第頁(yè)，共頁(yè)第19頁(yè)，共19頁(yè)徐匯中學(xué)2024學(xué)年第一學(xué)期高二年級(jí)數(shù)學(xué)期末一、填空題（本大題共有12題，第1-6題每題3分，第7-12題每題4分）.1.某高中的三個(gè)年級(jí)共有學(xué)生1000人，其中高一300人，高二340人，高三360人，該校現(xiàn)在要了解學(xué)生對(duì)校本課程的看法，準(zhǔn)備從全校學(xué)生中抽取50人進(jìn)行訪(fǎng)談，若采取分層抽樣，且按年級(jí)來(lái)分層，則高一年級(jí)應(yīng)抽取的人數(shù)是________．【答案】【解析】【分析】確定抽樣比，即可求解；【詳解】由題意可知抽樣比為：，所以高一年級(jí)應(yīng)抽取的人數(shù)是，故答案為：2.已知球的半徑為1，則球的表面積為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】直接代入球的表面積公式，即可得出結(jié)論．【詳解】解：球的半徑，球的表面積為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查球的表面積公式，屬于基礎(chǔ)題．3.某中學(xué)舉辦思維競(jìng)賽，現(xiàn)隨機(jī)抽取50名參賽學(xué)生的成績(jī)制作成頻率分布直方圖（如圖），估計(jì)學(xué)生的平均成績(jī)?yōu)開(kāi)_____分【答案】【解析】【分析】利用直方圖求學(xué)生的平均成績(jī)即可.【詳解】由直方圖知：平均成績(jī)?yōu)榉?故答案為：4.如圖正方體的棱長(zhǎng)為2，則二面角的大小為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量的夾角即可求解.【詳解】以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，,0,，,0,，,,，，0，，,,，,,，,0,，設(shè)平面的法向量,,，則，取，得,1,，又平面的法向量,0,，設(shè)二面角的大小為，，二面角的大小為．故答案為：5.若展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為，其展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_____.（用數(shù)字作答）【答案】10【解析】【詳解】由題意，二項(xiàng)式展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為，令，可得，解得，則展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，可得常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：10.6.已知正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為1，高度為2，一螞蟻沿著正四棱柱的表面從點(diǎn)爬到點(diǎn)的最短距離是________．【答案】【解析】【分析】分別求解不同情況下的展開(kāi)圖的長(zhǎng)度，即可比較作答.【詳解】如圖正四棱柱中，若沿著側(cè)棱展開(kāi)，可得圖（1）此時(shí),若沿著側(cè)重展開(kāi)，可得圖（2），此時(shí),若沿著側(cè)重展開(kāi)，可得圖（3），此時(shí)由于，故最短距離為，故答案為：7.如圖，在正四棱臺(tái)中，已知，，且棱臺(tái)的側(cè)面積為6，則該棱臺(tái)的高為_(kāi)_________．【答案】【解析】【分析】首先根據(jù)正棱臺(tái)的側(cè)面積得到斜高為1，再計(jì)算正棱臺(tái)的高即可.【詳解】如圖所示：設(shè)正四棱臺(tái)的側(cè)高為，高為，棱臺(tái)的側(cè)面積，所以.所以.故答案為：8.某公司年會(huì)將安排7個(gè)節(jié)目的演出順序表，其中共4個(gè)語(yǔ)言類(lèi)節(jié)目，3個(gè)歌舞類(lèi)節(jié)目，則歌舞類(lèi)節(jié)目互不相鄰的概率為_(kāi)_____．【答案】；【解析】【分析】利用插空法求出符合題意的排列情況總數(shù)，再結(jié)合古典概型的概率公式求解.【詳解】先把4個(gè)語(yǔ)言類(lèi)節(jié)目全排列，中間形成5個(gè)空，5個(gè)空中選3個(gè)空排三個(gè)歌舞類(lèi)節(jié)目，共有種情況，又因?yàn)?個(gè)節(jié)目全排列有種情況，所以所求概率為.故答案為：.9.將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲2次，觀(guān)察向上的點(diǎn)數(shù)，則點(diǎn)數(shù)和為5的概率是_____.【答案】【解析】【分析】分別求出基本事件總數(shù)，點(diǎn)數(shù)和為5的種數(shù)，再根據(jù)概率公式解答即可．【詳解】根據(jù)題意可得基本事件數(shù)總為個(gè).點(diǎn)數(shù)和為5的基本事件有，，，共4個(gè).∴出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)和為5的概率為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查古典概型、列舉法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．10.已知棱長(zhǎng)為1的正方體，任選2個(gè)頂點(diǎn)作為起點(diǎn)和終點(diǎn)所成的向量，與向量的數(shù)量積共有________種結(jié)果．【答案】【解析】【分析】討論當(dāng)?shù)钠瘘c(diǎn)和終點(diǎn)分別為正方體上相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)、正方體側(cè)面上對(duì)角的兩個(gè)頂點(diǎn)、正方體底面上對(duì)角的兩個(gè)頂點(diǎn)、正方體體對(duì)角線(xiàn)的兩端點(diǎn)時(shí)，的取值，即可得解.詳解】①當(dāng)起點(diǎn)與終點(diǎn)為正方體上相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)，，與平行或垂直，若，且與同向，即，；若，且與反向，即，；若，即，；②當(dāng)?shù)钠瘘c(diǎn)與終點(diǎn)為正方體側(cè)面上對(duì)角的兩個(gè)頂點(diǎn)，，與的夾角為或，若與的夾角為，即，；若與的夾角為，即，；③當(dāng)?shù)钠瘘c(diǎn)與終點(diǎn)為正方體底面上對(duì)角的兩個(gè)頂點(diǎn)，，與的垂直，即，;④當(dāng)?shù)钠瘘c(diǎn)與終點(diǎn)為正方體體對(duì)角線(xiàn)的兩端點(diǎn)，，或，若，即，；若，即，.綜上：與向量的數(shù)量積共有3種結(jié)果，分別為-1，0，1.故答案為：3.11.南宋的數(shù)學(xué)家楊輝“善于把已知形狀、大小的幾何圖形的求面積、體積的連續(xù)量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為離散量的垛積問(wèn)題”，在他的專(zhuān)著《詳解九章算法·商功》中，楊輝將堆垛與相應(yīng)立體圖形作類(lèi)比，推導(dǎo)出了三角垛、方垛、芻童垛等的公式，例如三角垛指的是如圖頂層放1個(gè)，第二層放3個(gè)，第三層放6個(gè)，第四層放10個(gè)第n層放個(gè)物體堆成的堆垛，則______．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出數(shù)列的遞推關(guān)系，利用累加法求出通項(xiàng)，再利用裂項(xiàng)相消法求和作答.【詳解】依題意，在數(shù)列中，，當(dāng)時(shí)，，滿(mǎn)足上式，因此，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，所以故答案為：12.如圖，一個(gè)底面半徑為，高為的半橢球放置在平面上，用平行于平面且與平面任意距離處的平面截幾何體，截面為圓面，運(yùn)用祖暅原理，若圖中半橢球底面半徑為1，高為6，則該半橢球體的體積為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】由底面半徑都為b，高都為的半橢球（左側(cè)圖）和已被挖去了圓錐的圓柱右側(cè)圖）（被挖去的圓錐以圓柱的上底面為底面，下底面的圓心為頂點(diǎn)）放置于同一平面上，用平行于平面且與平面任意距離d處的平面截這兩個(gè)幾何體，截面分別為圓面和圓環(huán)，總成立．結(jié)合祖暅原理即可求解；【詳解】可設(shè)橢圓方程為：，當(dāng)高度為時(shí)，設(shè)此時(shí)截面半徑為，由題意可知：在橢圓上，即，解得，所以此時(shí)截面面積為：而此時(shí)同樣高度時(shí)，由底面半徑都為b，高都為的半橢球（左側(cè)圖）和已被挖去了圓錐的圓柱右側(cè)圖）（被挖去的圓錐以圓柱的上底面為底面，下底面的圓心為頂點(diǎn)）放置于同一平面上，用平行于平面且與平面任意距離d處的平面截面面積：畫(huà)出圓錐的截面圖，如下圖所示，易知，，由可得：，即，則，所以，所以總成立．所以半橢球體的體積為由題意知：，所以半橢球體的體積為：．故答案為：．二、選擇題（本大題共有4題，第13-14題每題3分，第15-16題每題4分）.13.從一堆產(chǎn)品（其中正品與次品都多于2件）中任取2件，下列事件是互斥事件但不是對(duì)立事件的是（）A.恰好有1件次品和恰好有2件次品 B.至少有1件次品和全是次品C.至少有1件正品和至少有1件次品 D.至少有1件次品和全是正品【答案】A【解析】【分析】根據(jù)互斥事件和對(duì)立事件的定義，即可判斷.【詳解】A.由條件可知，恰好有1件次品和恰好有2件次品是互斥事件，但不是對(duì)立事件，故A正確；B.至少有1件次品和全是次品不是互斥事件，故B錯(cuò)誤；C.至少有1件正品和至少有1件次品不是互斥事件，故C錯(cuò)誤；D.至少有1件次品和全是正品是對(duì)立事件，故D錯(cuò)誤.故選：A14.已知直角梯形上下兩底分別為分別為2和4，高為，則利用斜二測(cè)畫(huà)法所得其直觀(guān)圖的面積為（）A. B. C.3 D.6【答案】C【解析】【分析】按照斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出直觀(guān)圖，利用梯形面積公式便可求得其面積.【詳解】如圖所示，實(shí)線(xiàn)表示直觀(guān)圖，.,,∴直觀(guān)圖的面積為,故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查斜二測(cè)畫(huà)法，關(guān)鍵是掌握斜二測(cè)畫(huà)法的要領(lǐng).15.已知數(shù)列是嚴(yán)格增數(shù)列，滿(mǎn)足，，且.則n的最大值為（）A.10 B.11 C.12 D.13【答案】C【解析】【分析】欲使得n盡可能大，則的各項(xiàng)應(yīng)盡可能小，據(jù)此即可求出n的最大值.【詳解】∵，并且是嚴(yán)格增數(shù)列，，∵，即，，即n的最大值為12；故選：C.16.五行是華夏民族創(chuàng)造的哲學(xué)思想，多用于哲學(xué)?中醫(yī)學(xué)和占卜方面，五行學(xué)說(shuō)是華夏文明重要組成部分.古代先民認(rèn)為，天下萬(wàn)物皆由五類(lèi)元素組成，分別是金?木?水?火?土，彼此之間存在相生相克的關(guān)系.下圖是五行圖，現(xiàn)有5種顏色可供選擇給五“行”涂色，要求五行相生不能用同一種顏色（例如金生火，水生木，不能同色），五行相克可以用同一種顏色（例如水克火，木克土，可以用同一種顏色），則不同的涂色方法種數(shù)有（）A.3125 B.1000 C.1040 D.1020【答案】D【解析】【分析】根據(jù)不鄰區(qū)域是否同色進(jìn)行分類(lèi)，確定涂色順序再分步計(jì)數(shù)即可.【詳解】五行相克可以用同一種顏色，也可以不用同一種顏色，即無(wú)限制條件.五行相生不能用同一種顏色，即相鄰位置不能用同一種顏色.故問(wèn)題轉(zhuǎn)化為如圖五個(gè)區(qū)域，有種不同的顏色可用，要求相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，即色區(qū)域的環(huán)狀涂色問(wèn)題.分為以下兩類(lèi)情況：第一類(lèi)：三個(gè)區(qū)域涂三種不同的顏色，第一步涂區(qū)域，從種不同的顏色中選種按序涂在不同的個(gè)區(qū)域上，則有種方法，第二步涂區(qū)域，由于顏色不同，有種方法，第三步涂區(qū)域，由于顏色不同，則有種方法，由分步計(jì)數(shù)原理，則共有種方法；第二類(lèi)：三個(gè)區(qū)域涂?jī)煞N不同的顏色，由于不能涂同一色，則涂一色，或涂同一色，兩種情況方法數(shù)相同.若涂一色，第一步涂區(qū)域，可看成同一區(qū)域，且區(qū)域不同色，即涂個(gè)區(qū)域不同色，從種不同的顏色中選種按序涂在不同的個(gè)區(qū)域上，則有種方法，第二步涂區(qū)域，由于顏色相同，則有種方法，第三步涂區(qū)域，由于顏色不同，則有種方法，由分步計(jì)數(shù)原理，則共有種方法；若涂一色，與涂一色的方法數(shù)相同，則共有種方法.由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理可知，不同的涂色方法共有種.故選：D.三、解答題（本大題共有5題，滿(mǎn)分44分）．17.如圖，已知圓錐的底面半徑，經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)軸SO的截面是等邊三角形SAB，點(diǎn)Q為半圓弧AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為母線(xiàn)SA的中點(diǎn).（1）求此圓錐的體積；（2）求異面直線(xiàn)PQ與SO所成角的大小.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由軸截面為等邊三角形確定圓錐的高，再由圓錐的體積公式進(jìn)行求解；（2）取的中點(diǎn)，連接，利用三角形的中位線(xiàn)得到，得到為異面直線(xiàn)與所成的角或其補(bǔ)角，再利用兩個(gè)直角三角形和進(jìn)行求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)閳A錐的底面半徑，且截面三角形SAB是等邊三角形，所以，，所以圓錐的體積為.【小問(wèn)2詳解】取的中點(diǎn)，連接、，又點(diǎn)為母線(xiàn)的中點(diǎn)，所以，故為異面直線(xiàn)與所成的角或其補(bǔ)角.由點(diǎn)為半圓弧的中點(diǎn)，得，在中，因?yàn)?，，所以，因?yàn)椋移矫?，所以平面，又平面，所以因?yàn)?，在中，，?所以.即求異面直線(xiàn)與所成角的大小為.18.已知遞增的等差數(shù)列的首項(xiàng)，且成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足，為數(shù)列前項(xiàng)和，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)由已知列式求得公差，代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案；（2）把數(shù)列的通項(xiàng)公式代入，分組后利用等差數(shù)列與等比數(shù)列前項(xiàng)和公式求解．【詳解】由題可知，且即可得點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查等比數(shù)列的性質(zhì)，訓(xùn)練了等差數(shù)列與等比數(shù)列前項(xiàng)和的求法，是中檔題．19.在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中：（1）若，求（2）若所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于4096，求展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）把代入，利用賦值法求得答案.（2）由二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)求出，求出展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，列出不等式求出系數(shù)最大項(xiàng).【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，取，得，取，得，所以.【小問(wèn)2詳解】由所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于4096，得，解得，二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，令展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第項(xiàng)，則，整理得，解得，而，因此，所以展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng).20.某微小企業(yè)員工的年齡分布莖葉圖如圖所示：（1）求該公司員工年齡的極差和第25百分位數(shù)；（2）從該公司員工中隨機(jī)抽取一位，記所抽取員工年齡在區(qū)間內(nèi)為事件，所抽取員工年齡在區(qū)間內(nèi)為事件，判斷事件與是否互相獨(dú)立，并說(shuō)明理由；【答案】（1）極差為；第25百分位數(shù)為（2）事件和相互獨(dú)立，理由見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)定義直接計(jì)算極差和百分位數(shù)得到答案.（2）計(jì)算得到，，，即，得到答案.【小問(wèn)1詳解】員工年齡的極差為，，故第25百分位數(shù)為.【小問(wèn)2詳解】，，，故，故事件和相互獨(dú)立.21.如圖，在四棱錐中，已知平面ABCD，且四邊形ABCD為直角梯形，，，.（1）證明：；（2）線(xiàn)段CP上是否存在一點(diǎn)M，使得直線(xiàn)AM垂直平面PCD，若存在，求出線(xiàn)段AM的長(zhǎng)，若不存在，說(shuō)明理由；（3）點(diǎn)Q是線(xiàn)段BP上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線(xiàn)CQ與DP所成的角最小時(shí)，求線(xiàn)段BQ的長(zhǎng).【答案】（1）證明見(jiàn)解析.（2）存在，線(xiàn)段AM的長(zhǎng)為.（3）【解析】【分析】（1）通過(guò)定義法證明線(xiàn)面垂直，即可證出兩線(xiàn)垂直.（2）通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，表達(dá)坐標(biāo)點(diǎn)，進(jìn)而根據(jù)線(xiàn)面垂直的性質(zhì)，證明直線(xiàn)AM與和都垂直，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，進(jìn)而求出線(xiàn)段AM的長(zhǎng).（3）通過(guò)向量關(guān)系表達(dá)出，再表達(dá)出，列