高考數(shù)學一輪復習講義及高頻考點歸納與方法總結(新高考通用)

二次函數(shù)與募函數(shù)(精講)

考點歸納

①黑函數(shù)的定義與圖像

②幕函數(shù)的性質(zhì)及應用

③二次函數(shù)單調(diào)性問題

④二次函數(shù)最值與值域問題-

⑤二次函數(shù)根的分布與韋達定理

、必備知識整合

一'幕函數(shù)的定義

一般地，y=為有理數(shù))的函數(shù)，即以底數(shù)為自變量，幕為因變量，指數(shù)為常數(shù)的函數(shù)稱為幕函

數(shù).

二、幕函數(shù)的特征：同時滿足一下三個條件才是幕函數(shù)

①X。的系數(shù)為1;②/的底數(shù)是自變量；③指數(shù)為常數(shù).

(3)導函數(shù)的圖象和性質(zhì)

三、常見的幕函數(shù)圖像及性質(zhì):

2

函數(shù)y=xy=x2y=x^y=x~{

y

V

圖象VVV

7T\ox0x

定義域RRR{x|x>0}{X|xw0}

值域R3玲0}R39}3尸0}

奇偶性奇偶奇非奇非偶奇

在尺上單在(-8,0)上單調(diào)遞在R上單調(diào)遞在［0,+8)上單調(diào)在(-00,0)和

單調(diào)性

調(diào)遞增減,在(0,+8)上單增遞增(0,+8)上單調(diào)遞

調(diào)遞增減

公共點(1,1)

四'二次函數(shù)的圖像

二次函數(shù)/(x)=a/+6x+c(aWO)的圖像是一條拋物線，二次項系數(shù)a的正負決定圖象的開口方向，對

稱軸方程為X=-2A,頂點坐標為(-二b,4cic—).

2a2a4a

常用結論

1.黑函數(shù)>=/(。€尺)在第一象限內(nèi)圖象的畫法如下：

①當。<0時，其圖象可類似了=尤7畫出；

②當0<”1時，其圖象可類似了=如畫出；

③當。>1時，其圖象可類似了=/畫出.

2.實系數(shù)一元二次方程狽2+bx+c=0(?中0)的實根符號與系數(shù)之間的關系

△二/一4ac>0

(1)方程有兩個不等正根X],%=

X]+%2=---->0

a

c_

xx=—>0

}2a

A=Z>2-4ac>0

(2)方程有兩個不等負根X],%=<

X]+%2=--<0

a

c?

xx=—>0

{2a

(3)方程有一正根和一負根，設兩根為Xi，/O=§<0

一a

二、考點分類精講

【題型一幕函數(shù)的定義與圖像】

觸類旁通

若募函數(shù)〉=K儂62）是偶函數(shù)，則a必為偶數(shù).當a是分數(shù)時，一般將其先化為根式，再判斷.

【典例1】（單選題）（2024高三?全國?專題練習）若幕函數(shù)了=/（x）的圖象經(jīng)過點（2,收），則/（16）=

()

A.V2B.2C.4D.y

【答案】C

【分析】利用已知條件求得暴函數(shù)解析式，然后代入求解即可.

【詳解】設嘉函數(shù)了=〃x）=x。，因為/（X）的圖象經(jīng)過點（2,后），所以2Ja,解得a=；,

所以〃x）=x*所以/（16）=165=4.

故選：C

【典例2】（單選題）（2024?四川南充?二模）已知函數(shù)/（x）的圖象如圖所示，則/（x）的解析式可能是（）

3

A.了=尤5B.y^x~2C.y=xD.y=xi

【答案】D

【分析】根據(jù)塞函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可.

【詳解】對于A：函數(shù)了=￡=&的定義域為［0,+e）,顯然不符合題意，故A錯誤；

_11

對于B：函數(shù)＞=X2=^的定義域為（0,+8）,顯然不符合題意，故B錯誤；

對于C：函數(shù)了=/的定義域為R,又了=/為奇函數(shù)，又了=x，在（0,+8）上函數(shù)是下凸遞增，故不符合題

意，故c錯誤；

對于D：函數(shù)＞=?=次的定義域為R，又了=」為奇函數(shù)，且y=在（°，+8）上函數(shù)是上凸遞增，故D

正確.

故選：D

■題型訓練■

一、單選題

1.（23-24高一上?廣東廣州?期中）下圖給出4個幕函數(shù)的圖象，則圖象與函數(shù)大致對應的是（）

A.①y=?y=x2,③了=尤3,④>=xT

B.①了=/，?y=x2,③了=婷，④"對

C.①y=f,②歹=》3,③@y=x2

D.①了=d,②尸/，④了=苫2,?y=x-'

【答案】A

【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式判斷圖像性質(zhì)，即可判斷圖像.

【詳解】塞函數(shù)＞=/的定義域為R,且為奇函數(shù)，在（0,+。）上單調(diào)遞增，對應圖像①；

塞函數(shù)7=W的定義域為R,且為偶函數(shù)，在（0,+。）上單調(diào)遞增，對應圖像②；

募函數(shù)＞的定義域為［0,+力），為非奇非偶函數(shù)，在（0,+。）上單調(diào)遞增，對應圖像③；

塞函數(shù)y=/的定義域為（-”,0）U（0,+⑹，且為奇函數(shù)，在（0,+為上單調(diào)遞減，對應圖像④；

故選：A.

2.（23-24高一上?廣東深圳?期中）已知事函數(shù)的圖象經(jīng)過點口8,4）,則該嘉函數(shù)在第一象限的大致圖象是

D-p7

o[~X

【答案】B

【分析】根據(jù)求出募函數(shù)的解析式，再根據(jù)基函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案.

【詳解】設1（x）=x",則8。=4今23“=22,所以3a=2,所以。=：,

22

所以〃X）=Q=V?，因為。

因為函數(shù)/（X）在（0,+8）上遞增，且增加的速度越來越緩慢，

故該事函數(shù)在第一象限的大致圖象是B選項.

故選：B.

3.（22-23高一?全國?課堂例題）幕函數(shù)丫_*尤tv_Jv-x*在第一象限內(nèi)的圖象依次是如圖中的曲

y-A,y—A9y一人9y一人

B.GCCC

c.G，（D.G，c4,c2,c3

【答案】D

【分析】根據(jù)嘉函數(shù)的指數(shù)的大小與曲線的位置關系（可在直線x=l右側）比較從而得出結論.

【詳解】在第一象限內(nèi)直線x=l的右側，騫函數(shù)y=x“的圖象從上到下相應的指數(shù)a由大變小，即“指大圖

高”，

所以暴函數(shù)夕在第一象限內(nèi)的圖象為G，y=x一在第一象限內(nèi)的圖象為C”

y=J在第一象限內(nèi)的圖象為0?/=X4在第一象限內(nèi)的圖象為C,.

故選:D

二、填空題

4.（23-24高三上?上海普陀?期中）若幕函數(shù)的圖像經(jīng)過點（內(nèi),3）,則此幕函數(shù)的表達式為/（x）=.

【答案】x4

【分析】設此塞函數(shù)的表達式為從而可得（君『=3,求解即可.

【詳解】設此暴函數(shù)的表達式為〃x）=/,

依題意可得，（君『=3,即請=3,解得夕=4，

所以此暴函數(shù)的表達式為f（x）=/.

故答案為：x4.

5.（23-24高三上?新疆克孜勒蘇?期中）已知幕函數(shù)/⑴的圖象經(jīng)過點15,則/■⑻的值等于.

【答案】1/0.125

O

【分析】設塞函數(shù)/（x）=x",代入點計算。=-1,計算得到答案.

【詳解】設嘉函數(shù)/（無）=/，則"5）=5"=：,故a=-l,即“x）=/,/（8）=1.

5o

故答案為：:

O

6.（23-24高三上?江蘇揚州?期中）已知函數(shù)〃》）=丁的圖象過點（2,8）,則/'⑴=.

【答案】3

【分析】由題意易得a=3,求導可得r（x）=3，，代入計算可知/'⑴=3.

【詳解】將點（2,8）代入可得8=2",即可知。=3；

所以/（x）=x3,

則/'（x）=3f,即可得/，⑴=3.

故答案為：3

7.（2024?四川宜賓?模擬預測）已知函數(shù)y=a（x_4）+2（a>0,且aR1）的圖像恒過定點P,且P在幕函數(shù)/（x）

的圖像上，則〃x）=.

【答案】G

【分析】通過與變量無關得到定點，設出/(X)解析式，求解變量即可.

【詳解】當X=4時，V的值與。無關，且了=2,故p(4,2),設〃x)=x"'

將尸(4,2)代入〃x),解得用=：,故〃x)=￡

故答案為：x；

8.(2023?全國?模擬預測)已知幕函數(shù)/(刈的圖像與兩條坐標軸都沒有交點，且不經(jīng)過第三象限，則〃x)=

(寫出一個滿足條件的函數(shù)即可).

【答案】x-2(答案不唯一，一；也正確)

【分析】根據(jù)募函數(shù)圖象特征得到〃<0,又圖像不經(jīng)過第三象限，可得到答案.

【詳解】設募函數(shù)/(x)=x“.因為其圖像與兩條坐標軸都沒有交點，所以a<0.

又因為圖像不經(jīng)過第三象限，所以/⑴是偶函數(shù)或定義域為(0,+功，

如/(X)=X-J(x)=X2等，

故答案為：(答案不唯一，也正確)

【題型二幕函數(shù)的性質(zhì)及應用】

觸類旁通

(1)緊扣嘉函數(shù)了=x&的定義、圖像、性質(zhì)，特別注意它的單調(diào)性在不等式中的作用，這里注

意&為奇數(shù)時，X“為奇函數(shù)，a為偶數(shù)時,X。為偶函數(shù).

(2)若募函數(shù)了=廿在(0,+oo)上單調(diào)遞增，則a>0；若在(0,+oo)上單調(diào)遞減，則a<0.

(3)在比較嘉值的大小時，必須結合嘉值的特點，選擇適當?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進行比較.

【典例1】⑵-24高一上?安徽阜陽?期中)已知函數(shù)〃X)=(2/T")0"+3是幕函數(shù)，且函數(shù)的圖象

關于y軸對稱.

(1)求實數(shù)機的值；

⑵若不等式3-1廠<(2。-3廠成立，求實數(shù)。的取值范圍.

【答案】⑴-；

a\—<a<2

【分析】(D根據(jù)募函數(shù)的定義和性質(zhì)運算求解;

1

(2)根據(jù)g(x)=『5的定義域以及單調(diào)性分析求解?

【詳解】(1)因為函數(shù)/(力=(2川一對口+3是幕函數(shù),

則2冽2_加=1,即2療-冽-1=0,解得冽=-萬或1,

又因為函數(shù)關于V軸對稱，

當機=-；時，則/(x)=/為偶函數(shù)，滿足題意；

當機=1時，則/=V為奇函數(shù)，不滿足題意；

綜上所述：實數(shù)加的值為-J.

_11

(2)函數(shù)g(x)=/"=x2=；,則函數(shù)g(x)在定義域(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞;

yjx

6Z—1>0

3

由(。一1廣<(2〃一3廣可得:2〃一3〉0,解得萬<4<2,

。—1>2a—3

所以實數(shù)0的取值范圍為“1|<.<21.

■題型訓練■

一、單選題

1.(2024?山東日照?二模)已知。,6eR,則“a>b”是“/>產(chǎn)的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.

【詳解】因為函數(shù)y=x3在定義域R上單調(diào)遞增，

所以由a>6推得出">尸，故充分性成立；

由a3>z?推得出a>b,故必要性成立,

所以“a＞b”是"/＞廣，的充要條件.

故選:C

2.（2024?廣西?二模）下列函數(shù)中，在（0,2）上單調(diào)遞增的是（）

A.f（x）=A/X-1B./（X）=X2-2X

C.〃x）=：D.〃尤）=x（

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，依次分析選項中函數(shù)的定義域及單調(diào)性，綜合即可得答案.

【詳解】對于A,f（x）=G,其定義域為口,+s）,不符合題意；

對于B,/（X）=X2-2X,在（0,1）上為減函數(shù)，不符合題意；

對于C,/（無）=），在（。,2）上單調(diào)遞減，不符合題意；

對于D,=f=冢，在（0,2）上單調(diào)遞增，符合題意；

故選：D.

二、多選題

3.（23-24高三上?河北石家莊?期中）下列函數(shù)中，在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞增的是（）

A.y=x4B.y=21x1C.y=x+—D.y=x~—

xx

【答案】ABD

【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的單調(diào)性即可求解.

【詳解】對A,基函數(shù)y=在（0,+對單調(diào)遞增，A正確；

對B,〉=2同在（0,+?0部分可化為＞=2"在（0,+⑹為指數(shù)函數(shù)，在（0,+8）單調(diào)遞增,B正確;

對C,當尤=g時，y=|,當x=l時，y=2不滿足題意，c錯誤；

對D,了=羽y=-工在（0,+8）單調(diào)遞增，貝廿=X」在（0,+功單調(diào)遞增，D正確。

XX

故選：ABD

三、填空題

4.（23-24高三上?上海靜安?期中）函數(shù)y=（3x-2產(chǎn)的定義域為.

【答案】（泉+8）

【分析】定義域即使得式子有意義，列出不等式即可.

【詳解】由尸（3x-2戶，使得式子有意義，則3x-2>0,則定義域為冷+以

故答案為：（§,+°0）

5.（2024高三?全國?專題練習）已知。,乜-一生9,若幕函數(shù)/⑴…為奇函數(shù)，且在（0,+與上

遞減，貝！1。=.

【答案】-1

【分析】由塞函數(shù)/（x）=x"在（。,+⑹上遞減得&<0,又由募函數(shù)/（x）=x"為奇函數(shù)，驗證即可求解.

【詳解】因為基函數(shù)/（x）=J在（0,+功上遞減，所以。=-2,-l,-g,

又塞函數(shù)/（x）=x"為奇函數(shù)，所以a=-l.

故答案為：-1

6.（23-24高三上?廣東佛山?階段練習）當xe（0,+8）時，幕函數(shù)y=（%？.m，）/。一為單調(diào)遞減函數(shù)，

貝!|切=.

【答案】-1

【分析】利用事函數(shù)的定義與性質(zhì)計算即可.

【詳解】由題意可知加2-2加-2=1=>加=-1或加=3,

2

當加=-1時，m-m-3=-\,此時丁=廣1在第一象限是單調(diào)遞減函數(shù)，符合題意；

當掰=3時，m2-m-3=3,此時了=工3在第一象限是單調(diào)遞增函數(shù)，不符合題意；

綜上：m=-1.

故答案為：-1

7.（23-24高三上?遼寧大連?期中）已知幕函數(shù)/⑴711的圖象過點且-2a）,則0

的取值范圍是.

【答案】（3,4）

【導語】先求出募函數(shù)的表達式，再用增減性即可

【詳解】因為/（x）=x“的圖象過點由8）

所以01[=23=2工解得。=-|

所以/（x）在定義域（0,+s）上遞減

故0<8-20<0-1

解得ae（3,4）

故答案為：（3,4）

8.（22-23高一下?江蘇南京?階段練習）請寫出一個滿足條件①和②的幕函數(shù)/（x）,條件：①〃x）是偶函數(shù);

②“X）為（0,+8）上的減函數(shù).則/（》）=.

【答案】尤-2（答案不唯一）

【分析】根據(jù)塞函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】設/（x）=x。，根據(jù)募函數(shù)為偶函數(shù)，則C為偶數(shù)，又/（X）為（0,+8）上單調(diào)遞減，故。<0,故可

取/（X）=X2,

故答案為：r2（答案不唯一）

9.（22-23高三下?上海?階段練習）已知函數(shù)〃x）=￡,則關于f的表達式/僅2-幻+/（2尸-1）<0的解集

為.

【答案】—1）

【分析】利用塞函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性即可求解.

【詳解】由題意可知，“X）的定義域為（-叫+8）,

11

所以f（-X）=（-X）3=-x§=-f（X）,

所以函數(shù)〃X）是奇函數(shù)，

1,、

由募函數(shù)的性質(zhì)知，函數(shù)〃月=爐在函數(shù)（F,m）上單調(diào)遞增，

由/?卜2_2才）+/（2產(chǎn)-1）<0,得/（心2/）一（2d—1）,即/（產(chǎn)一產(chǎn)），

所以「-2t<l_2/，即3〃-2"1<0,解得

所以關于/的表達式-2/)+〃2產(chǎn)-1)<0的解集為，$1

故答案為：f-pl].

【題型三二次函數(shù)單調(diào)性問題】

(1)對于二次函數(shù)的單調(diào)性，關鍵是開口方向與對稱軸的位置，若開口方向或?qū)ΨQ軸的位置不

確定，則需要分類討論求解.

(2)利用二次函數(shù)的單調(diào)性比較大小，一定要將待比較的兩數(shù)通過二次函數(shù)的對稱性轉(zhuǎn)化到同

一單調(diào)區(qū)間上比較.

【典例1】(單選題)(23-24高一上?安徽馬鞍山?期中)函數(shù)y=x2+bx+c在(-甩1)上是單調(diào)函數(shù)，則b的

取值范圍是()

A.(-<?,-2]B.(-<?,-2)C.[-2,+oo)D.(-2,+co)

【答案】A

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性判斷.

【詳解】因為函數(shù)y=f+6x+c開口向上，對稱軸為x=

所以函數(shù)y=/+6x+c在(-上單調(diào)遞減，

???-白1,解得。4-2,所以b的取值范圍是

故選：A.

■題型訓練■

一、單選題

1.(2024?山東?二模)已知函數(shù)/(x)=2x2-%+l在區(qū)間11,+8)上單調(diào)遞增,則/⑴的取值范圍是().

A.[7,+co)B.(7,+oo)

C.(-oo,7]D.（一8,7）

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，結合二次函數(shù)的性質(zhì)，求得解得機4-4,再由/⑴=3-根，進而求得/⑴的取值范圍.

【詳解】由函數(shù)/（x）=2x2-s+l的對稱軸是尤=:,

因為函數(shù)在區(qū)間卜1,+8）上是增函數(shù)，所以:VT,解得加V-4,

又因為/。）=3-，”，因此3-"?27,所以/⑴的取值范圍是[7,田）.

故選：A.

2.（23-24高三上?山東濟寧?期中）函數(shù)/（尤）=J2X2-X-3的單調(diào)遞增區(qū)間為（）

A.1一°0，；B.C.1,+℃^D.；，+0°]

【答案】C

【分析】由根式性質(zhì)求定義域，結合二次函數(shù)和募函數(shù)的性質(zhì)確定增區(qū)間.

【詳解】由題意，令/=2X2_X-3=（2X-3）（X+1”0,即XV-1或X",

根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)知：/=2X2-X-3在（f,T上遞減，在|,+8）上遞增

又了=〃在定義域上遞增，故/（x）=?=的單調(diào)遞增區(qū)間為*+8）.

故選：C

3.（2024?廣東揭陽?二模）已知函數(shù)/3=--+°尤+1在（2,6）上不單調(diào)，則。的取值范圍為（）

A.（2,6）B.（-00,2]U[6,+oo）

C.（4,12）D.（-s,4]U[12,內(nèi)）

【答案】C

【分析】根據(jù)給定條件，利用二次函數(shù)的單調(diào)性列出不等式求解即得.

【詳解】函數(shù)/（x）=-/+ax+l的圖象對稱軸為x=（依題意，2<|<6,得4<a<12,

所以。的取值范圍為（4,12）.

故選：C

4.（2024?全國?模擬預測）若函數(shù)〃幻=k2-（川-2）x+l|在上單調(diào)，則實數(shù)機的取值范圍為（）

【答案】c

【分析】由題意，根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)建立不等式組，解之即可求解.

【詳解】令g（x）=jf2-（加一2）x+l,

19

即實數(shù)m得取值范圍為［-qHUR,/.

故選：C.

二、多選題

5.（2023高三?全國?專題練習）下列是函數(shù)/卜）=苗-6工+8|的單調(diào)減區(qū)間的是（）

A.（-8,2）B.（-℃,3）

C.（3,4）D.(2,3)

【答案】AC

【分析】根據(jù)x的取值去絕對值符號，畫出了（x）的圖象即可求解.

【詳解】由/-6》+8=（工-2）（》-4）＜0解得2＜》＜4,

尤2-6x+8,x>4

所以/(x)=|X2-6X+8|=--x2+6x-8,2<x<4,

x1-6x+8,x<2

函數(shù)圖象如圖所示,

由圖可知函數(shù)/（無）的單調(diào)減區(qū)間為（一叫2）和（3,4）,

故選：AC

6.（23-24高一上?福建莆田?期中）函數(shù)f（x）=*-ax+2在（-2,4）上是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)。的取值范圍可以

是（）

A.tz>8B.a=9

C.a>-4D.a<-4

【答案】ABD

【分析】求出二次函數(shù)的對稱軸，即可得到或從而求出。的取值范圍，即可判斷.

【詳解】函數(shù)/■（x）=f-ax+2開口向上，對稱軸為x=],

因為函數(shù)/（同=，-辦+2在（-2,4）上是單調(diào)函數(shù)，

所以-2或@24,解得aVT或。28.

22

故選：ABD

三、填空題

7.（2024?遼寧?模擬預測）命題存在使得函數(shù)/3=/一2%在區(qū)間[他+8）內(nèi)單調(diào)，若P的

否定為真命題，則。的取值范圍是.

【答案】（f,T）

【分析】先給出命題p的否定，由函數(shù)〃尤）=爐-2加尤的單調(diào)性進行求解.

【詳解】命題p的否定為：任意使得函數(shù)/（無）=爐-2加尤在區(qū)間以口）內(nèi)不單調(diào)，

由函數(shù)/（%）=--2小在（7=,〃?）上單調(diào)遞減，在（見+<?）上單調(diào)遞增，

貝!|。<%，而

得a<-1,

故答案為：

8.（23-24高三下?青海西寧?開學考試）已知函數(shù)〃x）=lg（x2+ax+l）在區(qū)間（口,-2）上單調(diào)遞減，則。的

取值范圍為

【答案】(-8,3

【分析】將〃幻=坨12+辦+1)可看作由廣電〃,“=/+如+1復合而成，根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性，列出不

等式，即可求得答案.

【詳解】設"=，+0:彳+1,則/'(x)=lg(/+ax+l)可看作由y=lg","=x2+ax+l復合而成，

由于V=1g/在(0,+8)上單調(diào)遞增，

故要使得函數(shù)/(x)=lg(x2+ax+l)在區(qū)間(-叫-2)上單調(diào)遞減，

需滿足u>0在區(qū)間(-%-2)上恒成立，且u=x2+ax+1在區(qū)間(-8,-2)上單調(diào)遞減，

a

--2-2c

故2,解得.弓，

(-2)2+(-2)a+l>0

故a的取值范圍為(-吟，

故答案為：］

【題型四二次函數(shù)最值與值域問題】

觸類旁通利用動軸定區(qū)間和定軸動區(qū)間思路分類討論

(1)類型：

①對稱軸、區(qū)間都是給定的；

②對稱軸動、區(qū)間固定；

③對稱軸定、區(qū)間變動.

(2)解決這類問題的思路：抓住“三點一軸”數(shù)形結合，“三點”是指區(qū)間兩個端點和中點，“一軸

指的是對稱軸，結合配方法，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及分類討論的思想解決問題.

【典例1】(單選題)(2024?全國?模擬預測)已知函數(shù)/(切=1。8“(--如+1)在區(qū)間［,2］上有最大值或

最小值，則實數(shù)。的取值范圍為()

A.B.&,l］u(l,2)C.,(1,4)D.

【答案】B

【分析】根據(jù)了=--辦+1開口向上，故需了=尤2一方+1在區(qū)間上有最小值，且y>0,從而得到不

等式，求出答案.

【詳解】要使函數(shù)“X)在區(qū)間上有最大值或最小值,

由于^=/一"+1開口向上,

故需函數(shù)歹=一—分+1在區(qū)間上有最小值，且y>0.

Q>0

QW1

1〃c

該函數(shù)圖像的對稱軸為直線％=],所以,—<—<2

42

4>0

4W1

1,

解得一<4<4,

2

—2<a<2

所以(<a<2,且g1,即實數(shù)〃的取值范圍為[；,1]U(1,2).

故選：B.

■題型訓練■

一、單選題

1.(23-24高一上?北京?期中)已知函數(shù)/(同=-尤2+2無+5在區(qū)間[0,間上有最大值6,最小值5.則實數(shù)加

的取值范圍是()

A.(0,2]B.[1,2)C.[1,2]D.(0,1]

【答案】C

【分析】先分析出〃x)=5J(x)=6時x的取值，然后結合單調(diào)性判斷出優(yōu)的取值范圍.

【詳解】因為〃X)=一/+2》+5=-(》一1)2+6,所以當x=l時/(x)1mx=6,

令〃x)=5,解得x=0或x=2,

又因為/(x)在[0,1)上單調(diào)遞增，在。,2]上單調(diào)遞減,

所以若〃X）在區(qū)間[0,間上有最大值6,最小值5,

則有IV”7V2,即加

故選：C.

2.（23-24高一上?河南?期中）若函數(shù)/（x）=x2-6x+8（xe[0用）的值域為曰網(wǎng)，則實數(shù)左的值可能為（）

A.1B.2C.4D.5

【答案】CD

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義域和值域，結合二次函數(shù)圖象分析判斷.

【詳解】因為/（X）=X2-6X+8=（X-3）2-1,

貝?。?（x）在x=3處取得最小值一1.

令/(x)=r2-6x+8=8，解得x=0或x=6,

根據(jù)題意結合函數(shù)圖像可得：3<*<6.

故選：CD.

3.（2024高三?全國?專題練習）已知函數(shù)/（x）=x2+辦+6（a,6eR）的最小值為0,若關于x的不等式/（尤）<c

的解集為（加，冽+4）,則實數(shù)c的值為（）

A.9B.8C.6D.4

【答案】D

【分析】先由/（"=，+依+6（。,6€2的最小值為0,得到△=（）,再由〃x）<c的解集為⑺刈+4）,得到

“X）-c=0的根為m,m+4,從而利用韋達定理即可求解.

【詳解】因為/'（x）=x2+辦+b（a,beR）開口向上，最小值為0,

2

A=4?-46=0,/.b=—，

貝!I/（x）=X?+ax+彳=[x+f，

???/（x）<。的解集為（m,m+4）,所以冽，冽+4是/（x）-c=O的兩個不等實根,

2

即加，加+4是％2+Q%+幺_。=0的兩個不等實根，

4

—u—4

所以加+加+4=—。，貝?。┘?-----,

故選：D.

4.（23-24高一上?全國?期末）如果函數(shù)尸產(chǎn)+2優(yōu)—1,（a>0且awl）在區(qū)間[-1,1]上的最大值是14,則。的

值為（）

A.3B.-C.-5D.3或J

33

【答案】D

[分析]利用換元法，令”優(yōu)，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)y=[+1）2—2,根據(jù)單調(diào)性及在區(qū)間[-1』上的最大值是14,

求出。的值即可.

【詳解】令t=a，,則y=a2*+24*—l=/+2f—1=（7+1）~—2.

當。>1時，因為xe|—1,1],所以Ze-,a,

a_

9「1一

又因為函數(shù)y=（，+l）—2在-,a上單調(diào)遞增，

所以Kiax=（a+l『-2=14，解得a=3（a=-5舍去）?

當0<a<l時，因為xe[—1,1],所以fea,：,

7「1一

又函數(shù)尸（葉1）—2在a,-上單調(diào)遞增，

則Pmax-2=14,

解得":（"-J舍去）.

綜上知.=3或0=：.

故選：D.

二、填空題

5.(23-24高一下?山東濱州?開學考試)已知當xe,/,a+1］時，函數(shù)/'(x)=/-2x+l的最大值為4,貝I。的

值為_________

【答案】-1或2

【分析】根據(jù)對稱軸和區(qū)間中點的關系分類討論，建立方程解出即可.

【詳解】函數(shù)/(X)的對稱軸為x=l,

當14。+；，即?時，/卜)而=/(a+l)=/=4,

解得〃=2或。=-2(舍)；

11.

當1＞。+5，即。＜］時，〃x)1Mx=/(0)=("1)=4,

解得。=-1或a=3(舍)，

綜上知，。的值為2或-L

故答案為：-1或2.

6.(23-24高三下?北京?階段練習)已知函數(shù)，5)=卜2+辦+4在區(qū)間［0,4］上的最大值為〃，當實數(shù)°,b

變化時，M最小值為.

【答案】2

【分析】/(x)=|x2-4x-［-(?+4)x-可，則M即為函數(shù)g(x)=--4x與函數(shù)3)=-Q+4)x-6圖象上點的

縱向距離的最大值中的最小值，作出函數(shù)圖象，由圖象觀察即可得出答案.

［詳解］/(x)=k2-4x+(a+4)x+|=|x2-4x-［-(a+4)x-Z?］|,

上述函數(shù)可理解為當橫坐標相同時，函數(shù)g(x)=--4x,xe［0,4］與函數(shù)/z(x)=-(a+4)x-6,xe［0,4］圖

象上點的縱向距離，

則W即為函數(shù)g(x)=x2-4x與函數(shù)〃(x)=-(a+4)x-b圖象上點的縱向距離的最大值中的最小值，

作出函數(shù)g(x),〃(x)圖象，如圖，

y

尸g(x)

由圖象可知，當函數(shù)〃(X)的圖象剛好為y=-2時此時。=-4,6=2,M取得最小值為2.

故答案為：2

三、解答題

7.(23-24高一上,江蘇無錫,期末)已知函數(shù)/'(x)=f-ax-a,g(x)=(a+l)x2-(1+2a)x-a+\(aeR).

⑴若/(x)在區(qū)間［0,2］上最大值為2,求實數(shù)。的值；

(2)當。>0時,求不等式〃x)>g(x)的解集.

【答案】⑴9；

(2)答案見解析.

【分析】(1)求出二次函數(shù)圖象的對稱軸，再利用二次函數(shù)性質(zhì)求解即得.

(2)分類討論求解含參數(shù)的一元二次不等式即得.

【詳解】(1)函數(shù)〃x)=f圖象的對稱軸為x=￡,

當即°42時，/(力而=〃2)=4-3a=2,解得a=j則。=j

當B>1,即a>2時，/(x)max=/(O)=-?=2,解得a=-2,矛盾，

所以"右2

(2)?g(x)-/(x)=ax2~(a+l)x+l=(ax-l)(x-1)<0,而Q>0,

因此不等式為(％—)(x—1)<0,

a

當工<1,即a>l時，不等式解集為(±1)；

aa

當工=1,即a=l時，不等式解集為0；

a

當1>1,即0<a<l時，不等式解集為(1一)，

aa

所以當。>1時，不等式解集為d,i）；當“=i時，不等式解集為。；當時，不等式解集為（1」）.

aa

8.（23-24高一上?北京?期中）函數(shù)/（x）=2尤2-2辦+3,其中aeR.

（1）當。=2時，求不等式〃無）>6尤-9的解集；

（2）當xe［T,3］時，f（x）的最小值為0,求。的值.

【答案】（1）口比<2或x>3}

（2）一|■或指

【分析】（1）直接解一元二次不等式；

（2）先求出對稱軸，然后分羨4-1,-1<^<3和三之3三種情況求其最小值即可.

【詳解】（1）當。=2時，不等式〃x）>6x-9,

即一—5x+6>0,解得x<2或x>3,

所以不等式/?>6x-9的解集為卜［x<2或x>3}；

（2）易知〃尤）=2尤2_2辦+3的對稱軸為x=j

①當時，函數(shù)/（無）在［T3］上單調(diào)遞增，

則/（工焉=/（T）=5+2a=0,得。=-g，符合題意；

②當7<2<3時，函數(shù)〃x）在上單調(diào)遞減，在§3］上單調(diào)遞增，

2

則/⑶皿=嗚）=3-三=0,

解得〃或4=一指（舍）；

③當^23時，函數(shù)/（“在［T3］上單調(diào)遞減，

則/（、）*=/⑶=21—6〃=0,解得。=］7,不符合題意，

綜上所述，。的值為或卡.

【題型五二次函數(shù)根的分布與韋達定理】

【典例1】（單選題）（2324高一上?山東淄博?階段練習）已知方程2/_（加+1）尤+m=。有兩個不等正實根,

則實數(shù)小的取值范圍為（）

A.0<加<3-3后或加>3+3后B.m>-l

C.m>QD.0<小<3—28或機>3+2&

【答案】D

【分析】應用二次方程根的分布等價于對應二次函數(shù)零點的分布問題，求解實數(shù)m的取值范圍即可.

【詳解】因為方程2/一（〃z+l）x+%=0有兩個不等正實根，設兩根為三,三,

則等價于函數(shù)一（勿+1）》+機有兩個不相等且大于o的零點，

A=（加+1）"-8〃？>0

所以<當1>0=>0<加<3-2也"或加>3+2近，

/（0）>0

故選：D

■題型訓練■

一、填空題

1.（23-24高一上?重慶?期末）關于x的一元二次方程尤+“-2=0有一個根小于T,另一個根大

于1,則。的取值范圍是.

【答案】-2<a<0

J/⑴<。

【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖像特征，滿足即得a的取值范圍.

【詳解】設/'（力=/+（/-1b+a-2,開口向上,

/⑴=1+(/-l)+a-2<0

由題意知,

/(-l)=l-(o2_i)+"2<0'

a2+ci—2<0—2<Q<1

，解得

+Q<04(0或4)1

所以一2<〃<0,

故答案為：-2<a<0.

2.（23-24高一上?湖北?階段練習）命題FlVxW8時，方程2x?-依+8=0有兩個不等實數(shù)根”是真命題，則

實數(shù)。的取值范圍是.

【答案】8<a<10

【分析】利用存在量詞命題，結合二次函數(shù)圖象與一元二次方程解的關系，計算得結論.

【詳解】因為命題8時，方程2-—辦+8=0有兩個不等實數(shù)根”是真命題，

所以函數(shù)y=2/_ax+8的圖象在上與x軸有兩個不同的交點，

,a門

1<—<8

4

因此，/-64>0,解得8<aV10,

10-?>0

136-8?！?/p>

所以實數(shù)。的取值范圍是8<。<10,

故答案為：8<a<10

3.（23-24高一上?貴州?階段練習）若關于x