立體幾何初步（I）（六大題型+模擬精練）

01題型歸納

目錄：

?題型01概念、截面、展開圖

?題型02直觀圖

?題型03表面積和體積

?題型04實(shí)際應(yīng)用、傳統(tǒng)文化等

?題型05立體幾何初步的計(jì)算綜合辨析

?題型06多面體的切接問題

一、單選題

?題型01概念、截面、展開圖

1.（2024高三?全國?專題練習(xí)）有下列命題：

①若在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線；

②直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐；

③棱臺的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長一定相等；

④底面是正多邊形的棱錐一定是正棱錐.

其中，正確命題的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

2.（2023高三?全國?專題練習(xí)）已知在正方體4BCD-43cA中，E,F,G分別是AS,BBX,4G的中

點(diǎn)，則過這三點(diǎn)的截面圖的形狀是（）

A.三角形B.四邊形C,五邊形D.六邊形

3.（22-23高三上,四川成都?階段練習(xí)）已知正四面體/BCD的棱長為。，E為CD上一點(diǎn)，且CE:E0=2:1,

則截面A/AE■的面積是（）

A^2nV2A/1;70A/19^2

A.--a2B.——a2CR.---a2D.---a

421212

4.（2024?福建泉州?模擬預(yù)測）已知圓錐的側(cè)面積是2兀，且它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓,則這個(gè)圓錐的內(nèi)切球

半徑為（）

A276RV3r2V3nV6

3333

5.（2024?遼寧?模擬預(yù)測）圓錐的高為2,底面半徑為1,則以圓錐的高為直徑的球O表面與該圓錐側(cè)面交

線長為（）

V5K2石兀n返

A?---D.-------LU.

5555

6.（2024?吉林?模擬預(yù)測）已知圓錐的側(cè)面積是4兀，且它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐的內(nèi)切球半

徑為（）

.2^/6rV3R2A/3nV6

3333

7.（2024?廣東汕頭?一模）已知圓錐的頂點(diǎn)為S,。為底面圓心，母線S4與S3互相垂直，△S43的面積為8,

S4與圓錐底面所成的角為30。，則（）

A.圓錐的高為1

B.圓錐的體積為24元

C.圓錐側(cè)面展開圖的圓心角為亞紅

3

D.二面角S-48-0的大小為45。

8.（2024?四川自貢?三模）已知球O半徑為4,圓。?與圓儀為球體的兩個(gè)截面圓，它們的公共弦長為4,若

|OQ|=3,|OO2|=V3,則兩截面圓的圓心距似勾=()

A.V3B.述C.3+百

D.273

3

9.（2024?云南曲靖?模擬預(yù)測）正方體/BCD-44GA外接球的體積為46兀，E、F、G分別為棱

44|、44、42的中點(diǎn)，則平面E尸G截球的截面面積為（）

5兀4兀2兀兀

A.—B.—C.—D.一

3333

10.（2024?河南新鄉(xiāng)?三模）已知球。的半徑為5,點(diǎn)A到球心。的距離為3,則過點(diǎn)A的平面二被球。所截

的截面面積的最小值是（）

A.9兀B.12KC.16KD.20兀

?題型02直觀圖

11.（2024?湖北?模擬預(yù)測）用斜二測畫法畫出的水平放置的“3C的直觀圖如圖所示，其中。，是8'C’的中

A'D'=B'C=2,那么)

C.272D.4

12.（23-24高一下?山東聊城?階段練習(xí)）用斜二測畫法畫三角形048的直觀圖ON?,如圖所示，已知

dA±AB,o'A=i,則OB=(

A.V2B.2V2C.2D.4

13.（2024?四川成都?模擬預(yù)測）如圖，△。/皆是水平放置的AO48用斜二測畫法畫出的直觀圖（圖中虛線

分別與2軸和了軸平行），O'B'=2O'D'=6,O'C'=8,貝IJACMB的面積為（

C.24D.48

14.（22-23高一下,湖北武漢?期中）如圖，四邊形/BCD的斜二測畫法直觀圖為等腰梯形HB'C'D'.已知

A'B'=4,CD'=2,則下列說法正確的是（）

B.AD'=272

C.四邊形48c。的周長為4+2VI+26

D.四邊形48cZ）的面積為6立

?題型03表面積和體積

15.（2024?全國?高考真題）已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為右，則圓錐的

體積為（）

A.兀B.3人兀C.6收D.9后

16.（2024?河北?模擬預(yù)測）過圓錐尸。高的中點(diǎn)。'作平行于底面的截面，則截面分圓錐尸。上部分圓錐與下

部分圓臺體積比為（）

17.（23-24高二下?云南昆明?階段練習(xí)）若三棱錐S-/8C的所有頂點(diǎn)都在半徑為2的球。的球面上，SB為

球。的直徑，且/C=2加，則該三棱錐的最大體積為（）

4816

A.-B.—C.3D.——

333

18.（23-24高三下?湖南婁底?階段練習(xí)）已知圓臺的體積為U叵，母線長為3,高為石，則圓臺的側(cè)面

3

積為（）

A.36兀B.24兀C.18兀D.1271

19.（2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?二模）已知某圓臺的母線長為2亞,母線與軸所在直線的夾角是45。，且上、下

底面的面積之比為1:4,則該圓臺外接球的表面積為（）

A.40兀B.64KC.80兀D.128兀

20.（2024?天津河西?三模）如圖,在三棱柱中，E,尸分別為NC的中點(diǎn)，平面E與C/將

三棱柱分成體積為匕，匕兩部分，則匕：匕=（）

A.1：1B.4：3C.6：5D.7：5

?題型04實(shí)際應(yīng)用、傳統(tǒng)文化等

21.（2024?河北滄州?三模）《幾何補(bǔ)編》是清代梅文鼎撰算書，其中卷一就給出了正四面體，正六面體（立

方體）、正八面體、正十二面體、正二十面體這五種正多面體的體積求法.若正四面體尸-的棱長為2道,

M為棱尸N上的動點(diǎn)，則當(dāng)三棱錐48c的外接球的體積最小時(shí)，三棱錐的體積為（）

A.如1B.4亞C.473D.873

3

22.（2024高三?全國?專題練習(xí)）折扇是我國古老文化的延續(xù)，在我國已有四千年左右的歷史，"扇"與"善"

諧音，折扇也寓意"善良”"善行”，它常以字畫的形式體現(xiàn)我國的傳統(tǒng)文化，也是運(yùn)籌帷幄、決勝千里、大智

大勇的象征（如圖①），圖②是一個(gè)圓臺的側(cè)面展開圖（扇形的一部分），若兩個(gè)圓弧礪、就所在圓的半徑

分另U是3和6,且//8C=120。，則下列關(guān)于該圓臺的說法錯誤的是)

圖①圖②

A.高為2百B.母線長為3

D.體積為?1

C.表面積為14%7r

23.（2024?山東荷澤?模擬預(yù)測）荷澤市博物館里，有一條深埋600多年的元代沉船，對于研究元代的發(fā)展

提供了不可多得的實(shí)物資料.沉船出土了豐富的元代瓷器，其中的白地褐彩龍風(fēng)紋罐（如圖）的高約為36cm,

把該瓷器看作兩個(gè)相同的圓臺拼接而成（如圖），圓臺的上底直徑約為20cm,下底直徑約為40cm,忽略其

壁厚，則該瓷器的容積約為（）

A.42007rcm3B.84007icm3C.168007icm3D.336007rcm3

24.（2024?天津北辰?三模）中國載人航天技術(shù)發(fā)展日新月異.目前，世界上只有3個(gè)國家能夠獨(dú)立開展載人

航天活動.從神話“嫦娥奔月"到古代"萬戶飛天"，從詩詞"九天攬?jiān)?到壁畫"仕女飛天"……千百年來，中國人

以不同的方式表達(dá)著對未知領(lǐng)域的探索與創(chuàng)新.如圖，可視為類似火箭整流罩的一個(gè)容器，其內(nèi)部可以看成

由一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱組合而成的幾何體.圓柱和圓錐的底面半徑均為2,圓柱的高為6,圓錐的高為4.若將

其內(nèi)部注入液體，已知液面高度為7,則該容器中液體的體積為（）

215兀325兀

C.-------D.------

916

二、多選題

?題型05立體幾何初步的計(jì)算綜合辨析

25.（2024?黑龍江?模擬預(yù)測）圖柱的軸截面為正方形，則下列結(jié)論正確的有（）

A.圓柱內(nèi)切球的半徑與圖柱底面半徑相等

B.圓柱內(nèi)切球的表面積與圓柱表面積比為:

C.圓柱內(nèi)接圓錐的表面積與圓柱表面積比為g

D.圓柱內(nèi)切球的體積與圓柱體積比為§

26.（2024?河北衡水?三模）己知在正方體中，=2,點(diǎn)M為4。的中點(diǎn)，點(diǎn)尸為正方

形內(nèi)一點(diǎn)（包含邊界），且BP//平面/8眼，球。為正方體力BCD-44GA的內(nèi)切球，下列說法

正確的是（）

47r

A.球。的體積為半B.點(diǎn)P的軌跡長度為2及

C.異面直線CG與取所成角的余弦值取值范圍為號坐D.三棱錐M-必片外接球與球。內(nèi)

切

27.（2024?廣西南寧■模擬預(yù)測）已知圓錐的頂點(diǎn)為P,底面圓心為。，為底面直徑，ZAPB=nO°,PA=2,

點(diǎn)。在底面圓周上，且二面角尸-的大小為45。，貝！|（）

A.zXR4c的面積為百B.該圓錐的側(cè)面積為2也兀

C.AC=s/3D.該圓錐的體積為H

28.（2024?山東?模擬預(yù)測）如圖，有一個(gè)棱臺形的容器-44GA（上底面48GA無蓋），其四條側(cè)

棱均相等，底面為矩形，AB=^BC=^B,=^q=lm,容器的深度為1m,容器壁的厚度忽略不計(jì)，則

下列說法正確的是（）

A.AAX=V2m

B.該四棱臺的側(cè)面積為（3夜+3^

C.若將一個(gè)半徑為0.9m的球放入該容器中，則球可以接觸到容器的底面

D.若一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿著容器外壁爬到點(diǎn)￡,則其爬行的最短路程為、工+逐m

三、填空題

?題型06多面體的切接問題

29.（2024?山東荷澤?模擬預(yù)測）已知正方體/BCD-44G2棱長為2,若點(diǎn)。是線段NC的中點(diǎn)，則三棱

錐。-44。的外接球的表面積為.

30.（23-24高二下?浙江寧波?期末）已知四棱錐尸-48CD的底面是矩形，平面尸NB_L平面/BCD,PA=3,

尸2=4,GD=5.若四棱錐尸-/BCD內(nèi)存在內(nèi)切球（球與四棱錐的各個(gè)面均相切），貝IJBC=,該內(nèi)切

球的表面積為.

31.（2024?湖南長沙三模）在直三棱柱ABC-44cl中，AC=BC=^,AB=4,A4=26,E是棱CC,上一點(diǎn),

平面也將直三棱柱NBC-48c分成體積相等的兩部分.若4綜4，￡四點(diǎn)均在球。的球面上，則球。的

體積為.

32.（2024?浙江金華?模擬預(yù)測）稱四面體的棱切球?yàn)榕c該四面體的每條棱內(nèi)部都相切的球.已知四面體

存在棱切球，且/3=/O=6,NC=CD=8,則該四面體的體積為，棱切球的半徑為.

02模擬精練

一、單選題

L（2024?廣東佛山?二模）某圓錐高為6,母線與底面所成的角為7T:，則該圓錐的表面積為（）

A.3兀B.47iC.5兀D.6兀

2.（2024?貴州貴陽?模擬預(yù)測）下圖是一個(gè)圓臺的側(cè)面展開圖，已知A4=12,8。=6且/48C=120。，則

該圓臺的體積為（）

A.112MtB.速無C.殮3D.好兀

333

3.（2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?二模）已知某圓臺的母線長為2及，母線與軸所在直線的夾角是45。，且上、下

底面的面積之比為1:4,則該圓臺外接球的表面積為（）

A.40兀B.64兀C.80TID.128兀

4.（2024?福建?模擬預(yù)測）一個(gè)底面半徑為2的圓錐的軸截面為正三角形，現(xiàn)用平行于底面的平面將該圓錐

截成兩個(gè)部分，若這兩部分的表面積相等，則該平面在圓錐上的截面面積（）

A.31tB.2島C.2A/2TID.2兀

5.（2024?廣東?模擬預(yù)測）建盞是福建省南平市建陽區(qū)的特產(chǎn)，是中國國家地理標(biāo)志產(chǎn)品，其多是口大底小,

底部多為圈足且圈足較淺（如圖所示），因此可將建盞看作是圓臺與圓柱拼接而成的幾何體.現(xiàn)將某建盞的上

半部分抽象成圓臺。。2，已知該圓臺的上、下底面積分別為1671cm,和gTrcm：高超過1cm,該圓臺上、下底

面圓周上的各個(gè)點(diǎn)均在球。的表面上，且球。的表面積為100兀cm?,則該圓臺的體積為（）

a259兀260兀o

A.8071cm3B.---cm3C.---cm3D.87兀cn?

33

6.（2024?浙江?模擬預(yù)測）如圖，已知長方體/BCD-44G。的體積為匕￡是棱G2的中點(diǎn)，平面4片E將

長方體分割成兩部分，則體積較小的一部分的體積為（）

7.（2024?四川成都?模擬預(yù)測）已知圓錐的頂點(diǎn)為尸，底面圓心為。，48為底面直徑，/4PB=120°,PA=2,

點(diǎn)C在底面圓周上，且二面角尸-/C-O為45。，則（）

A.該圓錐的側(cè)面積為4百兀B.該圓錐的體積為27t

C.的面積為gD.AC=141

8.（2024?河南?模擬預(yù)測）如圖，已知直三棱柱/3C-481G的體積為4,/C_L5C,AC=BC=CC、，D為Bg

的中點(diǎn)，E為線段NC上的動點(diǎn)（含端點(diǎn)），則平面截直三棱柱N3C-4耳G所得的截面面積的取值范

圍為（）

二、多選題

9.（2024?河南關(guān)B州?模擬預(yù)測）下列說法中，錯誤的為（）

A.有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐；

B.有兩個(gè)面互相平行，其余四個(gè)面都是等腰梯形的六面體是棱臺；

C.底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐；

D.棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等，則此棱錐不可能是正六棱錐.

10.（2023?海南?？?二模）勒洛四面體是一個(gè)非常神奇的"四面體"，它能在兩個(gè)平行平面間自由轉(zhuǎn)動，并且

始終保持與兩平面都接觸，因此它能像球一樣來回滾動.勒洛四面體是以正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)為球心，以

正四面體的棱長為半徑的四個(gè)球的公共部分，如圖所示.若某勒洛四面體內(nèi)的四面體的高為2行，

則（）

A.AB=34iB.△BCD外接圓的半徑為2

C.四面體力-BCD的體積為D.該勒洛四面體的表面積為24萬

11.（2024?重慶?模擬預(yù)測）如圖所示，在棱長為2正方體48co-中，E,P,M,N分別為

cq，G2，/S44的中點(diǎn)，尸為側(cè)面BCC圈內(nèi)的動點(diǎn)（不包含邊界），且4尸〃平面。。是三角形尸

內(nèi)一動點(diǎn)（包含邊界），且直線/N與直線的夾角等于直線血W與直線N0的夾角，則下列說法正確的是

（）

A.存在點(diǎn)尸使得4尸〃

B.點(diǎn)尸的軌跡長度為亞

C.三棱錐體積的最大值為|

D.過點(diǎn)3作平面夕，使則平面。截正方體所得的截面周長為2行+行

三、填空題

12.（2024?福建南平?模擬預(yù)測）已知圓臺的母線長為4,下底面圓的半徑是上底面圓的半徑的3倍,

軸截面周長為16,則該圓臺的表面積為.

13.（2024?山東荷澤?模擬預(yù)測）已知正方體48co-44G。棱長為2,若點(diǎn)O是線段ZC的中點(diǎn)，則三棱

錐。-44。的外接球的表面積為.

14.（2024?浙江杭州?三模）已知正三角形ABC的邊長為2,中心為。，將“8C繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角

然后沿垂直于平面的方向向上平移至A/'B'C',使得兩三角形所在平面的距離為半,

連接44'，AC,BA',BB'，CB',CC,得到八面體/BU'B'C',則該八面體體積的取值范圍為.

立體幾何初步（I）（六大題型+模擬精練）

01題型歸納

目錄：

?題型01概念、截面、展開圖

?題型02直觀圖

?題型03表面積和體積

?題型04實(shí)際應(yīng)用、傳統(tǒng)文化等

?題型05立體幾何初步的計(jì)算綜合辨析

?題型06多面體的切接問題

一、單選題

?題型01概念、截面、展開圖

1.（2024高三?全國?專題練習(xí)）有下列命題：

①若在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線；

②直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐；

③棱臺的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長一定相等；

④底面是正多邊形的棱錐一定是正棱錐.

其中，正確命題的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【詳解】①不一定，只有當(dāng)這兩點(diǎn)的連線平行于軸線時(shí)才是母線；②不一定，當(dāng)以斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸

時(shí)，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體不是圓錐，如圖所示，它是由兩個(gè)同底圓錐組成的幾何體；③

錯誤，棱臺的上、下底面相似且是對應(yīng)邊平行的多邊形，各側(cè)棱延長線交于一點(diǎn)，但是側(cè)棱長不一定相等;

④錯誤，底面是正多邊形且頂點(diǎn)在底面的射影為底面正多邊形的中心的棱錐是正棱錐.

s

【考查意圖】空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征.

2.（2023高三?全國?專題練習(xí)）已知在正方體48co-4片GA中，E,F,G分別是48,BBt,4G的中

點(diǎn)，則過這三點(diǎn)的截面圖的形狀是（）

A.三角形B.四邊形C,五邊形D.六邊形

【答案】D

【分析】利用平行畫出截面，進(jìn)而判斷出正確答案.

【詳解】分別取2。、2。、的中點(diǎn)反、M、N,連接GH、HM、MN,

?.?在正方體/BCD-44G〃中，E,F,G分別是BB、,5￡的中點(diǎn),

HG//EN,HMHEF,FGHMN,

，六邊形是過E,F,G這三點(diǎn)的截面圖,

???過這三點(diǎn)的截面圖的形狀是六邊形.

3.（22-23高三上?四川成都?階段練習(xí)）已知正四面體48co的棱長為。，E為上一點(diǎn)，且CE:ED=2:1,

則截面的面積是（）

V2V2V17門Mz

Aa.a2BR.——a2Cr.-------a2D.------a

421212

【答案】D

【分析】在立體圖形中作平面幾何分析，利用余弦定理和面積公式求解即可.

C

21

因?yàn)镃D=a,CE：ED=2:1,所以CE=—a,ED=—a,

33

所以在正三角形/CD中，由余弦定理可知:

AE-=AC2+CE2-1AC-CE-cosZACD

/2。、22a17

=q2+（——）—2a?——=—a2,

3329

因?yàn)椤?8和AACD都是正三角形，

所以ZADE=/BDE,AD=BD,DE=DE,

所以^ADEnBDE,所以跖=ZE,

所以ANBE是等腰三角形，取48中點(diǎn)尸，則跖，

所以斯2=AE2-AF2=-a2-（公=—

9（2）36

故選:D.

4.（2024?福建泉州?模擬預(yù)測）已知圓錐的側(cè)面積是2兀，且它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓,則這個(gè)圓錐的內(nèi)切球

半徑為（）

A后

2RV3r2MnV6

3333

【答案】B

【分析】先畫出圖形，設(shè)圓錐底面圓的半徑為高為〃，母線長為/,并由題意聯(lián)立方程組求出；再由特殊的直

角三角形的性質(zhì)解出圓錐內(nèi)切球的半徑即可.

【詳解】如圖所示圓錐和側(cè)面展開圖.

A

設(shè)圓錐底面圓的半徑為j高為K母線長為/，由題意知:

兩式相除解得r=1,/=2;

所以圓錐的頂角為軸截面為等邊三角形，圓錐的高〃=萬萬=6,

設(shè)圓錐的內(nèi)切圓半徑為R,Rt^AOS中,OS=，即A=-A），解得R=等.

故選:B.

5.（2024?遼寧?模擬預(yù)測）圓錐的高為2,底面半徑為1,則以圓錐的高為直徑的球O表面與該圓錐側(cè)面交

線長為（）

2后4兀8兀

D.

555

【答案】D

【分析】作圓錐尸a的軸截面尸/B,設(shè)軸截面尸與球。交點(diǎn)為4,用,a為中點(diǎn)，則球。表面與該圓錐

側(cè)面交線即為以24為半徑的圓，利用相似和勾股定理求出長即可.

【詳解】根據(jù)題意，以圓錐的高為直徑的球。半徑為1,且與圓錐底面相切于底面圓心a，

作圓錐PO,的軸截面PAB,設(shè)軸截面P/8與球。交點(diǎn)為4,片,。2為4月中點(diǎn)，

則球。表面與該圓錐側(cè)面交線即為以O(shè)2A,為半徑的圓,

因?yàn)?在圓上，所以尸所以A0//SA尸OM，

又因?yàn)槭?=J尸。；=布,所以由f=鬻解得a4=境，

rA5

所以尸4=皿；-0國：=竽,

114

所以由等面積可得，解得仇4=^，

所以交線長為2兀。24=￡，

6.（2024?吉林?模擬預(yù)測）已知圓錐的側(cè)面積是4兀，且它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐的內(nèi)切球半

徑為（）

A276RV3r273

333

【答案】D

【分析】設(shè)出圓錐底面圓的半徑，并由題意聯(lián)立方程組求出；再由勾股定理解出圓錐內(nèi)切球的半徑即可.

【詳解】

Ttrl=471

設(shè)圓錐底面圓的半徑為「，高為人母線長為/,由題意知:

Til=2nr

兩式相除解得廠=應(yīng)，/=2虛;

所以圓錐的頂角為方，軸截面為等邊三角形，圓錐的高6=42亞j一⑻=瓜,

A

設(shè)圓錐的內(nèi)切圓半徑為A,（V6-7?）2=7?2+（^）2,解得R=g.

故選：D.

7.（2024?廣東汕頭?一模）已知圓錐的頂點(diǎn)為S,。為底面圓心，母線S4與S3互相垂直，△S43的面積為8,

S4與圓錐底面所成的角為30。，則（）

A.圓錐的高為1

B.圓錐的體積為24兀

c.圓錐側(cè)面展開圖的圓心角為復(fù)況

D.二面角的大小為45。

【答案】D

【分析】利用三角形的面積公式求出圓錐SO的母線長，結(jié)合線面角的定義可判斷A選項(xiàng)；利用圓錐的體積

公式可判斷B選項(xiàng)；利用扇形的弧長公式可判斷C選項(xiàng)；利用二面角的定義可判斷D選項(xiàng).

【詳解】對于A選項(xiàng)，因?yàn)镾O與底面垂直，04為底面圓的一條半徑，則

所以，1s4與圓錐底面所成的角為/“。=30°，

又因?yàn)镾/_LSB,所以，的面積為=LxS/2=8,解得"=4,

22

所以，該圓錐的高為SO="應(yīng)1130。=4*；=2,A錯；

對于B選項(xiàng)，該圓錐的底面半徑為CMnW.cosSOOudx走=24，

故該圓錐的體積為憶=§兀xCU2xSO=］兀x（2百）一、2=8兀，B錯;

對于C選項(xiàng)，設(shè)該圓錐側(cè)面展開圖的圓心角為

底面圓周長為2兀x/。=兀，則6==6兀,C錯;

SA4

對于D選項(xiàng)，取4B的中點(diǎn)E,連接OE、SE,

S

因?yàn)?4=S8,E為的中點(diǎn)，則SEL4B,由垂徑定理可得,

所以，二面角S-48-0的平面角為/SEO,

因?yàn)镾O_L平面。IE,OEu平面4OE,則SO_LOE,

因?yàn)镾A=SB,則△"B為等腰直角三角形,

則48=JW+SB?=次+42=4收，所以，SE=^AB=2s/2,

gr-i?/mc_SO_2_V2

n\以r，sin/SEO=—=—f==—，

SE2V22

因?yàn)?°V/5EOV90。，故/SEO=45°,所以，二面角S-48-O的大小為45。，D對.

故選:D.

8.（2024?四川自貢?三模）已知球O半徑為4,圓。與圓■為球體的兩個(gè)截面圓，它們的公共弦長為4,若

1。0=3,則兩截面圓的圓心距|a&l=（）

A.V3B.譴C.3+V3D.273

3

【答案】D

【分析】根據(jù)球心與截面圓心連線垂直圓面，求得兩個(gè)圓面所成二面角，再根據(jù)直角三角形以及勾股定理

求解即可.

【詳解】設(shè)圓a與圓。2公共弦為/B,其中點(diǎn)為E,

則|。/|=『一="2—32=V7，|。2，|=Jp小=J42一疔=岳,

所以|。閨=加/(-|呵=77^4=6,|Q￡|=『-時(shí)=V13-4=3,

3

所以在RtZkOqE中，tan/OEO|=7^=百，所以NOEO1=60°,

A

在R￡OOzE中，tanZOm=-＞所以NOE。？=30°，

3

所以在AOEa中，/。也。2=90°，所以|。@==V^=2A/L

9.（2024?云南曲靖?模擬預(yù)測）正方體外接球的體積為46兀，E、F、G分別為棱

4%、44、4,的中點(diǎn)，則平面E尸G截球的截面面積為（）

5兀4兀2兀兀

A.—B.—C.—D.-

3333

【答案】A

【分析】由已知,得到正方體/3CD-44外接球的半徑，進(jìn)而得到正方體的棱長，再由勾股定理計(jì)算

出平面E尸G截球的截面圓的半徑，即可得到截面面積.

設(shè)正方體外接球的半徑為尺，棱長為。,

因?yàn)檎襟w研CD-4用GA外接球的體積為4G兀，

41-

所以§7^3=43^,則R=G，

由3/=（2E）,得〃=2,

設(shè)球心O到平面EFG的距離為h,平面EFG截球的截面圓的半徑為r,

設(shè)4到平面E尸G的距離為”,

因?yàn)椤?、F>G分別為棱44、4與、4A的中點(diǎn),

所以△￡FG是邊長為血的正三角形,

由「A「EFG~-E-AFG，得§S&EFG.”=§^AyFG'4M

V2XV2=—x—xlxlxl,

32232

解得，又=；4c=百,

32

所以4到平面EFG的距離為〃=；。4,

貝I〃=04,。4=R=拽，

333

/2=&2一/=（百『兇25

F

3

所以平面EBG截球的截面面積為，7IF2=|?I.

故選：A.

10.（2024?河南新鄉(xiāng)?三模）己知球。的半徑為5,點(diǎn)A到球心。的距離為3,則過點(diǎn)A的平面夕被球。所截

的截面面積的最小值是（）

A.9兀B.1271C.1671D.20K

【答案】C

【分析】根據(jù)給定條件，利用球的截面小圓性質(zhì)求出截面小圓半徑即得.

【詳解】由點(diǎn)A到球心。的距離為3,得球心。到過點(diǎn)A的平面a距離的最大值為3,

因此過點(diǎn)A的平面a被球。所截的截面小圓半徑最小值為正二？=4，

所以過點(diǎn)A的平面a被球。所截的截面面積的最小值是手兀=16兀.

故選：C

?題型02直觀圖

11.（2024?湖北?模擬預(yù)測）用斜二測畫法畫出的水平放置的。8C的直觀圖如圖所示，其中。，是AC’的中

A'D'=B'C'=2,那么S"c=（）

C.242D.4

【分析】根據(jù)斜二測畫法確定原圖形，求解即可.

【詳解】根據(jù)題意，把直觀圖還原出原平面圖形為等腰三角形，如圖所示,

其中/。工8C,AD=2A'D'=4,BC=B'C'=2,

原平面圖形的面積為LBc=pC.4）=；x2x4=4.

12.（23-24高一下?山東聊城?階段練習(xí)）用斜二測畫法畫三角形38的直觀圖ON?,如圖所示，已知

O'A±AB',O'A'=1,則03=(

A.V2B.2V2C.2D.4

【答案】B

【分析】由題意,借助于等腰直角三角形0N?，求得。'夕，再根據(jù)03在V軸上即可求得其長.

【詳解】在斜坐標(biāo)系X'?！?中，因O'/_L/8'，O'A'=1,5.AB'O'A=45°,則。?=應(yīng),

因05在y'軸上，故03在了軸上，且OB=2（yg=2日

故選：B.

13.（2024?四川成都?模擬預(yù)測）如圖，△0N8'是水平放置的用斜二測畫法畫出的直觀圖（圖中虛線

20'。'=6,O'C'=8,貝的面積為（）

C.24D.48

【分析】由直觀圖得到平面圖形，再求出相應(yīng)的線段長，最后由面積公式計(jì)算可得.

【詳解】由直觀圖可得如下平面圖形:

其中03=。'8'=6,OD=O'D'=3,OC=20C=16,勿軸，且/Z)=0C=16,

所以邑“B=；X6X16=48.

故選：D

14.（22-23高一下?湖北武漢?期中）如圖，四邊形/BCD的斜二測畫法直觀圖為等腰梯形43'C'D'.已知

A'B'=4,CD'=2,則下列說法正確的是（）

B.AD'=272

C.四邊形/BCD的周長為4+2及'+26

D.四邊形48。的面積為6立

【答案】D

【分析】利用斜二測畫法將圖形還原計(jì)算幾何圖形的面積與周長以及相關(guān).

【詳解】如圖可知/3=4,后,AD=2垃,

四邊形N3CD的周長為6+2后+26,四邊形/BCD的面積為gx（4+2）X2行=6行.

故選:D.

DC

?題型03表面積和體積

15.（2024?全國?高考真題）已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為右，則圓錐的

體積為（）

A.2岳B.3缶C.64KD.9后

【答案】B

【分析】設(shè)圓柱的底面半徑為,，根據(jù)圓錐和圓柱的側(cè)面積相等可得半徑『的方程，求出解后可求圓錐的體

【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為「，則圓錐的母線長為嚴(yán)力，

而它們的側(cè)面積相等，所以=axJjT/即2G=歷/，

故廠=3,故圓錐的體積為:兀X9X6=3GTT.

故選：B.

16.（2024?河北?模擬預(yù)測）過圓錐P。高的中點(diǎn)。'作平行于底面的截面，則截面分圓錐P。上部分圓錐與下

部分圓臺體積比為（）

1111

A.-B.-C.—D.一

2357

【答案】D

【分析】利用圓錐、圓臺的體積公式求得圓錐與圓臺的體積關(guān)系.

【詳解】設(shè)截面圓半徑為〃圓錐的高為肌圓錐的體積為匕則圓臺下底面圓的半徑為2廠，圓臺的高為肌

圓臺的體積為匕，

所以％=^nh{r2+2r2+4r2）=（兀右/,匕=:兀/之〃,

故選：D.

17.（23-24高二下?云南昆明?階段練習(xí)）若三棱錐S-/8C的所有頂點(diǎn)都在半徑為2的球。的球面上，SB為

球。的直徑，且/C=20，則該三棱錐的最大體積為（）

4816

A.—B.C.3D.—

333

【答案】B

【分析】由勾股定理逆定理得到O/LOC,故S.,℃=goaOC=2,要想該三棱錐的體積最大，則S3,平

面/0C,從而求出最大體積.

【詳解】S3的中點(diǎn)為。，連接Q40C,則CU=OB=OC=OS=2,

因?yàn)?C=2?，^LOA2+OC2=AC2,

故CU_LOC,SAAOC=^OAOC=2,

要想該三棱錐的體積最大，則S3,平面/OC,

11O

故最大體積％=-SAAOC-SB=-X2x4=-

故選：B

18.（23-24高三下?湖南婁底?階段練習(xí)）已知圓臺的體積為U叵，母線長為3,高為石，則圓臺的側(cè)面

3

積為（）

A.36兀B.24兀C.18兀D.12兀

【答案】D

【分析】利用母線長和高，求出上底面半徑和下底面半徑的等式關(guān)系，然后利用體積求出上底面半徑和下

底面半徑的另一個(gè)等式關(guān)系，然后求出上下底面半徑，再用側(cè)面積公式即可求解.

【詳解】

設(shè)上底面半徑為『，下底面半徑為R,

如圖，根據(jù)題意/C=3,BC=OO[=底CO\=BO=r,AO=R,AB=R-r,

在中，（尺一廠）2+（石了=32,即我一/=2----------①，

又因?yàn)閳A臺的體積為學(xué)所以憶=；乃”（尺2+尺廠+/）=:〃、石、（尺2+R廠+/）=里烏，

BPR2+Rr+r2^l3-------②

由①②方程可得：R=3,r—\,

所以圓臺的側(cè)面積為兀/（E+r）=nx3x（3+l）=127t.

故選：D.

19.（2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?二模）已知某圓臺的母線長為2&，母線與軸所在直線的夾角是45。，且上、下

底面的面積之比為1:4,則該圓臺外接球的表面積為（）

A.407rB.647tC.80KD.1287t

【答案】C

【分析】在軸截面中根據(jù)長度和角度關(guān)系以及三角形相似可得圓臺的上底面半徑和下底面半徑及高，利用

勾股定理建立等式解出方程，即可求得外接球半徑，進(jìn)而求得其表面積.

【詳解】如圖：上，下底面圓心分別為外接球球心為O,

連接如圖所示：

因?yàn)樯?、下底面的面積之比為1：4,則上底面半徑與下底面半徑之比為1:2,即CN=2九必，

又母線與軸所在直線的夾角是45。,故NBCN=45°,結(jié)合8c=20，

貝!|有。'-8"=2,小=2,故CN=4,BM=2,MN=2

記圓臺外接球半徑為氏OM=h,

在直角AOCN和直角AO即/中由勾股定理知：OM°+MB^=OB\ON1+NC2=OC2,

則有〃2+2?=（2—+42,解可得/z=4,

故圓臺外接球的半徑々=4+16=20,

則該圓臺外接球的表面積S=4成2=8071.

20.（2024?天津河西?三模）如圖，在三棱柱中，E,下分別為/￡NC的中點(diǎn)，平面即?尸將

三棱柱分成體積為匕，匕兩部分，則匕：匕=（）

A.1：1B.4：3C.6：5D.7：5

【答案】D

【分析】根據(jù)割補(bǔ)法結(jié)合棱臺的體積公式，即可求得答案.

【詳解】設(shè)三棱柱/3C-44。的高為心上下底面面積均為S,體積為匕

則憶=乂+匕=Sh,

因?yàn)镋,尸分別為48,ZC的中點(diǎn)，故S△的=5,

結(jié)合題意可知幾何體AEF-44G為棱臺，

貝|匕=:〃］：5+5+^7^=/〃，

故匕=S/z-/7〃=p5/z，故匕:匕=7:5,

故選：D

21.（2024?河北滄州?三模）《幾何補(bǔ)編》是清代梅文鼎撰算書，其中卷一就給出了正四面體，正六面體（立

方體）、正八面體、正十二面體、正二十面體這五種正多面體的體積求法.若正四面體尸-/8C的棱長為2道,

M為棱尸N上的動點(diǎn)，則當(dāng)三棱錐的外接球的體積最小時(shí)，三棱錐加-48c的體積為（）

4年

B.4>/2c.4拒D.8A/3

【答案】A

【分析】由題意確定三棱錐M-/8C的外接球的體積最小時(shí)球心的位置，由此可求出三棱錐M-43C的高,

利用體積公式，即可求得答案.

【詳解】如圖，在正四面體P-N8C中，假設(shè)底面4BC,則點(diǎn)“為"3C外心.

在物上取一?點(diǎn)。，滿足CM=（W,貝I|CM=OM=O2=OC,

則0為三棱錐M-ABC的外接球球心,

當(dāng)。4取得最小值時(shí)，0