廣東省八校聯(lián)盟2024-2025學年高一上學期教學質(zhì)量檢測(二)

數(shù)學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.設(shè)集合/={x|x>l},5={x|-2<x<2},貝U(備/)I3=()

A.(-2,1)B.(-2,1]C.(-s,2)D.(1,2]

2.若a,bcR,則“a<6”是“Inavlnb”的()

A.充要條件B.既不充分也不必要條件

C.充分不必要條件D.必要不充分條件

3.如果函數(shù)八》)=/+2工一3,xe[0,2],那么函數(shù)/(無)的值域為()

A.[―4,+℃)B.[-4,5]C.[—3,5]D.[0,5]

4.在同一個坐標系中，函數(shù)/(x)=log“x,g(x)=。'Mx)=x"的部分圖象可能是()

5.設(shè)aeR,若/(x)=log2(x+a)的反函數(shù)的圖象經(jīng)過點(3,1),貝!]a=()

A.7B.3C.1D.-1

6.已知a=2°」,6=log?6,c=logs0,則實數(shù)a,b,c的大小關(guān)系是()

A.c>a>bB.c>b>a

C.a>c>bD.a>b>c

7.取一條長度為1的線段，將它三等分，去掉中間一段，留剩下的兩段;再將剩下的兩段分

試卷第1頁，共4頁

別三等分，各去掉中間一段，留剩下的更短的四段；……；將這樣的操作一直繼續(xù)下去，

直至無窮，由于在不斷分割舍棄過程中，所形成的線段數(shù)目越來越多，長度越來越小，在極

限的情況下，得到一個離散的點集，稱為康托爾三分集.若在第"次操作中去掉的線段長度

之和不小于則力的最大值為()

60

A.6B.7C.8D.9

8.已知函數(shù)/(》)=5'",若存在不相等的實數(shù)。，b,c,1滿足

lgx,x>0

|/(a)|=|/(Z;)|=|/(C)|=|/(6?)|,貝伊+b+c+d的取值范圍為()

二、多選題

9.若函數(shù)/(x)對于任意國,乙40,+8),都有小學五產(chǎn)；則稱/(X)具有

性質(zhì)下列函數(shù)中，具有性質(zhì)M的有()

A./(x)=VxB./(x)=e%C./(x)=lnxD./(x)=----g

10.已知a>0,b>0,且a+6=4,則下列結(jié)論正確的是()

A.ab<4B.—l—21C.2"+2'216D.a2+b2>8

ab

11.有如下命題，其中為真命題的是()

A.若幕函數(shù)y=/(x)的圖象過點(2,；),則〃3)>；

B.函數(shù)［。)=4+1(°>0且awl)的圖象恒過定點(1,2)

C.函數(shù)〃x)=x2TTog產(chǎn)有兩個零點

2

D.若函數(shù)/(耳=爐-2》+4在區(qū)間［0,根］上的最大值為4,最小值為3,則實數(shù)小的取

值范圍是［1,2］

三、填空題

12.若。,6>0,且。6=〃+6+3,貝6的最小值為

試卷第2頁，共4頁

13.若函數(shù)=F為奇函數(shù)，貝.

[-x+ax,x>0

14.已知符號[司表示不超過x的最大整數(shù)，函數(shù)〃x)=g(xHO),若方程〃x)=a有且僅

有3個根，則“的取值范圍是.

四、解答題

15.計算下列各式的值：

10faS

(l)log32+log35-210g3V10+2；

(2)1-64\(l-2x)(l+2^+4^)+8i+8^.

1+8'I)

16.已知函數(shù)/(x)=ax2+6x-l(a,6eR).

(1)若不等式〃無)>0的解集是{x[l<x<3},求a,6的值；

⑵當6=3時，若不等式/卜)<0對一切實數(shù)x恒成立，求。的取值范圍.

17.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)響應“綠水青山就是金山銀山”的號召，因地制宜的將該鎮(zhèn)打造成“生態(tài)水果特色

小鎮(zhèn)”.經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：某珍稀水果樹的單株產(chǎn)量甲(單位：千克與施用肥料x(單位：(千克)

5(X2+3),0<X<2

滿足如下關(guān)系：少0)=50x，肥料成本投入為10x元，其它成本投入(如培

-----,2<xW5

、l+x

育管理、施肥等人工費)20x元.已知這種水果的市場售價大約為15元/千克，且銷路暢通

供不應求.記該水果樹的單株利潤為/(x)(單位：元).

⑴求;'(x)的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當施用肥料為多少千克時，該水果樹的單株利潤最大？最大利潤是多少？

18.已知結(jié)論：設(shè)函數(shù)“X)的定義域為R,“,6eR,若/(a+x)+/(a-x)=26對無?R恒成

立，則“無)的圖象關(guān)于點36)中心對稱，反之亦然.特別地，當。=6=0時，/(x)的圖象

2

關(guān)于原點對稱，此時/(x)為奇函數(shù).設(shè)函數(shù)g(x)=k7.

(1)判斷g(x)在R上的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性的定義證明；

⑵計算g(x)+g(-x)的值，并根據(jù)結(jié)論寫出函數(shù)g(x)的圖象的對稱中心；

試卷第3頁，共4頁

(3)若不等式g(加-j+g(-旬？2對x>0恒成立，求實數(shù)m的最大值.

19.若存在實數(shù)對(。,為，使等式〃x)-/(2a-x)=b對定義域中每一個實數(shù)x都成立，則稱

函數(shù)/'(x)為(。,6)型函數(shù).

⑴若函數(shù)/(無)=2工是(。,1)型函數(shù)，求。的值；

(2)若函數(shù)g(x)=留是(。/)型函數(shù)，求。和人的值；

(3)已知函數(shù)A(x)定義在［-2,4］上,八(久)恒大于0,且為(1,4)型函數(shù)，當xe(l,4］時，

2

“(X)=-(log2x)+m-log2x+2.若〃(x)21在［-2,4卜恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.

試卷第4頁，共4頁

《廣東省八校聯(lián)盟2024-2025學年高一上學期教學質(zhì)量檢測(二)數(shù)學試題》參考答案

題號12345678910

答案BDCCADCCACDAB

題號11

答案BD

1.B

【分析】根據(jù)補集以及交集的定義及可求解.

【詳解】由題意可知，%4={i|E},B={X\-2<X<2\,則(％/)C8={X|-2<E},

故選：B.

2.D

【解析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義，結(jié)合對數(shù)的性質(zhì)即可判斷.

【詳解】若a<640,則Ina和Inb無意義，得不出Ina<In6,

若lna<lnb,貝!］0<a<6,可以得出

所以“a<6”是“Ina<In"的必要不充分條件，

故選：D.

3.C

【分析】配方后，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可求函數(shù)值域.

【詳解】：/(X)=X2+2X-3=(X+1)2-4,開口向上，對稱軸為直線x=—l,

.?"(X)在區(qū)間［0,2］上單調(diào)遞增，.?J(x)mhi=/(O)=-3,/(x)max=/(2)=5,

.?.xe［0,2］時,/(x)的值域是［T5］.

故選：C.

4.C

【分析】結(jié)合對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和幕函數(shù)的單調(diào)性及圖象判斷即可.

【詳解】因為［(無)=log/,g(x)=尸在同一坐標系中，所以/卜)，g(x)的單調(diào)性一定相

反，且「(X),g(x)圖象均不過原點，故排除AD；

在BC選項中，過原點的圖象為幕函數(shù)“無)=/的圖象，由圖象可知0<“<1,所以

/(x)=log/單調(diào)遞減，g(x)=「單調(diào)遞增，故排除B.

故選：C.

答案第1頁，共10頁

5.A

【分析】由題意可知，函數(shù)〃力=噓2(》+。)的圖象經(jīng)過點(1,3),即可求得〃的值.

【詳解】因為/(x)=bg2(x+”)的反函數(shù)的圖象經(jīng)過點(3,1),

所以，函數(shù)/(x)=bg2(x+。)的圖象經(jīng)過點0,3),

所以，/(l)=log2(l+a)-3,可得a+l=23,解得a=7.

故選：A.

6.D

【分析】根據(jù)題意結(jié)合指、對數(shù)函數(shù)單調(diào)性運算求解.

【詳解】因為6=10826='0823,。=1083"=#0832，

由y=2,在R上單調(diào)遞增，可得2°」>2°=1，即。>1；

由y=k>g2X在(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞增，可得I=log22<log23<log24=2,即;<b<l；

由y=k)g3X在(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞增，可得logjZ<log33=1,即c<g；

綜上所述：a>b>c.

故選：D.

7.C

【分析】可分析得到第〃次操作去掉的線段長度之和為即解指

U)3U)360

數(shù)不等式,利用lg2?0.3010,lg3x0.4771估計即可

121

【詳解】第一次操作去掉的線段長度為第二次操作去掉的線段長度之和為第三

次操作去掉的線段長度之和為。X：x=,…，第〃次操作去掉的線段長度之和為

由題意可知，⑶,則⑶則〃lg：2-lg30=-l-lg3,

360303

所以〃(lg2-lg3)2-l-lg3,即后；*2，

又lg2a0.3010,lg3。0.4771,帶入上式，可得“48

故選：C

答案第2頁，共10頁

8.C

【分析】將問題轉(zhuǎn)化為了=〃，與|/(x)|的圖象的四個交點橫坐標之和的范圍，數(shù)形結(jié)合可得

答案.

【詳解】由題設(shè)，將問題轉(zhuǎn)化為了=加與y=『(x)|的圖象有四個交點，

作出y=的圖象如下：

所以0<〃741時，了=冽與|/(尤)|的圖象有四個交點，

令gx+l=2,解得工=0或》=汽，令|lgx|=l,解得x=10或x=\,

不妨假設(shè)a<b<c<d,由圖及函數(shù)性質(zhì)知：

-4<a<-2<b<0<—<c<1<c/<10,

10

易知：>=]X+1的圖象關(guān)于1=-2對稱，

所以〃+/?=-4,又由|lgc|二|lgd|得cd=l,

所以c+d=cH—,且—<c<10,

c10

得2Vc+」<10+}=整，當且僅當c=l時等號成立，

c1010

【點睛】方法點睛：數(shù)形結(jié)合是解決函數(shù)問題的重要方法，畫出圖象根據(jù)圖象性質(zhì)結(jié)合對稱

性和雙勾函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

9.ACD

【分析】根據(jù)條件得到函數(shù)圖像應該是上凸的或者是直線，根據(jù)圖像得到答案.

【詳解】根據(jù)題意，若函數(shù)/(X)對于任意網(wǎng),工2€(0,+“)，都有

則函數(shù)的圖象在(0,+8)上為直線或向上凸，/(x)=eX的圖象不符合該特點，

而[(x)=6、f(x)=In%和=的圖象符合該特點.

答案第3頁，共10頁

故選：ACD.

10.AB

【分析】由基本不等式對AC進行判斷；用“1”的代換結(jié)合基本不等式判斷B；利用重要不

等式變形判斷D.

【詳解】對于A,因為a>0,b>0,。+方=4,

所以4=°+/2而(當且僅當。=6=2時取等號)，

所以0<仍44,(當且僅當。=6=2時取等號)，所以A正確;

對于B,因為:+*11

a+b

當且僅當。=6=2時取等號，所以B正確；

對于C,因為2"+2"22后才=2亞嬴'=2廳=8，

當且僅當“=方=2時取等號，所以C錯誤；

對于D,因為/+/N2附，所以2(/+62)2,+6)2,

所以/+/2①史=3=8,當且僅當。=，=2時取等號，所以D錯誤.

22

故選:AB.

11.BD

【分析】根據(jù)基函數(shù)的定義判斷選項A,由指數(shù)的性質(zhì)判斷選項B,由零點存在性定理的應

用判斷選項C,由二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)判斷選項D.

【詳解】設(shè)幕函數(shù)[(x)=x01,代入，得到*=g,.?.&=T,.寸(x)=%則〃3)=；<g,

故A錯誤；

由于了=優(yōu)恒過定點(0,1),因此令x-l=0,即x=l時，恒有"1)=2,

即圖象恒過定點(1,2),故B正確；

轉(zhuǎn)化/(x)=x?-l-logjX=0；即/_]=]0glx,

22

函數(shù)-1與了=l°g及在同一直角坐標系下的圖象如圖1所示，

2

兩個函數(shù)只有一個交點，故函數(shù)/(X)只有一個零點，故C錯誤.

答案第4頁，共10頁

函數(shù)/(x)=x2-2尤+4中，得/(0)=/(2)=4,/(1)=3,

如圖2所示，可得若函數(shù)在區(qū)間[0,%]上的最大值為4,最小值為3,

則實數(shù)加的取值范圍是[1,2],故D正確.

圖1圖2

12.6

【分析】利用基本不等式求解.

【詳解】因為。力>0,所以而4學，即必《如迎，

24

所以a+b+3V("+"一則有(a+6)2-4(。+b)-122。,

一4

解得a+bV-2(舍)，或a+626,

當且僅當a=b=3時取得等號，

所以a+b的最小值為6,

故答案為6

13.3

【分析】根據(jù)奇函數(shù)定義可得。=4,代入運算求解即可.

【詳解】設(shè)x<0,貝IJ-x>0,貝I]/(-無)=-x2-ax,f(x)=x2+4x,

因為/(x)是奇函數(shù),則/(f)=-/(x)，即f?一辦=-f_4x,可得。=4,

即〃x)=F：4丁-°仆，所以/("1)=/(3)=-9+12=3.

[-x+4x,x>0

故答案為：3.

14-(H341七14,3)

【分析】將原問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像有交點的問題，然后數(shù)形結(jié)合考查臨界條件即可求得最終

答案第5頁，共10頁

結(jié)果.

【詳解】符號［x］表示不超過X的最大整數(shù)，若函數(shù)〃x）=g（xwo）,

則當xe（o,l）時，［x］=o,則/（尤）=0；

，則〃x),d

當x?l,2）時，［司=1

則/(x)=2e1|>l;

當xe［2,3）時，3=2,

xIJ.

則/(x)=jeg,l；

當xe［3,4）時，國=3,

則/(無)=3e[gl；

當xe［4,5）時，［x］=4,

則/(x)=M住1；…

當xe［5,6）時，［x］=5,

當xe［-l,O）時，卜］=一1,則/(%)=--￡1,+8);

7

當xe[-2,-1)時，團=-2,則〃x)=-：e[l,2)；

當xe[T-2)時，[x]=-3,貝=1,|)；

當xe[-4,-3)時，[x]=-4,則/(x)=—el,g)；..

所以函數(shù)/(x)=￥(xwO)的圖象如圖所示，

由圖象可知/[-3,g],5f-2,|lcR|L

因為方程/（x）=。有且僅有3個根，等價于/（X）與V=。的圖象有3個交點,

3443

結(jié)合圖象可知，當］或］滿足題意.

故答案位為：（［“3小41?！?,J3、

15.（1）3

（2）4

【分析】（1）根據(jù)對數(shù)的運算法則可得答案;

答案第6頁，共10頁

（2）由指數(shù)塞的運算法則及平方和，立方差等公式計算可得答案.

Og23

【詳解】(1)log32+log35-21og3Vlb+^=log3(2x^-log310+3=log3l+3=：

(Xx\2

(2)+(1一2')(1+2'+4')+8萬+8.2

7

(1-8Txi+8-*

X3

+1-(2)+8'+2+8一”

1+P

=1-8-v+1-8X+8v+2+8T=4

174

16.(\)a=--,b=-

9

⑵—00,-------

4

【分析】（1）分析可知"2+隊-1=0（°片0）的兩根為i,3,且。<0,利用韋達定理運算求

解即可;

（2）分。=0和兩種情況，根據(jù)恒成立問題結(jié)合二次函數(shù)列式求解即可.

【詳解】（1）不等式/（x）>0的解集是{x[l<x<3},

即辦2+bx-l=O（a片0）的兩根為1,3,且a<0,

1

1x3=—a-——

3

所以解得<

」

1+3b=~

a3

(2)當6=3時，不等式小)<0。0/+3X-1<0.

若“=0,則不等式即為3x-l<0,不恒成立，不合題意;

a<09

若則由題意可得32-4?X(-1)<0,解得

9

綜上所述：。的取值范圍是一00,

4

75x2-3Ox+225,0<x<2

17.⑴/(尤)?750

750----------30x,2<x<5

x+l

⑵當x=4時取得最大利潤，最大利潤為480元

【分析】（1）利用銷售額減去成本投入可得出利潤解析式;

（2）利用分段函數(shù)的單調(diào)性及基本不等式計算最值即可.

答案第7頁，共10頁

15x5卜2+3)-30x,0<x<2

【詳解】(1)由已知/(x)=15少(無)一20無一10尤=

出

15x一30x,2<x<5

1+X

75x2-30x+225,0<x<2

750

750----------30A;2<X<5

x+1

75口-口+222,0<x<2

(2)由(1)得=.

780-30|—+x+l],2<x<5

U+lJ

即由二次函數(shù)的單調(diào)性可知，當xe［0,2］時，/(x)皿*=7(2)=465,

由基本不等式可知，當xe(2,5］時,

〃x)=78O-3o]弓+x+l]<780-30x2^^-^+1)=480,

25

當且僅當—-x+1,即、=4時取得最大值，

x+1

綜上，當x=4時取得最大利潤，最大利潤為480元.

18.(1)單調(diào)遞減，證明見解析

⑵g(x)+g(-x)=2,函數(shù)g(x)的圖象的對稱中心為(0,1)

⑶4

【分析】(1)g(x)在R上單調(diào)遞減，設(shè)不＜3,計算得到g(9)-g(xj＜。得到證明;

(2)計算得到g(x)+g(-尤)=2,根據(jù)題設(shè)得到結(jié)論；

(3)構(gòu)造尸(x)=g@)-l,確定F(x)為奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞減，變換得到

F^-^＞F(4x),得到%V4x+—根據(jù)均值不等式計算最值得到答案.

【詳解】(1)g(x)在R上單調(diào)遞減，證明如下：

/x＜x冏，x),晨)一二______2_2(戶一叫?+小

及演＜馬'則gG)-g(xJ一齊口-苫節(jié)一?*+1)卜2%+1)'

2

x1<x2,則e"?+l>0,e2*>+1>0,e$—+<0,^'+^>0,

故g(x2)—g(xj＜。，§Pg(x2)＜g(x1),函數(shù)在R上單調(diào)遞減;

答案第8頁，共10頁

2?222e2x

⑵g（x"F'貝"+g（T）=苫------------1-----Z--二----2----，

e2x+1+1

故函數(shù)g(x)的圖象的對稱中心為(0,1)；

(3)設(shè)尸(x)=g(x)-l,故F(x)為奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞減，

g^--^|+g(-4x)>2,即尸］機一J+尸(-4x)20,即尸,一工卜尸(4x),

則加一LW4x在(0,+8)上恒成立，即加工4x+，,xG(0,+00),

xx

4x+—>2^=4,當且僅當x時等號成立，故加44,即加的最大值為4.

x2

19.⑴〃=0；

(2)。=0,6=1；

3

(3)-<m<2V2.

【分析】(1)根據(jù)給定的定義，結(jié)合指數(shù)運算計算即得.

(2)利用給定的定義，建立恒成立的等式，借助恒等式求解即得.

(3)利用新定義建立關(guān)系，再分段討論并借助函數(shù)不等式恒成立求解即得.

【詳解】⑴由/(x)=2工是(見1)型函數(shù)，得/(x)4(2"x)=2￡""f=l,即22』,

所以4=0.

(2)由g(x)=e"是型函數(shù),得g(x),g(2o-x)=e"d"-％=人,

則—=Inb,因此/in6-2axin6+2〃=0對定義域｛%|%。0｝內(nèi)任意》恒成立，

x2a-x