專題突破卷13解三角形的圖形歸類（含中線、角平分線、高）

孱題型預(yù)策

四邊形問(wèn)題

四邊形的最值問(wèn)題

外接圓問(wèn)題

內(nèi)切圓問(wèn)題

垂線問(wèn)題

角平分線問(wèn)題

中線問(wèn)題

其余等分點(diǎn)問(wèn)題

1.四邊形問(wèn)題

I.如圖，在四邊形N8CD中，已知443c的面積為E=立（/。2一452-3。2卜記的面積為邑.

⑴求//BC的大小;

Q）若CD<BC,設(shè)/C4D=30。，/BCD=120。，問(wèn)是否存在常數(shù)2,使得岳=2邑成立，若存在，求九

的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

2.如圖所示，在平面四邊形48CD中，ZABC=150。，ZACD=60°,AB=BBC=1,CD=出.

⑴求的長(zhǎng)；

⑵若NC與AD交于點(diǎn)O,求△Z。。的面積.

3.（2023?北京大興?統(tǒng)考三模）如圖，平面四邊形"BCD中，對(duì)角線/C與3。相交于點(diǎn)E,

ZABD=ZCBD,ACLAD,AE=EB=3,DE=5.

⑴求的面積;

(2)求sinABAC的值及EC的長(zhǎng)度.

4.如圖，四邊形N8CD的內(nèi)角3+。=兀，AB=3,DA=1,BC=CD,且/C=J7.

(2)若點(diǎn)P是線段上的一點(diǎn)，PC=C,求尸/的值.

5.如圖，四邊形48CD是由A/8C與正ANCO拼接而成，設(shè)/3=1,smZBAC-^mZACB.

(1)當(dāng)/NBC=90。時(shí)，^BD=xBA+yBC,求x,V的值;

(2)當(dāng)/4BC=150°時(shí)，求線段8。的長(zhǎng).

6.某市準(zhǔn)備規(guī)劃一條平面示意圖如圖所示的五邊形賽道，ED,DC,CB,BA,AE為賽道(不考慮寬度)，BE

2冗

為賽道內(nèi)的一條服務(wù)通道/BCD=NCDE=/BAE=—,DE=4km,BC=CD=6km.

D

(1)求服務(wù)通道BE的長(zhǎng)度;

(2)若/￡=3km,求賽道48的長(zhǎng)度.

2.四邊形的最值問(wèn)題

7.如圖，在梯形/8CD中，ABHCD,AD=BC=AB=2,CD=AC.

(1)求CD；

(2)平面內(nèi)點(diǎn)尸在直線CD的上方，且滿足2/￡＞尸。=5乙4CB,求DP+CP的最大值.

8.為了豐富同學(xué)們的課外實(shí)踐活動(dòng)，石室中學(xué)擬對(duì)生物實(shí)踐基地(05C區(qū)域)進(jìn)行分區(qū)改造.ABNC區(qū)域

為蔬菜種植區(qū)，區(qū)域規(guī)劃為水果種植區(qū)，蔬菜和水果種植區(qū)由專人統(tǒng)一管理，區(qū)域規(guī)劃為學(xué)

生自主栽培區(qū).AMNC的周圍將筑起護(hù)欄.已知NC=20m,AB=40m,ABAC=60°,NMCN=30°.

⑴若NM=10m,求護(hù)欄的長(zhǎng)度(△兒WC的周長(zhǎng))；

(2)學(xué)生自主栽培區(qū)AMNC的面積是否有最小值？若有，請(qǐng)求出其最小值；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由.

9.在平面四邊形/BCD中；AB=BC=CD-2；AD=273,

⑴若四邊形/BCD為圓內(nèi)接四邊形；求/C；

(2)求四邊形面積最大值.

TT

10.在圓。的內(nèi)接四邊形48CD中，48=2,CD=1,=示意如圖.

C

⑴若/C是圓。的直徑，求的長(zhǎng)；

(2)若圓。的直徑為石，求四邊形Z8CD的面積.

11.(2023?云南保山?統(tǒng)考二模)如圖，在平面四邊形48CD中，48=1,BC=3,AD=CD=2.

C

(1)當(dāng)四邊形/BCD內(nèi)接于圓。時(shí)，求角C；

(2)當(dāng)四邊形/BCD面積最大時(shí)，求對(duì)角線8。的長(zhǎng).

12.如圖，在平面四邊形/5CD中，AC=4,BCLCD.

A

(1)若45=3,BC=2,CD=5,求△/CD的面積；

(2)若==求[g+1]4D-3C的最大值.

3662

3.外接圓問(wèn)題

13.在圓。的內(nèi)接四邊形48C。中，AB=冊(cè),BC=3,CD=2后，D4=l.則下列說(shuō)法正確的是（）

A.四邊形/BCD的面積為務(wù)B.圓。的半徑為質(zhì)

C.AO-BD=-^D.若DH1BC于點(diǎn)H,則麗?麗=4

14.如圖，己知圓。內(nèi)接四邊形/BCD中，AB=2,BC=6,AD=CD=4,則下列說(shuō)法正確的是

B.四邊形ABCD的面積為8g

C.該外接圓的直徑為厚

D.BO-CD^-4

15.平面多邊形中，三角形具有穩(wěn)定性，而四邊形不具有這一性質(zhì).如圖所示，四邊形"BCD的頂點(diǎn)在同

一平面上，己知48=3C=CD=2,/。=2班.

B

C

A

D

(1)當(dāng)長(zhǎng)度變化時(shí)，、Qcos/-cosC是否為一個(gè)定值？若是，求出這個(gè)定值；若否，說(shuō)明理由.

(2)記4ABD與ABCD的面積分別為H和SZ,請(qǐng)求出+s；的最大值.

16.已知平面四邊形48CD中，AB=2y/3,BC=2-43,CD=3,AD=4,且四邊形/BCD有外接圓及

(1)求角。的大小;

⑵求tan/CUC的值.

17.如圖，已知8C為。。的直徑，點(diǎn)A、尸在。。上，AD1BC,垂足為。，BF交AD于E,且

AE=BE.

F

DO

(1)求證：AB=AF；

3

(2)如果sinN斤=AB=4y[5,求4D的長(zhǎng).

18.如圖所示，四邊形/BCD的外接圓為圓O,8C=2,/C=3,tan5=-2VL

(1)求sin//C3；

(2)若NCOD=44OD,求力。的長(zhǎng).

4.內(nèi)切圓問(wèn)題

IT

19.在“5C中，已知/8=2,/C=4,^BAC=-.

⑴求“8C面積；

⑵求AA8C內(nèi)切圓半徑.

20.如圖，某景區(qū)有一塊圓形水域，水域邊上有三處景點(diǎn)4,B,C,景點(diǎn)之間有觀景橋相連，已知48,

BC,4c長(zhǎng)度分別為30m,50m,70m.

D

(1)求圓形水域面積；

(2)為了充分利用水域，現(xiàn)進(jìn)行景區(qū)改造，準(zhǔn)備在優(yōu)弧北上新建景點(diǎn)。，修橋。C,以與景點(diǎn)4,C相連,

并準(zhǔn)備在ANCD修建一塊圓形觀賞魚(yú)飼養(yǎng)區(qū)，使其分別與橋NC,DC,D4相切，求圓形觀賞魚(yú)飼養(yǎng)區(qū)半徑

的最大值.

21.銳角中，內(nèi)角4民C所對(duì)的邊分別為6,c,6=2且6wc,bccosB=4(c-l)cosC.

(1)求證：A=2C；

(2)將NC延長(zhǎng)至。，使得3而=就，記的內(nèi)切圓與邊相切于點(diǎn)T,4T是否為定值？若是，求

出該定值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

22.如圖，平面四邊形/BCD中，/D=5,CD=3,//DC=120。.05c的內(nèi)角N,B,C的對(duì)邊分別為

7口、井口。+bsin4—sinC

a,b,c,且滿足----=-...---；—-

csm/—sinB

(1)求四邊形ABCD的外接圓半徑尺；

(2)求△48C內(nèi)切圓半徑r的取值范圍.

5.垂線問(wèn)題

23.在。5c中，內(nèi)角/、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,其面積為S,且滿足6荔.衣+2S=石瓦.

(1)求角A的大?。?/p>

⑵設(shè)3c邊上的高40=1,求S的最小值.

24.在中，角4,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,m=(sin5,sinC+cosC),H=(cosC-sinC,cos5),

—,—1

m-n=—.

2

⑴求sin24；

⑵若〃=3,5。邊上的高線長(zhǎng)77—1,求sinBsinC.

25.已知的內(nèi)角4民。的對(duì)邊分別為見(jiàn)必。，已知〃+c=2bcos4.

(1)證明：B=2A；

(2)設(shè)D為邊5c上的中點(diǎn)，點(diǎn)E在42邊上，滿足且/=g,四邊形/CUE的面積為"且，求

68

線段CE的長(zhǎng).

26.“3C中NB/C=120°,/8=NC=4,。在邊8c上，且OC=38。.

(1)求的長(zhǎng)；

⑵若OHJL/C于/求cosNADH.

6.角平分線問(wèn)題

2兀

27.中，。的角平分線8。父NC于。點(diǎn)，若BO=2且/4BC=3~,則邑,”的最小值為

28.在“8C中，AB=2,NBAC=60。,BC=&,D為BC上一點(diǎn)、,40為N8/C的平分線，則40=

29.在AA8C中，角4瓦。所對(duì)的邊分別為見(jiàn)4c,且.bsin'；0=asiaB,邊BC上有一動(dòng)點(diǎn)Z).

(1)當(dāng)。為邊2C中點(diǎn)時(shí)，若AD=百,6=2,求。的長(zhǎng)度；

(2)當(dāng)40為/34C的平分線時(shí)，若。=4,求/O的最大值.

30.在“8C中，內(nèi)角4B,C所對(duì)的邊分別為a,b.c.若力=5，角/的平分線40交8C于點(diǎn)D,

AD=2,b=6,則以下結(jié)論正確的是()

A.c=3B.BD=2CDC.A?13C的面積為D.a=3也

2

31.(2023?江蘇鹽城?統(tǒng)考三模)在A/8C中,/。為春3C的角平分線，且40=2.

2兀

⑴若NBAC==3,求“BC的面積；

(2)若BD=3，求邊AC的取值范圍.

S2

32.在“3C中，點(diǎn)。是2c上一點(diǎn)，AD平分/BAC,NB=2NC,芳幽=金，求:

超/CD3

(l)cosC的值；

(2)若/C=行，求CD的長(zhǎng).

7.中線問(wèn)題

33.在“8C中，內(nèi)角42,C的對(duì)邊分別為a/,c.已知""m0=3,cos/=%3.

入sin2c412

(1)求cosB；

(2)若AABC的面積為后，且。為/C的中點(diǎn)，求線段3。的長(zhǎng).

34.已知AA8C中，c=2bcosB,C=—.

3

(1)求2的大??；

(2)在下列三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使。3c存在且唯一確定，并求出2C邊上的中線的長(zhǎng)度.①

c=41b\②周長(zhǎng)為4+26；③面積為工4。=學(xué).

35.在A48c中，ZC=1,AC=2,M為28邊上的中點(diǎn)，且。0的長(zhǎng)度為⑺，則48=()

A.273B.4C.277D.6

36.在①(sin/—sinC)a=[b-c)(sin5+sinC),②=③sin(8+C)=[cos"g]這三個(gè)條件

cosC2a-cb16)

中選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并解答.

已知AA8C中，內(nèi)角/,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且.

⑴求角2;

⑵若a+c=G，點(diǎn)。是NC的中點(diǎn)，求線段區(qū)0的取值范圍.

37.已知在A/IBC中，b3=a2b+be2-ac2,C=y.

(1)求/的大?。?/p>

(2)在下列四個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使“BC存在且唯一確定，并求出3C邊上的中線的長(zhǎng)度.

①“3C周長(zhǎng)為2+6；②。=1；③A/BC面積為也；@c=41a

38.在“8C中，48=9,點(diǎn)。在邊3c上，AD=1.

A

2

(1)若cosB=],求5。的值，

2

(2)若cosNB/C=-且點(diǎn)。是邊5C的中點(diǎn)，求4。的值.

8.其余等分點(diǎn)問(wèn)題

39.在中，角A、B、。的對(duì)邊分別為。、b、c,若A=2B.

(1)求證：a2-b2=bc;

23

(2)若cos8=§,點(diǎn)。為邊上一點(diǎn)，AD=-DB,CD=2瓜,求邊長(zhǎng)b.

40.已知三角形NBC,AB=4,AC=2

A7~)

⑴若/=37r且4D為/A4c的平分線，。為2C上點(diǎn)，求差的值.

3nC

(2)若5c=3,BD=2DC，求40的長(zhǎng)

41.在①ccos/=V§asinC；?(a-Z))(sinA+sinB)-(c->/3b)sinC；③36cos4+acos2=e6+c這三個(gè)條

件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解決該問(wèn)題.

問(wèn)題：在中，角/,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且滿足.

(1)求角/的大?。?/p>

(2)若。為線段C3延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，艮CB=2BD,AD=C,AC=26,求的面積.

42.如圖，在△NSC中，點(diǎn)。在邊8C上，且4D_L/C,sinND48=g,AB=6.

BD

(1)若BC=2,求sinC的值;

(2)若8C邊上點(diǎn)E滿足礪=2或，ZADE=^,求網(wǎng)

43.某農(nóng)戶有一個(gè)三角形地塊/8C,如圖所示.該農(nóng)戶想要圍出一塊三角形區(qū)域(點(diǎn)。在2C上)用來(lái)

養(yǎng)一些家禽，經(jīng)專業(yè)測(cè)量得到N3=3,cos3=g

5

⑴若cos//3C=-g,求/。的長(zhǎng)；

(2)若BD=2DC,sm：??=4拒,求的周長(zhǎng).

sm/CAD

44.記』_8C的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為。、b>c,已知6cos4-〃cos3=b—c.

(1)求A；

(2)若點(diǎn)。在邊上，且CQ=25Q,cos5=y-,求tan/BAD.

圓限時(shí)訓(xùn)煉1

1.在“8C中，BC=2,AB=2AC,。為8C的中點(diǎn)，則tan//OC的最大值為.

2.在銳角A/BC中，角4瓦。的對(duì)邊分別是。，b,c,若生心=以

acosA

⑴求角A的大??；

(2)若。=2,求中線40長(zhǎng)的范圍(點(diǎn)。是邊2c中點(diǎn)).

3.已知。是“3C的邊上一點(diǎn)，且數(shù)=3而，AD=2,tan/B4C=屈，則4C+248的最大值為

4.如圖，平面四邊形Z3CQ中，AB1AD,AB=AD,BC=。,CD=\,則四邊形/BCD的面積的最大

值為.

5.在△48c中，點(diǎn)。在2c上，滿足4D=3C,40sin/A4c=48sin8.

(1)求證：AB,AD,/C成等比數(shù)列;

⑵若BD=2DC,求cos2.

6.如圖，AA8C中，AB=2AC,/R4C的平分線ND交BC于。.

(1)若=求/A4c的余弦值;

(2)若4C=3,求4D的取值范圍.

7.某市為提升城市形象，打造城市品牌，擬規(guī)劃建設(shè)一批富有地方特色、彰顯獨(dú)特個(gè)性的城市主題公園,

某主題公園為五邊形區(qū)域N3CDE(如圖所示)，其中三角形區(qū)域N3E為健身休閑區(qū)，四邊形區(qū)域?yàn)?/p>

文娛活動(dòng)區(qū)，AB、BC、CD、DE、EA、BE為主題公園的主要道路(不考慮寬度)，已知NB/E=60。，

ZEBC=90°,Z5CD=120°,=38C=3CD=6km.

(1)求道路BE的長(zhǎng)度；

(2)求道路/3、/￡長(zhǎng)度之和的最大值.

8.在A48C中，/4/8,/。對(duì)應(yīng)的邊分別為。,6,。,/=7,6=5,。=3。48。的外接圓0面積為S.

⑴求S的值；

(2)若點(diǎn)。在/C上，且直線8。平分角//3C,求線段8。的長(zhǎng)度.

9.在A48C中，內(nèi)角4民。的對(duì)邊分別為仇c,btanA+btanB=---.

(1)求角8；

(2)。是月8邊上的點(diǎn)，若4D=1,CD=BD=3,求sinN4C。的值.

10.在平面四邊形4