專題18全等三角形模型之倍長中線與截長補短模型

全等三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，本專題就全等三

角形中的重要模型（倍長中線模型、截長補短模型）進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。

大家在掌握幾何模型時，多數(shù)同學(xué)會注重模型結(jié)論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導(dǎo)致本末倒

置。要知道數(shù)學(xué)題目的考察不是一成不變的，學(xué)數(shù)學(xué)更不能死記硬背，要在理解的基礎(chǔ)之上再記憶，這樣

才能做到對于所學(xué)知識的靈活運用，并且更多時候能夠啟發(fā)我們解決問題的關(guān)鍵就是基于已有知識、方法

的思路的適當(dāng)延伸、拓展，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何模型要能夠做到的就是：①認(rèn)識幾何模型并能夠從題目中

提煉識別幾何模型；②記住結(jié)論，但更為關(guān)鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見的易錯點，因

為多數(shù)題目考察的方面均源自于易錯點。當(dāng)然，以上三點均屬于基礎(chǔ)要求，因為題目的多變性，若想在幾

何學(xué)習(xí)中突出，還需做到的是，在平時的學(xué)習(xí)過程中通過大題量的訓(xùn)練，深刻認(rèn)識幾何模型，認(rèn)真理解每

一個題型，做到活學(xué)活用！

.........................................................................................................................................................................................1

模型1.倍長中線模型......................................................................................................................................1

模型2.截長補短模型....................................................................................................................................10

.................................................................................................................................................20

模型1.倍長中線模型

中線是三角形中的重要線段之一，在利用中線解決幾何問題時，常常采用“倍長中線法”添加輔助線。所

謂倍長中線模型，就是將三角形的中線延長一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，從而運用全等三角形的有關(guān)知

識來解決問題的方法。（注：一般都是原題已經(jīng)有中線時用，不太會有自己畫中線的時候）。

倍長中線在全等三角形的輔助線做法中，難度不是特別大，相對好理解和掌握。

練習(xí)時要記住下面三點：①見中點，先倍長；②證明8字全等；③找關(guān)系。

1）倍長中線模型（中線型）

條件：AD為ABC的中線。結(jié)論：ABDECD

證明：延長A△D至點E，使DE=AD，連結(jié)CE。

∵AD為ABC的中線，∴BD=CD，∵∠BDA=∠CDE，∴ABD≌△ECD（SAS）

2）倍長△類中線模型（中點型）△

條件：ABC中，D為BC邊的中點，E為AB邊上一點（不同于端點）。結(jié)論：EDB≌FDC。

證明：△延長ED，使DF=DE，連接CF。△△

∵D為BC邊的中點，∴BD=DC，∵∠BDE=∠CDF，∴EDB≌FDC（SAS）

3）倍長類中線模型拓展（中點+平行線型）△△

條件：AB∥CD，E為AC的中點，F(xiàn)為AB邊上一點（不同于端點）。結(jié)論：AFE≌CGE。

證明：延長FE，交DC的延長線于點G。△△

∵E為AC的中點，∴AE=CE，∵AB∥CD，∴∠A=∠ECG，∠AFE=∠G，∴AFE≌CGE（AAS）

若“中點+平行線型”按“中點型”來倍長，則需證明點G在CD上，為了避免證△明三點共△線，點G就直接通過

延長相交得到。因為有平行線，內(nèi)錯角相等，故根據(jù)“AAS”或“ASA”證明全等。這里“中點+平行線型”可以看

做是“中點型”的改良版。

例1．（2024·廣東·?？级＃┚C合與實踐：小明遇到這樣一個問題，如圖1，ABC中，AB7，AC5，

點D為BC的中點，求AD的取值范圍．

小明發(fā)現(xiàn)老師講過的“倍長中線法”可以解決這個問題，所謂倍長中線法，就是將三角形的中線延長一倍，以

便構(gòu)造出全等三角形，從而運用全等三角形的有關(guān)知識來解決問題的方法，他的做法是：如圖2，延長AD

到E，使DEAD，連接BE，構(gòu)造△BED≌△CAD，經(jīng)過推理和計算使問題得到解決

請回答：(1)小明證明△BED≌△CAD用到的判定定理是：________；（填入你選擇的選項字母）

A．SASB．SSSC．AASD．ASA

(2)AD的取值范圍是________．

小明還發(fā)現(xiàn)：倍長中線法最重要的一點就是延長中線一倍，完成全等三角形模型的構(gòu)造．

參考小明思考問題的方法，解決問題：

如圖3，在正方形ABCD中，E為AB邊的中點，G、F分別為AD，BC邊上的點，若AG2，BF4，

GEF90，求GF的長．

【答案】(1)A(2)1AD6；GF6．

【分析】（1）延長AD到E，使DEAD，連接BE，根據(jù)對頂角相等，即可利用“SAS”證明△BED≌△CAD，

得到答案；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得到BE的長，再利用三角形的三邊關(guān)系即可得到答案；

延長GE交CB的延長線于點H，先利用“ASA”證明VEAG≌VEBH，得到AGBH，EGEH，進(jìn)而得到FH

的長，再證明FE垂直平分GH，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)即可得到答案．

【詳解】（1）解：如圖，延長AD到E，使DEAD，連接BE，點D為BC的中點，BDCD，

BDCD

在BED和CAD中，BDECDA，VBED≌VCADSAS，故答案為：A；

DEAC

（2）解：QVBED≌VCAD，AC5，BEAC5，

AB7，ABBEAEABBE，2AE12，

22AD12，1AD6，故答案為：1AD6；

解決問題：如圖，延長GE交CB的延長線于點H，

四邊形ABCD是正方形，AABC90，E為AB邊的中點，AEBE，

AEBH

在△EAG和△EBH中，AEBE，VEAG≌VEBHASA，AGBH，EGEH，

AEGBEH

QAG=2，BF4，BH2，F(xiàn)HBFBH426，

GEF90，AEGBEF90，BEHBEFHEF90，F(xiàn)EGH，

EGEH，GFFH6．

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，正方形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，

利用“倍長中線法”作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．

例2．（23-24遼寧錦州七年級期末）【問題提出】期末復(fù)習(xí)課上，數(shù)學(xué)丁老師出示了下面一個問題：如圖1，

在ABC中，D是BA延長線的點，E是AC邊上一點，且滿足DEBC,DEAACB，那么A是BD的

中點，請你說明理由．

【思路探究】小王同學(xué)從條件出發(fā)分析解題思路：以DE為腰構(gòu)造等腰DEF和平行八字型全等三角形，如

圖2，以點D為圓心，以DE長為半徑畫弧，交CA的延長線于點F，先應(yīng)用等腰三角形的軸對稱性，再應(yīng)

用三角形全等“AAS”（或“ASA”）的判定方法即可得ABAD，小張同學(xué)從結(jié)論出發(fā)分析解題思路：以AB

為腰構(gòu)造等腰△ABF，將說明ADAB的問題轉(zhuǎn)化為說明ADBF的問題，如圖3，以點B為圓心，以AB

長為半徑畫弧，交AC于點F，于是可得BFABAF，再應(yīng)用三角形全等“AAS”(或“ASA”)的判定方法

即可得ABBFAD．

（1）請你選擇小張同學(xué)或小王同學(xué)的思路或按自己的思路寫出完整的解題過程；

【學(xué)以致用】（2）請你在理解了小張同學(xué)或小王同學(xué)解題思路的基礎(chǔ)上，解答下面一道圖形較為復(fù)雜的同

類問題：如圖4，在四邊形ABCD中，ABACCD,ACD90，過點B作線段BEAB，且BEAB，

連接DE，交BC的延長于點F，猜想DF與EF的數(shù)量關(guān)系并說明理由．

【答案】（1）見解析；（2）DFEF，理由見解析．

【分析】此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形內(nèi)角和定理等知識，

（1）小王同學(xué)的思路：如圖1，以點D為圓心，以DE長為半徑畫弧，交CA的延長線于點F，則DFDE，

根據(jù)題意證明出DAF≌BACAAS，得到ADAB；

小張同學(xué)的思路：如圖2，以點B為圓心，以AB長為半徑畫弧，交AC于點F，連接BF，則BFAB，根

據(jù)題意證明出BCF≌DEAAAS，得到BFAD，進(jìn)而求解即可；

（2）方法1：如圖3，以點D為圓心，CD長為半徑作弧，交BF的延長線于點M，連接DM，證明出

DFM≌BFEAAS，得到DFEF；方法2：以點E為圓心，以EF長為半徑畫弧，交BF于點N，連接

EN，證明出DCF≌EBNAAS，得到DFEN．

【詳解】解∶（1）小王同學(xué)的思路：

如圖1，以點D為圓心，以DE長為半徑畫弧，交CA的延長線于點F，則DFDE．所以FDEA．

因為DEAACB,DEBC，所以FACB,DFBC．

因為DAFBAC，所以DAF≌BACAAS．所以ADAB，即A是BD的中點

小張同學(xué)的思路：如圖2，以點B為圓心，以AB長為半徑畫弧，交AC于點F，連接BF，則BFAB．

所以BAFAFB，因為DAE180BAF,BFC180AFB，所以DAEBFC．

因為DEAACB,DEBC，所以BCF≌DEAAAS．

所以BFAD．所以ABAD，即A是BD的中點；

（2）猜想DFEF方法1：如圖3，以點D為圓心，CD長為半徑作弧，交BF的延長線于點M，連接DM，

則DMDC．所以MDCM．因為ABACCDDM,ACD90,EBBA,EBBA，

所以DMBE,ABCACB，ACBDCM90,ABE90．

所以ABCEBF90．所以MDCMEBF．

又因為DFMBFE，所以DFM≌BFEAAS．所以DFEF．

方法2：如圖4，以點E為圓心，以EF長為半徑畫弧，交BF于點N，連接EN，

則ENEF．所以EFNENF．

因為CFD180EFN,BNE180ENF，所以CFDBNE．

因為ABAC,ACD90,EBBA，所以ABCACB,ACBDCF90,ABE90．

所以ABCEBF90．所以DCFEBF．

因為ABCDBE，所以DCF≌EBNAAS．所以DFEN．所以DFEF．

例3．（2024·江蘇·九年級?？计谥校締栴}情境】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：

如圖①，ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．

小明在組內(nèi)△經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD至點E，使DE＝AD，連接BE．請根據(jù)小明

的方法思考：

(1)由已知和作圖能得到ADC≌△EDB，依據(jù)是．A．SAS；B.SSS；C.AAS；D.HL

(2)由“三角形的三邊關(guān)系△”可求得AD的取值范圍是．

解后反思：題目中出現(xiàn)“中點”、“中線”等條件，可考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求

證的結(jié)論集中到同一個三角形之中．

(3)【初步運用】如圖②，AD是ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AC＝BF．求證AE＝FE．

(4)【靈活運用】如圖③，在AB△C中，∠A＝90°，D為BC中點，DE⊥DF，DE交AB于點E，DF交AC

于點F，連接EF．試猜想線△段BE、CF、EF三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

【答案】(1)A(2)1＜AD＜7(3)見解析(4)BE2+CF2＝EF2，證明見解析

【分析】[問題情境](1)根據(jù)全等三角形的判定定理解答；(2)根據(jù)三角形的三邊關(guān)系計算；[初步運用]延長

AD到M，使AD=DM，連接BM，證明ADC≌△MDB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答；[靈活運用]延長ED

到點G，使DG=ED，連接GF，GC，證△明DBE≌△DCG，得到BE=CG，根據(jù)勾股定理解答．

CD△BD

【解答】(1)解：在ADC和EDB中，CDABDE，∴△ADC≌△EDB(SAS)，故選：A；

ADDE

△△

(2)解：由(1)得：ADC≌△EDB，∴AC=BE=6，

在ABE中，AB?△BE<AE<AB+BE，即8?6<2AD<8+6，∴1<AD<7，答案為：1<AD<7；

(3)△解：延長AD到M，使AD=DM，連接BM，如圖②所示：

DCDB

∵AD是ABC中線，∴CD=BD，在ADC和MDB中，ADCMDB，

DADM

△△△

∴△ADC≌△MDB(SAS)，∴BM=AC，∠CAD=∠M，

∵AC=BF，∴BM=BF，∴∠M=∠BFM，

∵∠AFE=∠BFM，∴∠BFM=∠CAD=∠M，∴AE=FE；

(4)解：線段BE、CF、EF之間的等量關(guān)系為：BE2+CF2=EF2；

理由如下：延長ED到點G，使DG=ED，連接GF，GC，如圖③所示：

∵ED⊥DF，DG=ED，∴EF=GF，∵D是BC的中點，∴BD=CD，

EDGD

在BDE和CDG中，BDECDG，∴△DBE≌△DCG(SAS)，∴BE=CG，∠B=∠GCD，

BDCD

△△

∵∠A=90°，∴∠B+∠ACB=90°，∴∠GCD+∠ACB=90°，即∠GCF=90°，

∴RtCFG中，由勾股定理得：CF2+GC2=GF2，∴BE2+CF2=EF2．

【點△睛】本題是三角形綜合題目，考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系以及勾股定理的應(yīng)

用等知識；熟練掌握三角形的三邊關(guān)系和勾股定理，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．

例4．（23-24九年級上·吉林長春·階段練習(xí)）【問題探究】在學(xué)習(xí)三角形中線時，我們遇到過這樣的問題：

如圖，在ABC中，點D為BC邊上的中點，AB4，AC6，求線段AD長的取值范圍．我們采用的方

法是延長線段AD到點E，使得ADDE，連結(jié)CE，可證ABD≌ECD，可得CEAB4，根據(jù)三角形

三邊關(guān)系可求AD的范圍，我們將這樣的方法稱為“三角形倍長中線”，則AD的范圍是：________．

【拓展應(yīng)用】（1）如圖，在ABC中，BC2BD，AD3，AC210，BAD90，求AB的長．

（2）如圖，在ABC中，D為BC邊的中點，分別以AB、AC為直角邊向外作直角三角形，且滿足

ABEACF30，連結(jié)EF，若AD23，則EF________．（直接寫出）

【答案】問題探究：1AD5；拓展應(yīng)用：（1）AB2；（2）4

【分析】問題探究：根據(jù)三角形三邊關(guān)系求出AE的范圍，進(jìn)而得到AD的范圍；

拓展應(yīng)用：（1）延長AD到點E，使ADDE，連接CE，先證ABD≌ECD，得到EBAD90，

DEAD3，CEAB，在Rt△AEC中，根據(jù)勾股定理求CE即可得到AB的值；（2）延長AD到點G，使

EF3

ADGD，連接CG，根據(jù)ABD≌ECD，得到GBAD，ABCG，證明△EAF∽△GCA，得到，

GA3

3

進(jìn)而得到EFGA的值．

3

【詳解】解：問題探究：在△ACE中，∵ACCEAEACCE，∴22AD10，

∴1AD5，故答案為：1AD5；

拓展應(yīng)用：（1）如圖，延長AD到點E，使ADDE，連接CE，

BDCD

在△ABD和ECD中，ADBEDC，∴ABD≌ECDSAS，

ADDE

∴EBAD90，DEAD3，CEAB，在Rt△AEC中，AE6，AC210，

2

∴CEAC2AE2210622，∴ABCE2；

（2）如圖，延長AD到點G，使ADGD，連接CG，

由（1）知ABD≌ECD，∴GBAD，ABCG，

∵BADCAGEAF360EABFAC180，∴GCAGEAF180，

又∵GCAGACG180，∴EAFACG，

EAEA3FA3

∵tanABEtan30，tanACFtan30，

ABGC3AC3

EAFAEF33

∴，∴△EAF∽△GCA，∴，∴EFGA，

GCACGA33

3

∵AG2AD43，∴EF434，故答案為：4．

3

【點睛】本題考查了三角形綜合題，判定△EAF∽△GCA并利用相似三角形的性質(zhì)求線段EF的長度是解決

本題的關(guān)鍵．

模型2.截長補短模型

截長補短模型分為截長模型和補短模型：適用于求證線段的和差倍分關(guān)系，截長補短的關(guān)鍵在于通過

輔助線構(gòu)造出全等三角形、等腰三角形。該類題目條件中常出現(xiàn)等腰三角形（兩邊相等）、角平分線（兩

角相等）等關(guān)鍵詞句，可采用截長補短法構(gòu)造全等三角形來完成證明過程（往往需證2次全等）。

截長：指在長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；

補短：指將一條短線段延長，延長部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長線段。

條件：AD為ABC的角平分線，∠B=2∠C。結(jié)論：AB＋BD＝AC。

證明：法1（△截長法）:在線段AC上截取線段AB′＝AB，連接DB。

∵AD為ABC的角平分線，∴∠BAD=∠B′AD，∵AD=AD，∴ABD≌△AB′D（SAS）

∴∠B=∠△AB′D，BD=B′D，∵∠B=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠△AB′D=2∠C，∴∠B′DC=∠C，

∴B′C＝B′D，∴BD=B′C，∵AB′＋B′C＝AC，∴AB＋BD＝AC。

法2（補短法）:延長AB至點C′使得AC′＝AC，連接BC′。

∵AD為ABC的角平分線，∴∠C′AD=∠CAD，∵AD=AD，∴C′AD≌△CAD（SAS）

∴∠C′=∠△C，∵∠B=2∠C，∴∠B=2∠C′，∴∠BDC′=∠C′，∴△BC′＝BD，

∵AB＋BC′＝AC′，∴AB＋BD＝AC。

例1．（2024·遼寧大連·模擬預(yù)測）【方法探究】如圖1，在ABC中，AD平分BAC，ABC2C，探

究AC，AB，BD之間的數(shù)量關(guān)系；

嘉銘同學(xué)通過思考發(fā)現(xiàn)，可以通過“截長、補短”兩種方法解決問題：

方法1：如圖2，在AC上截取AE，使得AEAB，連接DE，可以得到全等三角形，進(jìn)而解決此問題．

方法2：如圖3，延長AB到點E，使得BEBD，連接DE，可以得到等腰三角形，進(jìn)而解決此問題．

（1）根據(jù)探究，直接寫出AC，AB，BD之間的數(shù)量關(guān)系；

【遷移應(yīng)用】（2）如圖4，在ABC中，D是BC上一點，，B2C，ADBC于D，探究CD，AB，BD

之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

【拓展延伸】（3）如圖5，ABC為等邊三角形，點D為AB延長線上一動點，連接CD．以CD為邊在CD上

方作等邊CDE，點F是DE的中點，連接AF并延長，交CD的延長線于點G．若GACE，求證：

GFAEAF．

【答案】（1）ACABBD；（2）CDABBD，證明見解析；（3）證明見解析．

【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)；

（1）方法一：證明ABD≌AED得到BDED，AEDABC2C，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)和等腰

三角形的判定證得EDEC，則BDEC，進(jìn)而可得結(jié)論；

方法二：先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和外角性質(zhì)證得EC，再證明EAD≌CADAAS得到AEAC，

進(jìn)而可得結(jié)論；（2）在CD上取DEDB，連接AE，根據(jù)等邊對等角得出AEBB，根據(jù)三角形的外角

的中得出CAEC，進(jìn)而得出EAEC，即可得證；（3）先證明ACE≌BCDSAS，過D作DH∥AE，

交AG于點H，證明△AEF≌△HDF，根據(jù)等角對等邊得出GHHD，即可得出結(jié)論．

【詳解】（1）證明：方法一：∵AD平分BAC，∴BADCAD，

在BAD和EAD中，ADAD，BADEAD，ABAE，

∴ABD≌AEDSAS∴BDED，AEDABC2C，

∵AEDCEDC，∴EDCC，

∴EDEC，∴BDEC，∴ACABBD；

方法二：延長AB到點E，使得BEBD，連接DE，

∴EBDE，則ABDEBDE2E，

∵ABC2C，∴EC，∵AD平分BAC，∴BADCAD，

在EAD和CAD中，EADCAD，EC，ADAD，

∴EAD≌CADAAS，∴AEAC，∵AEABBE，∴ACABBD；

（2）在CD上取DEDB，連接AE，∵ADBC于D，∴AEAB，∴AEBB，

∵AECCCAE，B2C，∴CAEC，

∴EAEC，∴CDCEEDAEDBABDB；

（3）如圖所示，∵CDE，ABC為等邊三角形，∴ACBECD60，CACB,CECD，

∴ACBECBECDECB∴ACEBCD，

∴ACE≌BCDSAS，∴EACDBC120，∴ACEAEC60，

過D作DH∥AE，交AG于點H，∴EAFFHD，

∵F是ED的中點，∴EFFD，又AFEHFD，∴AEF≌HDFASA，

∴AFHF，AEDH，AEFHDF，而GDFHDFGDH120，

AEFACEFECAECACE6060120，∴ACEGDH，

又∵GACE，∴GGDH，∴GHHDAE，即GFAEAF．

例2．（23-24八年級上·河南漯河·期末）（1）閱讀理解：問題：如圖1，在四邊形ABCD中，對角線BD平分

ABC，AC180．求證：DADC．

思考：“角平分線+對角互補”可以通過“截長、補短”等構(gòu)造全等去解決問題．

方法1：在BC上截取BMBA，連接DM，得到全等三角形，進(jìn)而解決問題；

方法2：延長BA到點N，使得BNBC，連接DN，得到全等三角形，進(jìn)而解決問題．

結(jié)合圖1，在方法1和方法2中任選一種，添加輔助線并完成證明．

（2）問題解決：如圖2，在（1）的條件下，連接AC，當(dāng)DAC60時，探究線段AB，BC，BD之間

的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（3）問題拓展：如圖3，在四邊形ABCD中，AC180，DADC，過點D作DEBC，垂足為點

E，請寫出線段AB、CE、BC之間的數(shù)量關(guān)系．

【答案】（1）見解析；（2）ABBCBD，見解析；（3）BCAB2CE，見解析

【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定；

（1）方法1：在BC上截取BMBA，連接DM，證明ABD≌MBDSAS，得出ABMD，ADMD，

進(jìn)而得出CCMD，則DMDC，等量代換即可得證；方法2：延長AB到N，使BNBC，連接DN，

證明NBD≌CBDSAS，得出BNDC，NDCD，進(jìn)而得出BNDNAD，則DNDA，等量代

換即可得證（2）AB，BC，BD之間的數(shù)量關(guān)系為ABBCBD．方法1：在BD上截取BFAB，連接AF，

由1知BADBCD180，得出△ABF，△ADC為等邊三角形，證明ABC≌AFDSAS，得出

DFBC，進(jìn)而即可得證；方法2：延長CB到P，使BPBA，連接AP，由1知ADCD，則△ADC，

ABP是等邊三角形，證明PAC≌BADSAS，得出PCBD，進(jìn)而即可得證；

（3）線段AB、CE、BC之間的數(shù)量關(guān)系為BCAB2CE，連接BD，過點D作DFAB于點F，證明

DFA≌DECAAS，RtBDF≌和RtBDEHL，得出BFBE，進(jìn)而即可得證．

【詳解】解：（1）方法1：在BC上截取BMBA，連接DM，

QBD平分ABC，ABDCBD，

BDBD

在△ABD和MBD中，ABDMBD，ABD≌MBDSAS，ABMD，ADMD，

BABM

BMDCMD180，CA180，CCMD，DMDC，DADC；

方法2：延長AB到N，使BNBC，連接DN，

QBD平分ABC，NBDCBD，

BDBD

在NBD和△CBD中，NBDCBD，NBD≌CBDSAS，BNDC，NDCD，

BNBC

NADBAD180，CBAD180，BNDNAD，DNDA，DADC；

（2）AB，BC，BD之間的數(shù)量關(guān)系為ABBCBD．

方法1：理由如下：如圖2，在BD上截取BFAB，連接AF，

由（1）知BADBCD180，ABCDAC180，

DAC60，ABC120，ABDDBC60，

ABF為等邊三角形，ABAFBF，BAF60，

ADDC，ADC為等邊三角形，∴ADAC，DAC60，

DAFBAC，ABC≌AFDSAS，DFBC，BDBFDFABBC．

方法2：理由：延長CB到P，使BPBA，連接AP，

由（1）知ADCD，DAC60，ADC是等邊三角形，ACAD，ADC60，

BCDBAD180，ABC36018060120，PBA180ABC60，

BPBA，ABP為等邊三角形，PAB60，ABAP，

DAC60，PABBACDACBAC，即PACBAD，

PABA

在△PAC和BAD中，PACBAD，PAC≌BADSAS，PCBD，

ACAD

PCBPBCABBC，ABBCBD；

（3）線段AB、CE、BC之間的數(shù)量關(guān)系為BCAB2CE．連接BD，過點D作DFAB于點F，

BADC180，BADFAD180，F(xiàn)ADC，

DFADEC

在DFA和DEC中，F(xiàn)ADC，DFA≌DECAAS，DFDE，AFCE，

DADC

BDBD

在Rt△BDF和Rt△BDE中，，RtBDF≌RtBDEHL，BFBE，

DFDE

BCBECEBAAFCEBA2CE，BCBA2CE．

例3．（23-24九年級上·江蘇南通·期中）如圖，四邊形ABCD是O內(nèi)正方形，P是圓上一點（點P與點A，

B，C，D不重合），連接PA，PB，PC．

(1)若點P是弧AD上一點，①∠BPC度數(shù)為___________；

②求證：PAPC2PB；小明的思路為：這是線段和差倍半問題，可采用截長補短法，請按小明思路完

成下列證明過程（也可按自己的想法給出證明）．證明：在PC的延長線上截取點E．使CEPA，連接BE．

(2)探究當(dāng)點P分別在AB，BC，CD上，求PA，PB，PC的數(shù)量關(guān)系，直接寫出答案，不需要證明．

【答案】(1)①45，②見解析(2)PCPA2PB；PAPC2PB；PAPC2PB；證明見解析

【分析】（1）①理由正方形的性質(zhì)和圓周角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)的一半解答即可；

②在PC的延長線上截取點E．使CEPA，連接BE，利用全等三角形的判定與性質(zhì)和等腰直角三角形的判

定與性質(zhì)解答即可；（2）利用截長補短法，依題意畫出相應(yīng)圖形，按小明思路完成解答即可．

【詳解】（1）①解：BPC45，理由：∵四邊形ABCD是正方形，∴ABBCCDDA，

1

∴BC的度數(shù)為90，∴BPC9045，故答案為：45；

2

②證明：在PC的延長線上截取點E，使CEPA．連接BE，如圖，

∵四邊形ABCD是O內(nèi)接正方形，∴ABBC，

又∵點P在AD上，∴四邊形ABCP為O內(nèi)接四邊形∴PABBCE．

PAEC

在PAB和ECB中，PABECB，∴PAB≌ECBSAS，∴PBPE，ABPCBE，

ABCB

∵ABPPBC90，∴PBCCBE90，∴PBE90，

∴△PBE為等腰直角三角形，∴PE2PB，∴PAPCCEPCPE2PB；

（2）當(dāng)點P在AB上時，PCPA2PB；在PC上取點E，使CEPA，連接BE，如圖，

∵四邊形ABCD是O內(nèi)接正方形，∴ABBC，

PAEC

在PAB和ECB中，PABECB，∴PAB≌ECBSAS，∴PBPE，ABPCBE，

ABCB

∵ABEEBC90，∴PBAABE90，∴PBE90，

∴△PBE為等腰直角三角形，∴PE2PB，∴PCPAPCECPE2PB；

當(dāng)點P在BC上時，PAPC2PB，在PA上取點E，使AEPC，連接BE，如圖，

∵四邊形ABCD是O內(nèi)接正方形，∴ABBC，

ABBC

在ABE和BCP中，BAEBCP，∴ABE≌BCPSAS，∴BEBP，ABECBP，

AECP

∵∠ABE∠CBE90，∴CBECBP90，∴EBP90，

∴△EBP為等腰直角三角形，∴PE2PB，∴PAPCPAAEPE2PB；

當(dāng)點P在CD上時，PAPC2PB，理由：在PA的延長線上截取點E，使AEPC，連接BE，如圖，

∵四邊形ABCD是O內(nèi)接正方形，∴ABBC，

又∵點P在CD上，∴四邊形ABCP為O內(nèi)接四邊形∴EABBCP．

ABBC

在EAB和PCB中，EABPCB，∴EAB≌PCBSAS，∴BEBP，ABEPBC．

AECP

∵ABPPBC90，∴ABPABE90，∴EBP90．

∴△EBP為等腰直角三角形，∴PE2PB，∴PAPCPAAEPE2PB．

【點睛】本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，圓周角定理，圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，

等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，本題是閱讀型題目，理解并熟練應(yīng)用截長補短法，構(gòu)造恰當(dāng)?shù)妮o助線解答

是解題的關(guān)鍵．

例4．（23-24八年級下·遼寧盤錦·期中）【閱讀理解】截長補短法，是初中數(shù)學(xué)幾何題中一種輔助線的添加

方法．截長就是在長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補短是通過在一條短邊上延長一條線段與另一短

邊相等，從而解決問題．

（1）如圖1，ABC是等邊三角形，點D是邊BC下方一點，BDC120，探索線段DA、DB、DC之

間的數(shù)量關(guān)系．

解題思路：延長DC到點E，使CEBD，連接AE，根據(jù)BACBDC180，可證ABDACE，易

證得△ABD≌△ACE，得出VADE是等邊三角形，所以ADDE，從而探尋線段DA、DB、DC之間的數(shù)

量關(guān)系．根據(jù)上述解題思路，請寫出DA、DB、DC之間的數(shù)量關(guān)系是______；

【拓展延伸】（2）如圖2，在RtABC中，BAC90，ABAC，若點D是邊BC下方一點，BDC=90，

探索線段DA、DB、DC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

【知識應(yīng)用】（3）如圖3，兩塊斜邊長都為2cm的三角板，把斜邊重疊擺放在一起，則兩塊三角板的直角頂

點之間的距離PQ2cm．

2

【答案】（1）DADCBD，見解析；（2）2AD2DCBD；見解析；（3）23

【分析】（1）由等邊三角形知ABAC，BAC60，結(jié)合BDC120知ABDACD180，由

ACEACD180知ABDACE，證△ABD≌△ACE得ADAE，BADCAE，再證VADE是

等邊三角形得DADEDCCEDCDB；

（2）延長DC到點E，使CEBD，連接AE，先證△ABD≌△ACE得ADAE，BADCAE，據(jù)此可

22

得DAEBAC90，由勾股定理知DA2AE2DE2，繼而可得2ADDCBD；

1

（3）由直角三角形的性質(zhì)知QNMN1，MQMN2QN23，利用（2）中的結(jié)論知

2

2

2PQ2QNMQ，據(jù)此可得答案．

【詳解】解：（1）DADCBD，理由如下：∵ABC是等邊三角形，∴ABAC，BAC60，

∵BDC120，∴ABDACD360BACBDC180，

又∵ACEACD180，∴ABDACE，

ABAC

在△ABD和△ACE中，ABDACE，∴△ABD≌△ACESAS，

BDCE

∴ADAE，BADCAE，∵ABC60，即BADDAC60，

∴DACCAE60，即DAE60，∴VADE是等邊三角形，

∴DADEDCCEDCDB，即DADCDB，故答案為：DADCBD；

2

（2）2AD2DCBD，如圖2，延長DC到點E，使CEBD，連接AE，

∵BAC90，BDC90，∴ABDACD360BACBDC180，

∵ACEACD180，∴ABDACE，∵ABAC，CEBD，

ABAC

在△ABD和△ACE中，ABDACE，∴△ABD≌△ACESAS，

BDCE

22

∴ADAE，BADCAE，∴DAEBAC90，∴DA2AE2DE2，∴2ADDCBD；

（3）如圖3，連接PQ，

1

∵M(jìn)N2，QMN30，MQN90，∴QNMN1，∴MQMN2QN222123，

2

2

2

2213

由（）知．∴2QNMQ．故答案為：．

22PQQNMQPQ=23cm23

22

【點睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、等邊三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的

性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．

1．（2023秋·江西九江·八年級?？计谀┤鐖D，在ABC中，點D是BC的中點，若AB＝5，AC＝13，AD

＝6，則BC的長為．△

【答案】261

【分析】延長AD到E，使DE=AD，連接BE．先運用SAS證明ADC≌△EDB，得出BE=13．再由勾股定

理的逆定理證明出∠BAE=90°，然后在ABD中運用勾股定理求出△BD的長，從而得出BC=2BD．

【詳解】解：延長AD到E，使DE=AD△，連接BE．

ADED

在ADC與EDB中，ADCEDB，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴AC=BE=13．

CDBD

△△

在ABE中，AB=5，AE=12，BE=13，∴AB2+AE2=BE2，∴∠BAE=90°．

在△ABD中，∠BAD=90°，AB=5，AD=6，

△

∴BD=AB2AD2526261，∴BC=261．故答案為：261．

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理及其逆定理，綜合性較強，難度中等．題中延長

中線的一倍是常用的輔助線的作法．

2．（2023·江蘇淮安·三模）【探究發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，在VABC中，D為BC邊的中點，連接AD并延長至點

H，使DHAD，連接CH．由ADBCDH，得VADB≌VHDC，則AB與CH的數(shù)量關(guān)系為______，

位置關(guān)系為______．

【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，在VABC中，AP平分BAC，D為BC邊的中點，過點D作DQ∥AP，交CA

的延長線于點Q，交AB邊于點K．試判斷BK與CQ的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

【拓展應(yīng)用】（3）如圖3，在Rt△ABC中，BAC90，AC6，AB8，D為BC邊的中點，連接AD，

E為AC邊上一動點，連接BE交AD于點F．①若BFAC．求AE的長度；

AG4

②在射線AD上取一點G，且，連接BG，直接寫出4BE5BG的最小值．

CE5

7

【答案】（1）ABCH，AB∥CH；（2）BKCQ，見詳解；（3）①；②32810

3

【分析】（1）證ADB≌HDC(SAS)，得ABCH，BDCH，再由平行線的判定得AB∥CH即可；

（2）延長KD至點T，使DTDK，連接CT，證KDB≌TDC(SAS)，得BKCT，BKDT，再平行

線的性質(zhì)得BKDBAP，QCAP，然后證TQ，即可得出結(jié)論；（3）①延長FD至G，連接CG,

先證明VBDF≌VCDG(SAS)，得BFCG，BFDG，再證明VACD∽VAGC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)

即可；②如圖，過點B作BHAD交AD的延長線于點H，點E從點C向點A動時，點G從點A向點D運

動，BE,BG均同時減小，故點E在點A時，4BE5BG最小，再根據(jù)勾股定理即可．

【詳解】（1）解：D為BC邊的中點，BDCD，

ADBCDH，ADHD，ΔADBΔHDC(SAS)，

ABCH，BDCH，AB∥CH，故答案為：ABCH，AB∥CH；

（2）解：BKCQ，理由如下：如圖2，延長KD至點T，使DTDK，連接CT，

D為BC的中點，BDCD，KDBTDC，DKDT，

KDB≌TDC(SAS)，BKCT，BKDT，

DQ∥AP，BKDBAP，QCAP，

AP平分BAC，BAPCAP，TQ，BKCQ；

（3）解：①延長FD至G，連接CG,D為BC邊的中點,BDCD，QBDFCDG，

VBDF≌VCDG(SAS)，BFCG，BFDG，BE∥GC，

在Rt△ABC中，BAC90，AC6，AB8，D為BC邊的中點，

1

BCAB2AC210，ADBCCD5,DACACD，

2

BFAC，ACGC，CAGG，CADGAC,ACDG，VACD∽VAGC，

ACAD6536361114

,,AG，DGDFAGAD5，AFAGDFDG，

AGACAG65555

14

AEAFAE77

QBE∥GC，,5，AE，

ACAG636183

5

②如圖，過點B作BHAD交AD的延長線于點H，

點E從點C向點A動時，點G從點A向點D運動，BE,BG均同時減小，

故點E在點A時，4BE5BG最小，此時BEAB8,CE6，

AG4424241111

，即AGCE，DGADAG5，SVSV6812，

CE55555ABD2ABC22

1124

QSVADBH5BH12，BH，

ABD225

2

222247178

在RtVBHD中，DHBDBH5，GHDGDH，

55555

22

228248

在RtBHG中，BGBHGH10，

555

8

4BE5BG4851032810．故4BE5BG的最小值為32810．

5

【點睛】本題是三角形綜合題目，考