高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用》專項(xiàng)測試卷(含答案)

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?知識梳理

【知識點(diǎn)1函數(shù)的單調(diào)性與最值的求解方法】

1.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，應(yīng)先求定義域，在定義域內(nèi)求單調(diào)區(qū)間.

2.函數(shù)單調(diào)性的判斷

(1)函數(shù)單調(diào)性的判斷方法：①定義法；②圖象法；③利用已知函數(shù)的單調(diào)性；④導(dǎo)數(shù)法.

⑵函數(shù)y=Ag(尤))的單調(diào)性應(yīng)根據(jù)外層函數(shù)產(chǎn)/⑺和內(nèi)層函數(shù)f=g(x)的單調(diào)性判斷，遵循“同增異減”的

原則.

(3)函數(shù)單調(diào)性的幾條常用結(jié)論：

①若/(乃是增函數(shù)，則-為減函數(shù)；若/(幻是減函數(shù)，則-為增函數(shù)；

②若/(%)和g(x)均為增(或減)函數(shù)，則在/(尤)和g(x)的公共定義域上/(x)+g(尤)為增(或減)函

數(shù)；

③若/(x)>0且/(幻為增函數(shù)，則函數(shù)J標(biāo)為增函數(shù)，一匚為減函數(shù)；

/(無)

④若/(x)>0且“X)為減函數(shù)，則函數(shù)為減函數(shù)，,為增函數(shù).

了(無)

3.求函數(shù)最值的三種基本方法：

(1)單調(diào)性法：先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值.

(2)圖象法：先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，求出最值.

(3)基本不等式法：先對解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值.

4.復(fù)雜函數(shù)求最值：

對于較復(fù)雜函數(shù)，可運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，求出在給定區(qū)間上的極值，最后結(jié)合端點(diǎn)值，求出最值.

【知識點(diǎn)2函數(shù)的奇偶性及其應(yīng)用】

1.函數(shù)奇偶性的判斷

判斷函數(shù)的奇偶性，其中包括兩個必備條件：

(1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域；

(2)判斷/(x)與八㈤是否具有等量關(guān)系，在判斷奇偶性的運(yùn)算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價等量關(guān)系

式伏尤)切？尤)=。(奇函數(shù))或Kx)/?x)=O(偶函數(shù)))是否成立.

(3)運(yùn)算函數(shù)的奇偶性規(guī)律：運(yùn)算函數(shù)是指兩個(或多個)函數(shù)式通過加、減、乘、除四則運(yùn)算所得的

函數(shù)，如/(X)+g(x),f(x)~g(x),/(x)Xg(x),/(x)+g(x).

對于運(yùn)算函數(shù)有如下結(jié)論：奇士奇=奇；偶±偶=偶；奇士偶=非奇非偶；奇、(十)奇=偶；奇乂(十)偶=奇；

偶x(十)偶=偶.

(4)復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]的奇偶性原則：內(nèi)偶則偶，兩奇為奇.

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(5)常見奇偶性函數(shù)模型

奇函數(shù)：①函數(shù)/(x)=m(°+1)(無w0)或函數(shù)，(x)=m(-~-).

a-1a+1

②函數(shù)，(無)=土⑷一/).

③函數(shù)/(尤)=log”=log(l+或函數(shù)/(X)=log,,=log,,(1--—)

x—max—mx+mx+m

④函數(shù)/(x)=log。(，/+1+x)或函數(shù)/(x)=log“(J-+1-x).

2.函數(shù)奇偶性的應(yīng)用

(1)利用函數(shù)的奇偶性可求函數(shù)值或求參數(shù)的取值，求解的關(guān)鍵在于借助奇偶性轉(zhuǎn)化為求已知區(qū)間上的

函數(shù)或得到參數(shù)的恒等式，利用方程思想求參數(shù)的值.

(2)畫函數(shù)圖象：利用函數(shù)的奇偶性可畫出函數(shù)在其對稱區(qū)間上的圖象，結(jié)合幾何直觀求解相關(guān)問題.

【知識點(diǎn)3函數(shù)的周期性與對稱性常用結(jié)論】

1.函數(shù)的周期性常用結(jié)論3是不為0的常數(shù))

(1)若兀什.)=/(元)，貝I]T-a-,

(2)若貝!IT=2cz；

(3)若危+。)=處)，則T=2a；

(4)若兀什4)=/(：),貝I]T=2a；

(5)若/(x+a)=-f(；),貝！IT=2a；

(6)若/(x+a)書x+b),則T=\a-b\(a^b\,

2.對稱性的三個常用結(jié)論

(1)若函數(shù)兀0滿足加?+防=/仍-尤)，則y=Ax)的圖象關(guān)于直線尤=應(yīng)尹■對稱.

(2)若函數(shù)/(x)滿足人研力=-八6-無)，則丫子㈤的圖象關(guān)于點(diǎn)0)對稱.

(3)若函數(shù)y(x)滿足/(a+xH/g-無)=c,則產(chǎn)/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱.

3.函數(shù)的的對稱性與周期性的關(guān)系

(1)若函數(shù)y=/(x)有兩條對稱軸x=a,x=b(a<b),則函數(shù)/(x)是周期函數(shù)，且T=2(6-a)；

(2)若函數(shù)y=/(x)的圖象有兩個對稱中心(a,c),0,c)(a<6),則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù)，且

T=2(b-a)；

(3)若函數(shù)y=f(x)有一條對稱軸x=a和一個對稱中心(60)(。<6)，則函數(shù)y=/(x)是周期函數(shù)，且

T=4(6—a).

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?舉一反三

【題型1函數(shù)的單調(diào)性的綜合應(yīng)用】

【例1】（2023?廣東深圳?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)人久）的定義域?yàn)镽,若對Vx6R都有“3+%）=/（I-久），

且/（久）在（2,+8）上單調(diào)遞減，貝次（1）,/（2）與“4）的大小關(guān)系是（）

A./⑷</⑴</⑵B./■⑵</⑴</⑷

C.”1）</⑵</⑷D./（4）<f⑵</⑴

【變式1-1]（2023?山西朔州?懷仁市第一中學(xué)校?？级＃┒x在R上的函數(shù)/（x）滿足f（2-久）=〃久），

且當(dāng)x>1時，f（乃單調(diào)遞增，則不等式，（2-%）>f（x+1）的解集為（）

A.[|，+°°）B.（0,|jC.（一8,一芻D.（一8,1]

_%2+2CLX+4XV]

1、1'、，是1,+8）上

X

的減函數(shù)，貝b的取值范圍是（）

A.B.（-8,—1]

c.卜1,-mD.（-co,-1）

【變式1-3]（2023?四川綿陽?統(tǒng)考三模）設(shè)函數(shù)/Q）為|x|-1與/-2a久+a+3中較大的數(shù)，若存在久使得

/（%）<0成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）

A.[-|,-1）U（1,4]B.（-8,一mu[4,+8）

C.（-吸手）U（號1,4]D.[-1,1]

【題型2函數(shù)的最值問題】

【例2】（2023?江西九江??？寄M預(yù)測）若0<x<6,貝有（）

A.最小值3B.最大值3C.最小值9D.最大值9

【變式2-1]（2023?全國?校聯(lián)考三模）已知函數(shù)/。）=bx-[b+3）/在[—1,1]上的最小值為—3,則實(shí)數(shù)b的

取值范圍是（）

A.（—8,—4]B.[9,+8）C.[—4,9]D.[——,9]

【變式2-2]（2023上?廣東廣州?高一?？茧A段練習(xí)）定義一種運(yùn)算min{a,b}={線系，設(shè)f（x）=

min{4+2x—比一”}&為常數(shù)，且久e[-3,3],則使函數(shù)/（x）的最大值為4的t的值可以是（）

A.-2或4B.6C.4或6D.-4

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【變式2-3](2023?廣東惠州?統(tǒng)考一模)若函數(shù)〃久)的定義域?yàn)镈,如果對D中的任意一個久，都有f(x)>

0,-XED,且/(-行/(久)=1,則稱函數(shù)f(x)為“類奇函數(shù)”.若某函數(shù)。(久)是“類奇函數(shù)”，則下列命題中,

錯誤的是()

A.若。在g(x)定義域中，則g(0)=l

B.若gOOmax=9⑷=4,則g(x)min=。(-4)=：

C.若gO)在(0,+8)上單調(diào)遞增，則g(x)在(-8,0)上單調(diào)遞減

D.若或久)定義域?yàn)镽,且函數(shù)八(為也是定義域?yàn)镽的“類奇函數(shù)”，則函數(shù)G(x)=g(x)/i(x)也是“類奇函

數(shù)”

【題型3函數(shù)的奇偶性的綜合應(yīng)用】

【例3】(2023?廣東?東莞市校聯(lián)考一模)已知函數(shù)/(久)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，/(x)=a%+1,

若/(—2)=5,則不等式f(x)>|的解集為()

A.(-8,一B.(-|)0)U(0(i)

C.(_oo,-|)uQ,+oo)D.(-j，0)uQ,+oo)

【變式3-1](2023?全國?模擬預(yù)測)己知函數(shù)/(x),g。)的定義域均為R,/(3久+1)為奇函數(shù)，g(x+2)為

偶函數(shù)，/(x+1)+g(l—x)=2,f(0)=—I，則羽2：g(k)=()

A.-51B.-C.—D.—

222

【變式3-2](2023?安徽亳州?蒙城第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)f(%)是定義在R上的偶函數(shù)，函數(shù)g(%)

是定義在R上的奇函數(shù)，且/(%),g(%)在[0,+8)上單調(diào)遞減，則()

A./(/⑵)〉/(/⑶)B./(g⑵)</(g⑶)

C.g(g(2))>g(g(3))D.g(f(2))<⑶)

【變式3-3](2023?江西吉安?江西省遂川中學(xué)?？家荒?若定義在R上的函數(shù)/(x)滿足：對任意打，右6R有

/(%1+x2)=/(xj+/(x2)-2016,且x>0時，/(x)>2016,記/(%)在[―2017,2017]上的最大值和最

小值為M,N,則M+N的值為()

A.2016B.2017C.4032D.4034

【題型4函數(shù)的對稱性的應(yīng)用】

【例4】(2023?江西贛州?統(tǒng)考二模)已知函數(shù)f(x)的圖像既關(guān)于點(diǎn)對稱，又關(guān)于直線y=x對稱，且

當(dāng)xe[-1,0]時，/(%)=x2,則/'(?)=()

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【變式4-1](2023?四川綿陽?綿陽中學(xué)校考一模)若函數(shù)y=/(x)滿足/(a+;c)+/(a—Y)=26,則說y=

八久)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,b)對稱，則函數(shù)人比)=2+震+震+…+軟||+篝￡的對稱中心是()

A.(-1011,2022)B.(1011,2022)C.(-1012,2023)D.(1012,2023)

【變式4-2](2023?四川南充?四川省南充高級中學(xué)?？既?函數(shù)〃久)和g(x)的定義域均為R,且曠=

/(3+3久)為偶函數(shù),y=g(x+3)+2為奇函數(shù),對V久6R,均有f(x)+g(x)=x2+1,則/⑺g(7)=()

A.615B.616C.1176D.2058

【變式4-31(2023?甘肅張掖?高臺縣?？寄M預(yù)測)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,7(%-1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)

對稱，f(3)=o,且對任意的的,久2e(-8,0),修4久2,滿足＜o(jì),則不等式(久一1)/0+1)20

%2一%1

的解集為()

A.(-co,1]u[2,+oo)B.[-4,-1]U[0,1]

C.[—4,—1]U[1,2]D.[—4,—1]U[2,+oo)

【題型5對稱性與周期性的綜合應(yīng)用】

【例5X2023?四川宜賓?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)/(x),g(x)的定義域?yàn)镽,g。)的圖像關(guān)于x=1對稱，且g(2x+2)

為奇函數(shù)，g(l)=1"(久)=g(3-x)+1,則下列說法正確的個數(shù)為()

①g(-3)=g(5)；②g(2024)=0；③〃2)+f(4)=-4；④氏腎/(n)=2024.

A.1B.2C.3D.4

【變式5-1X2023?北京大興??？既?已知函數(shù)/⑺對任意比eR都有〃K+2)=—/(%),且/(—*)=-/(%),

當(dāng)％e(—1,1]時，/(%)=爐.則下列結(jié)論正確的是()

A.函數(shù)y=/0)的圖象關(guān)于點(diǎn)(k,0)(keZ)對稱

B.函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=2k也￡Z)對稱

C.當(dāng)x€[2,3]時,f(x)=(x—2)3

D.函數(shù)y=|/(x)|的最小正周期為2

【變式5-2](2023?四川綿陽?綿陽?？寄M預(yù)測)已知函數(shù)/(久)的定義域?yàn)镽,f(1)=0,且f(0)^0,Vx,yGR

都有f(久+y)+f(x-y)=則下列說法正確的命題是()

①/'(0)=1；②VxeR,/(-x)+/(%)=0；

③f(x)關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱；④濯干/0)=—1

A.①②B.②③C.①②④D.①③④

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【變式5-31(2023?安徽合肥?合肥一中校考模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃久)與g(x)的定義域均為R,/(%+1)為偶函

數(shù)，且/(3-％)+g(x)=1,/(*)-g(l-x)=1,則下面判斷錯誤的是()

A./(%)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,1)中心對稱

B.〃久)與或久)均為周期為4的周期函數(shù)

C.2譽(yù)")=2022

【題型6類周期函數(shù)】

【例6】(2023?安徽合肥?合肥一六八中學(xué)?？寄M預(yù)測)定義在R上的函數(shù)/O)滿足/(x+1)=3，(久)，且

當(dāng)工€[0,1)時，/'(久)=1一|2久一1|.當(dāng)xe|m,+8)時，/(%)<則m的最小值為()

A.—B.—C.—D.—

8844

【變式6-11(2023上?湖南長沙?高三?？茧A段練習(xí))定義域?yàn)镽的函數(shù)f(%)滿足/(%+2)=2/(%)-1,當(dāng)汽￡

(X2—x,xE(0,1)

(0,2]時,/(乃=1-■.若xe(0,4]時，產(chǎn)一，wf(x)43-t恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是()

I2

A.[1,2]B.[l.j]C,[j,2]D,[2,1]

【變式6-2](2022?四川內(nèi)江.校聯(lián)考二模)定義域?yàn)??的函數(shù)/0)滿足/(久+2)=3/(久)，當(dāng)久e[0,2]時,/(久)=

%2-2%,若xe[-4,-2]時，〃久)2套?T)恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是()

A.(-oo,-l]u(0,3]B.(-co,-V3]U(0,V3]

C.[-1,0)U[3,+00)D.[-V3,0)U[V3,+00)

【變式6-3](2023上?浙江臺州?高一校聯(lián)考期中)設(shè)函數(shù)/(為的定義域?yàn)镽,滿足/(乃=2/(%—2),且當(dāng)

%e(0,刀時，/(%)=x(2-x).若對任意x6(-8,爪],都有/(久)W3,則zn的取值范圍是()

A.B.(_8,引

C.(一8TD.(一8,同

【題型7抽象函數(shù)的性質(zhì)】

【例7】(2023?新疆烏魯木齊.統(tǒng)考二模)已知/(乃，g(x)都是定義在R上的函數(shù)，對任意x,y滿足/。-y)=

/O)g(y)—gG)/(y),且/(—2)=/(1)豐o,則下列說法正確的是()

A./(0)=1B.函數(shù)g(2x+l)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱

C.g⑴+g(-l)=0D.若/⑴=1,則通督/⑺=1

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【變式7-1](2023?福建寧德?福鼎市?？寄M預(yù)測)已知函數(shù)/(%)及其導(dǎo)函數(shù)尸(%)的定義域均為R,對任意

的%,yeR,恒有/(%+y)+/(%-y)=2/(%)/(y),則下列說法正確的個數(shù)是()

①/(0)=0;②-0)必為奇函數(shù)；③/(均+/(0)20；④若/(1)=5則￡思空/(〃)=].

A.1B.2C.3D.4

【變式7-2](2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(X)對任意實(shí)數(shù)x,y恒有“尤-y)+f(x+y)=/(2乃成

立，且當(dāng)x<0時，/(X)>0.

(1)求f(0)的值；

(2)判斷f(x)的單調(diào)性，并證明；

(3)解關(guān)于x的不等式:/[久2-(a+2)x]+f(a+y)+f(a-y)>0.

【變式7-3X2023上?廣東東莞?高一校聯(lián)考期中)已知函數(shù)fO)對任意實(shí)數(shù)恒有f(x+y)=/(久)+f(y),

當(dāng)x>0時，/(x)<0,且/(I)=-2.

⑴判斷了(久)的奇偶性；

(2)判斷函數(shù)單調(diào)性，求f(x)在區(qū)間[-3,3]上的最大值；

(3)若/0)<m2-2am+2對所有的％6[-1,1],aG[-1,1]恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【題型8函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用】

【例8】(2023上?河北石家莊?高一?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)=ax,。(久)=b-a-x+x,a>0且a豐1,

若/⑴+g⑴=|，/⑴一g(i)=|，設(shè)h(x)=/(x)+g(X),%e[-4,4].

(1)求函數(shù)伏X)的解析式并判斷其奇偶性；

(2)判斷函數(shù)h(%)的單調(diào)性(不需證明)，并求不等式h(2%+1)+h(2%-1)20的解集.

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【變式8-11(2023上?上海?高一?？计谥?已知定義在全體實(shí)數(shù)上的函數(shù)f(x)滿足：①f(x)是偶函數(shù)；②/(久)

不是常值函數(shù)；③對于任何實(shí)數(shù)小y,都有/(x+y)=/Q)/(y)—/(l—x)“l(fā)—y).

(1)求f(l)和f(0)的值；

(2)證明：對于任何實(shí)數(shù)%,都有/(久+4)=/(%)；

(3)若f(x)還滿足對0<x<1有f(x)>0,求fQ)+f(|)+…+f(等)的值.

【變式8-2](2023下?山西運(yùn)城?高二統(tǒng)考期末)已知/(久)=e》T+ei-x+x2_2x+a,

⑴證明:/(久)關(guān)于久=1對稱；

(2)若/(￡)的最小值為3

(i)求a；

(ii)不等式f(m(ex+e-%)+1)>/(ex-e—)恒成立，求ni的取值范圍

【變式8-31(2023下?廣東?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)y=R(X)的圖象關(guān)于點(diǎn)P(a,6)成中心對稱圖形的充要條

件是R(a+久)+(p(a-%)=2b.給定函數(shù)/(久)=%-搭及其圖象的對稱中心為(一1,c).

⑴求c的值；

(2)判斷/(久)在區(qū)間(0,+8)上的單調(diào)性并用定義法證明；

(3)已知函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,1)對稱，且當(dāng)xe[0,1]時，g(x)-x2-mx+m.若對任意x[e[0,2],總

存在%2e[1,5],使得g(%i)=f(%2)，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

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?直擊真題

1.(2023?全國?統(tǒng)考高考真題)若外久)=(x+a)ln籌為偶函數(shù)，則。=().

A.-1B.0C.-D.1

2

2.(2021?全國?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)f(%)的定義域?yàn)镽,f(x+2)為偶函數(shù)，f(2x+1)為奇函數(shù)，貝卜)

A./(-0=0B./(-1)=0C./⑵=。D./■⑷=。

3.(2022.全國.統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)/(?的定義域?yàn)镽,且f(x+y)+/(x—y)=/Q)/(y)J(l)=1,

則流if(k)=()

A.-3B.-2C.0D.1

4.(2021?全國?高考真題)設(shè)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù),且f(1+%)=f(一行.若f(-1)=則f(|)=()

6.(2022.全國?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)/(x),g(x)的定義域均為R,且/(久)+g(2—無)=5,g(?—/Q—4)=

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7.若y=g(%)的圖像關(guān)于直線％=2對稱，g(2)=4,則￡蹌"(攵)=()

A.-21B.-22C.-23D.-24

7.(2021.全國.統(tǒng)考高考真題)設(shè)函數(shù)/(%)的定義域?yàn)镽,/(%+1)為奇函數(shù)，/(%+2)為偶函數(shù)，當(dāng)％G[1,2]

時，/(x)=a/+b.若/(0)+/(3)=6,則/6)=()

937弓

A.--B.--C.-D.-

4242

8.(2020?全國?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)/(x)=sinx+/￡,則()

A.危)的最小值為2B.八%)的圖象關(guān)于y軸對稱

C.“X)的圖象關(guān)于直線％=7T對稱D.1%)的圖象關(guān)于直線％=T對稱

9.(2020?山東?統(tǒng)考高考真題)若定義在R的奇函數(shù)危)在(-8,0)單調(diào)遞減，且12)=0,則滿足為/(%-1)20

的工的取值范圍是()

A.[-1,1]U[3,+8)B.[—3,—1]U[0,1]

C.[-1,0]U[1,+OO)D.[-1,0]U[1,3]

參考答案

?舉一反三

【題型1函數(shù)的單調(diào)性的綜合應(yīng)用】

【例1】(2023?廣東深圳?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)人久)的定義域?yàn)镽,若對VxGR都有“3+%)=/(I-久),

且/(久)在(2,+8)上單調(diào)遞減，貝次(1),/(2)與“4)的大小關(guān)系是()

A./(4)</(I)</⑵B./⑵</(I)</⑷

C./(I)</⑵</⑷D./(4)<f⑵</(I)

【解題思路】由〃3+久)=f(l一久)，得到f(l)=“3),利用單調(diào)性即可判斷大小關(guān)系，即可求解.

【解答過程】因?yàn)閷xeR都有/(3+x)=「(1—x),所以f(l)=/(3-2)=/口一(—2)]=/(3)

又因?yàn)閒(x)在(2,+8)上單調(diào)遞減，且2<3<4,

所以"4)</(3)<f(2),即/(4)</⑴</⑵.

故選：A.

【變式1-1](2023?山西朔州?懷仁市第一中學(xué)校校考二模)定義在R上的函數(shù)/(x)滿足f(2—x)=f(x),

且當(dāng)x>1時，f(x)單調(diào)遞增，則不等式f(2-%)>/(%+1)的解集為()

第10頁共40頁

A?停，+8)B-(0-l]C.(一8,一4D.(-co,j]

【解題思路】根據(jù)函數(shù)的對稱性和單調(diào)性即可.

【解答過程】由f(2-x)=f(x),得f(x)的對稱軸方程為x=1,故|(2-x)-l|>|(1+1)—1|,即(1一比)2>

x2,解得x<|.

故選：D.

_%2_|_2CLX+4XV1

工X>1'、，是卜|，+8)上

X，

的減函數(shù)，貝b的取值范圍是()

A.B.

C.[-1,-0D.(-8,-1)

【解題思路】首先分析知，x>i,函數(shù)單調(diào)遞減，貝也應(yīng)為減函數(shù)，同時注意分界點(diǎn)處的縱坐標(biāo)大小

關(guān)系即可列出不等式組，解出即可.

【解答過程】顯然當(dāng)X>1時，/(%)=(為單調(diào)減函數(shù)，f(x)</(I)=1

當(dāng)x<1時，/(%)=—X2+2ax+4,則對稱軸為x=---^―-=a,/(I)=2a+3

2X(-1)

若/(%)是+00)上減函數(shù)，貝a~2解得1,—,,

故選：A.

【變式1-3](2023?四川綿陽?統(tǒng)考三模)設(shè)函數(shù)/⑺為|%|-1與％2一2狽+a+3中較大的數(shù),若存在%使得

/(%)<0成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

A.[-^-1)U(14]B.(一叫―,34,+8)

C.(一8呼)u"l,4]D,[-1,1]

【解題思路】根據(jù)絕對值函數(shù)的圖像和二次函數(shù)討論對稱軸判定函數(shù)的圖像即可求解.

【解答過程】因?yàn)閒(%)=max{|%|-I,/一2ax+a+3},

所以/(%)代表-1與/一2ax+a+3兩個函數(shù)中的較大者，

不妨假設(shè)g(%)=\x\—1,h(x)=x2-2ax+a+3

g(%)的函數(shù)圖像如下圖所示：

第11頁共40頁

h(%)=/一2Q%+a+3是二次函數(shù)，開口向上,對稱軸為直線I=a,

①當(dāng)a<一1時，

ft(x)=x2-2ax+a+3在［-1,1］上是增函數(shù),

需要h(—1)=(-1)2—2a(—1)+a+3=3d+4W0即a<-

則存在%使得/(%)<0成立，

故a工-g；

②當(dāng)一lMaWl時，

/i(x)=%2-2ax+a+3在上是先減后增函數(shù)，

需要/i(%)min=%(。)=a2—2a-a+a+3=—a2+a+3<0,

即小—d—3N0,

解得a>上咨或a<上咨，

又也—，3<_i

22

故一1<a<1時無解；

③當(dāng)a>1時，

/i(x)=x2—2ax+a+3在［—1,1］上是減函數(shù)，

需要無(1)—I2—2a+a+3——a+4<0即a>4,

則存在x使得f(x)<0成立，

故a>4.

綜上所述，a的取值范圍為(-8,-：]u[4,+8).

故選：B.

第12頁共40頁

【題型2函數(shù)的最值問題】

【例2】(2023?江西九江??？寄M預(yù)測)若0<久<6,則6%-/有()

A.最小值3B.最大值3C.最小值9D.最大值9

【解題思路】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

【解答過程】令y=6%—/=一(％一37+9,對稱軸為x=3,開口向下，

因?yàn)?<x<6,所以當(dāng)x=3時，6%-/有最大值%沒有最小值，

故選：D.

【變式2-1](2023?全國?校聯(lián)考三模)己知函數(shù)/O)="-(6+3)婷在[-1,1]上的最小值為-3,則實(shí)數(shù)b的

取值范圍是()

A.(-co,-4]B.[9,+00)C.[-4,9]D.[-|,9)

【解題思路】由已知可得當(dāng)-1Wx<l時，可得6x(l+x)2-3(/+刀+1)恒成立，通過分離變量，結(jié)合函

數(shù)性質(zhì)可求b的取值范圍

【解答過程】因?yàn)?(1)=—3,函數(shù)/O)=6x—S+3)/在[―1,1]上的最小值為—3,

所以對Vxe[-1,1],f(x)>一3恒成立，

所以b%—(6+3)%3>-3恒成立,BPbx(l—%2)>—3(1—恒成立，

當(dāng)％=1時，hER,

當(dāng)一1<%<1時,可得b%(l+%)>-3(/+%+1)恒成立.

當(dāng)久=0或%=一1時，不等式顯然成立；

當(dāng)0〈光<1時，62-3(：2+字)=_3(]+；),

x(l+x)\x2+x/

因?yàn)?+久6(0,2),所以在e8+8),1+土?|,+8),-3(1+人)

所以b>—|；

當(dāng)一1<%<0時，b<-3(1+^),

——

因?yàn)橐?xe0),所以e(—8,—4),1+x2+x(°°>3),-3(1+Je(9,+8),

所以b<9.

綜上可得，實(shí)數(shù)6的取值范圍是昌,9].

故選：D.

第13頁共40頁

【變式2-2](2023上?廣東廣州?高一?？茧A段練習(xí))定義一種運(yùn)算min{a,b}=壽?，設(shè)/(x)=

min{4+2x-x2,\x-t|}(t為常數(shù)，KxG[-3,3],則使函數(shù)/(久)的最大值為4的t的值可以是()

A.-2或4B.6C.4或6D.-4

【解題思路】根據(jù)定義，先計(jì)算y=4+2%-/在％e[-3,3]上的最大值，然后利用條件函數(shù)f(x)最大值為

4,確定t的取值即可.

【解答過程】y=4+2x-x2=-(x-l)2+5在xe[一3,3]上的最大值為5,

所以由4+2久一/=4,解得x=2或尤=0,

所以xC(0,2)時，y=4+2%—%2>4,

所以要使函數(shù)最大值為4,則根據(jù)定義可知，

當(dāng)tWl時，即x=2時，|2—t|=4,此時解得t=—2,符合題意；

當(dāng)t>l時，即久=0時，|0-t|=4,此時解得t=4,符合題意；

故t=-2或4.

故選：A.

【變式2-3](2023?廣東惠州?統(tǒng)考一模)若函數(shù)/(久)的定義域?yàn)镈,如果對。中的任意一個無，都有f(x)>

O-x&D,且/(-X)〃>)=1,則稱函數(shù)/(x)為“類奇函數(shù)”.若某函數(shù)g(x)是“類奇函數(shù)”，則下列命題中，

錯誤的是()

A.若0在g(x)定義域中，則g(0)=l

B.若gCOmax=9(4)=4,貝！lg(0min=9(-4)=[

C.若gO)在(0,+oo)上單調(diào)遞增，則g(x)在(-8,0)上單調(diào)遞減

D.若g(x)定義域?yàn)镽,且函數(shù)/i(x)也是定義域?yàn)镽的“類奇函數(shù)”，則函數(shù)G(x)=gQ)hO)也是“類奇函

數(shù)”

【解題思路】對A,根據(jù)“類奇函數(shù)”的定義，代入x=0求解即可；

對B,根據(jù)題意可得g(-x)=總，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性判斷即可；

對C,根據(jù)9(-尢)=吃，結(jié)合正負(fù)分?jǐn)?shù)的單調(diào)性判斷即可；

0(%)

對D,根據(jù)“類奇函數(shù)”的定義，推導(dǎo)G(x)G(—x)=1判斷即可.

【解答過程】對于A,由函數(shù)g(x)是“類奇函數(shù)”，所以g(x)g(—x)=1,且g(x)>0,所以當(dāng)x=0時，

9(。)。(一。)=1，即g(o)=1,故A正確；

第14頁共40頁

對于B,由g(x)g(—x)=1,即g(—x)=去，9(一乃隨g(x)的增大而減小，若g(x)max=9(4)=4,貝l|g(x)min=

g(-4)=；成立，故B正確；

4

對于C,由g(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，所以9(一%)=,在％6(0,+8)上單調(diào)遞減，設(shè)七=一％E(-00,0),

g(t)在te(-8,0)上單調(diào)遞增，即g(x)在Xe(-8,0)上單調(diào)遞增，故C錯誤；

對于D,由g(x)g(-K)==1,所以G(x)G(-x)=g(x)g(-x)h(x)/i(-久)=1,所以函數(shù)G(x)=

g(x)/i(x)也是“類奇函數(shù)”，所以D正確；

故選：C.

【題型3函數(shù)的奇偶性的綜合應(yīng)用】

【例3】(2023?廣東?東莞市校聯(lián)考一模)已知函數(shù)/(%)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)％>0時，/(x)=ax+1,

若/(—2)=5,則不等式/(*)>號的解集為()

A-(一8,一習(xí)"0,{)B.(-j，O)U(O,0

C-(-8，-￡)U&+8)D.(-j，0)U(i,+oo)

【解題思路】根據(jù)條件可求得X>0時/(乃的解析式，根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)繼而可求得當(dāng)“<0時/(為的解析式,

分情況解出不等式即可.

【解答過程】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，

所以2)=-/(2)=5,則〃2)=-5,

貝！J2a+1=—5,所以a——3,

則當(dāng)久>0時，/(%)=-3%+1,

當(dāng)》<0時，一%>0,

則/(%)=—/(—%)=—[—3x(―x)+1]=-3x—1,

則當(dāng)％>0時，不等式/(久)>[為—3%+1>

解得0V%<工，

6

當(dāng)工<。時，不等式/'(%)>[為-3x—1>|,

解得％<三,

故不等式的解集為U(0,1),

第15頁共40頁

故選：A.

【變式3-1](2023?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%),g(%)的定義域均為R,”3%+1)為奇函數(shù),g(%+2)為

偶函數(shù)，/(%+1)+g(l—%)=2,f(0)=—I，則E理：g(k)=()

A.-51B.-C.—D.—

222

【解題思路】由題意，根據(jù)函數(shù)奇偶性可得/(%)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)中心對稱、9(%)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,2)中心

對稱，進(jìn)而可知g(%)是以4為周期的周期函數(shù).求出g(l),g(2),g(3),g(4),結(jié)合周期即可求解.

【解答過程】因?yàn)?(3久+1)為奇函數(shù)，所以/Q+1)為奇函數(shù)，

所以/(%+1)=-f(-x+1),/(%)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)中心對稱，/(I)=0.

因?yàn)間(x+2)為偶函數(shù)，所以g(%+2)=g(-光+2),g(%)的圖象關(guān)于直線％=2對稱.

由/O+1)+g(l—％)=2,得f(-x+1)+g(l+x)=2,則一f(%+1)+g(l+%)=2,

所以g(%+1)+g(l-x)=4,g(%)+g(2-x)=4,所以g(%)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,2)中心對稱.

因?yàn)間(%)的圖象關(guān)于X=2軸對稱,所以g(%)+g(2+%)=4,g[x+2)+g[x+4)=4,

所以g(%+4)=g(x),即g(x)是以4為周期的周期函數(shù).

因?yàn)椤╨)=0,/(0)=-i,所以以1)=2,g⑵=|，g⑶=9⑴=2,g(4)=g(0)=4—g⑵=|,

所以￡浮g(k)=25x(2+1+2+1)+2+|=等.

故選：D.

【變式3-2](2023?安徽亳州?蒙城第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測)己知函數(shù)/O)是定義在R上的偶函數(shù)，函數(shù)g(x)

是定義在R上的奇函數(shù)，且/(%)，g(%)在[0,+8)上單調(diào)遞減，則()

A.K⑵)>/(/⑶)B./(g⑵)</(g⑶)

C.g(g(2))>g(g(3))D.g(/(2))<⑶)

【解題思路】利用函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的奇偶性，判斷各選項(xiàng)的正負(fù)即可.

【解答過程】因?yàn)?(乃，g(x)在[0,+8)上單調(diào)遞減，/(乃是偶函數(shù)，gO)是奇函數(shù)，

所以g(x)在R上單調(diào)遞減，/O)在(-8,0]上單調(diào)遞增，

對于A,f(2)>f(3),但無法判斷f(2),f(3)的正負(fù)，故A不正確；

對于B,g(2)>g(3),但無法判斷g(2),g(3)的正負(fù)，故B不正確；

對于C,g(2)>g(3),g(x)在R上單調(diào)遞減，所以g(g(2))<g(g(3)),故C不正確；

對于D,/(2)>/(3),g(x)在R上單調(diào)遞減，g(/(2))<g(f(3)),故D正確.

故選：D.

第16頁共40頁

【變式3-3](2023?江西吉安?江西省遂川中學(xué)校考一模)若定義在R上的函數(shù)/(%)滿足：對任意久】，冷eR有

/■(%1+x2)=fg+f(&)-2016,且％>0時,f(x)>2016,記f(x)在[-2017,2017]上的最大值和最

小值為M,N,則M+N的值為()

A.2016B.2017C.4032D.4034

【解題思路】先計(jì)算得到〃0)=2016,再構(gòu)造函數(shù)g。)=f(x)—2016,判斷g。)的奇偶性得出結(jié)論.

【解答過程】解：令的=%2=0得f(0)=2/(0)-2016,.-./(0)=2016,

2

令力=一%得/X。)=/(一犯)+/(x2)-2016=2016,

???/■(一久2)+/(%2)=4032,

令g(x)=f(x)-2016,則gmaxO)="-2016,5minW=N-2016,

???+g(x)=/(-%)+f(x)—4032=0,

g(x)是奇函數(shù),

9max(%)+9min(x)=。，即M—2016+N-2016—0,

M+N=4032.

故選：C.

【題型4函數(shù)的對稱性的應(yīng)用】

【例4】(2023?江西贛州?統(tǒng)考二模)已知函數(shù)/(x)的圖像既關(guān)于點(diǎn)(—1,1)對稱，又關(guān)于直線y=x對稱，且

當(dāng)時，=/,則/(?)=()

199717

A.--B.--C.--D.

4224

【解題思路】用「表示函數(shù)y=/(%)的圖像，設(shè)(%o，yo)W「，根據(jù)中心對稱性與軸對稱性，得至限4+丫0，-4+

久o)EF,令4+yo=9,求出y0,即可求出％°,即可得解.

4

【解答過程】用F表示函數(shù)y=/(%)的圖像，對任意的%°e[-1,0],

令yo=/，則(而以)cr,且%G[04],

又函數(shù)/(%)的圖像既關(guān)于點(diǎn)(-1,1)對稱，且關(guān)于直線y=%對稱，

所以(y(),%o)Wr,則(-2—y0,2—x0)6r,則(2—x0,—y0—2)6T,

貝！J(—4+%o,4+y0)€「,貝U(4+y0,—4+x0)E『,

令4+yo=g即Yo=%此時%o=—1或&=3(舍去)，

e—

此時-4+x0=—44-(-1)=-p即(/一1)-，因此/O=

第17頁共40頁

故選：B.

【變式4-1](2023?四川綿陽?綿陽中學(xué)?？家荒?若函數(shù)y=滿足/?((!+%)+f(a-￡)=2b,則說y=

的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,6)對稱，則函數(shù)/O)=W+察+譽(yù)+…+弟+潦段的對稱中心是()

A.(-1011,2022)B.(1011,2022)C.(-1012,2023)D.(1012,2023)

【解題思路】求出定義域，由定義域的對稱中心，猜想a=-1012,計(jì)算出/(-1012+X)+/(-1012-x)=

4046,從而求出對稱中心.

【解答過程】函數(shù)定義域?yàn)椋?|xI-l,xI[-2022,%t-2023),

定義域的對稱中心為(-1012,0),所以可猜a=-1012,

-1012+x+-1011+xf-1010+x++1009+x+1010+x

則/(-1012+x)=

-1011+x-1010+x-1009+xx+10101011+x)

_-1012-%-1011-%-1010-%1009-x1010-%

"T012—乃=-1011-%+-1010-%+-1009-x+-"+1010-%+1011-%

1012+x+1011+%+1010+x++1009-%+1010-%

1011+x1010+x1009+x1010-x1011-x，

故/(-1012+%)+f(-1012-x)

/1010+x1012+x\/1