第四章三角函數(shù)4.1任意角的三角函數(shù)4.2兩角和與差的三角函數(shù)4.3三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)4.1任意角的三角函數(shù)4.1.1角的概念的推廣4.1.2弧度制4.1.3任意角的三角函數(shù)4.1.4同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式4.1.5誘導(dǎo)公式4.1.6已知三角函數(shù)值求角4.1.1角的概念的推廣任意角的大小射線繞端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)可以有兩種相反的方向．如圖，互相嚙合的兩個(gè)齒輪，他們旋轉(zhuǎn)的方向就是相反的．我們把射線按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)而得到的角叫作正角，射線按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)而得到的角叫作負(fù)角．特別地，當(dāng)一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)時(shí)，就把它看成零角．如圖，以O(shè)A為始邊的角α=210°，β=-150°，γ=-660°．4.1.1角的概念的推廣平面直角坐標(biāo)系中的角把一個(gè)角這樣放置在直角坐標(biāo)系中，就叫作放置在標(biāo)準(zhǔn)位置．一個(gè)放置在標(biāo)準(zhǔn)位置的角的終邊落在第幾象限，就把它叫作第幾象限的角，或者說這個(gè)角屬于第幾象限；如果終邊落在坐標(biāo)軸上，就把它叫作坐標(biāo)軸上的角．如圖（1）中的30°、390°及-330°的角都屬于第一象限；圖（2）中585°的角屬于第三象限，-60°及300°的角都屬于第四象限．4.1.2弧度制弧度的概念用度作單位來度量角的制度叫作角度制．在數(shù)學(xué)和其他許多科學(xué)研究中，經(jīng)常用到另一種度量角的制度——弧度制，它的單位符號為rad，讀作弧度．我們把等于半徑長的弧所對的圓心角（即所對弧長與半徑的比等于1的圓心角）叫作1弧度的角．4.1.2弧度制弧度制與角度制的換算由于圓的周長等于半徑的2π倍，即圓的周長與半徑的比為2π，而整個(gè)圓周所對的圓心角為360°，所以360°=2π弧度或180°=π弧度．由此可得角度制與弧度制的換算公式：4.1.2弧度制弧度制下的弧長公式在角度制中弧長公式為，其中的n表示弧所對圓心角的度數(shù)．當(dāng)角用弧度為單位表示時(shí)，由前面的公式，可以得到

這就是說，弧的長等于弧所對圓心角的弧度數(shù)的絕對值與半徑的積．4.1.3任意角的三角函數(shù)任意角的三角函數(shù)的定義設(shè)α是任意一個(gè)角，在角α的終邊上任取一點(diǎn)P，它的坐標(biāo)是（x,y），它到原點(diǎn)的距離是那么角的正弦、余弦、正切和余切分別定義為：4.1.3任意角的三角函數(shù)三角函數(shù)值的符號根據(jù)三角函數(shù)定義和各個(gè)象限里點(diǎn)的坐標(biāo)的符號可知：1.正弦函數(shù)的值（）和余割函數(shù)的值（）對于第一、第二象限的角是正數(shù)，而對于第三、第四象限的角是負(fù)數(shù)(y＜0，r＞0)．2.余弦函數(shù)的值和正割函數(shù)的值對于第一、第四象限的角是正數(shù)而對于第二、第三象限的角是負(fù)數(shù)（x＜0，r＞0）．3.正切函數(shù)的值和余切函數(shù)的值對于第一、第三象限的角是正數(shù)（x,y同號），而對于第二、第四象限的角是負(fù)數(shù)（x,y異號）．各三角函數(shù)值的符號的情況，可用下圖表示如下：4.1.3任意角的三角函數(shù)終邊相同的角的三角函數(shù)從任意角的三角函數(shù)的定義知道，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等，由此可得：(k∈Z)4.1.4同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式倒數(shù)關(guān)系就是4.1.4同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式商數(shù)關(guān)系就是4.1.4同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式平方關(guān)系4.1.5誘導(dǎo)公式180°—α與α的三角函數(shù)間的關(guān)系運(yùn)用三角函數(shù)的定義可以證明，當(dāng)是屬于各三角函數(shù)定義域的任意角時(shí)，下列關(guān)系式成立：4.1.5誘導(dǎo)公式—α與α的三角函數(shù)間的關(guān)系運(yùn)用三角函數(shù)的定義可以證明，當(dāng)是屬于各三角函數(shù)定義域的任意角時(shí)，下列關(guān)系式成立：4.1.5誘導(dǎo)公式180°+α與α的三角函數(shù)間的關(guān)系利用公式二和公式三，我們可以分別證明α與180°+α的正弦、余弦值間的關(guān)系如下：

于是，我們又可以得到一組公式如下：4.1.5誘導(dǎo)公式360°-α與α的三角函數(shù)間的關(guān)系利用公式一和公式三，可以證明和三角函數(shù)間的關(guān)系如下：4.2兩角和與差的三角函數(shù)4.2.1兩角和與差的三角函數(shù)4.2.2二倍角的正弦．余弦和正切4.2.3半角的正弦．余弦和正切4.2.1兩角和與差的三角函數(shù)兩角和與差的正弦、余弦關(guān)于，我們有下面的公式：在上面公式中用-β代替β，就得到誘導(dǎo)公式兩角和與差的正切4.2.2二倍角的正弦．余弦和正切二倍角的三角函數(shù)公式4.2.3半角的正弦．余弦和正切半角三角函數(shù)的公式本章小結(jié)本章的主要內(nèi)容包括任意角的概念、弧度制、任意角三角函數(shù)的概念、同角三角函數(shù)間的關(guān)系、誘導(dǎo)公式、兩角和與差的三角函數(shù)、三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)．根據(jù)生產(chǎn)實(shí)際和進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的需要，我們引入了任意角的概念（包括正角、負(fù)角和零角），并得出一個(gè)重要的結(jié)論：任意一個(gè)角都能表示成一個(gè)周內(nèi)角與周角的整數(shù)倍的和，這樣一來，有關(guān)任意角的問題就可轉(zhuǎn)化為有關(guān)周內(nèi)角的問題來處理．弧度制與角度制是度量角的不同單位制，采用弧度制，使角的度量與計(jì)算更加簡捷，使與弧長有關(guān)的一些公式變得比較簡單．三角函數(shù)的概念是本章最核心的內(nèi)容，是本章中所有三角函數(shù)的性質(zhì)和公式的基礎(chǔ)．同角三角函數(shù)的八個(gè)基本關(guān)系式反映了六個(gè)三角函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，是進(jìn)行三角恒等變換的基礎(chǔ)，在化簡三角函數(shù)式、求值和證明三角恒等式等問題中有重要作用．掌握了五組誘導(dǎo)公式，可以把任意角的三角函數(shù)化為0～90度的角的三角函數(shù)，從而解決了求任意角的三角函數(shù)值的問題.兩角和與差的三角函數(shù)的公式，倍角和半角的三角函數(shù)的公式等主要用于三角函數(shù)式的計(jì)算和變形，它們在高等數(shù)學(xué)、電工學(xué)、力學(xué)、機(jī)械設(shè)計(jì)與制造等方面都有廣泛的應(yīng)用，要熟練地掌握它們并掌握它們之間的邏輯關(guān)系.利用三角函數(shù)的圖像可以研究三角函數(shù)的性質(zhì)，反過來，運(yùn)用三角函數(shù)的性質(zhì)可以更正確、更快地做出三角函數(shù)的圖像，在長度為一個(gè)周期的閉區(qū)間上，有五個(gè)點(diǎn)（即函數(shù)值最大和最小的點(diǎn)以及函數(shù)值為零的點(diǎn)）在確定正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖像的形狀時(shí)起著關(guān)鍵的作用，因此，在精確度要求不太高時(shí)，可找出這五個(gè)點(diǎn)來做正弦、余弦函數(shù)及與它們類似的一些函數(shù)的簡圖．練習(xí)題角的概念為什么要進(jìn)一步推廣？自你學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)以來共遇到過哪些概念的擴(kuò)充？它們是怎樣補(bǔ)充的？第二象限的角一定是鈍角嗎？軸正半軸上的角一定是直角嗎？同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式有哪些？它們的主要作用是什么？角α的正弦、余弦、正切和余切是怎樣定義的？這個(gè)定義與初中學(xué)過的定義有什么不同？有什么關(guān)系？怎樣畫正弦函數(shù)和余弦函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的簡圖？結(jié)合函數(shù)和的圖象，說出它們的定義域和值域，研究他們的單調(diào)性、奇偶性和周期性，并指出它們在什么時(shí)候取得最大值和最小值．已知＜α＜270，求角的其他三角函數(shù)值．已知sinθ+cosθ=2/3，求sin2θ．如圖，三個(gè)相同的正方形相接，求證：α+β=45°．求下列函數(shù)的最大值和最小值，并且求函數(shù)取得最大值和最小值時(shí)x的集合：（1）y=2+sinx； （2）y=3-2cosx．已知0≤x≤2π，當(dāng)x屬于哪個(gè)區(qū)間時(shí)，（1