試題PAGE1試題2024-2025學(xué)年第二學(xué)期九年級開學(xué)測試數(shù)學(xué)學(xué)科試卷考試時間：90分鐘試卷滿分：100分一．選擇題（每題3分，共計24分）1.博物館是展示歷史、文化和藝術(shù)的重要場所，其標(biāo)志設(shè)計往往蘊含著豐富的文化內(nèi)涵和美學(xué)價值．下列博物館標(biāo)志中，是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.2.若關(guān)于一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則實數(shù)的值為（）A. B. C. D.93.下列計算正確的是（）A. B. C. D.4.行道樹是指種在道路兩旁及分車帶，給車輛和行人遮蔭并構(gòu)成街景的樹種．國槐是我市常見的行道樹品種．下圖是一批國槐樹苗移植成活頻率的統(tǒng)計圖，由此可估計這種樹苗移植成活的概率約為（）A.0.95 B.0.90 C.0.85 D.0.805.小穎同學(xué)是校園藝術(shù)節(jié)的主持人，學(xué)完黃金分割后她想，主持節(jié)目時如果站在舞臺長的黃金分割點的位置，會讓臺下的同學(xué)們看起來效果更好，于是她將舞臺的長看作線段，量得米，若點是線段的黃金分割點，則線段的長為（）A. B. C. D.6.如圖，在中，點，分別在，上．下列條件中，不能得出四邊形一定為平行四邊形的是（）A B. C. D.7.2024年山西省新的中考政策，初中二年級生物學(xué)科也成為中考的必考科目之一，其中包含生物實驗操作．為了加強生物實驗教學(xué)，提高學(xué)生動手操作能力，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)，新學(xué)期開始，某學(xué)校購進(jìn)了單目顯微鏡和雙目顯微鏡共30臺，已知購買單目顯微鏡用了7560元，購買雙目顯微鏡用了4860元，且這批雙目顯微鏡的單價是單目顯微鏡單價的1.5倍，求這批單目、雙目顯微鏡各購進(jìn)多少臺？若設(shè)購進(jìn)單目顯微鏡y臺，則下列選項中所列方程正確的是（）A. B.C. D.8.《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問題）成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實現(xiàn)證明，也稱之為無字證明．現(xiàn)有如圖所示圖形，點有半圓上，點在直徑上，且，設(shè)，，則該圖形可以完成的無字證明為（）A. B.C. D.二、填空題（每題3分，共計15分）9.因式分解：a3－a=______．10.不等式組解集為______．11.如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC的中點．若BC＝12，則DE的長為______．12.如圖是某款“不倒翁”的示意圖，，分別與所在圓相切于點A，B．若該圓半徑是，，則的長是_____．13.已知拋物線與x軸交于A，B兩點，拋物線與x軸交于C，D兩點，其中n＞0，若AD＝2BC，則n的值為______．三．解答題（7+7+8+12+8+9+10=61分）14.在數(shù)學(xué)活動課上，老師出了一道一元二次方程的試題：“”讓同學(xué)們解答，甲、乙兩位同學(xué)的做法如圖所示．甲同學(xué)解：原方程可化為即，當(dāng)時，解得，當(dāng)時，解得，∴，．乙同學(xué)解：原方程可化為，，，∴，∴，．（1）小組在交流過程中發(fā)現(xiàn)有一位同學(xué)做錯了，則做錯的是_______同學(xué)（填“甲”或“乙”）；根據(jù)該同學(xué)使用的方法寫出正確的解答過程；（2）利用公式法解此方程．15.某地政府為了旅游宣傳，決定從甲、乙兩家民宿中推選一家為“最美民宿”進(jìn)行線上推廣．現(xiàn)從兩家的顧客中各隨機抽取20名，進(jìn)行滿意度調(diào)查打分（滿分10分，只打整數(shù)分），并對分?jǐn)?shù)整理、描述和分析，下面給出了部分信息．（?。┘酌袼?0名顧客的滿意度分?jǐn)?shù)為：10，5，8，7，10，8，9，8，10，7，9，7，9，7，6，8，9，6，5，9（ⅱ）甲、乙兩家民宿的滿意度分?jǐn)?shù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、9分及9分以上人數(shù)所占百分比如下表所示：民宿平均分眾數(shù)中位數(shù)9分及9分以上人數(shù)甲7.85a8乙7.758bc（ⅲ）乙民宿20名顧客的滿意度分?jǐn)?shù)條形統(tǒng)計圖如圖：?根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）直接寫出上述表中的a，b，c的值；（2）五一假期期間，共有100人入住甲民宿，80人入住乙民宿，估計入住兩家民宿的顧客能打9分及9分以上的人數(shù)共有多少人？（3）根據(jù)以上信息，你會選擇哪一家為“最美民宿”？請說明理由．（寫出兩條理由即可）16.小明對筆記本電腦使用角度與高度的舒適性進(jìn)行了思考與研究．已知筆記本電腦屏幕寬．筆記本電腦厚度忽略不計．（參考數(shù)據(jù)：，）（1）如圖1，小明將筆記本電腦放在水平桌面上，將電腦屏幕打開使，求此時電腦屏幕上點與桌面距離．圖1（2）為改善坐姿守護(hù)健康，小明購買了如圖2所示的電腦支架，該支架可通過調(diào)節(jié)支撐桿位置來調(diào)整高度．若小明在使用電腦支架時，電腦屏幕始終垂直于桌面，求電腦屏幕打開使分別為與時，點距離桌面的高度差．圖217.5月中旬，櫻桃相繼成熟，果農(nóng)們迎來了繁忙的采摘銷售季．為了解櫻桃的收益情況，從第1天銷售開始，小明對自己家的兩處櫻桃園連續(xù)15天的銷售情況進(jìn)行了統(tǒng)計與分析：A櫻桃園：第x天的單價、銷售量與x的關(guān)系如表：

單價（元/盒）銷售量（盒）第1天5020第2天4830第3天4640第4天4450………第x天______第x天的單價與x近似地滿足一次函數(shù)關(guān)系，已知每天的固定成本為745元．B櫻桃園：第x天的利潤（元）與x的關(guān)系可以近似地用二次函數(shù)刻畫，其圖象如圖：（1）A櫻桃園第x天的單價是______元/盒（用含x的代數(shù)式表示）；（2）求A櫻桃園第x天的利潤（元）與x的函數(shù)關(guān)系式；（利潤＝單價×銷售量﹣固定成本）（3）①與x的函數(shù)關(guān)系式是_____；②求第幾天兩櫻桃園的利潤之和為4000元；③求第幾天兩處櫻桃園的利潤之和（即）最大，最大是多少元？18.如圖，BC是的直徑，A為上一點，連接AB、AC，于點D，E是直徑CB延長線上一點，且AB平分．（1）求證：AE是切線；（2）若，，求EA．19.閱讀與思考下面是博學(xué)小組研究性學(xué)習(xí)報告的部分內(nèi)容，請認(rèn)真閱讀，并完成相應(yīng)任務(wù)．關(guān)于“等邊半正多邊形”的研究報告博學(xué)小組研究對象：等邊半正多邊形研究思路：類比三角形、四邊形，按“概念﹣性質(zhì)﹣判定”的路徑，由一般到特殊進(jìn)行研究．研究方法：觀察（測量、實驗）﹣猜想﹣推理證明研究內(nèi)容：【一般概念】對于一個凸多邊形（邊數(shù)為偶數(shù)），若其各邊都相等，且相間的角相等、相鄰的角不相等，我們稱這個凸多邊形為等邊半正多邊形．如圖1，我們學(xué)習(xí)過的菱形（正方形除外）就是等邊半正四邊形，類似地，還有等邊半正六邊形、等邊半正八邊形…【特例研究】根據(jù)等邊半正多邊形的定義，對等邊半正六邊形研究如下：概念理解：如圖2，如果六邊形是等邊半正六邊形，那么，，，且．性質(zhì)探索：根據(jù)定義，探索等邊半正六邊形的性質(zhì)，得到如下結(jié)論：內(nèi)角：等邊半正六邊形相鄰兩個內(nèi)角的和為▲°．對角線：…任務(wù)：（1）直接寫出研究報告中“▲”處空缺的內(nèi)容：．（2）如圖3，六邊形是等邊半正六邊形．連接對角線，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）如圖4，已知是正三角形，是它的外接圓．請在圖4中作一個等邊半正六邊形（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）．20.綜合與實踐綜合與實踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動．（1）操作判斷操作一：對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平；操作二：在AD上選一點P，沿BP折疊，使點A落在矩形內(nèi)部點M處，把紙片展平，連接PM，BM．根據(jù)以上操作，當(dāng)點M在EF上時，寫出圖1中一個30°的角：______．（2）遷移探究小華將矩形紙片換成正方形紙片，繼續(xù)探究，過程如下：將正方形紙片ABCD按照（1）中的方式操作，并延長PM交CD于點Q，連接BQ．①如圖2，當(dāng)點M在EF上時，∠MBQ＝______°，∠CBQ＝______°；②改變點P在AD上的位置（點P不與點A，D重合），如圖3，判斷∠MBQ與∠CBQ的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）拓展應(yīng)用在（2）的探究中，已知正方形紙片ABCD的邊長為8cm，當(dāng)FQ＝1cm時，直接寫出AP的長．2024-2025學(xué)年第二學(xué)期九年級開學(xué)測試數(shù)學(xué)學(xué)科試卷考試時間：90分鐘試卷滿分：100分一．選擇題（每題3分，共計24分）1.博物館是展示歷史、文化和藝術(shù)的重要場所，其標(biāo)志設(shè)計往往蘊含著豐富的文化內(nèi)涵和美學(xué)價值．下列博物館標(biāo)志中，是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了中心對稱圖形的概念，一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形．根據(jù)中心對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解．【詳解】解：選項A、B、C不能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)后與原圖重合，所以不是中心對稱圖形；選項D能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)后與原圖重合，所以是中心對稱圖形；故選：D．2.若關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則實數(shù)的值為（）A. B. C. D.9【答案】C【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程有兩個相等實數(shù)根，可得，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：∵關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，∴．解得：．故選：C．【點睛】本題考查了一元二次方程(為常數(shù))的根的判別式，理解根的判別式對應(yīng)的根的三種情況是解題的關(guān)鍵．當(dāng)時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)時，方程沒有實數(shù)根．3.下列計算正確的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)冪的乘方法、同底數(shù)冪的除法法則、同底數(shù)冪的乘法以及合并同類項逐項判斷即可．【詳解】解：A．，故A選項計算正確，符合題意；B．，故B選項計算錯誤，不合題意；C．，故C選項計算錯誤，不合題意；D．與不是同類項，所以不能合并，故D選項計算錯誤，不合題意．故選：A．【點睛】本題主要考查同底數(shù)冪的乘除運算、冪的乘方運算以及整式的加減運算等知識點，同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加；同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減；冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘．4.行道樹是指種在道路兩旁及分車帶，給車輛和行人遮蔭并構(gòu)成街景的樹種．國槐是我市常見的行道樹品種．下圖是一批國槐樹苗移植成活頻率的統(tǒng)計圖，由此可估計這種樹苗移植成活的概率約為（）A.0.95 B.0.90 C.0.85 D.0.80【答案】B【解析】【分析】本題考查了利用頻率估計概率，由于樹苗數(shù)量巨大，故其成活的概率與頻率可認(rèn)為近似相等，用到的知識點為：總體數(shù)目=部分?jǐn)?shù)目相應(yīng)頻率，部分的具體數(shù)目=總體數(shù)目相應(yīng)頻率；由圖可知，成活概率在0.9上下波動，故可估計這種樹苗成活的頻率穩(wěn)定在0.9，成活的概率估計值為0.9；【詳解】這種樹苗成活的頻率穩(wěn)定在0.9，成活的概率估計值約是0.90．故選：B．5.小穎同學(xué)是校園藝術(shù)節(jié)的主持人，學(xué)完黃金分割后她想，主持節(jié)目時如果站在舞臺長的黃金分割點的位置，會讓臺下的同學(xué)們看起來效果更好，于是她將舞臺的長看作線段，量得米，若點是線段的黃金分割點，則線段的長為（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查黃金分割定理，解題關(guān)鍵是理解黃金分割的概念，熟悉黃金比的值．把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項，這樣的線段分割叫做黃金分割，它們的比值（）叫做黃金比，由此進(jìn)行求解即可．【詳解】解：線段，點是黃金分割點，，．故選．6.如圖，在中，點，分別在，上．下列條件中，不能得出四邊形一定為平行四邊形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的判定方法逐項判斷即可．【詳解】A、∵四邊形為平行四邊形，∴，即．又，∴四邊形為平行四邊形．（一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形）該選項不符合題意．B、無法證明四邊形平行四邊形，該選項符合題意．C、∵四邊形為平行四邊形，∴，即．又，∴四邊形為平行四邊形．（兩組對邊分別平行的四邊形為平行四邊形）該選項不符合題意．D、∵四邊形為平行四邊形，∴，．又，，，∴．∵，，∴．∴四邊形為平行四邊形．（兩組對角分別相等的四邊形為平行四邊形）該選項不符合題意．故選：B．【點睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)和判定，牢記平行四邊形的判定方法是解題的關(guān)鍵．7.2024年山西省新的中考政策，初中二年級生物學(xué)科也成為中考的必考科目之一，其中包含生物實驗操作．為了加強生物實驗教學(xué)，提高學(xué)生動手操作能力，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)，新學(xué)期開始，某學(xué)校購進(jìn)了單目顯微鏡和雙目顯微鏡共30臺，已知購買單目顯微鏡用了7560元，購買雙目顯微鏡用了4860元，且這批雙目顯微鏡的單價是單目顯微鏡單價的1.5倍，求這批單目、雙目顯微鏡各購進(jìn)多少臺？若設(shè)購進(jìn)單目顯微鏡y臺，則下列選項中所列方程正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查分式方程的實際應(yīng)用，根據(jù)學(xué)校購進(jìn)了單目顯微鏡和雙目顯微鏡共30臺，以及雙目顯微鏡的單價是單目顯微鏡單價的1.5倍，列出方程即可．【詳解】解：設(shè)購進(jìn)單目顯微鏡y臺，則購進(jìn)雙目顯微鏡臺，由題意，得：；故選B．8.《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問題）成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實現(xiàn)證明，也稱之為無字證明．現(xiàn)有如圖所示圖形，點有半圓上，點在直徑上，且，設(shè)，，則該圖形可以完成的無字證明為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了圓的基本性質(zhì)以及勾股定理，熟練掌握基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵．先求出半徑，再利用勾股定理求出的長度，再根據(jù)，代入式子即可得到答案．【詳解】解：設(shè)，，可得圓的半徑，∴，在直角三角形中，，∵，∴，故選：D．二、填空題（每題3分，共計15分）9.因式分解：a3－a=______．【答案】a（a－1）（a+1）【解析】【分析】先提取公因式a，再對余下的多項式利用平方差公式繼續(xù)分解．【詳解】解：a3-a=a（a2-1）=a（a+1）（a-1）故答案為：a（a－1）（a+1）．【點睛】本題考查了提公因式法和公式法，熟練掌握公式是解題的關(guān)鍵．10.不等式組的解集為______．【答案】【解析】【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．【詳解】解：解不等式①得：解不等式②得：∴不等式組的解集為：故答案為：【點睛】本題考查了解一元一次不等式組，正確掌握一元一次不等式解集確定方法是解題的關(guān)鍵．11.如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC的中點．若BC＝12，則DE的長為______．【答案】6【解析】【分析】利用中位線的性質(zhì)計算即可．【詳解】∵D，E分別是AB，AC的中點，∴DE是△ABC的中位線，又BC=12，∴，故答案為：6．【點睛】本題考查了三角形中位線的性質(zhì)，中位線平行且等于第三邊的一半，熟記中位線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12.如圖是某款“不倒翁”的示意圖，，分別與所在圓相切于點A，B．若該圓半徑是，，則的長是_____．【答案】【解析】【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，求弧長，牢記弧長公式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意，先找到圓心，然后根據(jù)，分別與所在圓相切于點，．可以得到的度數(shù)，然后即可得到優(yōu)弧對應(yīng)的圓心角，再根據(jù)弧長公式計算即可．【詳解】解：設(shè)圓心為，連接，，如圖，

∵，分別與所在圓相切于點，．∴，∵，∴，∴優(yōu)弧對應(yīng)的圓心角為，∴優(yōu)弧的長是：，故答案為：．13.已知拋物線與x軸交于A，B兩點，拋物線與x軸交于C，D兩點，其中n＞0，若AD＝2BC，則n的值為______．【答案】8【解析】【分析】先求出拋物線與x軸的交點，拋物線與x軸的交點，然后根據(jù)，得出，列出關(guān)于n的方程，解方程即可。【詳解】解：把y=0代入得：，解得：，，把y=0代入得：，解得：，，∵，∴，∴，即，，令，則，解得：，，當(dāng)時，，解得：，∵，∴不符合題意舍去；當(dāng)時，，解得：，∵，∴符合題意；綜上分析可知，n的值為8．【點睛】本題主要考查了拋物線與x軸的交點問題，根據(jù)題意用n表示出，列出關(guān)于n的方程是解題的關(guān)鍵．三．解答題（7+7+8+12+8+9+10=61分）14.在數(shù)學(xué)活動課上，老師出了一道一元二次方程的試題：“”讓同學(xué)們解答，甲、乙兩位同學(xué)的做法如圖所示．甲同學(xué)解：原方程可化為即，當(dāng)時，解得，當(dāng)時，解得，∴，．乙同學(xué)解：原方程可化為，，，∴，∴，．（1）小組在交流過程中發(fā)現(xiàn)有一位同學(xué)做錯了，則做錯的是_______同學(xué)（填“甲”或“乙”）；根據(jù)該同學(xué)使用的方法寫出正確的解答過程；（2）利用公式法解此方程．【答案】（1）乙，過程見解析（2）見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)因式分解法對甲同學(xué)的解法進(jìn)行判斷；根據(jù)配方法對乙同學(xué)的解法進(jìn)行判斷．（2）利用公式法的步驟求解即可．【小問1詳解】解：乙同學(xué)的做法錯誤．正確的過程為：解：原方程可化為，，，∴，∴，．【小問2詳解】，整理得：，則，，，則，則，解得：，．【點睛】本題考查了解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握因式分解法，配方法和公式法．15.某地政府為了旅游宣傳，決定從甲、乙兩家民宿中推選一家為“最美民宿”進(jìn)行線上推廣．現(xiàn)從兩家的顧客中各隨機抽取20名，進(jìn)行滿意度調(diào)查打分（滿分10分，只打整數(shù)分），并對分?jǐn)?shù)整理、描述和分析，下面給出了部分信息．（?。┘酌袼?0名顧客的滿意度分?jǐn)?shù)為：10，5，8，7，10，8，9，8，10，7，9，7，9，7，6，8，9，6，5，9（ⅱ）甲、乙兩家民宿的滿意度分?jǐn)?shù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、9分及9分以上人數(shù)所占百分比如下表所示：民宿平均分眾數(shù)中位數(shù)9分及9分以上人數(shù)甲7.85a8乙7.758bc（ⅲ）乙民宿20名顧客的滿意度分?jǐn)?shù)條形統(tǒng)計圖如圖：?根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）直接寫出上述表中的a，b，c的值；（2）五一假期期間，共有100人入住甲民宿，80人入住乙民宿，估計入住兩家民宿的顧客能打9分及9分以上的人數(shù)共有多少人？（3）根據(jù)以上信息，你會選擇哪一家為“最美民宿”？請說明理由．（寫出兩條理由即可）【答案】（1），，（2）64人（3）甲民宿，理由：甲民宿顧客滿意度分?jǐn)?shù)的平均數(shù)、中位數(shù)都比乙民宿顧客滿意度分?jǐn)?shù)的平均數(shù)、中位數(shù)要大，因此選擇甲民宿【解析】【分析】本題考查條形統(tǒng)計圖，平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)以及樣本估計總體，理解平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的定義，掌握平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的計算方法是解決問題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)中位數(shù)、眾數(shù)的定義進(jìn)行計算即可；（2）分別求出樣本中，入住甲民宿、乙民宿的顧客打9分及9分以上的人數(shù)所占的百分比，估計總體中入住甲民宿、乙民宿的顧客打9分及9分以上的人數(shù)所占的百分比，由頻率，進(jìn)行計算即可；（3）根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)的大小比較得出答案．【小問1詳解】解：將樣本中，甲民宿顧客滿意度分?jǐn)?shù)出現(xiàn)次數(shù)最多的是9分，共出現(xiàn)5次，因此甲民宿顧客滿意度分?jǐn)?shù)的眾數(shù)是9分，即，將樣本中20名顧客對乙民宿滿意度分?jǐn)?shù)從小到大排列后，處在中間位置的兩個數(shù)的平均數(shù)為，因此中位數(shù)是8分，即，乙民宿顧客滿意度分?jǐn)?shù)在9分及9分以上人數(shù)所占百分比為，即，答：，，；【小問2詳解】（人），答：入住兩家民宿的顧客能打9分及9分以上的人數(shù)大約有64人；【小問3詳解】甲民宿，理由：甲民宿顧客滿意度分?jǐn)?shù)的平均數(shù)、中位數(shù)都比乙民宿顧客滿意度分?jǐn)?shù)的平均數(shù)、中位數(shù)要大，因此選擇甲民宿．16.小明對筆記本電腦使用角度與高度的舒適性進(jìn)行了思考與研究．已知筆記本電腦屏幕寬．筆記本電腦厚度忽略不計．（參考數(shù)據(jù)：，）（1）如圖1，小明將筆記本電腦放在水平桌面上，將電腦屏幕打開使，求此時電腦屏幕上點與桌面的距離．圖1（2）為改善坐姿守護(hù)健康，小明購買了如圖2所示的電腦支架，該支架可通過調(diào)節(jié)支撐桿位置來調(diào)整高度．若小明在使用電腦支架時，電腦屏幕始終垂直于桌面，求電腦屏幕打開使分別為與時，點距離桌面的高度差．圖2【答案】（1）此時電腦屏幕上點與桌面的距離約為（2）點距離桌面的高度差約為【解析】【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．（1）過點作，垂足為，先利用平角定義可得，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計算，即可解答；（2）延長交于點，根據(jù)題意可得：，從而可得，然后分別求出當(dāng)時，當(dāng)時，的長，從而進(jìn)行計算即可解答．【小問1詳解】解：過點作，垂足為，圖1．，在中，，，此時電腦屏幕上點與桌面距離約為；【小問2詳解】延長交于點，由題意得：，，當(dāng)時，，在中，，，當(dāng)時，，在中，，圖2，點距離桌面的高度差，點距離桌面的高度差約為．17.5月中旬，櫻桃相繼成熟，果農(nóng)們迎來了繁忙的采摘銷售季．為了解櫻桃的收益情況，從第1天銷售開始，小明對自己家的兩處櫻桃園連續(xù)15天的銷售情況進(jìn)行了統(tǒng)計與分析：A櫻桃園：第x天的單價、銷售量與x的關(guān)系如表：

單價（元/盒）銷售量（盒）第1天5020第2天4830第3天4640第4天4450………第x天______第x天的單價與x近似地滿足一次函數(shù)關(guān)系，已知每天的固定成本為745元．B櫻桃園：第x天的利潤（元）與x的關(guān)系可以近似地用二次函數(shù)刻畫，其圖象如圖：（1）A櫻桃園第x天的單價是______元/盒（用含x的代數(shù)式表示）；（2）求A櫻桃園第x天的利潤（元）與x的函數(shù)關(guān)系式；（利潤＝單價×銷售量﹣固定成本）（3）①與x的函數(shù)關(guān)系式是_____；②求第幾天兩櫻桃園的利潤之和為4000元；③求第幾天兩處櫻桃園的利潤之和（即）最大，最大是多少元？【答案】（1）（2）（3）①②第6天或第10天兩櫻桃園的利潤之和為4000元③第10天兩處的櫻桃園的利潤之和最大，最大是4800元【解析】【分析】本題綜合考查了一次函數(shù)的應(yīng)用、二次函數(shù)的應(yīng)用、不等式等相關(guān)的知識點，實際問題中運用函數(shù)關(guān)系正確表示利潤是解答的關(guān)鍵．（1）設(shè)第x天的單價m元與x滿足的一次函數(shù)關(guān)系式為：，由題中表格可知：當(dāng)時，；當(dāng)時，；解方程組即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)題意得到，于是得到A櫻桃園第x天的利潤（元）與x的函數(shù)關(guān)系式為；（3）①由圖象可知：二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點、，解方程組得到；②根據(jù)題意方程，列方程即可得到結(jié)論；③根據(jù)題意得到，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【小問1詳解】設(shè)第x天的單價m元與x滿足的一次函數(shù)關(guān)系式為：，由題中表格可知：當(dāng)時，；當(dāng)時，；∴，解得，∴，故答案為：；【小問2詳解】根據(jù)題意可得：，化簡整理得：，∴A櫻桃園第x天的利潤y1（元）與x的函數(shù)關(guān)系式為；【小問3詳解】①由圖象可知：二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點、，∴，解得，∴，故答案為：；②根據(jù)題意得，解得，，答：第6天或第10天兩櫻桃園的利潤之和為4000元；③，∵，∴當(dāng)時，有最大值4800，∴第10天兩處的櫻桃園的利潤之和最大，最大是4800元；18.如圖，BC是的直徑，A為上一點，連接AB、AC，于點D，E是直徑CB延長線上一點，且AB平分．（1）求證：AE是的切線；（2）若，，求EA．【答案】（1）見解析；（2）2【解析】【分析】（1）連接OA，根據(jù)角平分線定義和直角三角形兩個銳角互余即可證明從而可得結(jié)論；（2）根據(jù)直徑所對圓周角是直角可以證明∠C=∠BAD，所以tan∠C=tan∠BAD，再證明△ABE∽△CAE，可得，進(jìn)而可得結(jié)果．【詳解】證明：（1）連接∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴∠ABD+∠BAD=90°，∵AB平分∠EAD，∴∠BAD=∠BAE，∴∠ABD+∠BAE=90°，∵OA=OB，∴∠ABD=∠OAB，∴∠OAB+∠BAE=90°，∴∠OAE=90°，∴OA⊥AE，而OA是半徑，∴AE是⊙O的切線；（2）解：∵BC是⊙O的直徑，∴∠BAC=90°，∴∠C+∠ABC=90°，∵∠ABC+∠BAD=90°，∴∠C=∠BAD，∴tan∠C=tan∠BAD，∵AD=2BD，∴，為的切線，為的直徑，而∵∠E=∠E，∴△ABE∽△CAE，∴∵EC=4，∴AE=2．【點睛】本題考查的是切線的判定定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用等知識，掌握切線的判定定理、相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．19.閱讀與思考下面是博學(xué)小組研究性學(xué)習(xí)報告的部分內(nèi)容，請認(rèn)真閱讀，并完成相應(yīng)任務(wù)．關(guān)于“等邊半正多邊形”的研究報告博學(xué)小組研究對象：等邊半正多邊形研究思路：類比三角形、四邊形，按“概念﹣性質(zhì)﹣判定”的路徑，由一般到特殊進(jìn)行研究．研究方法：觀察（測量、實驗）﹣猜想﹣推理證明研究內(nèi)容：【一般概念】對于一個凸多邊形（邊數(shù)為偶數(shù)），若其各邊都相等，且相間的角相等、相鄰的角不相等，我們稱這個凸多邊形為等邊半正多邊形．如圖1，我們學(xué)習(xí)過的菱形（正方形除外）就是等邊半正四邊形，類似地，還有等邊半正六邊形、等邊半正八邊形…【特例研究】根據(jù)等邊半正多邊形的定義，對等邊半正六邊形研究如下：概念理解：如圖2，如果六邊形是等邊半正六邊形，那么，，，且．性質(zhì)探索：根據(jù)定義，探索等邊半正六邊形的性質(zhì)，得到如下結(jié)論：內(nèi)角：等邊半正六邊形相鄰兩個內(nèi)角的和為▲°．對角線：…任務(wù)：（1）直接寫出研究報告中“▲”處空缺的內(nèi)容：．（2）如圖3，六邊形是等邊半正六邊形．連接對角線，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）如圖4，