廣西玉林市六校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試

卷

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.拋物線/=4X的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為（）

1

A.2B.1C.2D.4

2.經(jīng)過(guò)/（_2,0）”（-5,3）兩點(diǎn)的直線的傾斜角是（）

A.45。B.135。C.90°D.60°

3.己知直線/的方向向量為￡=2），平面a的法向量為￡=（2,2,4），貝心與。的關(guān)系是

（）

A-ZiaB-IHaC/與c相交）l"a或lua

4.以直線/：工+（機(jī)+2）夕_3-機(jī)=0恒過(guò)的定點(diǎn)為圓心，半徑為人的圓的方程為（）

A，x2+y2-2x-2j=2x2+y2-2x—2y-l

C.x2+y2-2x-2y+1=0D.x2+y2-2x-2y=0

5.已知Z=（-2，1，3）1=（T1,1）,若力伍-阿，則實(shí)數(shù)，的值為（）

A.一2B.--C.-D.2

33

6.已知橢圓無(wú)『+片=1的左、右焦點(diǎn)分別為片，瑞，點(diǎn)尸為“上一點(diǎn)，若PRSFZ,

93

試卷第11頁(yè)，共33頁(yè)

則△與尸尸的面積為（）

35

A.3B.5C.-D.2

22

7.如圖，在直三棱柱44G中，V45C是等邊三角形，AA\=6,AB=2,則點(diǎn)。

到直線4月的距離為（）

4J________G

B

A.B,^23c,2^D,巫

3333

8.已知拋物線c：/=2px（p>0）的焦點(diǎn)尸到準(zhǔn)線的距離為2,過(guò)焦點(diǎn)廠的直線/與拋物線

交于45兩點(diǎn)，貝U2M/|+3忸川的最小值為（）

A.V6+-B,276+5c.4^6+10D,11

二、多選題

9.已知拋物線c：x2=4y的焦點(diǎn)為尸，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)”（看,%）在拋物線C上，若

”|=5,則（）

A.尸的坐標(biāo)為（1,0）B./=±4C.%=3D.

試卷第21頁(yè)，共33頁(yè)

\OM|=472

10.已知直線4：ax+y-3〃=0,直線4：2x+（a-l）y-6=0'則（）

A.當(dāng)a=3時(shí)，4與乙的交點(diǎn)為（3,0）

B.存在awR,使/J//2

C,若《，4，則

D.直線4恒過(guò)點(diǎn)（3,0）

11□上n尸I222扇/\2/入\22,（r＞0，且。，b不同時(shí)為0）

H.已知回0］：工2+『=/,圓。2：（工一。）+（＞-b）=r

交于不同的兩點(diǎn)小，必），B（x2,y2）＞下列結(jié)論正確的是（）

A.傘-切+6（凹-%）=。B.2叫+2加=/+^

C.x,+x2=aD.yi+y2=2b

三、填空題

12.已知￡=（I,O,_I）［=（2,1,1），則3%+B=----

13占“在橢圓二+J1上，尸是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，"為""的中點(diǎn)"川=3,則

259

\MF\=-----

14.已知四棱錐尸-/BCD,尸4_L平面/8CD，底面NBCD為矩形，NB=2,/M=4￡?=4,E

試卷第31頁(yè)，共33頁(yè)

生P4上Fy,CD匚上什PFBEF二tn谷鉆TH/古48口-CF=

為1的V中l(wèi)l點(diǎn)，為上一點(diǎn)，右與平面所成角的正弦值為一，則____

33

四、解答題

15.已知圓M：x2_2x+V+4y_10=0?

(1)求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程，并寫(xiě)出圓w的圓心坐標(biāo)和半徑：

⑵若直線x+3y+C=0與圓〃交于43兩點(diǎn)，且,卻=2右，求C的值.

16.已知四棱錐尸-4BCD中，底面N5CD是正方形，尸￡)_1平面/38,尸。=/3=1,￡是

總的中點(diǎn).

P

(1)求直線BD與直線PC所成角的大??；

(2)求點(diǎn)B到平面ADE的距離.

17.已知雙曲線c：=一1_=1(.>0,6>0)的虛軸長(zhǎng)為2,且離心率為半.

(1)求C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)設(shè)C的右焦點(diǎn)為尸，過(guò)尸的直線交C于43兩點(diǎn)，若中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,求|/叫.

18.在如圖所示的試驗(yàn)裝置中，兩個(gè)正方形框架/Be。，/a跖的邊長(zhǎng)都是2,且它們所在

的平面互相垂直.活動(dòng)彈子M,N分別在正方形對(duì)角線ZC和2尸上移動(dòng)，且M4和NF的長(zhǎng)

度保持相等，記MA=NF=a(0<a<2叵)，

試卷第41頁(yè)，共33頁(yè)

c

(I)求兒w的長(zhǎng)；

(2)當(dāng)兒W的長(zhǎng)最小時(shí)，求平面.與平面夾角的余弦值?

19.對(duì)于橢圓：4+4=1(?>6>0)>我們稱(chēng)雙曲線：片一片=1為其伴隨雙曲線.已知橢

a2b2V7a2b2

22

圓C:爭(zhēng)今=1(0<6<6)，它的離心率是其伴隨雙曲線,離心率的旦倍.

(1)求橢圓C伴隨雙曲線「的方程;

(2)點(diǎn)廠為「的上焦點(diǎn)，過(guò)尸的直線/與「上支交于45兩點(diǎn)，設(shè)A/8。的面積為S,

ZAOB=e(其中。為坐標(biāo)原點(diǎn)).若閘=63求S

tan0

試卷第51頁(yè)，共33頁(yè)

參考答案:

題號(hào)12345678910

答案CBADCACBBDACD

題號(hào)11

答案ABC

1.C

【分析】由拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程即可求得焦準(zhǔn)距0.

【詳解】由拋物線/=4x可得P=2，

而拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為0=2.

故選：C.

2.B

【分析】根據(jù)斜率的兩點(diǎn)式公式和定義求解.

【詳解】經(jīng)過(guò)“（一2,°）］（T3）兩點(diǎn)的直線的斜率為七二_=一1,

AB-5+2

設(shè)該直線的傾斜角為a，貝1

又0°Ma<180°'所以a=135。.

故選：B

3.A

【分析】根據(jù)方向向量與法向量平行，即可判斷.

【詳解】由向量3=（1,1,2）,方=（2,2,4），得1=22，

所以0//〃，所以

故選：A

4.D

【分析】根據(jù)直線過(guò)定點(diǎn)可得圓心坐標(biāo)，再結(jié)合半徑可得圓的方程.

【詳解】由X+（加+2）y-3-加=0'得x+2y-3+（y-l）"z=0'

答案第11頁(yè)，共22頁(yè)

令尸1=0,則「=1,

[y=i

貝幗的方程為（x—］『+Q—丁=（啦J,即/+/_2》_2y=0,

故選：D.

5.C

【分析】根據(jù)條件，利用空間向量垂直的坐標(biāo)表示，即可求解.

【詳解】因?yàn)橄蛄俊?（一2,1,3）》=（-1,1,1），

又a_L（a-2加），貝°a?（a-4加）=a2-A（z-S=（4+l+9）-A（2+l+3）=0,

整理得到14一6"°,解得4」，

3

故選：C.

6.A

【分析】根據(jù)橢圓的定義和勾股定理計(jì)算求得歸耳H吵|=，再由三角形面積公式計(jì)算即

可.

【詳解】由橢圓的定義可知，戶耳㈤尸用=6，且閨用=26，因?yàn)殄隷LPF,，

所以附『+歸￡「=|耳月「=24,又（|尸國(guó)+|竹正=36,

故附惟|=,所以附卜1%=3.

故選：A.

7.C

【分析】取NC的中點(diǎn)O,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-中z，根據(jù)點(diǎn)到線距離的向

答案第21頁(yè)，共22頁(yè)

量求法和投影的定義計(jì)算即可.

【詳解】取NC的中點(diǎn)0，則8OLNC,且20=0，

以。2所在直線為x軸，。。所在直線為y軸，。與4a中點(diǎn)連線所在直線為z軸，建立如

圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-孫z，

因?yàn)?（0,-1,0）田（V3,0,V2）,C（0,l,0）,則福=（64,上），第=（0,-2,0）,

\CA-AB\_2

CAABX

所以在上的投影的長(zhǎng)度為

V63

8.B

【分析】（方法一）首先求出拋物線。的方程為y=4x，設(shè)直線/的方程為：x=ty+\，

與拋物線C的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出再迎的值，再根據(jù)拋物線的定義知

\AF\=x,+\^\BF\=X2+\'從而求出2Hpi+3忸尸I的最小值即可?

答案第31頁(yè)，共22頁(yè)

（方法二）首先求出《+」=1,再利用基本不等式即可求解即可.

【詳解】（方法一）

因?yàn)閽佄锞€。的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2,故°=2，

所以拋物線C的方程為產(chǎn)=4門(mén)焦點(diǎn)坐標(biāo)為尸骨1，0口，

設(shè)直線/的方程為：％=川+1,4（再,%）,5（%2，%），不妨設(shè)

聯(lián)立方程卜2=4x,整理得儼-49-4=0,貝”+%=今/辦=-4,

[x="+1

22

故平，=旦?匹=1，

1244

又,\BF\=x2+^=x2+\,

貝”2|/司+3怛尸|=2（X]+1）+3（%+1）=2X1+3X2+5N27^^+5=2#+5，

當(dāng)且僅當(dāng)尤=1x=逅時(shí)等號(hào)成立，故291+3忸川的最小值為2指+5.

勺-2，2—3

故選：B.

（方法二）由方法一可得玉馬=1,則乙+4='+—X[+x?+2=],

\AF\\BF\王+1x2+1xrx2+玉+/+1

答案第41頁(yè)，共22頁(yè)

因此2朋+3網(wǎng)11?)\BF\

=（2|/川+3忸修聲+阮

對(duì)2陸調(diào)小2M

當(dāng)且僅當(dāng)|/尸|=1+1，忸尸|=1+半時(shí)等號(hào)成立,

故2|//|+3忸川的最小值為2&+5?

故選：B.

9.BD

【分析】直接由拋物線方程得焦點(diǎn)坐標(biāo)及其準(zhǔn)線方程可判斷A,由拋物線定義可判斷BC,

由兩點(diǎn)間距離公式可判斷D.

【詳解】對(duì)于A,拋物線c：x2=4了的焦點(diǎn)為尸（0,1），準(zhǔn)線方程為了=-1，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于BC,由拋物線定義可得也用=5=%+1，所以為=4，￥=16,解得/=±4,故B正

確C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，|OM|=716+16=472?故D正確?

故選：BD.

10.ACD

【分析】根據(jù)兩直線方程及位置關(guān)系直接判斷.

【詳解】A選項(xiàng)，當(dāng)a=3時(shí)，直線4：3x+y-9=0，直線（：2x+2y-6=0，

聯(lián)立產(chǎn)+y-9=0,解得卜=3,

[2x+2y-6=0[y=。

所以?xún)芍本€的交點(diǎn)為（3,0），A選項(xiàng)正確；

B選項(xiàng)，假設(shè)存在aeR,使〃4，貝！la（a_l）-lx2=0，解得a=2或a=-l，

答案第51頁(yè)，共22頁(yè)

當(dāng)。二2，4：2%+歹一6=0，（：2x+y—6=0，兩直線重合，舍去，

f

當(dāng)Q=_1時(shí)，4：_x+y+3=0，即x—y—3=0,/2:2x-2y—6=0即x—y—3=0,兩直線

重合，舍去，

所以不存在Q￡R,使B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)：若4”,則QX2+1X（"1）=。，解得"LC選項(xiàng)正確；

3

D選項(xiàng),直線4：辦+、_3。=0,即〃（工_3）+'=0,

令1x-3=0,即1x=3,所以直線4恒過(guò)點(diǎn)（3,0）,D選項(xiàng)正確；

[y=0[y=0

故選：ACD.

11.ABC

【分析】利用圓的公共弦所在直線方程可判定A,B,利用圓半徑相同，再根據(jù)圓的性質(zhì)

判定圓心連線與公共弦垂直且平分，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可判定C,D.

【詳解】圓G：/+y2=/和圓°2：（＞0）2+3-6）2=/（『＞0）交于不同的兩點(diǎn)A，B,

22J

???兩圓方程相減可得直線45的方程為：a+h-2ax-2by=0

即2QX+2勿-/—/=°,分別把點(diǎn)5（x2，%）兩點(diǎn)坐標(biāo)代入

2222221

2ax+2by-a-b=0得：2ax{+2by1-a-b=02ax2+2by2-a-b=0

上面兩式相減得：2a（芯—％2）+2“%—％）=0，

即再-%2）+人（%-%）=0,所以選項(xiàng)A正確;

由上得：23+2加=/+/，所以選項(xiàng)B正確；

???兩圓的半徑相等，???由圓的性質(zhì)可知，線段45與線段GG互相平分，

答案第61頁(yè)，共22頁(yè)

則百Xj+Z.O+a_ayt+y2O+b_b

、222'~

變形可得再+x,=a，必+為=6,故C正確，D錯(cuò)誤.

故選：ABC

12-（5,1,-2）

【分析】應(yīng)用空間向量坐標(biāo)表示的線性運(yùn)算律計(jì)算即可.

【詳解】因?yàn)閍=（1,0,一1）3=（2,1,1），所以31+5=3（1,0,-1）+（2」,1）=（5,1,-2>

故答案為：（5,1,-2）?

13.4

【分析】根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性，利用三角形中位線定理求得|四尸，|,再由橢圓定義求解|必7|

即可.

【詳解】如圖，根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)尸為左焦點(diǎn)，尸，為右焦點(diǎn)，

由橢圓《+上=1，得。=5,2a=10,

259

QN是MR的中點(diǎn)，O是尸尸'的中點(diǎn)，

.1ON為△尸的中位線，

MF'\=2\ON\=6,

由橢圓的定義得|旅|=2a-|〃F1=10-6=4.

答案第71頁(yè)，共22頁(yè)

故答案為：4.

14.1

【分析】運(yùn)用線面垂直性質(zhì)，結(jié)合題意建立空間直角坐標(biāo)系，然后用向量法表示出線面角

的正弦值，進(jìn)而反求出=r

【詳解】因?yàn)槭?平面/8CO,底面/BCD為矩形，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

易得8(2,0,0),E(0,0,2),P(0,0,4)，設(shè)尸(a,4,0)，則

5￡=(-2,0,2),5F=(a-2,4,0),PF=(a,4,-4),

yc倒[BE-n=0,f-2x+2z=0,

設(shè)平面BE尸的法向量為n^lx,y,z^,則而萬(wàn)=°即[,_2)x+4y=0,

y=2-a

為=(4,2-a,4)_PF-n8

令,貝l|,所以gs〈尸尸，研=HI

網(wǎng)同732+a2?J/-4a+3633

解得°=1，即CF=2_a=]?

15.⑴(計(jì)1)2+3+2)2=15,圓心坐標(biāo)M(l,-2),半徑為后

(2)c=i5或一5

【分析】(1)配方得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，得到圓心坐標(biāo)和半徑；

(2)由垂徑定理得到圓心到直線距離，從而根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式得到方程，求出答案

答案第81頁(yè)，共22頁(yè)

【詳解】⑴由/_2x+「+4y_]0=0，得/_2x+l+y2+4y+4=]5.

則圓Af的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-l）2+（＞+2）2=15，

圓M的圓心坐標(biāo)M（l,-2）,半徑為后.

\AB\=2A/5Mx+3y+C=0I/>.?,y

（2）由，得圓心到直線的距離為』15-=VW,

則圓〃到直線……的距離"』得

⑹（嗚

⑵遮

2

【分析】（1）建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算異面直線所成角；

（2）利用點(diǎn)到平面距離向量公式直接計(jì)算即可.

【詳解】（1）以點(diǎn)。為原點(diǎn)，分別以小，DC'分所在直線為X，y，z軸，建立如圖

空間直角坐標(biāo)系.

由題意迎。。，汨。。?！英停?/p>

設(shè)直線8。與直線PC所成的角為

答案第91頁(yè)，共22頁(yè)

因?yàn)辂?(一1,-1,0)，PC=(O,1,-1)-

阿明11

COS0=HR=VCT=P

所以直線BD與直線PC所成角為色；

3

(2)因?yàn)榈?(1，°，0),左=(0/，一1),詼=(；,；,；)，

所以應(yīng)A=lx0+0xl+0x(-1)=0，

—?—111

DE-PC=0x-+lx-+(-l)x-=0,

222

則PC=(0,1,-1)為平面ADE的一個(gè)法向量，

設(shè)點(diǎn)3到平面/QE的距離為d，則d為向量歷在向量無(wú)=(O,LT)上的投影的絕對(duì)值,

麗=)

由(i,i,o‘得八\D邛BP」C\=正1=3/y'

所以點(diǎn)3到平面的距離為也.

2

17.⑴方程為X_/=i，左、右焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為(-2,0),(2,0)

3

⑵2G

【分析】(1)根據(jù)雙曲線虛軸長(zhǎng)以及離心率聯(lián)立方程組即可得出°的方程；

(2)聯(lián)立直線與雙曲線方程，由韋達(dá)定理以及弦長(zhǎng)公式計(jì)算可得|48|=26.

答案第101頁(yè)，共22頁(yè)

【詳解】（1）因?yàn)?。的離心率為e=￡=2叵，又。的虛軸長(zhǎng)為2,所以助=2

?3

又。2=/+/，

聯(lián)立解得/=3，/=U=4，

所以C的方程為X-式=],左、右焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為（-2,0），（2,0）.

3

（2）由（1）知尸（2,0），

根據(jù)題意易得過(guò)尸的直線斜率存在，

設(shè)”的直線方程為了=左（尤-2）,2（町,左）1也,力），如下圖所示：

'y=k(x-^(1-3A:2)X2+12FX-12A:2-3=0

聯(lián)立J，化簡(jiǎn)得

---/=1

13,

12k2+3

所以為+xB二洋工

'B3k2-1A%=3r-1，

JR

因?yàn)橹悬c(diǎn)橫坐標(biāo)為3'所以x，+無(wú)8=3后2_]=6'

解得所以15

F=l,X/B=—,

2

則22

(與-XB)=(XA+XB)-4-XAXB=62—4x—6,

答案第in頁(yè)，共22頁(yè)

貝I\AB\=+陰6_XB)=7276=2A/3.

18.(1)|MN|=J4-2ga+4

【分析】（1）依題建系，求出點(diǎn)M,N的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)之間的距離公式計(jì)算即得；

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論求得&=即得點(diǎn)的坐標(biāo)，取的中點(diǎn)G,連接NG，

BG，證明//G8是平面與平面ACV5的夾角或其補(bǔ)角，利用空間向量的夾角公式計(jì)算

即得.

【詳解】（1）由題意可知，直線8C、BE、8/兩兩垂直，可以點(diǎn)B為原點(diǎn)建立如圖所示

的空間直角坐標(biāo)系.

則N(2,0,0),C(0,0,2),下(2,2,0),^(0,2,0),

因?yàn)槊?NF一a,所以孚,0,半），以2—學(xué),2—半,0”

所以|MV|=^(2-^|^)2+(^|^)2=，儲(chǔ)_2缶+4,

(2)由(1),已得|MN|=Jar_2&a:+4=q(a-6丫+2,

答案第121頁(yè)，共22頁(yè)

因O<c<20，則當(dāng)a=a時(shí)，IWI取得最小值為

此時(shí)，A1,N分別為尸的中點(diǎn)，則A/(1,O,1),N(1,1,O)，取MN的中點(diǎn)G,連接/G，

BG,

則因?yàn)?BM=BN,所以BG1MN

故乙4GB是平面與平面的夾角或其補(bǔ)角，

—.11UUH11

因?yàn)?/=(1,—于一5),G5=

775\GA?GB"4+4]

所以cos〈G4G5〉==%],

|LrA|?|(.7￡>|7b7bJ

x

2--2

故平面與平面Mg夾角的余弦值是g.

19.(i)r+x2=1

3

17

⑵了

【分