試題PAGE1試題試卷第=page88頁，共=sectionpages88頁廣東深圳市2025年中考數(shù)學基礎強化卷（考試時間90分鐘，滿分100分）注意事項：1．答題前，請將姓名、準考證號和學校用黑色字跡的鋼筆或簽字筆填寫在答題卡定的位置上，并將條形碼粘貼好．2．作答選擇題1-8，選出每題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目答案標號的信息點框涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案．作答非選擇題9—20，用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將答案（含作輔助線）寫在答題卡指定區(qū)域內．寫在本試卷或草稿紙上，其答案一律無效．3．考試結束后，請將答題卡交回．第一部分選擇題一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分，每小題有四個選項，其中只有一個是正確的）1．《國家寶藏》節(jié)目立足于中華文化寶庫資源，通過對文物的梳理與總結，演繹文物背后的故事與歷史，讓更多的觀眾走進博物館，讓一個個館藏文物鮮活起來．下面四幅圖是我國一些博物館的標志，其中是中心對稱圖形的是（

）A． B． C． D．2．實數(shù)在數(shù)軸上對應的點如圖所示，下列各數(shù)中比實數(shù)小的是（

）

A． B． C． D．3．下列計算正確的是（）A． B．C． D．4．如圖，小明隨意向水平放置的大正方形內部區(qū)域拋一個小豆子，則小豆子落在小正方形內部及邊界（陰影）區(qū)域的概率為（

）A． B． C． D．5．如圖，a，b是兩條平行線，三角板的直角頂點在直線b上，已知，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．與三角板形狀有關6．如圖，，若，則長為（

）A． B． C． D．7．《九章算術》中有這樣一個題：今有甲乙二人持錢不知其數(shù)．甲得乙半而錢五十，乙得甲太半而錢亦五十．問甲、乙持錢各幾何？其意思為：今有甲乙二人，不如其錢包里有多少錢，若乙把其一半的錢給甲，則甲的數(shù)為50；而甲把其的錢給乙．則乙的錢數(shù)也為50，問甲、乙各有多少錢？設甲的錢數(shù)為x，乙的錢數(shù)為y，則可建立方程組為（

）A． B． C． D．8．圖1是某住宅單元樓的人臉識別系統(tǒng)（整個頭部需在攝像頭視角范圍內才能被識別），圖2為其示意圖，攝像頭A的仰角、俯角均為，高度為．人筆直站在離攝像頭水平距離的點B處，若此人要能被攝像頭識別，其身高不能超過（

）（參考數(shù)據(jù)：）A． B． C． D．第二部分非選擇題二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）9．若關于x的一元二次方程有實數(shù)根，則a的取值范圍是．10．若單項式與是同類項，則的值是．11．如圖，圓錐的底面半徑為1cm，母線AB的長為3cm，則這個圓錐側面展開圖扇形的圓心角為度．12．如圖，點A是反比例函數(shù)的圖象上的一點，過點A作軸，垂足為B，點C為y軸上的一點，連接，．若的面積為6，則k的值是．13．如圖，在矩形中，E，F(xiàn)分別是邊上的動點，P是線段的中點，，G，H為垂足，連接．若，則的最小值是．三、解答題（本題共7小題，其中第14題5分，第15題7分，第16題8分，第17題8分，第18題9分，第19題12分，第20題12分，共61分）14．(5分)計算：．15．(7分)先化簡，再求值：，其中．16．(8分)四月是全國安全月，某校以“安全伴我行”為主題開展了一系列活動，并在活動后期對七、八年級學生進行了安全知識測試，測試結果顯示所有學生成績都不低于75分（滿分100分），【收集數(shù)據(jù)】隨機從七，八年級各抽取40名學生的測試成績，進行整理和分析（成績得分都是整數(shù)）．【整理數(shù)據(jù)】將抽取的兩個年級的成績進行整理（用x表示成績，分成五組：A．，B．，C．，D．，E．）．①八年級學生成績在D組的具體數(shù)據(jù)是：91，93，93，93，94，94，94，94．②將八年級的樣本數(shù)據(jù)整理并繪制成不完整的頻數(shù)分布直方圖（如圖）：【分析數(shù)據(jù)】兩個年級樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差如下表：年級平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差七年級929210057.4八年92.6m10049.2根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)本次抽取八年級學生的樣本容量是______；(2)本次抽取八年級學生成績的中位數(shù)______；(3)分析兩個年級樣本數(shù)據(jù)的對比表，你認為______年級的學生測試成績較整齊（填“七”或“八”）；(4)若八年級有200名學生參加了此次測試，估計此次參加測試的學生中，該年級成績不低于95分的學生有______人．17．(8分)我市某中學計劃舉行以“奮斗百年路，啟航新征程”為主題的知識競賽，并對獲獎的同學給予獎勵．現(xiàn)要購買甲、乙兩種獎品，已知1件甲種獎品和2件乙種獎品共需40元，2件甲種獎品和3件乙種獎品共需70元．（1）求甲、乙兩種獎品的單價；（2）根據(jù)頒獎計劃，該中學需甲、乙兩種獎品共60件，且甲種獎品的數(shù)量不少于乙種獎品數(shù)量的，應如何購買才能使總費用最少？并求出最少費用．18．(9分)如圖，AB是的直徑，弦，E是OB的中點，連接CE并延長到點F，使，連接AF交于點D，連接BD，BF．(1)求證：直線BF是的切線；(2)若AF長為，求BD的長．19．(12分)如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點，與軸交于點，且自變量的部分取值與對應函數(shù)值如下表：012303430(1)求二次函數(shù)的表達式；(2)如圖，連接，在直線上方拋物線上是否存在一點，當點運動到什么位置時，的面積最大？求出此時點的坐標和的最大面積．

(3)將線段先向右平移1個單位，再向上平移6個單位，得到線段，若拋物線與線段只有一個公共點，請直接寫出的取值范圍．20．(12分)如圖1，菱形中，，，是邊上一動點（不與點重合），連接，點關于直線的對稱點為，連接并延長交直線于點是的中點，連接．

(1)填空：______，______（用含的代數(shù)式表示）；(2)如圖2，當，題干中其余條件均不變，連接．求證：．(3)（2）的條件下，連接．①若動點運動到邊的中點處時，的面積為______．②在動點的整個運動過程中，面積的最大值為______．廣東深圳市2025年中考數(shù)學基礎強化卷（考試時間90分鐘，滿分100分）注意事項：1．答題前，請將姓名、準考證號和學校用黑色字跡的鋼筆或簽字筆填寫在答題卡定的位置上，并將條形碼粘貼好．2．作答選擇題1-8，選出每題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目答案標號的信息點框涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案．作答非選擇題9—20，用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將答案（含作輔助線）寫在答題卡指定區(qū)域內．寫在本試卷或草稿紙上，其答案一律無效．3．考試結束后，請將答題卡交回．第一部分選擇題一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分，每小題有四個選項，其中只有一個是正確的）1．《國家寶藏》節(jié)目立足于中華文化寶庫資源，通過對文物的梳理與總結，演繹文物背后的故事與歷史，讓更多的觀眾走進博物館，讓一個個館藏文物鮮活起來．下面四幅圖是我國一些博物館的標志，其中是中心對稱圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】把一個圖形繞某一點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形．【詳解】解：A．不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；B．不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；C．是中心對稱圖形，故本選項符合題意；D．不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；故選：C．【點睛】本題主要考查了中心對稱圖形，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后與原圖重合．2．實數(shù)在數(shù)軸上對應的點如圖所示，下列各數(shù)中比實數(shù)小的是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了利用數(shù)軸比較實數(shù)的大小，根據(jù)數(shù)軸得到的范圍，根據(jù)其范圍進行比較即可判定求解，掌握實數(shù)與數(shù)軸的關系是解題的關鍵．【詳解】解：由數(shù)軸可得，，∴比實數(shù)小的是，故選：．3．下列計算正確的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)合并同類項的法則、積的乘方和冪的乘方法則、同底數(shù)冪的除法法則以及完全平方公式解答即可．【詳解】A、2a與3b不是同類項，不能合并，原計算錯誤，故此選項不符合題意；B、原計算正確，故此選項符合題意；C、原計算錯誤，故此選項不符合題意；D、原計算錯誤，故此選項不符合題意．故選：B．【點睛】本題主要考查了冪的運算、合并同類項的法則以及完全平方公式，熟練掌握運算法則是解答本題的關鍵．4．如圖，小明隨意向水平放置的大正方形內部區(qū)域拋一個小豆子，則小豆子落在小正方形內部及邊界（陰影）區(qū)域的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】算出陰影部分的面積和大正方形的面積的比值，這個比值就是所求的概率．【詳解】解：設小正方形的邊長為1，則其面積為1．圓的直徑正好是大正方形邊長，根據(jù)勾股定理，其小正方形對角線為，即圓的直徑為，大正方形的邊長為，則大正方形的面積為，則小球落在小正方形內部（陰影）區(qū)域的概率為．故選：．【點睛】概率相應的面積與總面積之比，本題實質是確定圓的內接正方形和外切正方形的邊長比．設較小邊長為單位1是在選擇填空題中求比的常見方法．5．如圖，a，b是兩條平行線，三角板的直角頂點在直線b上，已知，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．與三角板形狀有關【答案】A【分析】本題考查平行線的性質，平角的性質，先求解，再結合平角的含義可得答案．【詳解】解：如圖，∵，，∴，∴，故選A6．如圖，，若，則長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了全等三角形對應邊相等的性質，準確識圖確定出對應邊是解題的關鍵．先求出的長，再根據(jù)全等三角形對應邊相等解答．【詳解】解：∵，∴，∵，∴．故選：B．7．《九章算術》中有這樣一個題：今有甲乙二人持錢不知其數(shù)．甲得乙半而錢五十，乙得甲太半而錢亦五十．問甲、乙持錢各幾何？其意思為：今有甲乙二人，不如其錢包里有多少錢，若乙把其一半的錢給甲，則甲的數(shù)為50；而甲把其的錢給乙．則乙的錢數(shù)也為50，問甲、乙各有多少錢？設甲的錢數(shù)為x，乙的錢數(shù)為y，則可建立方程組為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)“乙把其一半的錢給甲，則甲的數(shù)為50”和“甲把其的錢給乙．則乙的錢數(shù)也為50”兩個等量關系，即可列出方程組.【詳解】解：設甲的錢數(shù)為x，乙的錢數(shù)為y；由甲得乙半而錢五十，可得：由甲把其的錢給乙，則乙的錢數(shù)也為50；可得：故答案為:A【點睛】本題考查了列二元一次方程組解實際問題，解題的關鍵在于，找到正確的等量關系.8．圖1是某住宅單元樓的人臉識別系統(tǒng)（整個頭部需在攝像頭視角范圍內才能被識別），圖2為其示意圖，攝像頭A的仰角、俯角均為，高度為．人筆直站在離攝像頭水平距離的點B處，若此人要能被攝像頭識別，其身高不能超過（

）（參考數(shù)據(jù)：）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了解直角三角形的應用，過點作，垂足為，延長交AD于點，由題意得，，在中，利用解直角三角形得，則利用進而可求解，根據(jù)題意構造直角三角是的關鍵．【詳解】解：過點作，垂足為，延長交AD于點，如圖：由題意得：，，在中，，，，若此人要能被攝像頭識別，其身高不能超過，故選C．第二部分非選擇題二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）9．若關于x的一元二次方程有實數(shù)根，則a的取值范圍是．【答案】/【分析】本題考查根的判別式，解答本題的關鍵是明確一元二次方程有實數(shù)根時．根據(jù)一元二次方程有實數(shù)根，可知，然后即可求得a的取值范圍．【詳解】解：由題意得：，解得：，故答案為：．10．若單項式與是同類項，則的值是．【答案】2【分析】先根據(jù)同類項的定義求出m與n的值，再代入計算算術平方根即可得．【詳解】由同類項的定義得：解得則故答案為：2．【點睛】本題考查了同類項的定義、算術平方根，熟記同類項的定義是解題關鍵．11．如圖，圓錐的底面半徑為1cm，母線AB的長為3cm，則這個圓錐側面展開圖扇形的圓心角為度．【答案】120【分析】先由半徑求得圓錐底面周長，再由扇形的圓心角的度數(shù)=圓錐底面周長×180÷3π計算．【詳解】解：圓錐底面周長＝2×π×1＝2π，∴扇形的圓心角α的度數(shù)＝圓錐底面周長×180÷3π＝120°．故答案為120．【點睛】本題考查了圓錐的計算，解決本題的關鍵是根據(jù)圓錐的底面周長得到扇形圓心角的表達式子．12．如圖，點A是反比例函數(shù)的圖象上的一點，過點A作軸，垂足為B，點C為y軸上的一點，連接，．若的面積為6，則k的值是．【答案】【分析】本題考查了反比例函數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義，連接，如圖，利用三角形面積公式得到，再根據(jù)反比例函數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義得到，然后去絕對值即可得到滿足條件的k的值．【詳解】如圖，連接，∵軸，∴，∴，而，∴，∵，∴．故答案為：．13．如圖，在矩形中，E，F(xiàn)分別是邊上的動點，P是線段的中點，，G，H為垂足，連接．若，則的最小值是．【答案】7【分析】本題考查了矩形的判定與性質、直角三角形斜邊上的中線性質、勾股定理等知識；連接，由勾股定理求出，再由直角三角形斜邊上的中線性質得，然后證四邊形是矩形，得，當A、P、C三點共線時，最小，即可求解．【詳解】解：連接，如圖所示：∵四邊形是矩形，∴，∴，∵P是線段的中點，∴，∵，∴，∴四邊形是矩形，∴，當A、P、C三點共線時，最小，∴的最小值是7，故答案為：7．三、解答題（本題共7小題，其中第14題5分，第15題7分，第16題8分，第17題8分，第18題9分，第19題12分，第20題12分，共61分）14．(5分)計算：．【答案】3【分析】本題考查特殊角的三角函數(shù)值的運算，實數(shù)的混合運算，先進行開方，零指數(shù)冪，負整數(shù)指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值的計算，再進行加減運算即可．【詳解】解：原式．15．(7分)先化簡，再求值：，其中．【答案】，【分析】先根據(jù)分式的混合運算法則化簡，然后再將代入計算即可解答．【詳解】解：．當時，原式．【點睛】本題主要考查了分式的基本性質及其運算、分母有理化，正確的化簡分式是解答本題的關鍵．16．(8分)四月是全國安全月，某校以“安全伴我行”為主題開展了一系列活動，并在活動后期對七、八年級學生進行了安全知識測試，測試結果顯示所有學生成績都不低于75分（滿分100分），【收集數(shù)據(jù)】隨機從七，八年級各抽取40名學生的測試成績，進行整理和分析（成績得分都是整數(shù)）．【整理數(shù)據(jù)】將抽取的兩個年級的成績進行整理（用x表示成績，分成五組：A．，B．，C．，D．，E．）．①八年級學生成績在D組的具體數(shù)據(jù)是：91，93，93，93，94，94，94，94．②將八年級的樣本數(shù)據(jù)整理并繪制成不完整的頻數(shù)分布直方圖（如圖）：【分析數(shù)據(jù)】兩個年級樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差如下表：年級平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差七年級929210057.4八年92.6m10049.2根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)本次抽取八年級學生的樣本容量是______；(2)本次抽取八年級學生成績的中位數(shù)______；(3)分析兩個年級樣本數(shù)據(jù)的對比表，你認為______年級的學生測試成績較整齊（填“七”或“八”）；(4)若八年級有200名學生參加了此次測試，估計此次參加測試的學生中，該年級成績不低于95分的學生有______人．【答案】(1)40(2)93(3)八年級的學生測試成績較整齊(4)70人【分析】本題考查頻數(shù)分布直方圖，樣本容量，中位數(shù)，眾數(shù)，方差以及樣本估計總體，掌握中位數(shù)的計算方法，理解方差的定義以及樣本估計總體的方法是解決問題的前提．（1）由樣本容量的定義即可得出答案；（2）根據(jù)中位數(shù)的定義和計算方法進行計算即可；（3）由七、八年級學生成績的方差的大小即可得出結論；（4）求出樣本中，八年級學生成績不低于95分的學生所占的百分比，估計總體中所占的百分比，再進行計算即可．【詳解】（1）解：∵隨機從七、八年級各抽取40名學生的測試成績，進行整理和分析，∴本次抽取八年級學生的樣本容量是40，故答案為：40；（2）解：，，∴中位數(shù)落在D組，∴20，21兩個數(shù)是：93，93，∴中位數(shù)；故答案為：93；（3）解：，∴八年級的學生測試成績較整齊；（4）解：由題意可得，（人），所以，該年級成績不低于95分的學生約有70人；故答案為：70．17．(8分)我市某中學計劃舉行以“奮斗百年路，啟航新征程”為主題的知識競賽，并對獲獎的同學給予獎勵．現(xiàn)要購買甲、乙兩種獎品，已知1件甲種獎品和2件乙種獎品共需40元，2件甲種獎品和3件乙種獎品共需70元．（1）求甲、乙兩種獎品的單價；（2）根據(jù)頒獎計劃，該中學需甲、乙兩種獎品共60件，且甲種獎品的數(shù)量不少于乙種獎品數(shù)量的，應如何購買才能使總費用最少？并求出最少費用．【答案】（1）甲種獎品的單價為20元，乙種獎品的單價為10元；（2）購買甲種獎品20件，乙種獎品40件時總費用最少，最少費用為800元．【分析】（1）設甲種獎品的單價為x元，乙種獎品的單價為y元，根據(jù)題意列方程組求出x、y的值即可得答案；（2）設總費用為w元，購買甲種獎品為m件，根據(jù)甲種獎品的數(shù)量不少于乙種獎品數(shù)量的可得m的取值范圍，根據(jù)需甲、乙兩種獎品共60件可得購買乙種獎品為（60-m）件，根據(jù)（1）中所求單價可得w與m的關系式，根據(jù)一次函數(shù)的性質即可得答案．【詳解】（1）設甲種獎品的單價為x元，乙種獎品的單價為y元，∵1件甲種獎品和2件乙種獎品共需40元，2件甲種獎品和3件乙種獎品共需70元，∴，解得：，答：甲種獎品的單價為20元，乙種獎品的單價為10元．（2）設總費用為w元，購買甲種獎品為m件，∵需甲、乙兩種獎品共60件，∴購買乙種獎品為（60-m）件，∵甲種獎品的單價為20元，乙種獎品的單價為10元，∴w=20m+10（60-m）=10m+600，∵甲種獎品的數(shù)量不少于乙種獎品數(shù)量的，∴m≥（60-m），∴20≤m≤60，∵10>0，∴w隨m的增大而增大，∴當m=20時，w有最小值，最小值為10×20+600=800（元），∴購買甲種獎品20件，乙種獎品40件時總費用最少，最少費用為800元．【點睛】本題考查二元一次方程組的應用、一元一次不等式的應用及一次函數(shù)的應用，正確得出等量關系及不等關系列出方程組及不等式，熟練掌握一次函數(shù)的性質是解題關鍵．18．(9分)如圖，AB是的直徑，弦，E是OB的中點，連接CE并延長到點F，使，連接AF交于點D，連接BD，BF．(1)求證：直線BF是的切線；(2)若AF長為，求BD的長．【答案】(1)見解析；(2)【分析】（1）連接OC、OF，證明四邊形OFBC是平行四邊形，則BF∥OC，根據(jù)AC=BC，得到OC⊥AB，∠ABF=∠BOC=90°，可證明BF是⊙O的切線；（2）由AB是⊙O的直徑得∠ADB=∠ACB=90°，則∠CAB=∠CBA=45°，可證明FB=OB=OA=AB，根據(jù)勾股定理求出AB、BF的長，再根據(jù)三角形的面積公式即可求出BD的長．【詳解】（1）證明：如圖，連接OC、OF，∵EF=CE，OE=BE，∴四邊形OFBC是平行四邊形，∴BF∥OC，∵AC=BC，OA=OB，∴OC⊥AB，∴∠ABF=∠BOC=90°，∵OB是⊙O的半徑，且BF⊥OB，∴直線BF是⊙O的切線；（2）如圖，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=∠ACB=90°，∴∠CAB=∠CBA=45°，∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC=45°，∴∠BFO=∠OCB=45°，∵OF∥BC，∴∠BOF=∠OBC=45°，∴∠BFO=∠BOF，∴FB=OB=OA=AB，∵FB2+AB2=AF2，且AF=5，∴（AB）2+AB2=（5）2，∴AB=2，∴FB=AB=，∴⊙O的半徑為，∵S△ABF=AB?BF=AF?BD，∴2×=5×BD，∴BD=2．【點睛】此題考查圓的切線的判定、圓的弦與弧及圓心角的關系、圓周角定理、平行四邊形的判定與性質、勾股定理等知識，根據(jù)題意正確地作出所需要的輔助線是解題的關鍵．19．(12分)如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點，與軸交于點，且自變量的部分取值與對應函數(shù)值如下表：012303430(1)求二次函數(shù)的表達式；(2)如圖，連接，在直線上方拋物線上是否存在一點，當點運動到什么位置時，的面積最大？求出此時點的坐標和的最大面積．

(3)將線段先向右平移1個單位，再向上平移6個單位，得到線段，若拋物線與線段只有一個公共點，請直接寫出的取值范圍．【答案】(1)(2)存在，，(3)或或【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解；（2）由表格求出，設，連接，求得的面積的面積的面積的面積，再根據(jù)二次函數(shù)的性質解答；（3）由題意可得，利用配方法得到拋物線的頂點為，當時；當時，，分兩種情況：當時，且，得；當時，且，得；當時，只有一個公共點，；由此得到或或．【詳解】（1）將代入，得，解得，∴二次函數(shù)的表達式為；（2）由表格可知，當時，或；當時，，∴，設，連接，

的面積的面積的面積的面積∴當時