2024-2025學(xué)年（上）高三數(shù)學(xué)開學(xué)考試卷

數(shù)學(xué)試題

試卷考試時(shí)間：120分鐘滿分：150

第I卷（選擇題）

一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分）

I.一道考題有4個(gè)，要求學(xué)生將其中的一個(gè)正確選擇出來.某考生知道正確的概率為3,而亂猜正確的概

2

率為在亂猜時(shí)，4個(gè)都有機(jī)會(huì)被他選擇，如果他答對(duì)了，則他確實(shí)知道正確的概率是（）

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)全概率公式，結(jié)合貝葉斯公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】［設(shè)4="考生答對(duì)"，8=“考生知道正確”，

由全概率公式：

P（A）=尸（8）尸（Z忸）+尸（后）產(chǎn)（2肉=；*1+|^；=；.

又由貝葉斯公式：P（B\A）=1=f=J-

故選：B

2.（/+3x+2）5的展開式中好的系數(shù)為（）

A.625B.800C.750D.600

【答案】B

【解析】

【分析】由已知可得出（1+3》+2丫=（1+X）5（2+X）5,寫出展開式通項(xiàng)，令X的指數(shù)為2,求出參數(shù)的

值，代入通項(xiàng)即可得解.

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【詳解】(x2+3x+2Y=[(l+x)(2+x)T=(l+x)5(2+x)5,

(x+1)5的展開式通項(xiàng)為4+1=Q?X，,(2+X)5的展開式通項(xiàng)為紇+1=C"^-kxk,

所以，(必+3x+2丫的展開式通項(xiàng)為=C；Cf?25-的xr+k,

其中0<rK5,Q<k<5,且廠、斤eN,

r=0/=]y-2

令/+左=2,可得4c或「1或'C，

左=2[左=1[左二。

因此，+3x+2丫的展開式中/的系數(shù)為C；C；?23+CC124+CfCf-25=800.

故選：B.

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：(a+b+c)"(〃eN*)的展開式通項(xiàng)為

&=C^an~rb'-kck(0<k<r<n,r,k^N).

3.隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布NQ,。?)，P(X<0)=0.16,則尸(2VXW4)等于()

A.0.84B.0.16C.0.36D.0.34

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)正態(tài)分布性質(zhì)求解給定區(qū)間概率

【詳解】：隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布NR,。?)，P(X<0)=0.16,

、,“、l-2P(X<0)1-2x0.16”，

P(2<X<4)=-----------------=--------------=0.34

22,

故選：D.

4.某班有60名學(xué)生，其中正、副班長各1人，現(xiàn)要選派5人參加一項(xiàng)社區(qū)活動(dòng)，要求正、副班長至少1人

參加，問共有多少種選派方法？下列算式中錯(cuò)誤的是()

A.C&B.或。_偲

【答案】A

【解析】

【分析】利用間接法和分類加法原理求出滿足題意的組合情況，依次判斷選項(xiàng)即可.

【詳解】B：先從60人選5人，有C；o種情況,

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選出班干部2人，從余下的58人選5人，有C。種情況,

所以正、副班長至少1人參加的有C；8種情況，故B正確；

C：先在2個(gè)班干部選1人，從余下的59人選4人，有C；C；9種情況，

再排除正、副班長2人參加的情況，有C；C：8種情況，

所以正、副班長至少1人參加的有C；C；9-C；C：8種情況，故C正確，A錯(cuò)誤；

D：當(dāng)一個(gè)班長參加時(shí)，有C；C；8種情況，

當(dāng)2個(gè)班長參加時(shí)，有C；C：8種情況，

所以正、副班長至少1人參加的有C；C|+C；C；8種情況,故D正確；

故選：A.

5.2022年11月30日，神舟十四號(hào)航天員陳冬、劉洋、蔡旭哲和神舟十五號(hào)航天員費(fèi)俊龍、鄧清明、張陸

順利“會(huì)師太空”，為記錄這一歷史時(shí)刻，他們準(zhǔn)備在天和核心艙合影留念.假設(shè)6人站成一排，要求神

舟十四號(hào)3名航天員互不相鄰且劉洋不站在兩端，不同站法共有()

A.36種B.48種C.72種D.144種

【答案】C

【解析】

【分析】利用插空法和間接法可求出結(jié)果.

【詳解】神舟十四號(hào)3名航天員互不相鄰的排法種數(shù)有A；?A；=144種，

其中劉洋站在兩端的排法種數(shù)有A；-2A；=72種，

故符合題意的排法種數(shù)有144-72=72.

故選：C

6.(2x—l)(x—巾的展開式中一的系數(shù)為()

A.25B.15C.-25D.-15

【答案】A

【解析】

【分析】首先將原式變形為2x(x-1)',再寫出(x-球展開式的通項(xiàng)，即可得解；

【詳解】解：因?yàn)?2x-l)(x-l)5=2X(X-1)5-(X-1)5,又(x—球展開式的通項(xiàng)為=C；x5-r(-1/',

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所以含丁的項(xiàng)有2x.C-（—1）2—C*425/,故以的系數(shù)為25,

故選：A

7.[2x-十]的展開式中各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和為64,則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（）

A.-120B.120

C.-60D.60

【答案】D

【解析】

【分析】先求出〃=6,利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式即可求解.

【詳解】由題意可得2"=64,解得"=6.

（J_V,

故展開式的通項(xiàng)為=晨（2x）6-1丫=C；-26-r-（-l）r-x

I）

令6—r—1=0,所以廠=4,所以C〉26T=6。，所以展開式中的常數(shù)項(xiàng)為60.

故選：D.

8.在某項(xiàng)測試中，測量結(jié)果與服從正態(tài)分布N（l,b2）（b〉0）,若P（0<J<l）=0.4,則P（0<J<2）=

（）

A.0.4B.0.8C.0.6D.0.21

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)已知條件，求出正態(tài)分布曲線的對(duì)稱軸為x=1，根據(jù)對(duì)稱性可求出P（l<^<2）的值，進(jìn)而可求

P（0<^<2）

【詳解】解:.??測量結(jié)果與服從正態(tài)分布N（l,b2）（b>o）.?.正態(tài)分布曲線的對(duì)稱軸為》=1

VP（0<^<1）=0.4.-.P（l<^<2）=P（0<^<l）=0.4

.?.P（0<^<2）=P（0<^<l）+P（l<^<2）=0.4+0.4=0.8

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查了正態(tài)分布中概率問題的求解.在解此類問題時(shí)，結(jié)合正態(tài)分布曲線圖像進(jìn)行求解，其關(guān)鍵是

找到曲線的對(duì)稱軸.

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二.多項(xiàng)選擇題(本題共3小題，每小題6分，共18分，有多項(xiàng)符合要求，全部選對(duì)得6分,

部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)得0分)

9.下列說法中正確的是()

32-I2

A.已知隨機(jī)事件4,3滿足尸(8)=—,則尸(王3)=：

553

B.已知隨機(jī)變量4?N(3,4),若4=2〃+1,則。07)=1

C.若樣本數(shù)據(jù)3%+1,3X2+1,3西0+1的平均數(shù)為10,貝傲據(jù)不程馬如今拓孫和⑹/的平

均數(shù)為3

D.隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布8(4,0,若方差。(X)=a，則P(X=1)=6

【答案】BC

【解析】

【分析】由條件概率的公式可得A錯(cuò)誤；由正態(tài)分布的方差公式和方差的性質(zhì)可得B正確；由平均數(shù)的計(jì)

算公式可得C正確；由二項(xiàng)分布的性質(zhì)可判斷D錯(cuò)誤.

,、P(AB)2一?21

【詳解】A：由條件概率的公式可得尸(#8)=士才=.，所以尸故A錯(cuò)誤；

_ZIA-zIJJJ

B：因?yàn)殡S機(jī)變量*陽3,4),所以。(自)=4,

又自=2〃+1,所以〃=

所以DS)=g]xD(^)=l,故B正確；

C：因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)3西+1,3X2+1,3%+1的平均數(shù)為10,

所以3西+1+3x2+1+…+3$0+1=3(西+々+-一+占0)+10=w,

io-io-'

化簡可得陽+%2-----玉0=30,

所以西,》2，&，*4，/，乙，*7，/，工9，%0的平均數(shù)為苞+/募,,+苞0=[=3,故C正確；

313

D：由題意可得4p(l—p)=w，解得)=^或[，

則P(X=l)=C；x；xg)=||或p(x=l)=C；x=總,故D錯(cuò)誤；

故選：BC.

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10.用0到6這7個(gè)數(shù)字，可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為（）,

A.A：+2A：B.A⑻C.A"A：D.A：+A；

【答案】ABC

【解析】

【分析】根據(jù)最高位不能為0,利用間接法、分步、分類法計(jì)算可得.

【詳解】用0到6這7個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，

若不考慮最高位是否為0,則有A；個(gè)，又最高位不能為0,故當(dāng)最高位為0時(shí)有A；個(gè)，

故可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的A；-A：個(gè)，故C正確；

首先排最高位，有A：種，再排十位、個(gè)位，有A：種，故共有個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，故B正確；

若選到的數(shù)字沒有0,則有A：個(gè)，若選到的數(shù)字有0,先排0,有2種方法，

再從其余6個(gè)數(shù)字選2個(gè)排到其余位置，故有2A：個(gè)，

綜上可得共有A：+2A：個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，故C正確；

故選：ABC

11.下列判斷正確的是（）

A.4!-3!>A；

B.由數(shù)字1,2,3,4可以組成24個(gè)無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)

C.由數(shù)字0,1,2,3,4可以組成120個(gè)無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)

D,若有4張參觀券，要在8人中確定4人去參觀，則有70種不同的方法

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)排列數(shù)公式判斷A,根據(jù)全排列判斷B,首先排最高位，其余數(shù)字全排列即可判斷C,利用組

合數(shù)判斷D.

【詳解】對(duì)于A：4!—3!=4x3x2xl—3x2xl=18〉A(chǔ)：=4x3=12,故A正確；

對(duì)于B：由數(shù)字1,2,3,4可以組成A：=24個(gè)無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，故B正確；

對(duì)于C：由數(shù)字0,1,2,3,4可以組成A；A：=96個(gè)無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：有4張參觀券，要在8人中確定4人去參觀，則有C：=70種不同的方法，故D正確.

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故選：ABD

第n卷（非選擇題）

三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）

12.已知隨機(jī)變量4?N（5,cy2）,若「（3VJW7）=O.4,則P（J>7）=.

3

【答案】0.3##—

10

【解析】

【分析】根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性即可求得答案.

【詳解】由題意隨機(jī)變量4?N（5,cy2）,即正態(tài)曲線關(guān)于直線x=5對(duì)稱，

P（3<^<7）=0.4,則尸（4〉7）=1一0（3；、.7）=1^￡=03,

故答案為：0.3

13.第19屆杭州亞運(yùn)會(huì)開幕前需在某高中招募10名志愿者作為高中組志愿者代表，分成兩組，每組5人,

共有15人報(bào)了名.其中小王、小張也報(bào)了名，則兩人都被選中且被分在不同組的概率為.

【答案】—

21

【解析】

【分析】根據(jù)分組分配問題，結(jié)合古典概型的概率公式求解.

【詳解】該兩人都被選中且被分在不同組為目標(biāo)分組，分法種數(shù)為c*c：,

15人選10人分兩組的分法種數(shù)為甘受，

A2

P=C'C：5

...兩人都被選中且被分在不同組的概率“第21.

其

故答案為：—

21

14.對(duì)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x,>有一組觀測數(shù)據(jù)（七,%）?=1,2,…,10）,其經(jīng)驗(yàn)回歸方程為

y=-2.2x+a,且萬=5,y=9,則相應(yīng)于點(diǎn)（13,—9）的殘差為.

【答案】—0.4

【解析】

【分析】將樣本中心代入可得6=20,即可根據(jù)殘差定義求解.

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【詳解】將了=5,歹=9代入夕=—2.2x+6可得9=—2.2x5+6=6=20,

所以y=-2.2%+20,

故當(dāng)x=13時(shí)，y=-2.2x13+20=-8.6,

所以殘差為—9+8.6=—0.4,

故答案為：-0.4

四、解答題（共5小題，共計(jì)77分.）

15.某個(gè)男孩的年齡與身高的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示.

年齡x（歲）123456

身高M(jìn)em）788798108115120

（1）畫出散點(diǎn)圖；

（2）判斷y與x是否具有線性相關(guān)關(guān)系.

【答案】（1）圖見解析；（2）具有.

【解析】

【分析】（1）利用表中數(shù)據(jù)描點(diǎn)可得出散點(diǎn)圖.

（2）觀察散點(diǎn)圖可得y與x具有線性相關(guān)關(guān)系

【詳解】⑴散點(diǎn)圖如圖所示.

,y

120?

110.

100.

90.

80.

7。！......，

0123456*

（2）由圖知，所有數(shù)據(jù)點(diǎn)接近一條直線排列，因此，認(rèn)為》與x具有線性相關(guān)關(guān)系.

16.為了解今年某校高三畢業(yè)班報(bào)考飛行員學(xué)生的體重情況，將所需數(shù)據(jù)調(diào)查整理后，畫出了如圖所示的頻

率分布直方圖.已知圖中從左到右的前三組的頻率之比為1:2:3,其中第二組的頻數(shù)為12.

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（2）以該校的樣本數(shù)據(jù)來估計(jì)全省的總體數(shù)據(jù)，若從全省高三畢業(yè)班報(bào)考飛行員的學(xué)生中（人數(shù)很多）任

選3人，設(shè)X表示體重超過60kg的學(xué)生人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【答案】（1）48；（2）分布列見解析；—.

8

【解析】

【分析】（1）根據(jù)前3組的頻率之比設(shè)出前3組的頻率，根據(jù)頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)計(jì)算后兩組的頻率,

根據(jù)頻率和為1,計(jì)算出各組的頻率，利用第2組的頻數(shù)為12,計(jì)算總?cè)藬?shù)；

（2）X表示體重超過60kg的學(xué)生人數(shù)，利用直方圖求出體重超過60kg的學(xué)生的頻率，寫出X的可取值,

符合二項(xiàng)分布，根據(jù)二項(xiàng)分布數(shù)學(xué)期望公式求出數(shù)學(xué)期望.

【詳解】（1）設(shè)該校高三畢業(yè)班報(bào)考飛行員的人數(shù)為〃，前三組的頻率分別為夕「p2,p3,

P2=2PlPi=0.125

則《2=3，i，解得<p2=0.25.

+?2+23+(0?037+0.013)x5=1p3-0.375

12

又42=——=025,所以〃=48,

n

即該校高三畢業(yè)班報(bào)考飛行員的總?cè)藬?shù)為48.

（2）由（1）,可得報(bào)考飛行員的學(xué)生的體重超過60kg的概率為P=2+（0.037+0.013）x5=*,

8

易知X~5^3,—

0/31/-33

則尸(x=o)=c；|,P(x=i)=c；管

881512

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125

P（X=2）=C；n，

…春512

所以隨機(jī)變量X的分布列為

X0123

27135225125

P

512512512512

￡（X）=3x-=—.

v'88

【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：超幾何分布的本質(zhì)是“不放回抽樣”，而二項(xiàng)分布的隨機(jī)試驗(yàn)是“獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)”，強(qiáng)調(diào)每

次試驗(yàn)的結(jié)果發(fā)生的概率相同，可認(rèn)為是“有放回抽樣”.本題中，“若從全省高三畢業(yè)班報(bào)考飛行員的學(xué)生中

（人數(shù)很多）任選3人”，特別強(qiáng)調(diào)人數(shù)很多，意味著試驗(yàn)可以看作是“有放回抽樣”，所以是一個(gè)二項(xiàng)分布.

17.某企業(yè)生產(chǎn)一種零部件，其質(zhì)量指標(biāo)介于（49.6,50.4）的為優(yōu)品.技術(shù)改造前，該企業(yè)生產(chǎn)的該種零部件

質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布N（50,0.16）；技術(shù)改造后，該企業(yè)生產(chǎn)的同種零部件質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布

^（50,0.04）.

附：若及?NJ,"）,取尸（因一“<<T）=0.6827,P{\X-ju\<2cr）=0.9545.

（1）求該企業(yè)生產(chǎn)的這種零部件技術(shù)改造后的優(yōu)品率與技術(shù)改造前的優(yōu)品率之差；

（2）若該零件生產(chǎn)的控制系統(tǒng)中每個(gè)元件正常工作的概率都是p（O<p<l）,各個(gè)元件能否正常工作相互

獨(dú)立，如果系統(tǒng)中有超過一半的元件正常工作，系統(tǒng)就能正常工作.系統(tǒng)正常工作的概率稱為系統(tǒng)的可靠

性.

①若控制系統(tǒng)原有4個(gè)元件，計(jì)算該系統(tǒng)的可靠性，并判斷若給該系統(tǒng)增加一個(gè)元件，可靠性是否提高？

②假設(shè)該系統(tǒng)配置有23,〃eN）個(gè)元件，若再增加一個(gè)元件，是否一定會(huì)提高系統(tǒng)的可靠性？請給出

你的結(jié)論并證明.

【答案】（1）0.2718

（2）①可靠性為/（4-3。），增加一個(gè)元件后系統(tǒng)的可靠性會(huì)提高；②當(dāng)7?為奇數(shù)時(shí)，增加一個(gè)元件后系

統(tǒng)的可靠性會(huì)下降；當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，增加一個(gè)元件后系統(tǒng)的可靠性會(huì)提高.

【解析】

【分析】（1）直接根據(jù)題目條件及給定的正態(tài)分布數(shù)據(jù)求解；

（2）利用二項(xiàng)分布的概率性質(zhì)求解可靠性，并比較不同〃的取值下可靠性的大小關(guān)系即可，當(dāng)然也可以采

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取其它的思路求解.

【小問1詳解】

技術(shù)改造前，易知〃1=50,%=0.4,則其優(yōu)品率為

P(49.6<X<50.4)=P(4—巧<X<〃]+b])=P(\X—聞<2%)=0.6827；

技術(shù)改造后，“2=50，(T2=0.2,則其優(yōu)品率為

P(49.6<X<50.4)="4-2%<X<外+2%)=P(|X-闖<2%)=0.9545.

所以優(yōu)品率之差為0.9545-0.6827=0.2718.

【小問2詳解】

①記x為原系統(tǒng)中正常工作元件個(gè)數(shù)，y為增加一個(gè)元件后正常工作元件個(gè)數(shù).

由條件知，X?5(4,0)，r~5(5,/?).

P(X>3)=C?3(1—p)+C：p4=/(4_30,P(Y>3)=C初3(1一02+切。一2)+c^5

因?yàn)槭?X23)—尸(丫23)=623(1—夕)2〉0,所以可靠性提高.

②方法一：

根據(jù)上一問的假設(shè)，易知X?8(〃,p),y?8(〃+1,。).

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，設(shè)〃=2k-\(k>2,k^*\原系統(tǒng)的可靠性為尸(X>k),新系統(tǒng)的可靠性為P(y>k+l),

由題意可知，

P(Y>k+l)=P(X>k+l)+p-P(X=k).

所以，

P(Y>k+l)~P(X2k)=[P{X>k+\)+p-P(X=k)]-

[P(x>k+i)+P(x=初=5_I)尸(X=k)=c?(I-p)i(p-1)<O,這說明可靠性降低.

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，設(shè)〃=2左卜22,左eN*),原系統(tǒng)的可靠性為P(X>k+l),新系統(tǒng)的可靠性為P(Y>k+l),

由題意可知，

p(y>^+i)=p(^>^+i)+p?p(x=k).

k+l

所以，P(Y>k+l)-P(X>k+l)=p-P(<X=k)=C^kp(l-py>0,這說明可靠性提高.

綜上，當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，增加一個(gè)元件后系統(tǒng)的可靠性會(huì)下降；當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，增加一個(gè)元件后系統(tǒng)的可靠

性會(huì)提高.

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方法二：

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，設(shè)〃=2k-\(k>2,k^*y原系統(tǒng)的可靠性為P(X>k),新系統(tǒng)的可靠性為p(y>k+l),

由題意可知，

2k-l2k-2

P(X2左)=WC?(l—2)2"I=￡—2)2"I+721

i=ki=k

2k-l2k-2M

P(Y>k+l)=X匿*(1-p)2M=￡(C；i+C%)p(1-p)2JT+p2k

i-ki-k

于是，P(Y>k+l)-P(X>k)

2k-22k-2

=E(Cj+C匕)*(1-P產(chǎn)T-EC-/Q-P)2E+p2Jp2I

i=ki=k

2k—2

=Z[pCl+CL)—C；I]加(1—p)2"i—(1—p)p2i

i=k

2k-2

=E[C；言p'M(1-P)2JT—(1—P)2I]—(1—p)p21

i=k

=y-y<o,

這說明可靠性降低.

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，設(shè)〃=2左卜22,左eN*),原系統(tǒng)的可靠性為P(X>k+l),新系統(tǒng)的可靠性為P(Y>k+l),

由題意可知，

2k

p(x*+i)=￡O(i-ppi

i=k+\

2k+\2k1

p(x"+1)=f(i—p產(chǎn)心=W(c-+c；Jy(i-2產(chǎn)-+

i=k+\i=k+\

于是，P(Y>k+l)-P(X>k)

2k2k

=E(c，4)d(i—夕嚴(yán)—一￡c?i—/產(chǎn)+產(chǎn)】

i-k+\i-k+\

2k

=EFCM"P)2W+C筋”P)”+I_C\kP'(l-p)2J)]+p2m

i=k+lL

2k

=E[0(1—2嚴(yán)一+(")％/(l—p)2"1+/M

i-k+1

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2k

=E[CM"?嚴(yán)~-q*(i-夕產(chǎn)[+廠+]

i^k+\

=C^/+1(l-^/>0.

這說明可靠性提高.

綜上，當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，增加一個(gè)元件后系統(tǒng)的可靠性會(huì)下降；當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，增加一個(gè)元件后系統(tǒng)的可靠

性會(huì)提高.

方法三：

設(shè)八，…兩兩獨(dú)立且均服從二項(xiàng)分布S),記.”巾+4八〉》則該系統(tǒng)配置有

23,”eN)個(gè)元件時(shí)，系統(tǒng)的可靠性為?

=

則Pim0(X\+X2+...+X2m>m+1]

<P(X]+X2+...+X2m2加+1)+尸(X]+X2+...+X2m=m,X2m+1=1)

=P[Xx+X2+...+X2m+l>m+l)=p2m+l,且

Pim-\=P{Xx+X2+...+X2m-\2m)

=l-P(X1+X2+...+X2ffl_1<m-l)

>1—P(X]+X2+...+X-,^〈加一1)—P(X]+X2+...+X2m_x—m,X2m-0)

=]—P(X]+X[+...+X[m4加)

=P(X]+工+...+X2m>m+1)=p2m.

這就得到P2m-\>P2m,Pim<Plm+l-

這表明，當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，增加一個(gè)元件后系統(tǒng)的可靠性會(huì)下降；當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，增加一個(gè)元件后系統(tǒng)的可

靠性會(huì)提高.

注意到X]+工+工+工服從二項(xiàng)分布5(4,0)，故

343

p4=P(Xi+X2+X3+X4>3)=Clp(l-p)+p=p(4-3p).

進(jìn)行完以上準(zhǔn)備工作后，我們回到原題.

①若控制系統(tǒng)原有4個(gè)元件，則系統(tǒng)的可靠性為夕4=23(4-3。).

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而4是偶數(shù)，所以增加一個(gè)元件后系統(tǒng)的可靠性會(huì)提高；

②根據(jù)上面的結(jié)論，當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，增加一個(gè)元件后系統(tǒng)的可靠性會(huì)下降；當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，增加一個(gè)元件

后系統(tǒng)的可靠性會(huì)提高.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第2小問②的結(jié)果本質(zhì)上是因?yàn)椋寒?dāng)〃是偶數(shù)時(shí)，若添加一個(gè)元件，那么要求的正

〃+2

常工作的元件的最小數(shù)量不變，還是——，但是元件多了一個(gè)，所以正常工作的元件數(shù)目必然有更大的機(jī)

2

會(huì)達(dá)到要求的值，所以可靠性一定更大了；

W+1

而當(dāng)〃是奇數(shù)時(shí)，若添加一個(gè)元件，那么要求的未能正常工作的元件的最大數(shù)量不變，還是〃------，但

2

是元件多了一個(gè)，所以未能正常工作的元件數(shù)目必然有更大的機(jī)會(huì)突破允許的最大值，所以可靠性一定更

小了.

第2小問的方法三的關(guān)鍵在于：構(gòu)造一列獨(dú)立同分布隨機(jī)變量來比較不同的概率，相比構(gòu)造單個(gè)二項(xiàng)分布

隨機(jī)變量，構(gòu)造一列獨(dú)立同分布隨機(jī)變量會(huì)更加便于比較不同的概率，因?yàn)榇藭r(shí)每個(gè)隨機(jī)變量的取值范圍

都非常有限，而進(jìn)行比較時(shí)只需要研究多出的一個(gè)隨機(jī)變量即可.這就避免了花費(fèi)力氣對(duì)兩個(gè)取值范圍很

廣的隨機(jī)變量進(jìn)行比較，那樣太過困難.

18.第19屆亞運(yùn)會(huì)組委會(huì)消息、，亞運(yùn)會(huì)將于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行.為此某校舉辦了以

“迎亞運(yùn)”為主題的籃球和排球比賽，每個(gè)學(xué)生只能報(bào)名參加一項(xiàng)，某調(diào)研組在校內(nèi)參加報(bào)名的學(xué)生中隨

機(jī)選取了男生、女生各100人進(jìn)行了采訪，其中參加排球比賽的歸為甲組，參加籃球比賽的歸為乙組，調(diào)查

發(fā)現(xiàn)甲組成員96人，其中男生36人.

甲組乙組合計(jì)

男生

女生

合計(jì)

(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，補(bǔ)充上述2義2列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值&=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析學(xué)生喜歡排球

還是籃球是否與“性別”有關(guān)；

(2)現(xiàn)從調(diào)查的男生中，按分層抽樣選出25人，從這25人中再隨機(jī)抽取3人發(fā)放禮品，發(fā)放禮品的3人

在甲組中的人數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

。n(ad—be)?,.

參考公式：/~八----——-,n=a+b+c+d.

ya+b)yc+d)ya+c)\b+d)

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參考數(shù)據(jù):

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.84110.828

【答案】（1）列聯(lián)表答案見解析，認(rèn)為學(xué)生喜歡排球還是籃球與“性別”有關(guān).

621

（2）分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望:

575

【解析】

【分析】（1）補(bǔ)充分布列計(jì)算卡方進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)即可；

（2）利用超幾何分布的概念得到分布列并計(jì)算數(shù)學(xué)期望即可.

【小問1詳解】

列聯(lián)表補(bǔ)充如下：

甲組乙組合計(jì)

男生3664100

女生6040100

合計(jì)96104200

零假設(shè)為笈°：學(xué)生選擇排球還是籃球與性別無關(guān).

n(ad-bc)2

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到力2=

(a+b)(c+d)(a