第3講自由落體運(yùn)動一、自由落體運(yùn)動1．條件：物體只受重力，從靜止開始下落．2．基本規(guī)律(1)速度公式：v＝gt.(2)位移公式：x＝eq\f(1,2)gt2.(3)速度位移關(guān)系式：v2＝2gx.3．自由落體運(yùn)動的推論(1)連續(xù)相等的時間T內(nèi)的位移之差：Δx＝gT2.(2)平均速度：eq\x\to(v)＝eq\f(v,2).(3)若從開始運(yùn)動時刻計時，劃分為連續(xù)相等的時間間隔T，則有如下比例關(guān)系：①T末、2T末、3T末……瞬時速度之比v1∶v2∶v3∶……＝1∶2∶3∶……②T內(nèi)、2T內(nèi)、3T內(nèi)……位移之比x1∶x2∶x3∶……＝1∶4∶9∶……③第一個T內(nèi)、第二個T內(nèi)、第三個T內(nèi)……位移之比xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶……＝1∶3∶5∶……(4)若從運(yùn)動起點(diǎn)(初位置)開始，劃分為連續(xù)相等的位移x，則有如下比例關(guān)系：①連續(xù)相等的位移末的瞬時速度v1∶v2∶v3∶……＝1∶eq\r(2)∶eq\r(3)∶……推證：由v2－v02＝2ax可直接得到．②通過連續(xù)相等的位移所用時間之比t1∶t2∶t3∶……＝1∶(eq\r(2)－1)∶(eq\r(3)－eq\r(2))∶……4．伽利略對自由落體運(yùn)動的研究(1)伽利略通過邏輯推理的方法推翻了亞里士多德的“重的物體比輕的物體下落快”的結(jié)論．(2)伽利略對自由落體運(yùn)動的研究方法是邏輯推理→猜想與假設(shè)→實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證→合理外推．這種方法的核心是把實(shí)驗(yàn)和邏輯推理(包括數(shù)學(xué)演算)和諧地結(jié)合起來．自測1(多選)甲物體的重量比乙物體大5倍，甲從H＝10m高處自由落下，乙從2H高處與甲物體同時自由落下，在它們落地之前，下列說法中正確的是()A．兩物體下落過程中，在同一時刻甲的速度比乙的速度大B．下落1s末，它們的速度相同C．各自下落1m時，它們的速度相同D．下落過程中甲的加速度比乙的加速度大答案BC二、豎直上拋運(yùn)動1．運(yùn)動特點(diǎn)：加速度大小為g，方向豎直向下．上升階段做勻減速運(yùn)動，下降階段做自由落體運(yùn)動．2．運(yùn)動性質(zhì)：勻變速直線運(yùn)動．3．基本規(guī)律(1)速度公式：v＝v0－gt；(2)位移公式：x＝v0t－eq\f(1,2)gt2.自測2(多選)物體做豎直上拋運(yùn)動后又落回到原出發(fā)點(diǎn)的過程中，下列說法正確的是()A．上升過程中，加速度方向向上，速度方向向上B．下落過程中，加速度方向向下，速度方向向下C．在最高點(diǎn)時，加速度大小為零，速度大小為零D．到最高點(diǎn)后，加速度方向不變，速度方向改變答案BD命題點(diǎn)一自由落體運(yùn)動規(guī)律的應(yīng)用自由落體運(yùn)動是v0＝0、a＝g的勻加速直線運(yùn)動，下落時間t、末速度v、下落高度h三個物理量中有一個確定，其余兩個物理量也就確定了．例1(2017·南通一中期中)如圖1所示，某學(xué)習(xí)小組利用直尺估測反應(yīng)時間：甲同學(xué)捏住直尺上端，使直尺保持豎直，直尺零刻度線位于乙同學(xué)的兩指之間．當(dāng)乙看見甲放開直尺時，立即用手指捏住直尺，根據(jù)乙手指所在位置計算反應(yīng)時間．為簡化計算，某同學(xué)將直尺刻度進(jìn)行了改進(jìn)，以相等時間間隔在直尺的反面標(biāo)記反應(yīng)時間的刻度線，制作了“反應(yīng)時間測量儀”，下列四幅圖中刻度線標(biāo)度正確的是()圖1答案B解析由題可知，手的位置在開始時應(yīng)放在0刻度處，所以0刻度要在下邊．直尺做自由落體運(yùn)動的位移：h＝eq\f(1,2)gt2，位移與時間的平方成正比，所以隨時間的增大，直尺上刻度線的間距增大，由以上的分析可知，只有圖B是正確的．例2(2017·丹陽中學(xué)模擬)在高11.25m屋檐上，每隔一定的時間有一滴水落下，已知第一滴水落到地面時，第四滴水剛好離開屋檐，設(shè)水滴的運(yùn)動是自由落體運(yùn)動，g取10m/s2，求：(1)第一滴水落地時的速度大??；(2)水滴落下的時間間隔；(3)第一滴水落地時，第二滴水和第三滴水間的距離．答案(1)15m/s(2)0.5s(3)3.75m解析(1)根據(jù)自由落體與運(yùn)動學(xué)公式得：v12＝2gh解得：v1＝eq\r(2gh)＝eq\r(2×10×11.25)m/s＝15m/s；(2)第一滴水運(yùn)動的時間t＝eq\r(\f(2h,g))＝eq\r(\f(2×11.25,10))s＝1.5s；所以水滴落下的時間間隔T＝eq\f(t,4－1)＝0.5s；(3)第1滴水落地時，第2滴水的下落位移為：h′＝eq\f(1,2)gt′2＝eq\f(1,2)×10×12m＝5m；第三滴水下落的高度h″＝eq\f(1,2)×10×0.52m＝1.25m；第二滴水和第三滴水間的距離為Δh＝h′－h(huán)″＝3.75m.命題點(diǎn)二豎直上拋運(yùn)動1．豎直上拋運(yùn)動的兩種研究方法(1)分段法：將全程分為兩個階段，即上升過程的勻減速階段和下落過程的自由落體階段．(2)全程法：將全過程視為初速度為v0、加速度為a＝－g的勻變速直線運(yùn)動，必須注意物理量的矢量性．習(xí)慣上取v0的方向?yàn)檎较?，則v>0時，物體正在上升；v<0時，物體正在下降；h>0時，物體在拋出點(diǎn)上方；h<0時，物體在拋出點(diǎn)下方．2．豎直上拋運(yùn)動的三種對稱性(1)時間的對稱性①物體上升到最高點(diǎn)所用時間與物體從最高點(diǎn)落回到原拋出點(diǎn)所用時間相等，即t上＝t下＝eq\f(v0,g).②物體在上升過程中某兩點(diǎn)之間所用的時間與下降過程中該兩點(diǎn)之間所用的時間相等．(2)速度的對稱性①物體上拋時的初速度與物體又落回原拋出點(diǎn)的速度大小相等、方向相反．②物體在上升階段和下降階段經(jīng)過同一個位置時的速度大小相等、方向相反．(3)能量的對稱性豎直上拋運(yùn)動物體在上升和下降過程中經(jīng)過同一位置時的動能、重力勢能及機(jī)械能分別相等．例3(2018·鹽城中學(xué)階段性測試)氣球以10m/s的速度勻速上升，當(dāng)它上升到離地175m的高處時，一重物從氣球上脫落，則重物需要經(jīng)過多長時間才能落到地面？到達(dá)地面時的速度是多大？(g取10m/s2，不計空氣阻力)答案7s60m/s解析解法一：把豎直上拋運(yùn)動過程分段研究．設(shè)重物離開氣球后，經(jīng)過t1時間上升到最高點(diǎn)，則t1＝eq\f(v0,g)＝eq\f(10,10)s＝1s.上升的最大高度h1＝eq\f(v\o\al(02),2g)＝eq\f(102,2×10)m＝5m.故重物離地面的最大高度為H＝h1＋h＝5m＋175m＝180m.重物從最高處自由下落，落地時間和落地速度分別為t2＝eq\r(\f(2H,g))＝eq\r(\f(2×180,10))s＝6s.v＝gt2＝10×6m/s＝60m/s.所以重物從氣球上脫落至落地共歷時t＝t1＋t2＝7s.解法二：取全過程作為一個整體進(jìn)行研究，從重物自氣球上脫落計時，經(jīng)時間t落地，規(guī)定初速度方向?yàn)檎较?，畫出運(yùn)動草圖如圖所示，則重物在時間t內(nèi)的位移h＝－175m.由位移公式h＝v0t－eq\f(1,2)gt2有－175＝10t－eq\f(1,2)×10t2，解得t＝7s和t＝－5s(舍去)，所以重物落地速度為v1＝v0－gt＝10m/s－10×7m/s＝－60m/s.其中負(fù)號表示方向向下，與初速度方向相反．解法三：對稱法根據(jù)速度對稱，重物返回脫落點(diǎn)時，具有向下的速度v0＝10m/s，設(shè)落地速度為v，則v2－v02＝2gh.解得v＝60m/s，方向豎直向下．經(jīng)過h歷時Δt＝eq\f(v－v0,g)＝5s.從最高點(diǎn)到落地歷時t1＝eq\f(v,g)＝6s.由時間對稱可知，重物脫落后至落地歷時t＝2t1－Δt＝7s.變式1在豎直的井底，將一物體以11m/s的速度豎直向上拋出，物體在井口處被人接住，在被人接住前1s內(nèi)物體的位移是4m，位移方向向上，不計空氣阻力，g取10m/s2，求：(1)物體從拋出到被人接住所經(jīng)歷的時間；(2)此豎直井的深度．答案(1)1.2s(2)6m解析(1)被人接住前1s內(nèi)物體的位移是4m，由于自由落體的物體第1s內(nèi)的位移h1＝eq\f(1,2)gt2＝5m故而一定是在物體通過最高點(diǎn)后返回過程中被接住，設(shè)接住前1s時的初速度為v1，則h＝v1t－eq\f(1,2)gt2解得v1＝9m/s，t1＝eq\f(v0－v1,g)＝eq\f(11－9,10)s＝0.2s從拋出到被人接住所經(jīng)歷的時間t′＝t1＋1s＝1.2s(2)設(shè)豎直井的深度為H，則H＝v0t′－eq\f(1,2)gt′2＝11×1.2m－eq\f(1,2)×10×1.22m＝6m.命題點(diǎn)三落體法測重力加速度例4某同學(xué)用如圖2a所示的裝置測定重力加速度：(1)電磁打點(diǎn)計時器的工作電壓為________V，為交流，頻率為50Hz.(2)打出的紙帶如圖b所示，實(shí)驗(yàn)時紙帶的________(選填“甲”或“乙”)端應(yīng)和重物相連接．(3)實(shí)驗(yàn)中在紙帶上連續(xù)打出點(diǎn)1、2、3、4、……、9，如圖b所示，由紙帶所示數(shù)據(jù)可算出實(shí)驗(yàn)時的加速度為________m/s2(保留兩位有效數(shù)字)．圖2答案(1)4～6(2)乙(3)9.4變式2頻閃攝影是研究變速運(yùn)動常用的實(shí)驗(yàn)手段．在暗室中，照相機(jī)的快門處于常開狀態(tài)，頻閃儀每隔一定時間發(fā)出一次短暫的強(qiáng)烈閃光，照亮運(yùn)動的物體，于是膠片上記錄了物體在幾個閃光時刻的位置．如圖3是小球自由下落時的頻閃照片示意圖，頻閃儀每隔0.04s閃光一次．如果要通過這幅照片測量自由落體加速度，可以采用哪幾種方法？試一試．照片中的數(shù)字是小球落下的距離，單位是厘米．圖3答案見解析解析方法一根據(jù)公式x＝eq\f(1,2)gt2x＝19.6cm＝0.196m.t＝5T＝0.2sg＝eq\f(2x,t2)＝eq\f(0.196×2,4×10－2)m/s2＝9.8m/s2方法二根據(jù)公式Δx＝gT2x5－x3＝2gT2，x4－x2＝2gT2，則g＝eq\f(x5＋x4－x2＋x3,4T2)＝eq\f(19.6－7.1－7.1－0.8,4×0.042)×10－2m/s2＝9.69m/s2方法三根據(jù)v＝gt和eq\x\to(v)＝eq\f(v0＋v,2)＝eq\f(x,t)＝eq\x\to(v)＝eq\f(19.6－7.1×10－2,2×0.04)m/s≈1.56m/sg＝eq\f(\x\to(v),t)＝eq\f(1.56,0.16)m/s2＝9.75m/s2.1．關(guān)于自由落體運(yùn)動(g＝10m/s2)，下列說法中不正確的是()A．它是豎直向下，v0＝0、a＝g的勻加速直線運(yùn)動B．在開始連續(xù)的三個1s內(nèi)通過的位移之比是1∶3∶5C．在開始連續(xù)的三個1s末的速度大小之比是1∶2∶3D．從開始運(yùn)動到距下落點(diǎn)5m、10m、15m所經(jīng)歷的時間之比為1∶2∶3答案D2．一小石塊從空中a點(diǎn)自由落下，先后經(jīng)過b點(diǎn)和c點(diǎn)，經(jīng)過b點(diǎn)時速度為v，經(jīng)過c點(diǎn)時速度為3v，不計空氣阻力，則ab段與ac段位移之比為()A．1∶3B．1∶5C．1∶8D．1∶9答案D解析石塊做自由落體運(yùn)動，2ghab＝v2①2ghac＝(3v)2②由①②得eq\f(hab,hac)＝eq\f(1,9)，選項(xiàng)D正確．3．(多選)某物體以30m/s的初速度豎直上拋，不計空氣阻力，g取10m/s2，4s內(nèi)物體的()A．位移大小為50mB．路程為50mC．速度改變量的大小為20m/sD．平均速度大小為10m/s答案BD解析選取向上的方向?yàn)檎较?，物體在4s內(nèi)的位移x＝v0t－eq\f(1,2)gt2＝(30×4－eq\f(1,2)×10×42)m＝40m，方向與初速度的方向相同．物體上升的最大高度：H＝eq\f(v\o\al(02),2g)＝eq\f(302,2×10)m＝45m，物體上升的時間t1＝eq\f(v0,g)＝eq\f(30,10)s＝3s，下降位移的大小為h′＝eq\f(1,2)g(t－t1)2＝5m，故路程為s＝H＋h′＝50m，選項(xiàng)A錯誤，B正確；4s末的速度為v′＝v0－gt＝－10m/s，則速度改變量的大小為Δv＝|v′－v0|＝40m/s，選項(xiàng)C錯誤；平均速度為eq\x\to(v)＝eq\f(x,t)＝eq\f(40,4)m/s＝10m/s，選項(xiàng)D正確．4．(2018·錦屏中學(xué)模擬)取一根長2m左右的細(xì)線，5個鐵墊圈和一個金屬盤．在線端系上第一個墊圈，隔12cm再系一個，以后墊圈之間的距離分別為36cm、60cm、84cm，如圖4所示，站在椅子上，向上提起線的上端，讓線自由垂下，且第一個墊圈緊靠放在地上的金屬盤．松手后開始計時，若不計空氣阻力，則第2、3、4、5個墊圈()圖4A．落到盤上的時間間隔越來越大B．落到盤上的時間間隔相等C．依次落到盤上的速率關(guān)系為1∶eq\r(2)∶eq\r(3)∶2D．依次落到盤上的時間關(guān)系為1∶(eq\r(2)－1)∶(eq\r(3)－eq\r(2))∶(2－eq\r(3))答案B解析由題意知，墊圈下落的位移之比為1∶4∶9∶16，根據(jù)其運(yùn)動規(guī)律h＝eq\f(1,2)gt2判斷落到盤上的時間間隔相等，A項(xiàng)錯誤，B項(xiàng)正確．由v＝eq\r(2gh)知，墊圈依次落到盤上的速率關(guān)系為1∶2∶3∶4，由t＝eq\r(\f(2h,g))知，墊圈依次落到盤上的時間關(guān)系為1∶2∶3∶4，C、D項(xiàng)錯誤．

1．做自由落體運(yùn)動的物體，落到全程的一半和全程所用的時間之比是()A．1∶2B．2∶1C．1∶eq\r(2)D.eq\r(2)∶1答案C2．A、B兩小球從不同高度自由下落，同時落地，A球下落的時間為t，B球下落的時間為eq\f(t,2)，當(dāng)B球開始下落的瞬間，A、B兩球的高度差為(重力加速度為g)()A．gt2 B.eq\f(3,8)gt2C.eq\f(3,4)gt2 D.eq\f(1,4)gt2答案D解析A球下落高度為hA＝eq\f(1,2)gt2，B球下落高度為hB＝eq\f(1,2)g(eq\f(t,2))2＝eq\f(1,8)gt2，當(dāng)B球開始下落的瞬間，A、B兩球的高度差為Δh＝hA－eq\f(1,2)×g×(eq\f(t,2))2－h(huán)B＝eq\f(1,4)gt2，D正確．3．從某高處(高度大于5m)釋放一粒小石子，經(jīng)過1s從同一地點(diǎn)再釋放另一粒小石子，不計空氣阻力，則在它們落地之前的任一時刻()A．兩粒石子間的距離將保持不變，速度之差保持不變B．兩粒石子間的距離將不斷增大，速度之差保持不變C．兩粒石子間的距離將不斷增大，速度之差也越來越大D．兩粒石子間的距離將不斷減小，速度之差也越來越小答案B解析當(dāng)?shù)谝粋€石子運(yùn)動的時間為t時，第二個石子運(yùn)動的時間為(t－1)．則有x1＝eq\f(1,2)gt2①v1＝gt②x2＝eq\f(1,2)g(t－1)2③v2＝g(t－1)④由①③得：Δx＝gt－eq\f(1,2)g，由②④得：Δv＝g.因此，Δx隨t增大，Δv不變，選項(xiàng)B正確．4．(2017·響水中學(xué)模擬)小明從某磚墻前的高處由靜止釋放一個石子，讓其自由落下，拍攝到石子下落過程中的一張照片如圖1所示．由于石子的運(yùn)動，它在照片上留下一條模糊的徑跡．已知每層磚的平均厚度為6.0cm，照相機(jī)本次拍照曝光時間為1.5×10－2s，由此估算出位置A距石子下落起始位置的距離為()圖1A．1.6mB．2.5mC．3.2mD．4.5m答案C5．設(shè)宇航員在某行星上從高32m處自由釋放一重物，測得在下落最后1s內(nèi)所通過的距離為14m，則重物下落的時間是()A．1sB.eq\f(4,7)sC．3sD．4s答案D解析設(shè)重物下落的時間為t，下落的高度為h，行星表面的重力加速度為g0，則h＝eq\f(1,2)g0·t2，h－14m＝eq\f(1,2)g0·(t－1s)2，由題意知h＝32m，解得t1＝4s，t2＝eq\f(4,7)s(舍去)，選項(xiàng)D正確．6．(多選)一個小球做自由落體運(yùn)動，它的下落高度足夠高，取g＝10m/s2，關(guān)于這個小球的運(yùn)動情況，下列說法中正確的是()A．小球在第3s內(nèi)的下落高度為25mB．小球在前3s內(nèi)的平均速度為30m/sC．小球在第1s內(nèi)、第2s內(nèi)、第3s內(nèi)的平均速度之比是1∶3∶5D．小球在前1s內(nèi)、前2s內(nèi)、前3s內(nèi)的位移之比是1∶3∶5答案AC解析小球在第3s內(nèi)的下落高度等于前3s下落的高度減去前2s下落的高度，即h＝eq\f(1,2)gt32－eq\f(1,2)gt22＝25m，A正確；3s末的速度vt＝gt＝30m/s，前3s的平均速度v＝eq\f(vt,2)＝15m/s，B錯誤；由h＝eq\f(1,2)gt2得前1s內(nèi)、前2s內(nèi)、前3s內(nèi)的位移之比是1∶4∶9，D錯誤；小球在第1s內(nèi)、第2s內(nèi)、第3s內(nèi)的位移之比為1∶3∶5，由eq\x\to(v)＝eq\f(x,t)可知，小球在第1s內(nèi)、第2s內(nèi)、第3s內(nèi)的平均速度之比是1∶3∶5，C正確．7．(多選)為了得到塔身的高度(超過5層樓高)數(shù)據(jù)，某人在塔頂使一顆石子做自由落體運(yùn)動．在已知當(dāng)?shù)刂亓铀俣鹊那闆r下，可以通過下面哪幾組物理量的測定，求出塔身的高度()A．最初1s內(nèi)的位移 B．石子落地的速度C．最后1s內(nèi)的下落高度 D．下落經(jīng)歷的總時間答案BCD解析由h＝eq\f(v2,2g)知B項(xiàng)正確；由h＝eq\f(1,2)gt2知D項(xiàng)正確；設(shè)最后1s內(nèi)的下落高度為x，下落總時間為t，總高度為h，則h－x＝eq\f(1,2)g(t－1)2，h＝eq\f(1,2)gt2，由此兩式可求出h，故C項(xiàng)正確．8．(2018·溧水中學(xué)模擬)某跳傘空降兵在離地面224m高處，由靜止開始在豎直方向做自由落體運(yùn)動．一段時間后，立即打開降落傘，以12.5m/s2的加速度勻減速下降，為了空降兵的安全，要求空降兵落地速度最大不得超過5m/s(取g＝10m/s2)．則()A．空降兵展開傘時離地面的高度至少為125m，相當(dāng)于從2.5m高處自由落下B．空降兵展開傘時離地面的高度至少為125m，相當(dāng)于從1.25m高處自由落下C．空降兵展開傘時離地面的高度至少為99m，相當(dāng)于從1.25m高處自由落下D．空降兵展開傘時離地面的高度至少為99m，相當(dāng)于從2.5m高處自由落下答案C解析設(shè)空降兵做自由落體運(yùn)動的高度為h時速度為v，此時打開傘開始做勻減速運(yùn)動，落地時速度剛好為5m/s，這種情況空降兵在空中運(yùn)動時間最短，則有v2＝2gh，vt2－v2＝－2a(H－h(huán))，解得h＝125m，v＝50m/s，為使空降兵安全著地，他展開傘時離地面的高度至少為H－h(huán)＝224m－125m＝99m，選項(xiàng)A、B錯誤；他以5m/s的速度著地時，相當(dāng)于從h′高處自由落下，由vt2＝2gh′，得h′＝eq\f(v\o\al(t2),2g)＝eq\f(25,2×10)m＝1.25m，選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯誤．9．一個氣球以4m/s的速度勻速豎直上升，氣球下面系著一個重物，當(dāng)氣球上升到下面的重物離地面217m時，系重物的繩斷了．經(jīng)過一段時間后，重物著地，此時重物的速度為(g取10m/s2，重物所受空氣阻力不計)()A．50m/sB．60m/sC．66m/sD．70m/s答案C解析繩未斷時，重物隨氣球以4m/s的速度勻速上升，繩斷后，由于慣性，重物將在離地面217m處，以初速度4m/s做豎直上拋運(yùn)動．如圖所示，上升階段重物做勻減速直線運(yùn)動，上升高度h1后到達(dá)最高點(diǎn)，下落階段重物做自由落體運(yùn)動，由對稱性可知重物下落高度h1時速度大小為v0＝4m/s，重物著地時的速度為v，則v2－v02＝2gh，代入數(shù)據(jù)，解得v＝66m/s.10.如圖2所示，木桿長5m，上端固定在某一點(diǎn)，由靜止放開后讓它自由落下(不計空氣阻力)，木桿通過懸點(diǎn)正下方20m處圓筒AB，圓筒A