sinA=（2）由（1）可知，a=2bcosB，由余弦定理可得：即a2則a2c?b=b故a2從而ab12．（23-24高一下·安徽·期中）已知銳角△ABC,a,b,c分別為角A,B,C的對邊，若a2(1)求證：A=2B；(2)求bc【解題思路】（1）根據(jù)題干，利用余弦定理化簡可得acosB=b1+cosA，再由正弦定理可得sinAcos（2）由△ABC是銳角三角形，所以π6<B<π4，由正弦定理可得【解答過程】（1）a?cosB=basinA即sinA?B∵△ABC是銳角三角形，∴A,B∈0,π2因此有A?B=B?A=2B（2）△ABC是銳角三角形，∴A,B,C∈0,π2∴0<B<π2,0<2B<則sin3B=而1?所以y=b∴y=bc∈1213．（23-24高一下·江蘇連云港·期末）在△ABC中，AD是△BAC的角平分線，AE是邊BC上的中線，點D、E在邊BC上．(1)用正弦定理證明ABAC(2)若AB=4，AC=3，【解題思路】（1）由正弦定理知，ABsin∠ADB=（2）由余弦定理可求得BC=13，進(jìn)而利用（1）的結(jié)論可求DE【解答過程】（1）由正弦定理知，在△ABD中，ABsin在△ADC中，ACsin由∠ADB+∠ADC=π，∠BAD=∠DAC所以sin∠ADB=所以ABAC（2）在△ABC中，由余弦定理可得BC所以BC=13，由（1）可得BDDC=因為AE是BC邊上的中線，所以BE=1所以DE=BD?BE=1314．（2024·全國·模擬預(yù)測）在△ABC中，點D，E都是邊BC上且與B，C不重合的點，且點D在B，E之間，AE?AC?BD=AD?AB?CE．(1)求證：sin∠BAD=(2)若AB⊥AC，求證：AD【解題思路】（1）分別在△ABC，△ABD，△ACE中，利用正弦定理即可得證；（2）設(shè)∠BAD=∠CAE=α，則0<α<π4，∠DAE=π2?2α【解答過程】（1）如圖．在△ABC中，由正弦定理，得sinB在△ABD中，由正弦定理，得sin∠BAD=在△ACE中，由正弦定理，得sin∠CAE=所以sin∠BAD所以sin∠BAD=（2）因為AB⊥AC，所B+C=π2，所以由∠BAC=π2可知∠BAD，由（1）知，∠BAD=∠CAE．設(shè)∠BAD=∠CAE=α，則0<α<π4，由sin∠DAE=cos2α=1?2在△ABD中，由正弦定理，得ADBD在△ACE中，由正弦定理，得AECE所以AD15．（23-24高一下·浙江寧波·期末）在△ABC中，內(nèi)角A，B都是銳角.(1)若∠C=π3，c=2，求(2)若sin2A+sin【解題思路】（1）根據(jù)正弦定理可得a+b=433sinA+sinB，然后可得a+b=（2）由條件可得C為銳角，然后由A+B>π2可得【解答過程】（1）因為∠C=π3，c=2，所以所以a+b=4因為sin=32sinA+3因為內(nèi)角A，B都是銳角，∠C=π所以0<A<π20<B=2π所以a+b∈23,4，所以△ABC（2）若sin2A+sin2B>所以A+B>π2，所以因為內(nèi)角A，B都是銳角，所以A,π所以sinA>所以sin2題型四題型四\o"用向量解決線段的長度問題"\t"/gzsx/zsd28636/_blank"\o"求三角形面積的最值或范圍"\t"/gzsx/zj168411/_blank"求三角形面積的最值或范圍16．（23-24高一下·浙江·階段練習(xí)）在△ABC中，設(shè)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若sinB?(1)求角A；(2)若點M在邊上BC滿足BM=2MC，且AM=2，求△ABC面積的最大值.【解題思路】（1）先利用正弦定理化角為邊，再根據(jù)余弦定理即可得解；（2）法一：先量化結(jié)合基本不等式求出bc的最大值，再根據(jù)三角形的面積公式即可得解.法二：利用雙余弦定理結(jié)合基本不等式求出bc的最大值，再根據(jù)三角形的面積公式即可得解.【解答過程】（1）由sinB由正弦定理得bc?b即bc=b2+又A∈0,π，所以（2）法一：由M在邊BC上滿足BM=2MC，可得AM=兩邊平方可得AM2所以4=19c當(dāng)且僅當(dāng)c=2b時取“=”，所以bc≤6，所以S△abc即△ABC面積的最大值為33法二：由∠AMB+∠AMC=π，則cos由余弦定理可得MA即4+4可得2a又因為a2所以36=c當(dāng)且僅當(dāng)c=2b時取“＝”，所以bc≤6，所以S△abc即△ABC面積的最大值為3317．（23-24高一下·甘肅·期中）已知a，b，c分別為△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，bcos(1)求證：2B=A+C；(2)若△ABC為銳角三角形，且a2+c【解題思路】（1）根據(jù)題意利用正弦定理可得sinBcosC+（2）根據(jù)題意利用余弦定理可得b=12ac，S【解答過程】（1）因為bcos由正弦定理可得sinB又因為sinA=代入整理得3sin且C∈0,π，則可得3sinB?cos由B∈0,π可知B?π6∈可知A+C=2π3（2）因為a2+c由余弦定理可得cosB=a2所以S△ABC由正弦定理可得asin則a=2b3sin則b=1可得3=3因為△ABC為銳角三角形，則0<A<π20<則π6<2A?π則32b=1所以S△ABC18．（23-24高一下·天津·期中）△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知c=1.(1)若C=π3,△ABC(2)若△ABC為銳角三角形，且sinA+C①求B；②求△ABC面積的取值范圍.【解題思路】（1）利用余弦定理求出a,b的關(guān)系，再結(jié)合三角形的周長即可得解；（2）①根據(jù)三角形內(nèi)角和定理結(jié)合二倍角的正弦公式即可得解；②先求出角C的范圍，再利用正弦定理求出邊a，再根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【解答過程】（1）由余弦定理及已知條件得，a2又因為△ABC的周長等于3，所以a+b+c=3，得a+b=2。聯(lián)立方程組a2解得a=1,b=1；（2）①根據(jù)題意sinA+C得sinA+C因為0<A+C2<所以cosA+C2=所以A+C=2所以B=π②因為△ABC是銳角三角形，由①知B=π3,A+B+C=故0<C<π20<由正弦定理asinA=又c=1，所以a=sin所以S=34?sin2又因π6故38所以38故S△ABC的取值范圍是319．（24-25高三上·湖南·階段練習(xí)）如圖，在平面四邊形ABCD中，BC⊥CD,AB=BC=2,∠ABC=θ,120(1)若θ=120°,AD=6(2)若2CD?sinθ2【解題思路】（1）在△ABC中，先求出AC，再在△ACD利用正弦定理求出sin∠ADC（2）把四邊形ABCD的面積用題干中給出的變量θ進(jìn)行表示，求解最值即可.【解答過程】（1）解：由已知∠ABC=120°,AB=BC=2所以AC2=A在△ACD中，因為BC⊥CD,∠BCA=30°，所以∠ACD=60由正弦定理得ADsin∠ACD=因為AD=6>AC=23，所以∠ACD>∠ADC，所以0°<∠ADC<（2）在△ABC中，由已知AB=BC=2,∠ABC=θ,120所以S△ABC由余弦定理AC2=A在△ACD中，因為∠ACD=90又2CD?sinθ所以S△ACD=1所以四邊形ABCD的面積Sθ因為120°≤θ<180°，所以60°≤θ?60故四邊形ABCD面積的最大值為2320．（24-25高二下·遼寧本溪·開學(xué)考試）在①a?csinA+B=a?bsinA+sinB；②問題：在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且______.(1)求角B的大??；(2)AC邊上的中線BD=2，求△ABC【解題思路】（1）若選①：根據(jù)正弦定理，化簡得到c2+a若選②：由三角形的面積公式和向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，化簡得到acsinB=3若選③：由正弦定理化簡可得到sinCcosB?（2）根據(jù)向量的運(yùn)算法則和基本不等式，化簡得到ca≤8【解答過程】（1）解：若選①：在△ABC中，因為sinA+B由a?csin可得a?csin由正弦定理得ca?c=a?b則cosB=又因為0<B<π，故B=若選②：由2S=3?BA?BC因為0<B<π，所以B=若選③：因為bcos正弦定理得sinB又因為A=π?B+C，所以sin即sinC因為0<C<π，sinC≠0，所以又因為0<B<π，可得B=綜上所述：選擇①②③，都有B=π（2）解：由2BD=BA所以8=c2+a2+ca≥3ca則S△ABC=1則△ABC的面積的最大值為23題型五題型五\o"求三角形中的邊長或周長的最值或范圍"\t"/gzsx/zj168411/_blank"求三角形中的邊長或周長的最值或范圍21．（23-24高一下·廣東惠州·期中）已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,a+b(1)求角B；(2)若△ABC外接圓的直徑為23，求△ABC【解題思路】（1）根據(jù)題意，利用正弦定理化簡得到ac=a（2）方法一：由正弦定理求得b=3，利用余弦定理和基本不等式，求得a+c≤6，進(jìn)而求得△ABC周長的取值范圍；方法二：根據(jù)題意，利用正弦定理求得b=3，化簡得到a+b+c=3+6sin【解答過程】（1）因為a,b,c,a+b由正弦定理可得a+ba?b=a?c又由余弦定理得cosB=a2+c（2）方法一：因為△ABC外接圓的直徑為23由正弦定理得bsinB=2由余弦定理得9=a因為3ac=(a+c)2?9≤3×(a+c)2由三角形性質(zhì)知3<a+c≤6，當(dāng)且僅當(dāng)a=c時，等號成立，所以6<a+b+c≤9，故△ABC周長的取值范圍為6,9.方法二：因為△ABC外接圓的直徑為23由正弦定理得bsinB=2a+b+c=3+23sinA+23sinC=3+23sinA+sin所以6<a+b+c≤9，故△ABC周長的取值范圍為6,9.22．（23-24高一下·江蘇鹽城·階段練習(xí)）已知銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a,????b,????c，向量m=((1)求角C的值；(2)若a=4，求b+c的取值范圍.【解題思路】（1）根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示，方法一：利用正弦定理和余弦定理角化邊可得；方法二：利用和差公式化簡即可得解.（2）方法一：利用正弦定理將b+c表示為關(guān)于角A的函數(shù)，根據(jù)二倍角公式化簡，由正切函數(shù)的性質(zhì)可得；方法二：利用正弦定理將b表示為關(guān)于角A的函數(shù)，利用正切函數(shù)性質(zhì)求出b的范圍，由余弦定理用b表示c，然后表示出b+c，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可解.【解答過程】（1）因為m⊥所以m=2sin方法一：利用正弦定理角化邊得2asin又cosB=∴2asinC?a=0，則又△ABC為銳角三角形，故C=π方法二：由和差公式可得2sin又因為A∈0,π2又△ABC為銳角三角形，故C=π（2）由正弦定理得b=ac=a由于△ABC為銳角三角形，則A∈0,又0<C=5π6方法一：所以b+c=2=23而A2∈π∴1tanA2∈方法二：所以tanA>3，所以又b=23+2由余弦定理得c=a記fb易知fb在2所以f23<f所以b+c的取值范圍為2+2323．（23-24高一下·廣東惠州·期中）在①ba=cosB+13已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若__________.(1)求角B；(2)若a+c=4，求△ABC周長的最小值.【解題思路】（1）分別選三個條件，結(jié)合三角恒等變換，以及邊角互化，化簡后即可求解；（2）由余弦定理可得b2【解答過程】（1）選①ba由正弦定理可得sinBsinA即有sinB?π6=12，由于選②2bsin由正弦定理可得2sin因為sinA>0，sinB>0，所以2sin由于0<B<π，可得B=選③(a?c)sin由正弦定理和誘導(dǎo)公式可得(a?c)a+c2=由余弦定理可得cosB=a2+c（2）由（1）知B=π3，由余弦定理可得即為(a+c)2?b2=3ac若a+c=4，則4≥2ac，可得ac≤4（當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2則b≥16?3×4=2，所以24．（23-24高一下·遼寧·期中）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，b=23，sin(1)求角B的大小；(2)若a>b，求a2【解題思路】（1）根據(jù)正弦定理得到a2+c（2）由正弦定理得到c=4sinC，a2+c2?12=ac，故a【解答過程】（1）因為b=23，sin由正弦定理得b?cb+c=aa?c由余弦定理得cosB=因為B∈0,π，所以（2）由正弦定理得csin所以c=4sin由（1）得a2故a因為a>b，所以A>B=π3，故所以C=π?B?A∈0,故c=4sin則a225．（23-24高一下·北京大興·期末）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知bsin(1)求∠B；(2)若b=3（i）再從條件①，條件②，條件③中選擇一個條件作為已知，使其能夠確定唯一的三角形，并求△ABC的面積．條件①：a=6；條件②：a=2c；條件③：sin（ii）求△ABC周長的取值范圍．【解題思路】（1）利用正弦定理邊化角化簡得tanB=（2）（i）選擇條件①利用正弦定理計算判斷三角形不唯一；，選擇條件②，利用余弦定理及三角形面積公式計算求解；選擇條件③，利用正弦定理計算判斷，再求出三角形面積；（ii）利用余弦定理及基本不等式計算即可.【解答過程】（1）由bsinA=3因為在△ABC中sinA>0,sinB>0,即tanB=3，因為B∈0,（2）（i）若選條件①a=6，結(jié)合（1）∠B=π3由正弦定理asinA=則滿足條件的三角形不存在，故不能選條件①，若選條件②：a=2c，結(jié)合（1）∠B=π3及由余弦定理b2=a2+易知a=2c=2，故此時滿足條件的三角形唯一.所以S△ABC若選條件③：sinC=13，結(jié)合（1）∠B=因為sinC=13由sinC=13因為在△ABC中A+B=所以sinA=易知滿足條件的三角形唯一.由正弦定理asinA=所以S△ABC（ii）由余弦定理b2可得3=a結(jié)合基本不等式ac≤a+c22解得：a+c≤23,當(dāng)且僅當(dāng)a=c=又在△ABC中易得a+c>b=3所以△ABC周長C△ABC△ABC周長的取值范圍為23題型六題型六距離、高度、角度測量問題26．（24-25高一下·全國·課后作業(yè)）如圖，A，B，C，D都在同一個鉛垂面內(nèi)（與水平面垂直的平面），B，D為海島上兩座燈塔的塔頂．測量船于A處測得點B和點D的仰角分別為75°，30°，于C處測得點B和點D的仰角均為60°，AC=1km，求點B，D間的距離（提示：sin【解題思路】方法一：通過仰角以及三角形外角定理，用正弦求出AD，以及AB，再在△ABD中用余弦定理求解即可；方法二：通過說明△AMC≌△DMC，先求AB，再利用正弦定理求BD.【解答過程】方法一

在△ACD中，∠ADC=60°?∠DAC=60°?30°=30°，∠ACD=180°?60°=120°，由正弦定理，得AD=AC在△ABC中，∠ACB=60°，∠ABC=75°?60°=15°，由正弦定理，得AB=AC在△ADB中，∠BAD=180°?75°?30°=75°，由余弦定理，得BD=AB2即點B，D間的距離為32方法二

如圖，過點D作DH垂直水平線于點H，過點B作BE垂直水平線于點E，記AD與BC的交點為M．由外角定理，得∠CDA=60°?∠DAC=60°?30°=30°，所以AC=DC．又易知∠MCD=∠MCA=60°，所以△AMC≌△DMC，所以M為AD的中點，所以BA=BD，又AB=AC所以BD=3所以點B，D間的距離為3227．（24-25高一下·全國·課后作業(yè)）目前，中國已經(jīng)建成全球最大的5G網(wǎng)絡(luò)，無論是大山深處還是廣袤平原，處處都能見到5G基站的身影．如圖，某同學(xué)在一條水平公路上觀測對面山頂上的一座5G基站AB，已知基站高AB=50m，該同學(xué)眼高1.5m（眼睛到地面的距離），該同學(xué)在初始位置C處（眼睛所在位置）測得基站底部B的仰角為37°，測得基站頂端A的仰角為45°，求出山高BE（結(jié)果保留整數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：sin8°≈0.14，sin37°≈0.6，sin45°≈0.7【解題思路】在△ABC中利用正弦定理求出BC，再在Rt△BDC中利用銳角三角函數(shù)求出BD【解答過程】依題意可得∠ACB=45°?37°=8°，∠BAC=45°，在△ABC中，由正弦定理得ABsin∠ACB=所以BC≈50×0.7在Rt△BDC中，sin∠BCD=BD所以BD≈250×0.6=150m所以山高BE=BD+DE=150+1.5=151.5≈152m28．（24-25高一下·全國·單元測試）已知C，D是兩個小區(qū)的所在地，C，D到一條公路AB的垂直距離分別為CA=1km，BD=2km，A，B兩地之間的距離為4km．如圖所示，某移動公司將在A，B之間找一點M，在M處建造一個信號塔，使得M對C，D的張角與M對C，A的張角相等，試確定點M【解題思路】設(shè)MA=mkm，∠CMA=θ，則MB=(4?m)km，∠CMD=θ，∠BMD=π?2θ，依題意用x表示出【解答過程】設(shè)MA=mkm，∠CMA=θ則MB=(4?m)km，∠CMD=θ，∠BMD=依題意得tanθ=1m由tan2θ=2tanθ1?故點M到點A的距離為1429．（23-24高一下·河北唐山·期中）如圖所示，有一艘緝毒船正在A處巡邏，發(fā)現(xiàn)在北偏東75°方向、距離為60海里B處有毒販正駕駛小船以每小時153?1海里的速度往北偏東15°的方向逃跑，緝毒船立即駕船以每小時(1)求緝毒船經(jīng)過多長時間恰好能將毒販抓捕；(2)試確定緝毒船的行駛方向．【解題思路】（1）設(shè)緝毒船經(jīng)過t小時恰好能將毒販抓捕，可知∠ABC=120°，利用余弦定理運(yùn)算求解；（2）根據(jù)（1）中結(jié)果，利用正弦定理可得∠ACB=45°，進(jìn)而可得結(jié)果.【解答過程】（1）設(shè)緝毒船經(jīng)過t小時恰好能將毒販抓捕，由題意可知：∠ABC=180°?75°+15°=120°,AB=60,AC=156由余弦定理可得AC即156整理可得t?23+1t+4所以緝毒船經(jīng)過2小時恰好能將毒販抓捕.（2）由（1）可知：∠ABC=120°,AB=60,AC=306由正弦定理ACsin∠ABC=且∠ACB為銳角，則∠ACB=45°，可得∠BAC=180°?120?45°=15°，所以緝毒船的行駛方向為北偏東75°?15°=60°.30．（23-24高一下·吉林·期末）如圖，測量河對岸的塔高AB時，可以選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測量基點C與D．現(xiàn)測得∠BCD=60°，∠BDC=75°，CD=60m，并在點C處測得塔頂A的仰角∠ACB=30°

(1)求B與D兩點間的距離；(2)求塔高AB.【解題思路】（1）根據(jù)正弦定理即可得到答案；（2）首先根據(jù)正弦定理求出BC，再根據(jù)三角函數(shù)定義即可得到答案.【解答過程】（1）在△BCD中，∵∠BCD=60由正弦定理得BDsinBD=CD（2）sin75在△BCD中，由正弦定理得BCsinBC=CD在Rt△ABC中，AB=BC題型七題型七\(yùn)o"正余弦定理與三角函數(shù)性質(zhì)的結(jié)合應(yīng)用"\t"/gzsx/zj168411/_blank"解三角形與三角函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用31．（2024·湖南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)f(x)=23(1)求函數(shù)y=log(2)已知銳角△ABC的三個內(nèi)角分別為A，B，C，若fA2=0【解題思路】（1）先化簡f(x)，然后利用真數(shù)大于0可得sin2x?（2）先利用（1）可得A=π3，結(jié)合銳角三角形可得【解答過程】（1）f(x)=23sinx所以要使y=log只需2sin2x?π所以π6+2k所以函數(shù)y=log2f(x)由于0<2sin2x+π所以函數(shù)y