模塊終結(jié)性評(píng)價(jià)(120分鐘150分)一、單選題(每小題5分,共40分)1.(2024·三明高一檢測(cè))在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(-2,1),設(shè)i是虛數(shù)單位,則z1+i=(A.32-12i B.-32C.-12-32i D.-12【解析】選D.由題設(shè),z=-2+i,故z1+i=-2+i1+i=(i-2)(i2.某學(xué)校有高中學(xué)生1000人,其中高一年級(jí)、高二年級(jí)、高三年級(jí)的人數(shù)分別為320,300,380.為調(diào)查學(xué)生參加“社區(qū)志愿服務(wù)”的意向,現(xiàn)采用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法從中抽取一個(gè)容量為100的樣本,那么應(yīng)抽取高二年級(jí)學(xué)生的人數(shù)為()A.68 B.38 C.32 D.30【解析】選D.由題意可得,比例分配的分層隨機(jī)抽樣在各層中的抽樣比為1001000=110.3.(2024·平?jīng)龈咭粰z測(cè))已知向量a,b滿足|a|=1,|b|=3,若|2a-b|=13,則向量a與b的夾角為()A.2π3 B.π3 C.5π6 【解析】選C.由已知|2a-b|2=4a2-4|a||b|cos<a,b>+b2=13,解得cos<a,b>=-32,又<a,b>∈[0,π],所以向量a與b的夾角為5π4.從某校高三年級(jí)隨機(jī)抽取一個(gè)班,對(duì)該班50名學(xué)生在普通高校招生體檢中的視力情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì),其結(jié)果的頻率分布直方圖如圖所示,若某專業(yè)對(duì)視力要求在0.9及以上,則該班學(xué)生中能報(bào)該專業(yè)的人數(shù)為()A.10 B.20 C.8 D.16【解析】選B.由頻率分布直方圖,可得視力在0.9及以上的頻率為(1.00+0.75+0.25)×0.2=0.4,人數(shù)為0.4×50=20.5.(2024·景德鎮(zhèn)高一檢測(cè))已知圓錐SO的母線長(zhǎng)為26,側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為23π3A.122π B.24πC.36π D.48π【解析】選C.設(shè)圓錐SO的底面半徑為r,由題意得,2πr26=23π3,解得r=22.如圖,SA是圓錐的一條母線,由圓錐的性質(zhì)知其外接球的球心B在SO上,連接OA,AB.設(shè)圓錐的外接球的半徑為R,則AB=SB=R,則OS=SA2-OA2=(26)2-(22)2=24-8=4,AB2=OA26.甲、乙兩個(gè)人進(jìn)行“剪子、包袱、錘”的游戲,兩人都隨機(jī)出拳,則一次游戲兩人平局的概率為()A.13 B.23 C.14 【解析】選A.甲、乙兩個(gè)人進(jìn)行“剪子、包袱、錘”的游戲,所有可能出現(xiàn)的結(jié)果列表如下:項(xiàng)目錘剪子包袱錘(錘,錘)(錘,剪子)(錘,包袱)剪子(剪子,錘)(剪子,剪子)(剪子,包袱)包袱(包袱,錘)(包袱,剪子)(包袱,包袱)由表格可知,共有9種等可能情況.其中平局的有3種:(錘,錘),(剪子,剪子),(包袱,包袱).設(shè)事件A為“一次游戲甲和乙平局”,則P(A)=39=17.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若△ABC的面積為S,且a=1,4S=b2+c2-1,則A=()A.π6 B.π4 C.π2 【解析】選B.由余弦定理,得b2+c2-a2=2bccosA,又a=1,所以b2+c2-1=2bccosA,又S=12bcsinA,4S=b2+c2-1,所以有4×12bcsinA=2bccosA,即sinA=cosA,又0<A<π,所以A=8.(2024·湘潭高一檢測(cè))如圖,在四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PAD是邊長(zhǎng)為6的正三角形,側(cè)面PAD與矩形ABCD所在平面垂直,M,N分別為側(cè)棱PB,PD的中點(diǎn),E為棱CD上一點(diǎn),且CE=2,DE=1.若平面MNE與BC交于點(diǎn)F,則PF與底面ABCD所成角的正切值為()A.3305 B.305 C.33010【解析】選C.連接BD,EF,MF,因?yàn)镸,N分別為側(cè)棱PB,PD的中點(diǎn),所以MN∥BD,又MN?平面ABCD,BD?平面ABCD,所以MN∥平面ABCD,又平面MNE∩平面ABCD=EF,所以EF∥MN,則EF∥BD,BFBC=DEDC=13,因?yàn)锽C=AD=6,所以BF=2,取AD的中點(diǎn)O,連接FO,PO,則FO=10,因?yàn)镻A=PD,所以PO⊥AD,又側(cè)面PAD⊥底面ABCD,所以PO⊥底面ABCD,則∠PFO為PF與底面ABCD所成的角,因?yàn)镻O=6×32=33,所以tan∠PFO=POFO二、多選題(每小題6分,共18分,全部選對(duì)得6分,選對(duì)但不全的得部分分,有選錯(cuò)的得0分)9.某市舉辦“口語(yǔ)易”英語(yǔ)口語(yǔ)競(jìng)賽,已知12位評(píng)委對(duì)某選手的評(píng)分具體如下(滿分10分):7.0,7.5,7.8,7.8,8.2,8.3,8.5,8.7,9.1,9.2,9.9,10.則下列說(shuō)法正確的是()A.第75百分位數(shù)為9.1B.中位數(shù)為8.3C.極差為3D.去掉最高分和最低分,不會(huì)影響到這位選手的平均得分【解析】選CD.因?yàn)?2×75%=9,所以第75百分位數(shù)為第9個(gè)數(shù)和第10個(gè)數(shù)的平均數(shù),為9.1+9.因?yàn)橹形粩?shù)為8.3+8.因?yàn)闃O差為10-7=3,所以C正確;沒(méi)去掉最高分和最低分,平均分x=7+7=8.5,去掉最高分和最低分,平均分y=7=8.5,所以D正確.10.如圖所示的電路中,A,B,C,D,E,5只箱子表示5個(gè)保險(xiǎn)匣.箱中所示數(shù)值表示通電時(shí)保險(xiǎn)絲被切斷的概率,下列結(jié)論正確的是()A.A,B所在線路暢通的概率為1B.A,B,C所在線路暢通的概率為5C.D,E所在線路暢通的概率為1D.當(dāng)開(kāi)關(guān)合上時(shí),整個(gè)電路暢通的概率為29【解析】選ABD.設(shè)A,B,C,D,E,5個(gè)保險(xiǎn)匣通電時(shí)保險(xiǎn)絲被切斷分別為事件A,B,C,D,E.由題意知,P(A)=12,P(B)=13,P(C)=14,P(D)=15,P(E)=16,所以A,B所在線路暢通的概率為1A,B,C所在線路暢通的概率為1-23×14=1-16D,E所在線路暢通的概率為1-15×16=1-130根據(jù)上述分析可知,當(dāng)開(kāi)關(guān)合上時(shí),整個(gè)電路暢通的概率為2930×56=2911.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,線段B1D1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E,F,且EF=12,則下列結(jié)論中正確的是(A.AC⊥AFB.EF∥平面ABCDC.三棱錐A-BEF的體積為定值D.△AEF的面積與△BEF的面積相等【解析】選BC.對(duì)于A,當(dāng)點(diǎn)F與B1重合時(shí),∠CAF=60°,AC⊥AF不成立,故A不正確;對(duì)于B,因?yàn)镋F∥BD,EF?平面ABCD,BD?平面ABCD,所以EF∥平面ABCD,故B正確;對(duì)于C,VA-BEF=13S△BEF×12AC=13×12×EF×BB1×12AC=112EF×BB1×AC=112對(duì)于D,設(shè)B1D1的中點(diǎn)是O,點(diǎn)A到直線EF的距離是AO,而點(diǎn)B到直線EF的距離是BB1,顯然AO>BB1,S△AEF=12EF·AO,S△BEF=12EF·BB1,所以△AEF的面積與△BEF的面積不相等,D不正確.三、填空題(每小題5分,共15分)12.如圖,某幾何體的平面展開(kāi)圖由4個(gè)小等邊三角形組合而成,B為CE的中點(diǎn),則在原幾何體中AB與CD所成角的余弦值為_(kāi)_______.

【解析】該正四面體的直觀圖如圖所示,取DE的中點(diǎn)F,連接BF,AF,則BF∥CD,BF=12CD,所以∠ABF為AB與CD所成的角(或其補(bǔ)角),設(shè)AC=2,則AB=3,BF=1,AF=3所以cos∠ABF=AB2+BF2-AF22答案:313.(2023·天津高考)甲、乙、丙三個(gè)盒子中裝有一定數(shù)量的黑球和白球,其總數(shù)之比為5∶4∶6.這三個(gè)盒子中黑球占總數(shù)的比例分別為40%,25%,50%.現(xiàn)從三個(gè)盒子中各取一個(gè)球,取到的三個(gè)球都是黑球的概率為_(kāi)_______;將三個(gè)盒子混合后任取一個(gè)球,是白球的概率為_(kāi)_______.

【解析】設(shè)盒子中共有球15n個(gè),則甲盒子中有黑球2n個(gè),白球3n個(gè),乙盒子中有黑球n個(gè),白球3n個(gè),丙盒子中有黑球3n個(gè),白球3n個(gè),從三個(gè)盒子中各取一個(gè)球,取到的三個(gè)球都是黑球的概率為2n5n×n4n將三個(gè)盒子混合后任取一個(gè)球,是白球的概率為9n15n答案:12014.在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,點(diǎn)D在線段AC上,若∠BDC=45°,則BD=______,cos∠ABD=________.

【解析】在△ABD中,由正弦定理得,ABsin∠ADB=BDsin∠BAC,而AB=4,∠ADB=135°,AC=AB2+BC2=5,sin∠BAC=BCAC=35,cos∠BAC=ABAC=45,所以BD=1225,cos∠答案:1225四、解答題(共77分)15.(13分)(2024·常德高一檢測(cè))在如圖所示的幾何體中,四邊形BCED為直角梯形,DE∥CB,BC⊥EC,∠AED=90°.(1)證明:平面ABC⊥平面ACE;(2)若P,Q分別是AE,CD的中點(diǎn),證明:PQ∥平面ABC.【證明】(1)在直角梯形BCED中,BC⊥EC,DE∥CB,則DE⊥EC.因?yàn)椤螦ED=90°,所以AE⊥DE.因?yàn)锳E∩EC=E,AE,EC?平面ACE,所以DE⊥平面ACE,所以BC⊥平面ACE.因?yàn)锽C?平面ABC,所以平面ABC⊥平面ACE;(2)取CE的中點(diǎn)O,連接OP,OQ.因?yàn)镺,P分別為CE,AE的中點(diǎn),所以O(shè)P∥AC,又OP?平面ABC,AC?平面ABC,所以O(shè)P∥平面ABC,同理OQ∥平面ABC.因?yàn)镺P∩OQ=O,所以平面OPQ∥平面ABC,又PQ?平面OPQ,所以PQ∥平面ABC.16.(15分)(2024·新高考Ⅱ卷)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知:sinA+3cosA=2.(1)求A;(2)若a=2,2bsinC=csin2B,求△ABC的周長(zhǎng).【解析】(1)212sinA+32cosA=2,sinA+π3=1,所以A+π3=π2,所以A=π(2)因?yàn)?sinBsinC=sinCsin2B,所以2=2cosB,所以cosB=22,所以B=π4,C=由asinA=bsinB=csinC得212=b22=c6△ABC的周長(zhǎng)為2+6+32.17.(15分)某集團(tuán)公司為了加強(qiáng)企業(yè)管理,樹(shù)立企業(yè)形象,考慮在公司內(nèi)部對(duì)遲到現(xiàn)象進(jìn)行處罰,現(xiàn)在員工中隨機(jī)抽取200人進(jìn)行調(diào)查,當(dāng)不處罰時(shí),有80人遲到,處罰時(shí),得到如表數(shù)據(jù):處罰金額x(單位:元)50100150200遲到的人數(shù)y5040200若用表中數(shù)據(jù)所得頻率代替概率.(1)當(dāng)處罰金額定為100元時(shí),員工遲到的概率會(huì)比不進(jìn)行處罰時(shí)降低多少?(2)將選取的200人中會(huì)遲到的員工分為A,B兩類:A類員工在罰金不超過(guò)100元時(shí)就會(huì)改正行為,B類是其他員工.現(xiàn)對(duì)A類與B類員工按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取4人依次進(jìn)行深度問(wèn)卷,則前兩位均為B類員工的概率是多少?【解析】(1)當(dāng)處罰金額定為100元時(shí),設(shè)“某員工遲到”為事件A,則P(A)=40200=15,不處罰時(shí),某員工遲到的概率為80200所以當(dāng)處罰金額定為100元時(shí),員工遲到的概率會(huì)比不進(jìn)行處罰時(shí)降低15(2)由題意知,A類員工和B類員工各有40人,分別從A類員工和B類員工中各抽出兩人,設(shè)從A類員工中抽出的兩人分別為A1,A2,從B類員工中抽出的兩人分別為B1,B2,設(shè)“從A類與B類員工按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取4人依次進(jìn)行深度問(wèn)卷”為事件M,則事件M中首先抽出A1的樣本點(diǎn)有(A1,A2,B1,B2),(A1,A2,B2,B1),(A1,B1,A2,B2),(A1,B1,B2,A2),(A1,B2,A2,B1),(A1,B2,B1,A2),共6個(gè),同理,首先抽出A2,B1,B2的樣本點(diǎn)也各有6個(gè),故事件M共有4×6=24(個(gè))樣本點(diǎn),且這些樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性是相等的.設(shè)“抽取4人中前兩位均為B類員工”為事件N,則事件N有(B1,B2,A1,A2),(B1,B2,A2,A1),(B2,B1,A1,A2),(B2,B1,A2,A1),共4個(gè)樣本點(diǎn),所以P(N)=424=1所以抽取的4人中前兩位均為B類員工的概率是1618.(17分)(2024·長(zhǎng)春高一檢測(cè))如圖,邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中,E,F分別為AB,BC的中點(diǎn).將△AED,△BEF,△DCF分別沿DE,EF,DF折起,使A,B,C三點(diǎn)重合于點(diǎn)P.(1)求證:PD⊥EF;(2)求三棱錐P-EFD的體積;(3)求二面角P-EF-D的余弦值.【解析】(1)因?yàn)樵谡叫蜛BCD中,AD⊥AE,CD⊥CF,折疊后即有PD⊥PE,PD⊥PF,又PE∩PF=P,PE,PF?平面PEF,所以PD⊥平面PEF,而EF?平面PEF,故PD⊥EF;(2)由題意知PE=PF=2,PE⊥PF,故S△PEF=12PE·PF故VP-EFD=13S△PEF·PD=13×2×4=(3)取線段EF的中點(diǎn)G,連接PG,DG,因?yàn)镻E=PF,DE=DF,所以PG⊥EF,DG⊥EF,PG?平面PEF,DG?平面DEF,所以∠PGD即為二面角P-EF-D的平面角,又由(1)得PD⊥平面PEF,PG?平面PEF,故PD⊥PG,而EF=22,PG=12EF=2DG=PD2+PG故cos∠PGD=PGDG=232即二面角P-EF-D的余弦值為1319.(17分)某高校舉辦了以“魅力校園、花香溢校園”為主題的校園插花比賽.比賽按照百分制的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行評(píng)分,評(píng)委由10名專業(yè)教師、10名非專業(yè)教師以及20名學(xué)生會(huì)代表組成,各參賽小組的最后得分為評(píng)委所打分?jǐn)?shù)的平均分.比賽結(jié)束后,得到甲組插花作品所得分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖和乙組插花作品所得分?jǐn)?shù)的頻數(shù)分布表,如圖所示,分?jǐn)?shù)區(qū)間頻數(shù)[72,76)1[76,80)5[80,84)12[84,88)14[88,92)4[92,96)3[96,100]1乙組定義評(píng)委對(duì)插花作品的“觀賞值”如表所示,分?jǐn)?shù)區(qū)間[72,84)[84,92)[92,100]觀賞值123(1)估計(jì)甲組插花作品所得分?jǐn)?shù)的中位數(shù)(結(jié)果精確到0.01);(2)從40位評(píng)委中隨機(jī)抽取1人進(jìn)行調(diào)查,試估計(jì)其對(duì)乙組插花作品的“觀賞值”比對(duì)甲組插花作品的“觀賞值”高的概率;(3)若該校擬從甲、乙兩組插花作品中選出一個(gè)用于展覽,從這兩組插花作品的最后得分來(lái)看該校會(huì)選哪一組?請(qǐng)說(shuō)明理由(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表).【解析】(1)設(shè)甲組插花作品所得分?jǐn)?shù)的中位數(shù)為x,由頻率分布直方圖可得甲組得分在前三個(gè)分?jǐn)?shù)區(qū)間的頻率之和為0.3,在前四個(gè)分?jǐn)?shù)區(qū)間的頻率之和為0.74,故x在[84,88)內(nèi),且x-8488解得x=94411≈85.(2)設(shè)事件C為“對(duì)乙組插花作品的‘觀賞值’比對(duì)甲組插花作品的‘觀