開學(xué)自我檢測(cè)01(易)

(考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的。

1.己經(jīng)集合力={x|-43},5={-2,-1,1,2},貝”□([；/)=()

A.{-2}B.{-1}C.{-11}D.{-2,2}

【答案】D

【分析】先計(jì)算一元二次不等式求出A,再根據(jù)補(bǔ)集定義求出4人,最后應(yīng)用交集定義運(yùn)算求解即可.

【詳解】A=[x\-^<x<^3],5={-2,-1,1,2},

(T!=卜卜<—yfi或x>V31,8c(以/)={—2,2},

故選：D.

2.已知i是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)z滿足(l+i)z=l-i,則|z|=()

A.—1B.1C.s/2,D.V3

【答案】B

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，化簡得到2=為，結(jié)合復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式，即可求解.

1-i

【詳解】由復(fù)數(shù)z滿足(l+i)z=l-i,可得z=「==-1,所以|z|=l.

1+1(l+i)(l-i)

故選：B.

3.已知向量落B不共線，且向量a+zB與。-1位+2彼共線，則實(shí)數(shù)彳的值為()

A.-2或-1B.-2或1C.-1或2D.1或2

【答案】C

【分析】利用平面向量共線基本定理列等式，利用不共線向量相等列方程組求解.

【詳解】若向量￡+幾3與(2—1加+2否共線，

貝iI存在實(shí)數(shù)左,UM[A-\)a+ib=k\a+=ka+kAb,

_U-l=k,

又因?yàn)橄蛄縜，6不共線，所以、「,解得2=2或4=-1.

\2=KA

故選：C.

4.已知〃》）=八2"1卜：3。，無<1是定義在口上的減函數(shù)，則。的取值范圍是（）

[logax,x>l

A-時(shí)B.陷C.國D.D

【答案】D

【分析】分段函數(shù)為減函數(shù)需滿足三個(gè)條件，一是上支為減函數(shù)，二是下支為減函數(shù)，三是下支的最大值

小于或等于上支的下界，列不等式組即可解得.

【詳解】要使函數(shù)=在R上為減函數(shù)，

[logax,x>l

2a—1<0

4

需滿足2a-l+3a>loga1,—<a<—.

0<tz<1?

故選：D.

5.驚艷全世界的南非雙曲線大教堂是由倫敦著名建筑事務(wù)所steynstudi。完成的.若將如圖所示的雙曲線大

教堂外形弧線的一段近似看成/一二=1（加>0）下支的一部分,且此雙曲線的一條漸近線方程為2x-my=0,

m

則此雙曲線的離心率為（）

A.4B.V3C.2D.V5

【答案】D

【分析】首先根據(jù)雙曲線的漸近線方程得到從而得到。=1,b=2,c=5再求離心率即可.

m7m

2

【詳解】雙曲線土=i（m>o）,a=i,b=Gi,

m

因?yàn)殡p曲線的一條漸近線方程為2x-叼=0,即y=

m

所以2=-^,解得加=4,

m7m

所以。=1,6=2,c=V5，e=—=45.

a

故選：D.

6.過坐標(biāo)原點(diǎn)。作圓。：/+/-41+3=0的兩條切線，切點(diǎn)分別為M,N,則|四|=()

A.eB.-C.MD.2

22

【答案】C

【分析】根據(jù)題意可得△MON為等邊三角形，可得結(jié)果.

【詳解】圓/+/—4x+3=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(I)?+/=1,

其圓心為C(2,0),半徑為1,

由題意知，|MC|=|NC|=1,\OM\=\ON\,ON±CN,\OC\=2,

CN1

所以sm/NOC=R=-，所以ZNOC=30°.

所以AMON=2ZNOC=60。,且|ON|=2cos30。=G,

所以△MON為等邊三角形，

所以pw卜|ON|=6.

故選:C.

7.若數(shù)列｛%｝和｛4｝滿足q=2,4=0,2an+l=3an+bn+2,1bn+x=an+3bn-2,則%054+4023=()

A.2x32023+1B.3x22022+1

C.3X22023+1D.3X22022-1

【答案】B

【分析】根據(jù)遞推關(guān)系可得｛%+“｝是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，進(jìn)而得a“+6“=2”,即可根據(jù)

%+1+a=2+a)+1代入求解.

【詳解】因?yàn)?%+]=3%+，+2,26.+1=4+3“-2,

所以2%+2%=q+3d-2+3%+2+2=4(a”+bn),即an+l+%=2(a“+，)，

又4+4=2,所以｛g+4｝是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

31

所以%+2=2〃，又=3%+4+2,即4+i=5%+22+1，

3133

所以—+或=/+臚+1+6“=占+也,)+1=”"+1

2023

所以?2024+b2023=-X2+1=3X22儂+1；

故選：B

8.設(shè)函數(shù)/(x)=cosx+binx|,貝！|()

A.卜后詞且/(x)在卜修單調(diào)遞增

B./(司€卜在板］且73在(私彳］單調(diào)遞減

C./(上卜1詞且“X)在卜，個(gè)單調(diào)遞增

D./(小卜1,回且在單調(diào)遞減

【答案】C

【分析】首先證明函數(shù)"X)的周期為2兀，然后分0Wx<7T與兀VxV2兀兩種情況分別討論函數(shù)的值域，判斷

函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.

【詳解】由于/(%+兀)=cos(x+兀)+|sin(x+兀)|=-cosx+|sinx|w/(x),得/(%)的最小正周期不是兀;

f(x+2K)=cos(x+2K)+Isin(x+2K)|=COSX+\sinx|=f(x),則f(x)的周期為2兀,

當(dāng)x￡[0,兀)時(shí)，y(x)=cosx+sinx=<2sin|

由于兀，得^<%+￡<與，故應(yīng)sin(x+J)e(-l,V2],

+)

當(dāng)XE[兀,2兀]時(shí)，f(x)=cosx-sinx=V2cos

)S^X+^G[-1,^2]

由于兀WX〈2TI,得邛故后cc

綜上所述，可得/(%)的值域?yàn)?/p>

當(dāng)％/兀時(shí)/-(xl-cosx-sinx-V^cosL

■——|At1JI,41P*J,J14)—WoAOlliA-vZ.VUo1A

?-j—77Tzi—?5兀7T-

由兀vxv■<x+—?<2兀,

根據(jù)余弦函數(shù)性質(zhì)可知/（X）在了,］J上單調(diào)遞增.故C選項(xiàng)正確.

故選：C.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部

選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

9.少年強(qiáng)則國強(qiáng)，少年智則國智，黨和政府一直重視青少年的健康成長，出臺(tái)了一系列政策和行動(dòng)計(jì)劃,

提高學(xué)生身體素質(zhì)，為了加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的營養(yǎng)健康監(jiān)測(cè)，某校在3000名學(xué)生中，抽查了100名學(xué)生的體重?cái)?shù)

據(jù)情況.根據(jù)所得數(shù)據(jù)繪制樣本的頻率分布直方圖如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）

［麗

0.06k--............q

0.05|..........1~

D.O*41????--J---L--?■?

OOjL.—J

D.02|-j…\-----------\~?

（產(chǎn)&ei）6’57b7’5疝體kg

A.樣本的眾數(shù)為65

B.該校學(xué)生中低于65kg的學(xué)生大約為1200人

C.樣本的第80百分位數(shù)為72.5

D.樣本的平均值為66.75

【答案】BCD

【分析】由頻率分布直方圖得眾數(shù)，百分位數(shù)，平均數(shù)后判斷

【詳解】對(duì)于A,樣本的眾數(shù)為67.5,故A錯(cuò)誤，

對(duì)于B,該校學(xué)生中低于65kg的學(xué)生大約為3000x（0.03+0.05）x5=1200,故B正確，

對(duì)于C,體重位于［55于0）的頻率為（0.03+0.05+0.06）x5=0.7,

體重位于［55,75）的頻率為（0.03+0.05+0.06+0.4）x5=0.9,

故第80百分位數(shù)位于［70,75）,設(shè)其為x,則0.7+0.04x（x-70）=0.8,得x=72.5,故C正確，

對(duì)于D,樣本的平均值為57.5x0.15+62.5x0.25+67.5x0.3+72.5x0.2+77.5x0.1=66.75,故D正確，

故選：BCD

10.盡管目前人類還無法準(zhǔn)確預(yù)報(bào)地震，但科學(xué)家經(jīng)過研究，已經(jīng)對(duì)地震有所了解，例如，地震時(shí)釋放的

能量E（單位：焦耳）與地震里氏震級(jí)Af之間的關(guān)系為lgE=4.8+1.5M,則下列說法正確的是（）

A.地震釋放的能量為IO0焦耳時(shí)，地震里氏震級(jí)約為七級(jí)

B.八級(jí)地震釋放的能量約為七級(jí)地震釋放的能量的6.3倍

C.八級(jí)地震釋放的能量約為六級(jí)地震釋放的能量的1000倍

D.記地震里氏震級(jí)為"(〃=1,2,--?,9,10),地震釋放的能量為助，則數(shù)列｛劭｝是等比數(shù)列

【答案】ACD

【分析】根據(jù)所給公式，結(jié)合指對(duì)互化原則，逐一分析各個(gè)選項(xiàng)，即可得答案.

【詳解】對(duì)于A：當(dāng)否=10均3時(shí),由題意得電10五3=48+1.5",

解得"=7,即地震里氏震級(jí)約為七級(jí)，故A正確；

對(duì)于B：八級(jí)地震即M=8時(shí)，1gg=4.8+1.5x8=16.8,解得&=1038,

F1016-8

所以>10*6.3,

E1015-3

所以八級(jí)地震釋放的能量約為七級(jí)地震釋放的能量的102倍，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：六級(jí)地震即M=6時(shí)，lg￡2=4.8+1.5x6=13.8,解得超=10?、

F1[)16.8

所以言=訶=103=1000,

即八級(jí)地震釋放的能量約為六級(jí)地震釋放的能量的1000倍，故c正確;

對(duì)于D：由題意得lga,=4.8+1.5〃(?=1,2,-??,9,10),

48+1548+L5<+1)

所以a,=10--",所以an+l=10-"=1063+L5"

106.3+1.5〃

所以3=萬產(chǎn)/=1°"，即數(shù)列｛加｝是等比數(shù)列，故D正確;

an1U

故選：ACD

11.對(duì)于函數(shù)/(、)=竽，下列說法正確的是()

A./(%)在工=八處取得極大值不

2e

B./(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)

C./(V2)</(V^)</(V3)

D.若lnx<Ax?在(。,+8)上恒成立，則上>,

e

【答案】AC

【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)確定了(x)的單調(diào)性極值及最值情況，就能確定選項(xiàng)的正誤.

【詳解】A選項(xiàng)，〃x)=*，定義域?yàn)?0,+動(dòng)，

,八龍)二三臂，令/，(力=0,解得五，

當(dāng)0<x<五時(shí)，/'(x)>0,.?.函數(shù)“X)在(0,疵)上單調(diào)遞增，

當(dāng)x>加時(shí)，/'(力<0,.?.函數(shù)/⑺在(疵,+句上單調(diào)遞減,

二函數(shù)在x=R時(shí)取得極大值也是最大值/(孤)=(,故A對(duì)；

B選項(xiàng)，時(shí)，/(x)<0,/⑴=0,〃尤/=/(&)=(，

當(dāng)x>l時(shí)，/(x)>0,如圖所示：

；?函數(shù)/(x)有且只有唯一一個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò);

C選項(xiàng)，..?當(dāng)x>八時(shí)，/⑴為單調(diào)遞減函數(shù)，.?./(?)</(6)，

(夜卜誓1=寫=〃2)</(?),所以/押)</(6)</(百)，故C對(duì)；

D選項(xiàng)，若lire*在(0,+s)上恒成立，即詈左在(0,+s)上恒成立，

由〃X)M=/(&)=：，則“W，故D錯(cuò).

故選：AC.

12.如圖，在圓錐P。中，已知圓。的直徑48=6,點(diǎn)C是底面圓。上異于/的動(dòng)點(diǎn)，圓錐的側(cè)面展開圖

是圓心角為67i的扇形.CQ=ACP(-<A<-),貝ij()

A.△尸/C面積的最大值為36

B.萬?質(zhì)的值與彳的取值有關(guān)

C.三棱錐/支體積的最大值為理

D.若而=2無，與圓錐底面所成的角為。，貝！|tan〃e

【答案】CD

【分析】根據(jù)給定條件，求出圓錐的母線長及圓錐的高，并求出軸截面頂角，再逐項(xiàng)分析判斷作答.

【詳解】設(shè)圓錐的母線長為/,由2兀X3=6C/，得/=2石，而圓錐底面圓半徑r=3,

圓錐的高PO=V/2-r2=7(2A/3)2-32=6則NAPB=2NAPO=120°>

S.PAC=1/2smZAPC<|x(273)2sin900=6,當(dāng)且僅當(dāng)/尸時(shí)取等號(hào)，A錯(cuò)誤；

當(dāng)/尸_LPC時(shí)，AP-AQ=\AP\\AQ\cosZPAQ=\AP^=n,與彳的取值無關(guān)，B錯(cuò)誤;

過。作QD//尸。交。C于。，由尸01平面4BC,得平面4BC,

由西=4屈，得。。="。=收，于是％B2c=a，=gs“Bc-Qo=個(gè)S“BC，

所以當(dāng)且僅當(dāng)4=:，且C為右中點(diǎn)時(shí)，三棱錐/-8QC體積取最大值'x』x6x3x1=m，C正確;

23222

若就=2無，則4OC=120°,4OC=60°,由C選項(xiàng)知，N0/D為4。與圓錐底面所成的角,

即/0/O=d,tan0=絲，顯然。。=(1一㈤OC=3(1-2),在中,

AD

AD=732+9(1-2)2-2x3x3(l-2)cosl20°=3ylA2-3A+3,

1,W-<A<-,

+-32

4

故選：CD

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求直線與平面所成的角的一般步驟：①找直線與平面所成的角，即通過找直線在平面

上的射影來完成；②計(jì)算，要把直線與平面所成的角轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中求解.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.將數(shù)字1,2,3,4填入標(biāo)號(hào)1,2,3,4的四個(gè)方格內(nèi)，每格填1個(gè)，則每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填數(shù)字

均不相同的概率是.（用最簡分?jǐn)?shù)表示）

【答案】|

【分析】首先計(jì)算4個(gè)數(shù)字填入4個(gè)空格的所有情況，然后列舉計(jì)算每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填數(shù)字均不相同

的情況，再利用古典概型的概率公式求解即可.

【詳解】將數(shù)字1,2,3,4填入標(biāo)號(hào)1,2,3,4的四個(gè)方格內(nèi)，每格填1個(gè)，共有4x3x2x1=24種，

而每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填數(shù)字均不相同的有：

當(dāng)?shù)谝粋€(gè)方格的填的數(shù)字為2時(shí)，第二個(gè)方格可以填1,3,4三種，

當(dāng)?shù)诙€(gè)方格填1時(shí)，第三個(gè)方格只能填4,第四個(gè)方格只能填3；當(dāng)?shù)诙€(gè)方格填3時(shí)，第三個(gè)方格只能

填4,第四個(gè)方格只能填1；當(dāng)?shù)诙€(gè)方格填4時(shí)，第三個(gè)方格只能填1,第四個(gè)方格只能填3,共3種，

同理當(dāng)?shù)谝粋€(gè)方格所填數(shù)字為3可4時(shí)，均有3種填法，所以共有3x3=9種，

所以所求概率為59=：3,

248

故答案為：|

14.在正四棱錐尸-48CD中，AB=PA=6,用平行于正四棱錐底面的平面截去一個(gè)高為亞的四棱錐后,

所得棱臺(tái)的體積為.

【答案】皿1/吧收

33

【分析】先利用勾股定理求出正四棱錐尸-/BCD的高，再利用相似比求出截去的高為力的四棱錐的底面

邊長，在求出兩個(gè)棱錐的體積即可.

【詳解】如圖，。為底面四邊形"BCD對(duì)角線的交點(diǎn)，

則OP為正四棱錐尸的高，BD=64i，

貝「爐/處|=J36-18=3后,

設(shè)截去的高為血的四棱錐的底面邊長為。，

則卓=￡,解得a=2,

3V26

所以棱臺(tái)的體積為、6x6x3直」*2乂2*夜=處2.

333

故答案為：粵1

15.若函數(shù)/(x)=sinx+cos(x+°)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則常數(shù)夕的一個(gè)取值為.

【答案】￡(答案不唯一)

【分析】當(dāng)0=-0+2E#eZ時(shí)，化簡得到〃x)=2sinx,滿足/'(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，即可得到

答案.

【詳解】由函數(shù)>=sinx的圖象與性質(zhì)，可得函數(shù)3-5山》在區(qū)間上單調(diào)遞增，

7T

當(dāng)夕=---F2AJI,左￡Z時(shí)，

2

.7171

可得/(x)=sinx+cos(x-—+2hi)=sinx+cos(x--)=2sinx,

此時(shí)函數(shù)〃X)滿足在區(qū)間與j上單調(diào)遞增，

當(dāng)左=0時(shí)，夕=-5,所以常數(shù)夕的一個(gè)取值可以為

故答案為：(答案不唯一).

16.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線/過拋物線。:/=2必(p>0)的焦點(diǎn)尸，與拋物線。及其準(zhǔn)線依次交于4叢C

三點(diǎn)(其中點(diǎn)8在4C之間)，若|/可=4,忸C|=2忸川.則AO4B的面積是.

【答案】生后/。君

33

【分析】依題意作出圖形，利用拋物線的定義結(jié)合圖形依次求得=30。與。=2,從而求得直線的

方程，聯(lián)立拋物線方程，利用拋物線焦半徑公式與點(diǎn)線距離公式求得|/口與￡/,從而得解.

【詳解】過點(diǎn)8作畫/垂直于準(zhǔn)線，垂足為M,過點(diǎn)A作/N垂直于準(zhǔn)線，垂足為N,設(shè)準(zhǔn)線與x軸相交于

點(diǎn)尸，如圖,

則忸叫=忸尸|,.MT疝1=4,

在AMBC中，忸C|=2忸司，所以忸C|=2忸M|,所以/MCB=30。，

故在A/NC中，|/牛2網(wǎng)=8,所以MQ=M司+|CF|=8,則|CF|=8—卜尸|=4.

又CN'x軸，ZMCS=30°,所以|尸尸|=J。司=2,

又拋物線》/=2px,則尸卜§0),尸?,所以網(wǎng)=m、=0=2,

所以拋物線。：/=4x,點(diǎn)尸(1,0).

因?yàn)?MC3=30。，所以直線AB的斜率上=-6，則直線/8：y=-若(x-l)，

與拋物線方程聯(lián)立卜二:"卜一1）,消了并化簡得3X2_IOX+3=O,

J/=4x

易得A>0，設(shè)點(diǎn)/（工1/1）,5（工2,歹2），則占+工2=，

則\AB\=\BF\+\AF\=|BM|+|^7V|=x1+^+x2+^|=x1+x2+/?=y+2=y,

又直線N8：y=-g（x-l）,可化為gx+y-6=0,

則點(diǎn)0到直線AB的距離d=-tj="

A/3+12

116V3473

所以=；|48|S=—x—x=---

2323

故選：B.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

17.在“3C中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,已知6=。，c=3,且22=C./A4c的平分線

交BC于點(diǎn)、E.

⑴求角C；

(2)求線段NE的長

【答案】⑴]IT

3V6-3V2

2

【分析】（1）根據(jù)二倍角公式以及正弦定理邊角互化即可求解,

（2）根據(jù)等面積法，結(jié)合面積公式即可求解.

[詳解】（1）,/sin25=sinC,2sin8cos5=sinC,

n2cos5=si11'=—=5/3=>cosB=,

sinBb2

c>b,?,Be[。,,]

=B/,C=~.

63

兀兀兀

（2）???C=-,5=—,「.4=—,

362

VC_V

"ACETQ"BE—U&ABC

-AC-AE-sm-+-AB-AE-sin-=-AC-AB-sin-,

242422

所以4g,=亞竺W￡,由于6=G，。=3,貝！J

AB+AC

,R3A/63V230（石-1）376-372

3+V3V3+122

18.如圖，在梯形中，AD//BC,AD=4BC=4,CD=45,￡為邊4D上的點(diǎn),CE1AD,CE=1,

TT

將ADEC沿直線CE翻折到APEC的位置，S.ZPEA=-,連接尸/,PB.

（2）。為線段P4上一點(diǎn)，且而=2萬，若二面角。-3C-4的大小為：，求實(shí)數(shù)入的值.

【答案】（1）證明見解析；

⑵*

【分析】（1）利用線面垂直的判定定理可得CE，平面P/E,然后利用面面垂直的判定定理及性質(zhì)定理可得

P。/平面48CE,進(jìn)而可得臺(tái)后,平面尸。C,即得；

（2）利用坐標(biāo)法，根據(jù)面面角的向量求法結(jié)合條件即得.

【詳解】（1）因?yàn)镃E_L4D,所以CE_L/E,CELPE,又PEC4E=E,PE、4Eu平面P/E,

所以CE_L平面尸/￡,C￡u平面ABCE,

所以平面4BCE，平面尸NE.

在梯形4BCD中，DE=NCD2-CE?=2,所以/￡=2,

所以在四棱錐尸-4BCE中，PE=AE=2.

TT

因?yàn)?所以△加E為正三角形.

取4E中點(diǎn)。，連接尸。，OB,0C,易得尸OL4E,OBLAE,

因?yàn)槠矫?BCE，平面尸4E,平面4BCEC平面己4￡=/￡,POu平面尸NE,可得尸。1平面4BCE,BEu

平面48CE,

所以尸0_L8E.

又BC=CE=OE=\,CELAE,CEIBC,所以四邊形O8CE為正方形，所以AE_LOC,

又。CPI尸。=。，OC、POu平面尸0C,

所以平面POC,因?yàn)镻Cu平面POC,所以8E_LPC；

(2)由(1)知CM,OB,。尸兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以CM,OB,0P所在直線分別為x,y,z軸

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則：/(1,0,0),5(0,1,0),C(-1,1,O),尸(0,0,6)，

由而=2萬得。(1-40,&)(0。分

貝|J地=(1一%-1,四)，SC=(-1,0,0),設(shè)平面08c的一個(gè)法向量為五=(無,y,z),

\m-BQ=0,f(l-2)x-j+V3/i,z=0,廠，

故\—>即｛，令z=l,得x=O,y=V32，

m-BC=0,[-x=0

所以前=(0,62,1),

易知平面ABC的一個(gè)法向量為】=(0,0,1),

所以卜os(加。卜t-i=,\=y-，

?'|m|-p|434+12

解得力=@或人—且(舍).

33

所以實(shí)數(shù)之的值為

3

19.已知函數(shù)/(x)=ex-cosx.

⑴求曲線V=“X)在點(diǎn)(o,7(o))處的切線方程；

⑵設(shè)g(x)=#'(x)-/(x),證明：g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增;

⑶判斷與的大小關(guān)系，并直接寫出結(jié)論.

【答案】⑴尸壬

(2)證明見解析

⑶嗚>嗚

【分析】⑴由題意得f'(x)=e，+sinx,求出〃0)=0,/，(0)=1,即可得出答案;

(2)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)即可確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得出答案;

(3)構(gòu)造函數(shù)/z(x)=/F，xe(0,+oo),利用導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性，結(jié)合(2)的結(jié)論即可求解.

【詳解】(1)/'(x)=e*+sinx,所以/⑼=0,⑼=1,

故曲線>=/(X)在點(diǎn)(0/(0))處的切線方程為丁=龍；

(2)由題意得g(x)=x(ex+sinx)-(ex-cosx)=(x-l)ex+xsinx+cosx

所以g'(x)=x(e'+cosx),在(0,+a)上恒成立

故g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

⑶30>咱，

證明如下：設(shè)Mx)=?,xe(0,+oo),則如)二礦叫/⑴二綽,

XXX

由(2)知:g(x)在(0,+功上單調(diào)遞增，則g(x)>g(O)=O,

所以〃(x)>0,即在(0,+8)上單調(diào)遞增，故《力，即

20.已知等比數(shù)列｛%｝的前“項(xiàng)和為S，且滿足S”=g%+「L

(1)求數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)％;

⑵在。“和。向之間插入n-l個(gè)數(shù)，使這"+1個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為力的等差數(shù)列，求證：EV<7.

i=l4

【答案】⑴?！?2x3"T(〃eN*)

(2)證明見解析

【分析】(1)根據(jù)遞推關(guān)系求出等比數(shù)列的公比，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解；

(2)利用錯(cuò)位相減法求和，然后分析即可.

【詳解】(1)當(dāng)“22時(shí)，an=Sn-Sn_x=^an+l-^an,即％+|=3%,

當(dāng)〃=1時(shí)，％=g〃2-1，即。2=24+2,

又因?yàn)椋?｝是等比數(shù)列，

所以｛0“｝的公比為3,且g=3%,即％=2,

所以%=2x3"—(〃wN*)；

(2)由⑴可得%=2x3i,%=2x3",

4n

則乙丁

…ATS4S，123n

所以令1二4丁=入聲=聲+聲+干+…+干，①

所以.北=鼻>萬=2彳=豆+至+蕓+.-+港，②

D3”?=]Q-j=]DDDDJ

o2Tli111n

①一②：一（=l+-r+~r+-r+…+—r——

33132333〃T3〃

3

因?yàn)椤ā闚*,

所以?4Q一2+9

￡7=^<—.

i=lUi-4

21.“稻草很輕，但是他迎著風(fēng)仍然堅(jiān)物，這就是生命的力量，意志的力量”“當(dāng)你為未來付出踏踏實(shí)實(shí)努力

的時(shí)候，那些你覺得看不到的人和遇不到的風(fēng)景都終將在你生命里出現(xiàn)”......當(dāng)讀到這些話時(shí)，你會(huì)切身體

會(huì)到讀書破萬卷給予我們的力量，為了解某普通高中學(xué)生的閱讀時(shí)間，從該校隨機(jī)抽取了800名學(xué)生進(jìn)行調(diào)

查，得到了這800名學(xué)生一周的平均閱讀時(shí)間(單位：小時(shí))，并將樣本數(shù)據(jù)分成九組，繪制成如圖所示的

頻率分布直方圖.

頻率

0.15

s

10

05

04

03

0.02

0.0o1

o.周平均閱讀

os.匚[——]—[—?時(shí)j句/小時(shí)

2z.681012141618

(1)為進(jìn)一步了解這800名學(xué)生閱讀時(shí)間的分配情況，從周平均閱讀時(shí)間在(12,14],(14,16],(16,18]三組內(nèi)

的學(xué)生中，采用分層抽樣的方法抽取了10人，現(xiàn)從這10人中隨機(jī)抽取3人，記周平均閱讀時(shí)間在（14,16］內(nèi)

的學(xué)生人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（2）以樣本的頻率估計(jì)概率，從該校所有學(xué)生中隨機(jī)抽取20名學(xué)生（有放回試驗(yàn)），用P任）表示這20名學(xué)生中

恰有人名學(xué)生周平均閱讀時(shí)間在（8,12］內(nèi)的概率，其中1=0,1,2,…平0.當(dāng)尸（左）最大時(shí),寫出左的值.

【答案】（1）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望g

（2）當(dāng)后=10時(shí),尸（左）取得最大值

【分析】（1）根據(jù)分層抽樣原則可確定10人中，周平均閱讀時(shí)間在（12,14］,（14,16］,（16,18］的人數(shù)，則可

確定X所有可能的取值，根據(jù)超幾何分布概率公式可求得X每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率，由此可得分布列；根據(jù)

數(shù)學(xué)期望公式可求得期望值；

（2）根據(jù)頻率分布直方圖可求得周平均閱讀時(shí)間在（8,12］內(nèi)的概率，利用二項(xiàng)分布概率公式可表示出

尸（左）,由此可確定結(jié)果.

【詳解】（1）由頻率分布直方圖得：周平均閱讀時(shí)間在（12,14］,（14,16］,（16,18］三組的頻率之比為

0.05:0.04:0.01=5:4:1,

.?.10人中，周平均閱讀時(shí)間在（12,14］的人數(shù)為lOx'nS人；在（14,16］的人數(shù)為10*2=4人；在（16,網(wǎng)的

人數(shù)為10x\=l人；

則X所有可能的取值為0,1,2,3,

.P（x=o）=《=笠」尸位=1）=咕=丈」

一（JC；o1206'（'C；o1202，

p（X=2）=^^-=—=—,P（X=3）=-^-=—=—,

'7C；o12010'7C：。12030

.?.X的分布列為：

X0123

]_j_31

p

6~2To