重難點17幾何壓軸突破四幾何最值問題

費馬點與瓜豆模型

（2種模型詳解+5種題型匯總+針對訓(xùn)練）

【題型匯總】

費馬點模型

類型一費馬點

費馬點概念：三角形內(nèi)部滿足到三個頂點距離之和最小的點，稱為費馬點.

結(jié)論：

1）對于一個各角不超過120°的三角形，費馬點是對各邊的張角都是120°的點;

2）對于有一個角超過120。的三角形，費馬點就是這個內(nèi)角的頂點.

（注意：通常涉及費馬點的試題中三角形的最大頂角小于120。）

【解題思路】運用旋轉(zhuǎn)的方法，以AABC任意一條邊向外旋轉(zhuǎn)60°構(gòu)造等邊三角形，根據(jù)兩點之間線段最短,

得出最短長度.

【擴展】與等腰三角形、等邊三角形、直角三角形常見的費馬點結(jié)論

如圖所示，以邊AB、AC分別向AABC外側(cè)作等邊三角形，連接DC、EB,交點為點P,點P為費馬點.

圖形結(jié)論

等腰三角形A①NAPB=/BPC=/APC=120°；

②4ABP與4ACP全等；

③4BCP為等腰三角形；

?△ABC的三頂點的距離之和為AP+BP+CP,且點P

為費馬點時和最小.

等邊三角形D一aE①AP=BP=CP；

②NAPB=/BPC=NAPC=120°；

③4ABP、AACP,Z\BCP全等；

W④點P是垂心，是△ABC各邊的高線的交點；

⑤點P是4ABC各邊的中線的交點；

⑥點P是內(nèi)心，是在三角形三個內(nèi)角的角平分線的

交點；

⑦4ABC的三頂點的距離之和為AP+BP+CP,且點P

為費馬點時和最小.

直角三角形E①4ABC的三頂點的距離之和為AP+BP+CP,且點P

為費馬點時和最?。?/p>

②NAPB=/BPC=NAPC=120°

Bc

【進階】

加權(quán)費馬點模型概述：前面學(xué)的PA+PB+PC最小值的費馬點問題線段前面系數(shù)都是1,如果現(xiàn)在求

mPA+nPB+xPC最小值，前面系數(shù)不是1,那么此類題目就叫做“加權(quán)費馬點”.

【模型拓展】

類型一單系數(shù)類

當(dāng)只有一條線段帶有不為1的系數(shù)時，相對較為簡單，一般有兩種處理手段，

2）另一種是旋轉(zhuǎn)放縮，對應(yīng)三角形三邊之比

類型二多系數(shù)類

其實當(dāng)三條線段的三個系數(shù)滿足勾股數(shù)的關(guān)系時，都是符合加權(quán)費馬點的條件的。

以不同的點為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)不同的三角形得到的系數(shù)是不同的，對于給定的系數(shù)，我們該如何選取旋轉(zhuǎn)

中心呢？我們總結(jié)了以下方法：

1.將最小系數(shù)提到括號外；

2.中間大小的系數(shù)確定放縮比例；

3.最大系數(shù)確定旋轉(zhuǎn)中心（例如最大系數(shù)在PA前面，就以A為旋轉(zhuǎn)中心），旋轉(zhuǎn)系數(shù)不為1的兩條線段所

在的三角形。

例：已知：在RtZkABC中，ZACB=30°,BC=6,AC=5,Z\ABC內(nèi)部有一點P,連接PA,PB,PC

A

問題求解圖形作法

求PA+PB+PC最D△CAP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得4CDE

盛

小值BD長度即為所求，在RtABCD中有勾股定理可得

BD=VBC2+CD2=鬧

BC

求PA+PB+V2PCX△CAP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得4CDE

最小值此時4PCE為等腰直角三角形，即PE=VIPC

因止匕原式=PA+PB+&PC=ED+PB+PE,則當(dāng)B、P、E、D

C四點共線時取得最小值，BD長度即為所求，在Rt^BFD

B6OF

622

3廿????....八/3中有勾股定理可得BD=VBF+FD=V91

求PA+PB+V3PCE△CAP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)120°得4CDE

最小值此時APCE為等腰三角形且NPCE=120°,即

PE=V3PC,因止匕原式=PA+PB+VIPC=ED+PB+PE,貝1|當(dāng)

B2

B、P、E、D四點共線時取得最小值，BD長度即為所求，

V--

在RtABFD中有勾股定理可得BD=VBF2+FD2=

760+30V3

求

AL思路：原式=2(PA+ipB+^PC)

22

2PA+PB+V3PC

D將PC邊繞點C旋轉(zhuǎn)60°,然后過點P作PFLCE于

最小值

/點F,則PF=^PC;2)利用三角形中位線來處理；3)

PA前的系數(shù)是1,不需要轉(zhuǎn)化，所以旋轉(zhuǎn)APCB.

過程：ABCP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得ACDE,然后過

D點P作PFJ_CE于點F,此時4PCE為等邊三角形，即

PF=@PC,過點F作FG〃DE,貝!]FG=工PB,則當(dāng)A、P、

22

F、G四點共線時取得最小值，AG長度即為所求，在Rt

△ACG中有勾股定理可得AG=VCG+AC2=V34，原式

=2(PA+1PB+^PC)=2734

求D過程：AACP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得ACDE,然后過

2PA+4PB+2V3PC點P作PFLCE于點F,此時4PCE為等邊三角形，即

最小值

pF=V3pc)過點F作FG〃DE,則FG=-AP,則當(dāng)B、P、

22

F、G四點共線時取得最小值，BG長度即為所求，在Rt

B另：△BCG中有勾股定埋可得BG=VCG+AC2=7.5,原式=4

(-PA+PB+^PC)=26

22

備注：若變形后的系數(shù)不是特殊值，則可借助位似的相關(guān)知識進行求解.

題型01普通費馬點模型

1.(2024?廣東?二模)若銳角三角形2BC內(nèi)的點P滿足乙4PB=N8PC="Pa=120。，則稱點P為AaBC的

費馬點.如圖，在AaBC中，AB=AC=V7,BC=有,則△48C的費馬點P到A,B,C三點的距離之和為

A

B.2C.2+2V3D.2+V3

2.（21-22九年級上?四川成都?階段練習(xí)）如圖，在AABC中，^CAB=90°,AB=AC=1,P是AABC內(nèi)一

點，求P4+PB+PC的最小值為

3.（2021九年級.全國?專題練習(xí)）如圖，已知矩形ABC。，AB=4,BC=6,點M為矩形內(nèi)一點，點E為2C

邊上任意一點，則MA+MD+ME的最小值為

4.（2024.陜西榆林.二模）如圖，在團4BCD中，AD=6,連接AC,ABAC=5,以點C為圓心，笆。長為

半徑畫弧，弧分別交BC、AC.CD于點M、H、N,點P是由V上方△4CD內(nèi)一動點，點Q是由V上一動點，連

接4P、DP、PQ,貝IMP+DP+PQ的最小值為.

5.（2024.湖北?模擬預(yù)測）閱讀以下材料并完成問題

材料一：數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想如亦可看做是圖一中4B的長，J（a+l）2+b2可看做是力。的

長.

材料二：費馬點問題是一個古老的數(shù)學(xué)問題.費馬點即在AABC中有一點P使得P4+PB+PC的值最小.著

名法學(xué)家費馬給出的證明方法如下:

將A4BP繞B點向外旋轉(zhuǎn)60。得到AaiBiCi，并連接PPi易得APPiB是等邊三角形、PA=PrAr,則PB=PrPr,

則PA+PB+PC=+PPi+PC,所以PA+PB+PC的值最小為&C.

請結(jié)合以上兩材料求出+y2_|_+y2+1_2x+x2+y2+12-4V^y的最小值

B1D

題型02加權(quán)費馬點模型-單系數(shù)

6.(2023?湖北隨州?中考真題)1643年，法國數(shù)學(xué)家費馬曾提出一個著名的幾何問題：給定不在同一條直線

上的三個點A,B,C,求平面上到這二個點的距離之和最小的點的位置，意大利數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家托里拆

利給出了分析和證明，該點也被稱為“費馬點”或“托里拆利點”，該問題也被稱為“將軍巡營”問題.

(1)下面是該問題的一種常見的解決方法，請補充以下推理過程：(其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空,

②處從“兩點之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫角度數(shù)，④處填寫該三

角形的某個頂點)

當(dāng)△力BC的三個內(nèi)角均小于120。時，

如圖1,將△力PC繞，點C順時針旋轉(zhuǎn)60。得到連接PP',

由PC=P'C,/.PCP'=60°,可知APCP'為①三角形,ikPP'=PC,又P'4=PA,故P4+PB+PC=

PA'+PB+PP'>A'B,

由②可知,當(dāng)B,P,P',A在同一條直線上時，PA+PB+PC取最小值，如圖2,最小值為4B,此時

的尸點為該三角形的“費馬點”，且有“PC=lBPC=^APB=⑶；

已知當(dāng)AABC有一個內(nèi)角大于或等于120。時，“費馬點”為該三角形的某個頂點.如圖3,若NB4CN120。,

則該三角形的“費馬點”為生點.

(2)如圖4,在△ABC中，三個內(nèi)角均小于120。，且2C=3,BC=4,乙4cB=30。，已知點尸為△ABC的“費

馬點”，求24+P8+PC的值；

AA

A

圖4圖5

(3)如圖5,設(shè)村莊A,B,C的連線構(gòu)成一個三角形，且已知AC=4km,BC=2V3km,^ACB=60°.現(xiàn)欲

建一中轉(zhuǎn)站尸沿直線向A,B,C三個村莊鋪設(shè)電纜，已知由中轉(zhuǎn)站尸到村莊A,B,C的鋪設(shè)成本分別為a

元/km,。元/km,元/km,選取合適的P的位置，可以使總的鋪設(shè)成本最低為____________元.(結(jié)果用

含a的式子表示)

7.(23-24八年級下.重慶銅梁?期中)在回中，^ABC=45°,連接4C,已知4B=4C=魚，點E在線

段AC上，將線段DE繞點。順時針旋轉(zhuǎn)90°為線段OF.

\京0

G

圖1圖2圖3

(1)如圖1,線段4C與線段8。的交點和點E重合,連接EF,求線段EF的長度；

(2)如圖2,點G為DC延長線上一點，使得GC=EC,連接FG交4D于點H,求證：無AH=CD；

(3)如圖3,在(2)的條件卜，平面內(nèi)一點P,當(dāng)HP+CP+魚BP最小時，求4HPB的面積.

8.(2024?廣東廣州?一模)如圖，在矩形ABCD和矩形4GFE中，AD=4,2E=2,AB=V3AD,AG=有AE.矩

形4GFE繞著點A旋轉(zhuǎn)，連接8G,CF,AC,AF.

CDCD

BmABoA

番用圖

⑴求證：LABG-KACF-,

(2)當(dāng)CE的長度最大時，

①求BG的長度；

②在AaCF內(nèi)是否存在一點P,使得。2+4。+8。尸的值最小?若存在，求。2+4。+百。尸的最小值；若

不存在，請說明理由.

題型03加權(quán)費馬點模型-多系數(shù)

9.（2023九年級下?全國?專題練習(xí)）如圖，正方形ZBCD的邊長為4,點尸是正方形內(nèi)部一點，求PA+2PB+

迷PC的最小值.

10.（2024.湖北武漢.模擬預(yù)測）如圖，在AABC中，乙4cB=30。，BC=4,在AABC內(nèi)有一點。，連接。4

OB,OC,若204+OB+有。C的最小值為4小，貝的值為.

11.（2021九年級?全國?專題練習(xí)）如圖，A48C中，ZBAC=45°,AB=6,AC=4,P為平面內(nèi)一點，求2mBp+

V5XP+3PC最小值

12.（2024?重慶.二模）已知AABC中48=BC,點。和點E是平面內(nèi)兩點，連接BD,DE^BE,乙BED=90°.

圖2備用圖

(1)如圖1,若BD=BA,乙4BC=2ND,BE=2,求力C的長度;

(2)如圖2,連接力。和CD,點F為4D中點，點G為CD中點，連接EF和BG,若EF=BG,求證：4BAC=4DBE；

(3)若乙4BC=60°,AB=2,當(dāng)+CD取得最小值，且2E取得最大值時，直接寫出ABDE的面積.

【針對訓(xùn)練】

1.(2021?遼寧丹東?中考真題)已知:到三角形3個頂點距離之和最小的點稱為該三角形的費馬點.如果△ABC

是銳角(或直角)三角形，則其費馬點尸是三角形內(nèi)一點，且滿足乙4PB=乙BPC=NCP4=120°.(例如：

等邊三角形的費馬點是其三條高的交點).若AB=AC=近,BC=2四,尸為AABC的費馬點，貝|P2+PB+

PC=；若48==2,4C=4,尸為△ABC的費馬點，貝“PA+PB+PC=.

2.(2021九年級?全國?專題練習(xí))如圖，在AABC中，^ACB=30°,BC=6,AC=5,在△ABC內(nèi)部有一點P,

連接尸4、PB、PC.(加權(quán)費馬點)求：

(1)P力+PB+PC的最小值；

(2)PA+PB+&PC的最小值

(3)P4+PB+百PC的最小值；

(4)2PA+PB+WPC的最小值

(5)|P4+PB+?PC的最小值；

(6)2PA+4PB+2百PC的最小值

(7)4P4+2PB+2百PC的最小值；

(8)3PA+4PB+5PC的最小值

3.(2024?陜西西安?模擬預(yù)測)(1)問題背景

如圖1,P為AABC內(nèi)部一點，連接P4、PB、PC,將AAPC繞，點C順時針旋轉(zhuǎn)60。得至以4PC,連接PP，,

由PC=P'C,乙PCP'=60°,可知△PCP'為三角形，故PP'=PC,又P0=PA,故24+PB+

PC=PA'+PB+PP'>A'B,由___________可知，當(dāng)B,P,P',a在同一條直線上時，PA+PB+PC取最

小值，如圖2,最小值為48,此時的尸點為該三角形的“費馬點”.

（2）問題解決

如圖3,在AABC中，三個內(nèi)角均小于120。，且4C=3,BC=4,^ACB=30°,求P4+PB+PC的最小值;

（3）問題應(yīng)用

如圖4,設(shè)村莊4B,C的連線構(gòu)成一個三角形，且4C=6km,BC=4V3km,乙4cB=30。.現(xiàn)欲在△力BC

內(nèi)部建一中轉(zhuǎn)站P沿直線向4B,C三個村莊鋪設(shè)電纜，已知由中轉(zhuǎn)站尸到村莊4B,C的鋪設(shè)成本分別

為1000元/km,1000元/km,1000百萬元/km,是否存在合適的P的位置，可以使總的鋪設(shè)成本最低，若

存在請求出成本的最小值.

4.（2024?福建廈門.二模）根據(jù)以下思考，探索完成任務(wù)

費馬點的思考

17世紀有著“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”美譽的法國律師皮耶?德?費馬，提出一個問題：求作三角形內(nèi)的一個點,

問?

使它到三角形三個頂點的距離之和最小，后來這點被稱之為“費馬點”.

解決這種問題的經(jīng)典方法，就是利用旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段P4PB,PC行轉(zhuǎn)化：

素如圖：把AZPC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60度得到△AP'C',連接PP',這樣就把確定P4+PB+PC的最小

材1值的問題轉(zhuǎn)化成確定82+?！?，+「￡，的最小值的問題了.當(dāng)B,P,P',L四點共線時，線段BC，的長

為所求的最小值，容易證明乙4PB=N8PC=NCP2=120。，此時點P為ANBC的“費馬點”.

/

二P

BC

圖中所示的是一個正方形的廠區(qū)，其中頂點A,B,C,。分別為辦公區(qū)、生產(chǎn)區(qū)、物流區(qū)和生活區(qū)，

正方形邊長為2km,準備在廠區(qū)內(nèi)修建一研發(fā)區(qū)E,且從研發(fā)區(qū)E修建三條直線型道路直通辦公區(qū)A,

素生產(chǎn)區(qū)2和物流區(qū)C修路的成本為200元/米.

ADAD

材2L

B1CBC

任

請你根據(jù)素材1所給解決思路，證明所求線段轉(zhuǎn)化的正確性.證明：PA+PB+PC=

務(wù)感悟證明定理

BP+PP'+P'C

任在素材2中，請問研發(fā)區(qū)E建在哪片區(qū)域比較合適？（）

務(wù)初步探索位置A.△力8c內(nèi)的區(qū)域

B.△4CD內(nèi)的區(qū)域

任

為了節(jié)約建設(shè)成本，問該研發(fā)區(qū)E應(yīng)該修建在廠區(qū)的什么地方，才能使得花費最少，

務(wù)擬定恰當(dāng)方案

最少費用為多少？

5.（21-22八年級上?江蘇蘇州?期中）背景資料：在已知A/IBC所在平面上求一點P,使它到三角形的三個頂

點的距離之和最小.這個問題是法國數(shù)學(xué)家費馬1640年前后向意大利物理學(xué)家托里拆利提出的，所求的點被

人們稱為“費馬點”.如圖1,當(dāng)△ABC三個內(nèi)角均小于120。時，費馬點尸在A4BC內(nèi)部，當(dāng)乙4PB=〃PC=

乙CPB=120。時，則PA+PB+PC取得最小值.

AA

A

B

(1)如圖2,等邊△ABC內(nèi)有一點P,若點尸到頂點A、B、C的距離分別為3,4,5,求乙4PB的度數(shù)，為了

解決本題，我們可以將AABP繞頂點A旋轉(zhuǎn)到AACP，處，此時△4CP，mAABP這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換，

將三條線段24、PB、PC轉(zhuǎn)化到一個三角形中，從而求出乙4PB=；

知識生成：怎樣找三個內(nèi)角均小于120。的三角形的費馬點呢？為此我們只要以三角形一邊在外側(cè)作等邊三

角形并連接等邊三角形的頂點與△力BC的另一頂點，則連線通過三角形內(nèi)部的費馬點.請同學(xué)們探索以下問

題.

(2)如圖3,△ABC三個內(nèi)角均小于120。，在△ABC外側(cè)作等邊三角形△ABB1連接CB，，求證：CB，過AaBC

的費馬點.

(3)如圖4,在RT△力BC中，ZC=90°,AC=1,4ABe=30°,點尸為AABC的費馬點，連接力P、BP、CP,求

PA+PB+PC的值.

(4)如圖5,在正方形ABC。中，點E為內(nèi)部任意一點，連接ZE、BE、CE,且邊長4B=2；求4E+BE+CE的

最小值.

6.(2023?貴州遵義三模)(1)【問題發(fā)現(xiàn)】如圖①，在AOAB中，若將AOAB繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)120。得到

AOA'B',連接BB，；求乙OBB'=_；

(2)【問題探究】如圖②，已知△力BC是邊長為4國的等邊三角形，以BC為邊向外作等邊三角形BCD,P

為ATIBC內(nèi)一點，將線段CP繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60。，點尸的對應(yīng)點為點0.

①求證：&DCQ三ABCP；

②求P4+PB+PC的最小值;

（3）【實際應(yīng)用】如圖③，在矩形48CD中，28=600,2D=800,P是矩形內(nèi)一動點5心4。=2SNBC，Q為

△4DP內(nèi)任意一點，是否存在點尸和點Q,使得4Q+DQ+PQ有最小值？若存在求其值；若不存在，請說

類型二瓜豆模型

型定義：瓜豆模型也叫“主從聯(lián)動模型”,即：一個動點隨另一動點的運動而運動，分別叫做“主動點”與

“從動點”，它們的運動軌跡相似。出自成語”種瓜得瓜,種豆得豆”，在幾何上叫“種線得線,種國得圓”.

【條件】瓜豆原理運用滿足的三個條件（”一定兩動、定角、定比”）;

①有一個定點、兩個動點，且一個動點（從動點）因另一個動點（主動點）的運動而隨之運動;

②兩個動點與定點所連線組成的夾角是定角;

③兩個動點到定點的距離的比值是定值.

1）本模型一般出現(xiàn)在選擇題或填空題的壓軸題中，可以直接利用結(jié)論秒殺.

2）在線段最值問題中，有時可先利用“瓜豆”模型確定動點的軌跡，再根據(jù)點線最值，點圓最值來求線段

最值.

3）部分求動點軌跡長的問題中，只要確定屬于“瓜豆”模型，就可以利用路徑之比等于相似比，根據(jù)主動

點的軌跡長直接求得.

【模型一】點在直線上

（a/0）且篙=k,如果A點的運動軌跡是直線

結(jié)論：B點的運動軌跡也是直線，*=需=匕直線BB，與直線AA，的夾角為a

【模型二】點在圓上

條件;如圖，點。是定點，點A、B是動點，/AOB=a且二=k,A點在。01上運動

結(jié)論：

1）當(dāng)a=0,①B點的運動軌跡是圓，②A,B,0始終是一條直線，③主動圓與從動圓的半徑之比為震=

k（定值）.

2）當(dāng)a#0,①B點的運動軌跡是圓，②主動圓與從動圓的半徑之比為襄=k,

③主從動圓的圓心與定點連線構(gòu)成的夾角為a（定值）.

【總結(jié)】

1）在線段最值問題中，有時可先利用“瓜豆”模型確定動點的軌跡，再根據(jù)點線最值，點圓最值來求線段

最值；

2）部分求動點軌跡長的問題中，只要確定屬于"瓜豆”模型，就可以利用路經(jīng)之比等于相似比，根據(jù)主動

點的軌跡長直接求得

題型01點的運動軌跡是直線

1.（2021?山東泰安?中考真題）如圖，在矩形4BCD中，AB=5,BC=5百，點P在線段BC上運動（含8、

C兩點），連接4P,以點A為中心，將線段4P逆時針旋轉(zhuǎn)60。到力Q,連接DQ,則線段DQ的最小值為（）

A.|B.5V2C."D,3

2.（2022?安徽合肥?三模）如圖，在放A4BC紙片中，ZACB=90°,AC=4,BC=3,點。，E分別在BC,

A8邊上，連接。E,將△BOE沿。E翻折，使點8落在點E的位置，連接AF,若四邊形是菱形，則

AF的長的最小值為（）

A.V5B.V3C.-D.-

22

3.（2023?廣東廣州二模）如圖，正方形4BCD的邊長為4魚，E為BC上一點，且BE=VLF為4B邊上的一

個動點，連接EF,以EF為邊向右側(cè)作等邊AEFG,連接CG,則CG的最小值為—.

4.（2024.河北邢臺?模擬預(yù)測）如圖，△ABC是邊長為2的等邊三角形，點E為中線BD上的動點.連接CE,

將CE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60。得到CF.連接4F,貝IJNCAF=,連接DF,則ACDF周長的最小值是.

5.（2023?江蘇徐州?模擬預(yù)測）等邊AABC邊長為6,。是BC中點，E在4D上運動，連接BE,在BE下方作等

邊ABEF,則ABD尸周長的最小值為.

A

6.（2024江蘇揚州?中考真題）如圖，點4、B、M.E、F依次在直線I上，點4B固定不動，且4B=2,分

另I」以4B、EF為邊在直線洞側(cè)作正方形ABC。、正方形EFGH,乙PMN=90°,直角邊MP恒過點C,直角邊MN

恒過點H.

（1）如圖1,若BE=10,EF=12,求點M與點B之間的距離；

（2）如圖1,若BE=10,當(dāng)點M在點B、E之間運動時，求HE的最大值；

（3）如圖2,若BF=22,當(dāng)點E在點B、F之間運動時，點M隨之運動，連接CH,點。是的中點，連接HB、MO,

貝IJ2OM+的最小值為.

題型02點的運動軌跡是圓

1.（2024?安徽淮北?三模）如圖，線段力B=4,點M為4B的中點，動點P到點M的距離是1,連接PB,線段PB

繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段PC,連接4C,則線段4C長度的最大值是（）

A.3B.4C.2V2D.3夜

2.（2023?浙江寧波?模擬預(yù)測）如圖，△4BC中，AABC=90°,tanNBAC=%點。是48的中點，尸是以A

為圓心，以AD為半徑的圓上的動點，連接PB、PC,則會的最大值為（）

A

3.（2023?山東泰安?中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，口△4。3的一條直角邊。3在無軸上，點4的坐

標為（—6,4）；RtACOD中，ACOD=90°,OD=4A/3,ZD=30°,連接BC,點M是BC中點，連接AM.將

世△COD以點。為旋轉(zhuǎn)中心按順時針方向旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，線段AM的最小值是（）

B.6V2-4C.2713-2

4.（21-22九年級上?江蘇南京?期中）如圖，在RS4BC中，乙4cB=90。，AC=16,BC=12,點尸在以A8

為直徑的半圓上運動，由點B運動到點A,連接CP,點M是CP的中點，則點M經(jīng)過的路徑長為—.

5.（2022?山東日照?中考真題）如圖，在平面直角坐標系尤Oy中，點A的坐標為（0,4）,尸是x軸上一動點,

把線段B4繞點P順時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段PR連接。尸，則線段。尸長的最小值是.

A

6.（2023?四川宜賓?中考真題）如圖，M是正方形2BCD邊CD的中點，P是正方形內(nèi)一點，連接BP,線段BP以

B為中心逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段BQ,連接MQ.若4B=4,MP=1,則MQ的最小值為.

7.（2020.江蘇連云港.中考真題）如圖，在平面直角坐標系xOy中，半徑為2的。。與x軸的正半軸交于點4,

點B是。。上一動點，點C為弦4B的中點，直線y=|x—3與無軸、y軸分別交于點。、E,貝必CDE面積的最

小值為?

8.（2024.四川瀘州?二模）如圖，正方形ABCD的邊長為5,以C為圓心，2為半徑作OC,點P為OC上的動

點，連接BP,并將BP繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到BP，，連接CP，，在點P運動的過程中，CP，長度的最大值是

9.（21-22九年級上?浙江紹興?期末）如圖，在RdABC中，zACB=90°,AC=3,BC=6,BD=2,以點B

為圓心，2。長為半徑作圓，點￡為08上的動點，連結(jié)EC,作PC1CE,垂足為C,點/在直線BC的上

方，且滿足CF=}CE,連結(jié)BF.當(dāng)點E與點。重合時，B尸的值為.點E在OB上運動過程中，BF

存在最大值為

E

c----------------nt-------BI

10.（2024?吉林長春.二模）【問題呈現(xiàn)】數(shù)學(xué)興趣小組遇到這樣一個問題：如圖①，O。的半徑為2,點2是

。。外的一個定點，。4=4.點P在O。上，作點P關(guān)于點4的對稱點Q,連接PA、AQ.當(dāng)點P在。。上運動

一周時，試探究點Q的運動路徑.

【問題解決】經(jīng)過討論，小組同學(xué)想利用全等三角形的知識解決該問題；如圖②,延長。4至點M,使4M=OA,

連接。P、MQ,通過證明AOAP三AMAQ,可推出點Q的運動路徑是以點M為圓心、2為半徑的圓.下面是

部分證明過程：

證明：延長。4至點M,使4"=。4連接。P、MQ.

1。當(dāng)點P在直線。4外時，

證明過程缺失

2。當(dāng)點P在直線。4上時，

易知。P=MQ=2.

綜上，點Q的運動路徑是以點M為圓心、2為半徑的圓.

請你補全證明中缺失的過程.

【結(jié)論應(yīng)用】如圖③，在矩形4BCD中，點E、F分別為邊AB、CD的中點，連接EF,點。是EF中點，點M是

線段OF上的任意一點，AB=4,BC=8.點P是平面內(nèi)一點，2P=2,連接4P.作點P關(guān)于點M的對稱點Q,

連接PM、MQ.

（1）當(dāng)點M是線段。尸中點時，點Q的運動路徑長為.

（2）當(dāng)點M在線段。尸上運動時，連接EQ.設(shè)線段EQ長度的最大值為a,最小值為b,貝b+

b=.

聞①圖②網(wǎng)曲f。

【針對訓(xùn)練】

1.（2022?山東泰安?二模）如圖，矩形力BCD的邊力B=羨,BC=3,E為力B上一點，且4E=L/為4D邊上

的一個動點，連接EF,若以EF為邊向右側(cè)作等腰直角三角形EFG,EF=EG,連接CG,貝|CG的最小值為（）

A.V5B.|C.3D.2V2

2.（2024.河南周口.一模）如圖，平行四邊形4BCD中，AB=16,AD=12,乙4=60。，E是邊力。上一點，

且4E=8,F是邊48上的一個動點，將線段EF繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)60。，得到EG,連接BG、CG,則8G+CG的

最小值是（）.

A.4B.4715C.4V21D.V37

3.如圖，等腰R3ABC中，斜邊AB的長為2,。為AB的中點，P為AC邊上的動點，OQ1OP交BC于

C

4（2023?四川成都?一模）如圖，四邊形2BCD為矩形，對角線4c與BD相交于點。，點E在邊OC上，連接4E,

過。做DF14E,垂足為F,連接OF,若ND4E=30。，DE=10,貝|。尸的最小值為.

5.（21-22九年級下?福建福州?階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標系中，Q是直線y=1x+2上的一個動點，將

Q繞點PGLO）逆時針旋轉(zhuǎn)90。，得到點。，連接。（7,則。Q，最小值為

6.（23-24九年級上?遼寧沈陽?期末）【問題初探】

數(shù)學(xué)課上張老師在講完正方形的性質(zhì)之后提出了一個問題:

四邊形4BCD是邊長為3的正方形，點￡是邊4。上的一動點，連接CE,以CE為一邊作正方形CEFG（點C,

E,F,G按順時針方向排列），連接BF,DG.

（1）如圖1,求點G至UCD的距離，請寫出解答過程；

【類比分析】愛動腦的數(shù)學(xué)興趣小組在研討的過程中，也提出了一個問題：

（2）如圖2,當(dāng)BF經(jīng)過點。時，求DG的長，請寫出解答過程；

【學(xué)以致用】看到同學(xué)們興致勃勃的樣子，張老師說：“角相等可以是三角形全等的條件，也能推導(dǎo)出相似”,

于是給同學(xué)們留了一道思考題：

（3）求代數(shù)式魚DG+BF的最小值.經(jīng)過小組研討，組長小明進行了整理，給出了部分解題思路；

解題思路：如圖3,作等腰直角△ACa,使4016=90。，連接AC,CF,AF,則點C,D,a三點共線，

由乙4CF=NDCG,—=—=V2,可得△ACP-ADCG,

DCCG

由=yi=||=V2,可得△C&FCAE,

請完成“……”部分的解答過程.

7.（2024.安徽合肥.模擬預(yù)測）如