微積分學的創(chuàng)始人:德國數學家Leibniz微分學導數描述函數變化快慢微分描述函數變化程度都是描述物質運動的工具(從微觀上研究函數)導數與微分英國數學家Newton機動目錄上頁下頁返回結束第一節(jié)

導數的概念一、引例二、導數的定義三、由定義求導數舉例四、導數的幾何意義五、可導與連續(xù)的關系

一、引例1.變速直線運動的瞬時速度設質點運動的位置函數為則在內的平均速度為而在時刻的瞬時速度為2.切線的斜率切線——割線的極限位置播放如圖,如果割線MN繞點M旋轉而趨向極限位置MT,直線MT就稱為曲線C在點M處的切線.設則割線MN的斜率為切線MT的斜率為二、導數的定義定義11.函數在某點處導數的定義注2．左導數與右導數的定義定義2注20左導數與右導數統(tǒng)稱為單側導數．3．導函數的定義定義3注10（＊＊）式稱為導函數的定義式．20導數與導函數的關系：30

在不至于引起混淆的場合，導函數通常簡稱為導數．三、按定義求導數舉例例1按定義求函數的導數．解解一般地例如,例2按定義求函數的導數．例3設按定義求．解例4解例5設求解例6設求解四、導數的幾何意義注法線方程為切線方程為30

解切線方程為法線方程為即即五、可導與連續(xù)的關系【簡言之，可導一定連續(xù).】證定理注連續(xù)不一定可導，不連續(xù)一定不可導．例8解（１）連續(xù)性在x=０處連續(xù)．（２）可導性在x=０處不可導．例9解（１）連續(xù)性函數y

在x=０處不連續(xù)．（２）可導性但函數y在x=０處不可導．由（1）知，2.切線的斜率切線——割線的極限位置2.切線的斜率切線——割線的極限位置2.切線的斜率切線——割線的極限位置2.切線的斜率切線——割線的極限位置2.切線的斜率切線——割線的極限位置2.切線的斜率切線——割線的極限位置2.切線的斜率切線——割線的極限位置2.切線的斜率切線——割線的極限位置2.切線的斜率切線——割線的極限位置2.切線的斜率切線——割線的極限位置思考與練習1.函數在某點處的導數區(qū)別:是函數,是數值;聯系:注意:有什么區(qū)別與聯系?？與導函數機動目錄上頁下頁返回結束2.設存在,則3.已知則4.

若時,恒有問是否在可導?解:由題設由夾逼準則故在可導,且機動目錄上頁下頁返回結束5.

設,問a取何值時,在都存在,并求出解:故時此時在都存在,顯然該函數在x=0連續(xù).機動目錄上頁下頁返回結束備用題

解:因為1.設存在,且求所以機動目錄上頁下頁返回結束在處連續(xù),且存在，證明:在處可導.證：因為存在，則有又在處連續(xù),所以即在處可導.2.設故機動目錄上頁下頁返回結束牛頓(1642–1727)偉大的英國數學家,物理學家,天文學家和自然科學家.他在數學上的卓越貢獻是創(chuàng)立了微積分.1665年他提出正流數(微分)術,次年又提出反流數(積分)術，并于1671年完成《流數術與無窮級數》一書(1736年出版).他還著有《自然哲學的數學原理》和《廣義算術》等.機動目錄上頁下頁返回結束萊布尼茲(1646–1716)德國數學家,哲學家.他和牛頓同為微積分的創(chuàng)始人,他在《學藝》雜志上發(fā)表的幾篇有關微積分學的論文中,有的早于牛頓,所用微積分符號也遠遠優(yōu)于牛頓.他還設計了作乘法的計算機，系統(tǒng)地闡述二進制計數法，并把它與中國的八卦聯系起來.機動目錄上頁下頁返回結束一、基本初等函數的導數公式二、函數的和、差、積、商的求導法則三、反函數的求導法則四、復合函數的求導法則五、分段函數的求導法第二節(jié)基本導數公式與函數的求導法則

一、基本初等函數的導數公式注三角函數與反三角函數的導數公式的符號記憶法：正“＋”，余“－”二、函數的和、差、積、商的求導法則定理1設函數都可導，則注解解例1求．設例2求設例3求設解例4求．設解例5求．設解例6求設解三、反函數的求導法則定理2【簡言之，反函數的導數等于直接函數導數的倒數.】例7證證明：是的反函數，內單調、可導，內有四、復合函數的求導法則定理3【簡言之，因變量對自變量的導數等于因變量對中間變量的導數乘以中間變量對自變量的導數】則設注解例8設求可分解為解例9設求解例10設求解例11設求解例12設求解解例14設求例13設求解例16設求其中為可導函數,例15設求解五、分段函數的求導法分段點處按定義求導，在分段區(qū)間內部按導數公式與運算法則求導．

例17設求當時，解當時，解例18設求當時，當時，當時，綜上得：思考題設求思考題解答⑥①②③④⑤二、高階導數的求法第三節(jié)一、高階導數的概念高階導數

一、高階導數的概念（一）定義（二）記號一階，二階，三階，四階，，ｎ階二、高階導數的求法例1解（一）逐次求導歸納法（直接法）設例2解設特別地，例3解同理可得設例4解設1.高階導數的運算法則:【萊布尼茲（Leibniz）公式】（二）公式法（間接法）

運用高階導數的運算法則及常用的高階導數公式2．常用的高階導數公式特別地，例5解設例6解設例7解設例8解設解例9設解解例10設其中存在，求例11設其中存在，求解例12試從導出：思考題設連續(xù)，且，求.思考題解答不一定存在,故用定義求解:

設求其中f二階可導.備用題機動目錄上頁下頁返回結束隱函數及由參數方程

所確定的函數的導數

相關變化率一、隱函數的求導方法二、冪指函數及“乘積型”復雜函數的求導方法三、由參數方程所確定的函數的求導法則四、相關變化率第四節(jié)

一、隱函數的求導方法方程兩邊對自變量x求導，得到關于所求導數的等式，從中出解,即得所求導數．解解得例1設方程兩邊對求導，得解解得例2設方程兩邊對求導，得解例3設方程兩邊對求導，得方程(1)兩邊對求導，得將二、冪指函數及“乘積型”復雜函數的

求導方法例4設解一等式兩邊取對數得方程兩邊對求導，得（對數求導法）解二（指數求導法）例4設例5設解等式兩邊取對數得方程兩邊對求導，得三、由參數方程確定的函數的求導法則若則解例6設解例7設四、相關變化率▲相關變化率問題:已知其中一個變化率，求出另一個變化率．▲相關變化率問題解法:找出相關變量的關系式對t求導得兩個相關變化率之間的關系式求出未知的變化率例8解試求當容器內水有一底半徑為Rcm,高為hcm的圓錐容器,今以位等于錐高的一半時水面上升的速率.設時刻t容器內水面高度為

x,水的兩邊對t

求導，得而故體積為V,則例9的速率自頂部向容器內注水,解方程兩邊對x求導,得再求導,得②當時,故由①得①由方程確定,求設思考題1思考題1解答再將代入②得方程組兩邊同時對t求導,得思考題2,求設思考題2解答練習1.求螺線在對應于的點處的切線方程.解:化為參數方程當時對應點斜率∴切線方程為機動目錄上頁下頁返回結束求其反函數的導數.解:方法1方法2等式兩邊同時對求導2.設機動目錄上頁下頁返回結束3.設求提示:分別用對數微分法求答案:機動目錄上頁下頁返回結束第五節(jié)機動目錄上頁下頁返回結束函數的微分

○、引例

函數增量的近似值問題一、微分的定義二、可導與可微的關系

三、微分的幾何意義四、基本微分公式與微分的運算法則

五、微分的求法

○、引例

函數增量的近似值問題實例:正方形金屬薄片受熱后面積的增量的計算.∵正方形面積Δx的線性函數，是ΔS的主要部分．一、微分的定義定義注二、可導與可微的關系定理證(1)必要性從而【簡言之，可導可微】(2)充分性由函數極限與無窮小的關系得,∴函數30

注10

且當時，三、微分的幾何意義MNT）PQ例1解例2解四、基本微分公式與微分的運算法則1.基本微分公式2.微分的四則運算法則3．復合函數的微分法則u是自變量u是中間變量注五、求微分的方法方法一直接法

利用微分的公式與法則．方法二間接法

利用微分與導數的關系：例3解法二設解法一例4解設例5解設例6解在下列等式的括號中填入適當的函數,使等式成立.六、微分在近似計算中的應用當很小時,使用原則:得近似等式:機動目錄上頁下頁返回結束1.函數值與函數增量的近似計算特別當很小時,常用近似公式:很小)證明:令得機動目錄上頁下頁返回結束的近似值.解設取則例7求機動目錄上頁下頁返回結束的近似值.解例8計算機動目錄上頁下頁返回結束例9有一批半徑為1cm的球,為了提高球面的光潔度,解已知球體體積為鍍銅體積為V在時體積的增量因此每只球需用銅約為(g)用銅多少克.估計一下,每只球需要鍍上一層銅,厚度定為0.01cm,機動目錄上頁下頁返回結束2.誤差估計某量的精確值為A,其近似值為a,稱為a

的絕對誤差稱為a

的相對誤差若稱為測量

A

的絕對誤差限稱為測量

A

的相對誤差限機動目錄上頁下頁返回結束誤差傳遞公式:已知測量誤差限為按公式計算y值時的誤差故y的絕對誤差限約為相對誤差限約為若直接測量某量得x,機動目錄上頁下頁返回結束例10

設測得圓鋼截面的直徑

測量D的

絕對誤差限欲利用公式圓鋼截面積,解計算A

的絕對誤差限約為

A

的相對誤差限約為試估計面積的誤差.計算機動目錄上頁下頁返回結束(mm)思考題設函數的圖形如下,試在圖中標出點處的及并說明其正負.思考題解答習題課一、導數和微分的概念及應用機動目錄上頁下頁返回結束二、導數和微分的求法導數與微分

一、導數和微分的概念及應用?導數:當時,為右導數當時,為左導數?微分:機動目錄上頁下頁返回結束?關系

:可導可微(思考P124題1)?應用:(1)利用導數定義解決的問題

(3)微分在近似計算與誤差估計中的應用(2)用導數定義求極限1)推出三個最基本的導數公式及求導法則其他求導公式都可由它們及求導法則推出;2)求分段函數在分界點處的導數,及某些特殊函數在特殊點處的導數;3)由導數定義證明一些命題.機動目錄上頁下頁返回結束例1.設存在,求解:

原式=機動目錄上頁下頁返回結束例2.，其中存在解:原式=且聯想到湊導數的定義式機動目錄上頁下頁返回結束求，例3.設在處連續(xù),且求解:思考

:

P124題2機動目錄上頁下頁返回結束例4.設試確定常數a,b

使f(x)

處處可導,并求解:得即機動目錄上頁下頁返