專題39最值模型之幾何轉(zhuǎn)化法求最值模型

（全等、相似、中位線、對(duì)角線性質(zhì)等）

幾何中最值問題是中考的常見題型，變幻無窮，試題設(shè)計(jì)新穎，形式活潑，涵蓋知識(shí)面廣，綜合性強(qiáng)。

在各地中考數(shù)學(xué)試卷中，幾何最值問題也是重難點(diǎn)內(nèi)容，在中考數(shù)學(xué)試卷中通常出現(xiàn)在壓軸題的位置。

本專題我們所講的幾何轉(zhuǎn)化法求幾何最值是對(duì)前面八類幾何最值模型的一個(gè)補(bǔ)充。雖然我們前面講的

幾何最值模型涵蓋了大部分的最值問題，但也有部分幾何最值無法很好的解決。鑒于此我們補(bǔ)充幾類幾何

轉(zhuǎn)化法（主要利用全等、相似、或其他的幾何性質(zhì)（如：中位線、對(duì)角線、特殊的邊角關(guān)系等）轉(zhuǎn)化），

希望對(duì)大家有所幫助！

.........................................................................................................................................................................................1

模型1.幾何轉(zhuǎn)化模型-全等轉(zhuǎn)化法.................................................................................................................1

模型2.幾何轉(zhuǎn)化模型-相似轉(zhuǎn)化法.................................................................................................................6

模型3.幾何轉(zhuǎn)化模型-中位線轉(zhuǎn)化法.............................................................................................................9

模型4.幾何轉(zhuǎn)化模型-對(duì)角線轉(zhuǎn)化法...........................................................................................................11

模型5.幾何轉(zhuǎn)化模型-其他性質(zhì)轉(zhuǎn)化法.......................................................................................................14

.................................................................................................................................................17

模型1.幾何轉(zhuǎn)化模型-全等轉(zhuǎn)化法

條件：OA=OB，OA’=OB'，∠AOB=∠A'OB'；結(jié)論：△OAA'△OBB'，AA'BB'。

該類轉(zhuǎn)化法求最值的模型，三角形OAB和OA’B’在圖形中很難同時(shí)出現(xiàn)，需要我們通過輔助線構(gòu)造出手拉

手型的全等模型，從而將所求線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化。

例1．（23-24八年級(jí)下·江蘇連云港·階段練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，DBC30，AB23，P是BC

邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接DP，把線段DP繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60到線段DQ，連接CQ，則線段CQ的最小值為．

【答案】3

【分析】在BD上截取DEDC，過點(diǎn)E作EFBC于點(diǎn)F，通過證明DEP≌DCQASA可得CQPE，

根據(jù)垂線段最短可得當(dāng)點(diǎn)P和點(diǎn)F重合時(shí)，PEBC，此時(shí)PE取最小值時(shí)，即可求解．

【詳解】解：在BD上截取DEDC，過點(diǎn)E作EFBC于點(diǎn)F，∵DBC30，∴EDC60，

∵線段DP繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60到線段DQ，∴PCQ60，DPDQ，

∴PCQPDCEDCPDC，即CDQEDP，

DEDC

在DEP和DCQ中，CDQEDP，∴DEP≌DCQASA，∴CQPE，

DPDQ

當(dāng)PE取最小值時(shí)，CQ也取得最小值，當(dāng)點(diǎn)P和點(diǎn)F重合時(shí)，PEBC，此時(shí)PE取最小值時(shí)，

∵四邊形ABCD為矩形，DBC30，AB23，∴BD2AB43，DCDEAB23，DBC30，

1

∴BEBDDE23，∴EFBE3，∴CQ的最小值為3．故答案為：3．

2

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，含30角的直角三角形，30角所對(duì)的邊

是斜邊的一半，解題的關(guān)鍵是正確畫出輔助線，構(gòu)造直角三角形．

例2．（23-24八年級(jí)上·江蘇南通·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為0，8，點(diǎn)B為x

軸上一動(dòng)點(diǎn)，以AB為邊在直線AB的右側(cè)作等邊三角形ABC．若點(diǎn)P為OA的中點(diǎn)，連接PC，則PC的長(zhǎng)

的最小值為．

【答案】6

【分析】本題考查了軸對(duì)稱―最短路線問題，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，添加

恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．

以AP為邊作等邊三角形APE，連接BE，過點(diǎn)E作EFAP于F，由“SAS”可證△ABE≌△ACP，可得

BEPC，則當(dāng)BE有最小值時(shí)，PC有最小值，即可求解．

【詳解】解：如圖，以AP為邊作等邊三角形APE，連接BE，過點(diǎn)E作EFAP于F，

點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,8)，OA8,點(diǎn)P為OA的中點(diǎn)，AP4,

△AEP是等邊三角形，EFAP，AFPF2,AEAP，EAPBAC60，BAECAP，

AEAP

在ABE和△ACP中，BAECAP,ABE≌ACPSAS，BEPC,

ABAC

當(dāng)BE有最小值時(shí)，PC有最小值，即BE⊥x軸時(shí)，BE有最小值，

BE的最小值為OFOPPF426，∴PC的最小值為6，故答案為：6．

例3.（2024·四川內(nèi)江·二模）如圖，在OAB中，AOB90，BOAO22，P是OB的中點(diǎn)，若點(diǎn)D

在直線AB上運(yùn)動(dòng)，連接OD，以O(shè)D為腰，向OD的右側(cè)作等腰直角三角形ODE，連接PE，則在點(diǎn)D的

運(yùn)動(dòng)過程中，線段PE的最小值為．

【答案】1

【分析】取AO的中點(diǎn)Q，連接DQ，先證得OQD≌OPE，得出QDPE，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離可知當(dāng)

QDAB時(shí)，QD最小，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求得QDAB時(shí)QD的值，即可求得線段PF的最

小值．

【詳解】解：如圖，取AO的中點(diǎn)Q，連接DQ，

∵DOE為等腰直角三角形，AOB90，∴AOBDOE90，DODE，∴AODBOE，

∵BOAO22，P為BO中點(diǎn)，Q是AO的中點(diǎn)，∴AQOQBPOP2，

OQOP

在ODQ和OPE中，QODPOE，∴OQDOPE，∴QDPE，

ODOE

∵點(diǎn)D在直線AB上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)QDAB時(shí)，QD最小，∵AOB90，BOAO22，∴A45，

∵QDAB，∴QAD是等腰直角三角形，∵AQ2，∴ADDQ1，

∴線段PE的最小值是為1．故答案為：1．

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，全等三角形的判定與性質(zhì)以及垂線

段最短問題，通過分析條件添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．

例4．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在VABC中，ACB90，AB4，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，以BC為

直角邊向作等腰Rt△BCD，連接OD，當(dāng)OD取得最大值時(shí)，OBD的面積為．

【答案】22

【詳解】解：過點(diǎn)B作BEAB，使BEBO，連接OC，OE，CE，如圖1所示：

1

則EBO90，OBE為等腰直角三角形，AB4，點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，BEBOAB2，

2

由勾股定理得：OEBE2BO222，

1

在VABC中，ACB90，AB4，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，COBOAOAB2，

2

等腰Rt△BCD是以BC直角邊的等腰三角形，BCBD，CBD90，

EBCEBOABC90ABC，OBDABCCBD90ABC，EBCOBD，

BEBO

在EBC和OBD中，EBCOBD，△EBC≌OBDSAS，ECOD，

BCBD

根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得：ECOCOE，即EC222，OD222，OD的最大值為222，

此時(shí)點(diǎn)E，O，C在同一條直線上，過點(diǎn)D作DFAB交AB的延長(zhǎng)線于F，如圖2所示：

OBE為等腰直角三角形，BOE45，COBO2，OBCOCB，

又BOEOBCOCB45，OBCOCB22.5，OBD90OCB112.5，

EBC≌OBD，OCBODB22.5，DOB180OBDODB180112.522.545，

△ODF為等腰直角三角形，DFOF，由勾股定理得：OF2DF2OD2，

11

即22，，．

2DF(222)DF22SOBDOBDF22222

22

模型2.幾何轉(zhuǎn)化模型-相似轉(zhuǎn)化法

條件：OB=kOA，B'O=kOA’，∠AOB=∠A'OB'；結(jié)論：△OAA'∽△OBB'，BB'kAA'。

該類轉(zhuǎn)化法求最值的模型，三角形OAB和OA’B’在圖形中很難同時(shí)出現(xiàn)，需要我們通過輔助線構(gòu)造出手拉

手型的相似模型，從而將所求線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化。

BC3

例1．（23-24九年級(jí)上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，BCDC,,AD1,AB2，

CD4

則對(duì)角線AC的最小值為．

【答案】1

【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形三邊的關(guān)系等知識(shí)，準(zhǔn)確構(gòu)造出相似三角形對(duì)線段

進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．

DE5

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作AEAD，且

AD4

3BC3DEBD5

AD1AE設(shè)BC3k,CD4k則BD5k

4CD4ADCD4

EBBD54

ADCEDBEDBADCACEB當(dāng)EB最小時(shí)，AC最小

ACCD45

3545

EBABAEEB最小為2AC最小為1故答案為：1．

4454

例2．（2024上·浙江寧波·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，O的直徑AB長(zhǎng)為16，點(diǎn)E是半徑OA的中點(diǎn)，過

點(diǎn)E作CDAB交O于點(diǎn)C，D．點(diǎn)P在CBD上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在線段CP上，且PQ2CQ．則EQ的最大

能是．

48

【答案】13

33

1

【分析】延長(zhǎng)CD到F，使得DFDE，連接OF，PF，OP，OD．首先證明EQPF，解直

3

角三角形求出OF，求出PF的最大值即可解決問題．

【詳解】解：延長(zhǎng)CD到F，使得DFDE，連接OF，PF，OP，OD．

∵ABCD∴CEDE∵DEDF∴EF2CE∵PQ2CQ

CECQ1CECQ1EQCE1

∴則∵ECQFCP∴ECQ∽FCP則

EFQP2CFCP3PFCF3

又∵AEOE4，OD8，OED90∴DEOD2OE2824243

2

在RtOED中EF2DE83，OE4∴OFOE2EF24283413

∵PFOPOF∴PF8413則PF的最大值為8413

4848

∴EQ的最大值為13故答案為13

3333

【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化

的思想思考問題．

例3．（23-24八年級(jí)下·云南曲靖·期中）如圖，在矩形ABCD中，AB3，BC4，AC與BD交于點(diǎn)O，

分別過點(diǎn)C，D作BD，AC的平行線相交于點(diǎn)F，點(diǎn)G是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P是四邊形OCFD邊上的動(dòng)點(diǎn)，

則PG的最小值是（）

3456

A．B．C．D．

2345

【答案】D

【分析】先判定四邊形OCFD為菱形，找出當(dāng)GP垂直于菱形OCFD的一邊時(shí)，PG有最小值．過D點(diǎn)作

DMAC于M，過G點(diǎn)作GPAC與P，則GP∥DM，利用平行四邊形的面積求解DM的長(zhǎng)，再利用相

似三角形的判定和性質(zhì)可求解PG的長(zhǎng)，進(jìn)而可求解．

【詳解】解：∵四邊形ABCD為矩形，ACBD，∴ODOC．

∵DF∥OC，OD∥CF，∴四邊形OCFD為萎形．∵點(diǎn)G是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P是四邊形OCFD邊上的動(dòng)點(diǎn)，

∴當(dāng)GP垂直于萎形OCFD的一邊時(shí)，PG有最小值．

如圖，過D點(diǎn)作DMAC于M，過G點(diǎn)作GPAC與P，則GP∥DM，

∵AB3，BC4，∴CDAB3，AC32425．

1112

∵SACDMADCD，∴ACDMADCD，即5DM43，解得DM．

ACD225

∵GP∥DM，G為CD的中點(diǎn)，∴△CPG∽△CMD，

PG1

PGCG66

∴，∴122，∴PG，故PG的最小值為．故選：D．

DMCD55

5

【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)．正

確確定當(dāng)GP垂直于萎形OCFD的一邊時(shí)，PG有最小值和正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．

模型3.幾何轉(zhuǎn)化模型-中位線轉(zhuǎn)化法

三角形的中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半。

條件：如圖，在三角形ABC的AB，AC邊的中點(diǎn)分別為D、E，

1

結(jié)論：（1）DE//BC且DEBC，（2）ADE∽ABC。

2

△△

證明：如圖1，過點(diǎn)C作CF∥AB交DE延長(zhǎng)于點(diǎn)F，∴∠A∠ECF，∠F∠ADE，

∵DE是VABC的中位線，∴ADBD，AECE，∴△ADE≌△CFEAAS，∴DEFE，CFAD，

1

∴CFBD，DEDF，又∵CF∥BD，∴四邊形BCFD是平行四邊形，

2

1

∴BCDF，BC∥DF，∴DE∥BC，DEBC；

2

∵DE∥BC，∴ADEB，AEDC，∴ADE∽ABC。

△△

例1．（2024·山東德州·二模）如圖，在平行四邊形ABCD中，AD6，BD8，ADDB，點(diǎn)M、N分

別是邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)（不與A、B、C重合），點(diǎn)E、F分別為DN、MN的中點(diǎn)，連接EF，則EF

的最小值為（）

A．2.4B．3C．4D．4.8

【答案】A

1

【分析】本題考查了三角形中位線定理，勾股定理，利用三角形中位線定理得出EFDM，則當(dāng)DMAB

2

時(shí)，DM最小，則EF最小，利用勾股定理求出AB，然后利用等面積法求出DM的最小值，即可求解．

【詳解】解：連接DM，

1

∵點(diǎn)E、F分別為DN、MN的中點(diǎn)，∴EFDM，當(dāng)DMAB時(shí)，DM最小，則EF最小，

2

∵AD6,BD8,ADDB，∴ABAD2BD210，

1111

設(shè)△ABD中AB邊上高為h，則SABDADBDABh，∴6810h，

2222

1

∴h4.8，∴DM最小值為4.8，則EF最小值為4.82.4，故選：A．

2

例2．（2024·廣東肇慶·一模）如圖，點(diǎn)C在以AB為直徑的半圓上，D是半圓上不與點(diǎn)C重合的動(dòng)點(diǎn)．連

接CD，M是CD的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作CPAB于點(diǎn)P．若AB9，則PM的最大值是．

9

【答案】

2

【分析】本題考查了圓的性質(zhì)、三角形中位線定理，延長(zhǎng)CP至E，使CPPE，連接DE，結(jié)合題意得出

1

即點(diǎn)E在圓上，由三角形中位線定理得出PMDE，則當(dāng)DE經(jīng)過原點(diǎn)O時(shí)，DE有最大值為9，此時(shí)PM

2

有最大值，即可得解．

【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)CP至E，使CPPE，連接DE，

，

1

CPAB，點(diǎn)C、E關(guān)于直線AB對(duì)稱，即點(diǎn)E在圓上，M是CD的中點(diǎn)，PMDE，

2

199

當(dāng)DE經(jīng)過原點(diǎn)O時(shí)，DE有最大值為9，此時(shí)PM有最大值，為DE，故答案為：．

222

例3．（2023·四川成都·一模）已知矩形ABCD中，AB2AD8，點(diǎn)E、F分別是邊AB、CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P

為AD邊上動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作與AB平行的直線交AF于點(diǎn)G，連接PE，點(diǎn)M是PE中點(diǎn)，連接MG，則MG的

最小值＝．

【答案】25

5

1

【分析】連接AC交PG與點(diǎn)N，連接EN，證明MGEN，求EN最小值即可．

2

【詳解】解：∵AB2AD8，點(diǎn)E、F分別是邊AB、CD的中點(diǎn)，

5

∴CFFD，AE4，AC428245，∴sinBAC，連接AC交PG與點(diǎn)N，連接EN，

5

NGAGPG

∵PG//CD，∴ANGACF，APGADF；∴，

CFAFDF

1

∵CFFD，∴NGPG，∵點(diǎn)M是PE中點(diǎn)，∴MGEN，

2

EN5452525

當(dāng)ENAC時(shí)，EN最小，MG也最?。籹inBAC，EN，MG；故答案為：．

AE5555

1

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和解直角三角形，解題關(guān)鍵是恰當(dāng)作輔助線，得出MGEN，求EN

2

最小值．

模型4.幾何轉(zhuǎn)化模型-（特殊）平行四邊形對(duì)角線轉(zhuǎn)化法

該模型主要運(yùn)用（特殊）平行四邊形對(duì)角線的性質(zhì)（如：平行四邊形對(duì)角線互相平分、矩形的對(duì)角線相等）

來將不易求得的某些線段轉(zhuǎn)化為能易求的線段進(jìn)行求解。

例1．（24-25九年級(jí)上·廣東河源·階段練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AD6，AB8，M為線段BD上

一動(dòng)點(diǎn)，MPCD于點(diǎn)P，MQBC于點(diǎn)Q，則PQ的最小值為．

424

【答案】4.8/4/

55

【分析】本題主要考查了矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理、垂線段最短以及三角形面積等知識(shí)，掌握矩形的

判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．連接MC，首先根據(jù)勾股定理解得BD的值，證明四邊形MPCQ是矩形，可得

PQCM，當(dāng)時(shí)CMBD，CM最小，則PQ最小，然后由面積法求出CM的長(zhǎng)，即可獲得答案．

【詳解】解：如圖，連接MC，

∵四邊形ABCD為矩形，AD6，AB8，∴BCD90，BCAD6，ABCD8，

∴BDBC2CD2628210∵M(jìn)PCD，MQBC，∴MPCMQCPCQ90，

∵四邊形MPCQ是矩形，∴PQCM，當(dāng)時(shí)CMBD，CM最小，則PQ最小，

1111

此時(shí)SBCCDBDCM，即6810CM，解得CM4.8，

BCD2222

∴PQ的最小值為4.8．故答案為：4.8．

例2．（23-24九年級(jí)上·廣東茂名·期末）如圖，P是Rt△ABC的斜邊AC（不與點(diǎn)A、C重合）上一動(dòng)點(diǎn)，

分別作PMAB于點(diǎn)M，PNBC于點(diǎn)N，O是MN的中點(diǎn)，若AB5，BC12，當(dāng)點(diǎn)P在AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，

BO的最小值是．

304

【答案】/2

1313

【分析】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、垂線段最短、勾股定理等知識(shí)．連接BP，證四邊形BMPN是矩形，

得BPMN．再根據(jù)當(dāng)BPAC時(shí)，BP最小，然后由面積法求出BP的最小值，即可解決問題．

【詳解】解：連接BP，如圖，

∵AB5，BC12，∴ACAB2BC213．

∵ABC90，PMAB，PNBC，∴四邊形BMPN是矩形，∴BPMN，BP與MN互相平分．

1

∵點(diǎn)O是MN的中點(diǎn)，∴點(diǎn)O在BP上，BOBP．∵當(dāng)BPAC時(shí)，BP最小，

2

116013030

又∵此時(shí)S△ABBCACBP，∴51213BP，∴BP，∴BOBP．故答案為：．

ABC221321313

例3．（2024·河南周口·一模）如圖，Rt△ABC中，ACB90，AC4，BC6，點(diǎn)P為AB上一個(gè)動(dòng)

點(diǎn)，以PC，PB為鄰邊構(gòu)造平行四邊形PBQC，連接PQ，則PQ的最小值為（）

61012

A．13B．13C．13D．13

131313

【答案】C

【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，垂線段最短，設(shè)BC，PQ交于O，

1

過點(diǎn)O作OHAB于H，由平行四邊形的性質(zhì)得到PQ2OP，OBBC3，則由垂線段最短可知，當(dāng)

2

點(diǎn)P與點(diǎn)H重合時(shí)，OP最小，最小值為OH的值，即此時(shí)PQ最小，最小值為OH的值的2倍，利用勾股定

OHAC

理求出ABAC2BC2213，再解直角三角形得到，據(jù)此求解即可．

OBAB

【詳解】解：如圖所示，設(shè)BC，PQ交于O，過點(diǎn)O作OHAB于H，

1

∵四邊形PBQC是平行四邊形，∴PQ2OP，OBBC3，∴當(dāng)OP最小時(shí)，PQ最小，

2

由垂線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)H重合時(shí)，OP最小，最小值為OH的值，即此時(shí)PQ最小，最小值為OH的

值的2倍，在Rt△ABC中，ACB90，AC4，BC6，

OHAC

∴ABAC2BC2213，∴sin∠OBHsin∠ABC，

OBAB

OH461312

∴，∴OH，∴PQ最小值為13，故選：C．

32131313

模型5.幾何轉(zhuǎn)化模型-其他性質(zhì)轉(zhuǎn)化法

圖1圖2

如圖1，等腰三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，則BC=3AC.

如圖2，等腰直角三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，則BC=2AC.

例1．（23-24九年級(jí)上·廣西柳州·期末）如圖，正方形ABCD，邊長(zhǎng)AB2，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，

將直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，三角板兩邊足夠長(zhǎng)，與BC、CD交于E、F兩點(diǎn)，當(dāng)三角板繞點(diǎn)O

旋轉(zhuǎn)時(shí)，線段EF的最小值為（）

A．1B．2C．2D．22

【答案】C

【分析】證明OEC≌OFD，得到EF2OE，要使EF有最小值，即求OE的最小值，當(dāng)OEBC時(shí)，OE

有最小值，由等腰三角形的性質(zhì)可求出．

【詳解】解：正方形ABCD，OCOD,ODCOCB45,OCOD，

DOFCOE,OCOD，ODCOCB45，OEC≌OFD(ASA)，

OEOF,EOF90，EF2OE，故要使EF有最小值，即求OE的最小值，

當(dāng)OEBC時(shí)，OE有最小值，OBOC,BOC90,OEBC，

1

OEBC1，線段EF的最小值為2．故選：C．

2

【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟

練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

例2．（23-24九年級(jí)上·廣東深圳·階段練習(xí)）如圖，在ABC中，ABAC4，BAC120，P為BC邊

上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，將線段AP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120至AP，則線段PP的最小值為（）

53

A．B．23C．3D．5

2

【答案】B

【分析】過點(diǎn)A作ADPP于D，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到APAP，PAP120，進(jìn)而得到當(dāng)PD最短時(shí)，

11

PP最短，當(dāng)APBC時(shí)，AP最短，然后利用含30角直角三角形的性質(zhì)得到APAC2，ADAP1，

22

最后利用勾股定理求解即可．

【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)A作ADPP于D，

由旋轉(zhuǎn)可得，APAP，PAP120，∴PP2PD，APD30，

當(dāng)PD最短時(shí)，PP最短，∵P為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，∴當(dāng)APBC時(shí)，AP最短，

1

∵ABAC4，BAC120，∴C30，∴當(dāng)APBC時(shí)，APAC2，

2

1

∴ADAP1∴PDAP2AD23∴PP2PD23．故選：B．

2

【點(diǎn)睛】此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理和勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵

是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．

例3．（2024·江蘇無錫·三模）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥CB，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，且

AOB120．若ACBD4，則ADBC的最小值為（）

A．16B．4C．9D．2

【答案】D

【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵

是作輔助線將條件集中在同一個(gè)三角形中求解．作DE∥AC交BC的的延長(zhǎng)線于E，作BFDE于F，設(shè)

BDa，表示出DE，解斜三角形BCD，進(jìn)而求得結(jié)果．

【詳解】解：如圖，作DE∥AC交BC的的延長(zhǎng)線于E，作BFDE于F，

∵DE∥AC，BDFBOC180AOB60，∵AD∥CB，四邊形ADEC是平行四邊形，

ADCE，DEAC，ADBCCEBCBE，設(shè)BDa，則DEAC4a，

13

在Rt△BDF中，BDa，BDF60，DFacos60a，BFasin60a，

22

22

1333

，在中，2222，

EFDEDF4aa4aRtBCFBEBFEFa4a3(a2)4

2222

2

當(dāng)a2時(shí)，BE最小4，即BE最小2(ADBC)最小2．故選：D．

例4．（2024·陜西渭南·二模）如圖，在菱形ABCD中，ABC120，AB23，點(diǎn)E、F分別是AD、BC

邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AF，EF，若FA平分BFE，則DE的最大值為（結(jié)果保留根號(hào)）

【答案】233

【分析】此題考查了菱形的性質(zhì)，利用三角函數(shù)求邊長(zhǎng)，過點(diǎn)B作BGAD于點(diǎn)G，由菱形的性質(zhì)易得

BAD60，AD∥BC，求出BGABsinBAD3．根據(jù)菱形的性質(zhì)及角平分線得到DAFAFE，推

出AEEF．由AEDEAD23可知，當(dāng)AE最小時(shí)，DE最大，從而得到DE的最大值．

【詳解】過點(diǎn)B作BGAD于點(diǎn)G，由菱形的性質(zhì)易得BAD60，AD∥BC，則AFBDAF．

∵AB23，∴BGABsinBAD3．∵FA平分BFE，

∴AFBAFE，則DAFAFE，∴AEEF．

∵AEEF，∴AE最小BG3，∴DE的最大值為233．

1．（23-24九年級(jí)上·山西臨汾·期中）如圖，在ABC中，ABBC10，AC12，點(diǎn)D，E分別是AB,BC

邊上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)DE，F(xiàn)，M分別是AD,DE的中點(diǎn)，則FM的最小值為（）

A．12B．10C．9.6D．4.8

【答案】D

【分析】本題考查等腰三角形三線合一的性質(zhì)，三角形的面積，三角形中位線定理，正確得出AE的值是解

題的關(guān)鍵．過點(diǎn)B作BHAC于H，當(dāng)AE取最小值時(shí)，F(xiàn)M的值最小，由垂線段最短可知，當(dāng)AEBC于

點(diǎn)E時(shí)，AE的值最小，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出BH的長(zhǎng)，進(jìn)而利用三角形等面積法求解即可．

【詳解】過點(diǎn)B作BHAC于H，

1

∵F，M分別是AD,DE的中點(diǎn)，∴FMAE，當(dāng)AE取最小值時(shí)，F(xiàn)M的值最小，

2

由垂線段最短可知，當(dāng)AEBC于點(diǎn)E時(shí)，AE的值最小，

1

在ABC中，ABBC10，AC12，∴CHAC6，∴BHBC2CH28，

2

11

∴SV12848BCAE，∴AE9.6，∴FM4.8，故選：D．

ABC22

2．（2023·浙江杭州·二模）如圖，點(diǎn)O為VABC的內(nèi)心，B=60，BMBN，點(diǎn)M，N分別為AB，BC

上的點(diǎn)，且OMON．甲、乙兩人有如下判斷：甲：MON120：乙：當(dāng)MNBC時(shí)，△MON的周長(zhǎng)有

最小值．則下列說法正確的的是（）

A．只有甲正確B．只有乙正確C．甲、乙都正確D．甲、乙都錯(cuò)誤

【答案】A

【分析】此題主要考查了三角形的內(nèi)心，全等三角形的判定和性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵正確的作出輔助線構(gòu)

造全等三角形，難點(diǎn)是在解答△MON的周長(zhǎng)最小時(shí)，將三角形的各邊都用ON表示，并根據(jù)垂線段最短來

判斷．連接OB，過點(diǎn)O作ODAB于D，OEBC于E，依據(jù)“HL”判定RtODM和RtOEN全等，從而

得出DOMEON，然后再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和等于360即可對(duì)甲的說法進(jìn)行判斷；過點(diǎn)O作OFMN

3

于點(diǎn)F，則MN2NF，根據(jù)MON120得DNOF=DMOF=60°，進(jìn)而得NF=ON，據(jù)此得△MON

2

的周長(zhǎng)為(23)ON，只有當(dāng)ON最小時(shí)，△MON的周長(zhǎng)為最小，然后根據(jù)“垂線段最短”可對(duì)乙的說法進(jìn)

行判斷．

【詳解】解：連接OB，過點(diǎn)O作ODAB于D，OEBC于E，

點(diǎn)O為VABC的內(nèi)心，OB是ABC的平分線，又ODAB，OEBC，ODOE，

OMON

在RtODM和RtOEN中，，RtODM≌RtOENHL，DOMEON，

ODOE

在四邊形ODBE中，ODBOEB90，BDOE180，

又B=60，DOE120，即：DDON+DEON=120°，

DONDOM120，即：MON120，故甲的說法正確；

過點(diǎn)O作OFMN于點(diǎn)F，OMON，OFMN

OF是MON的平分線，MFNF，MN2NF，

又甲的說法正確；MON120，NOFMOF60，

NF3

在RtNOF中，sinNOF，NFONsinNOFONsin60ON，

ON2

MN=2NF=3ON，△MON的周長(zhǎng)為：OMONMN(23)ON，

當(dāng)ON最小時(shí)，△MON的周長(zhǎng)為最小，根據(jù)“垂線段最短”可知：當(dāng)ONBC時(shí)，△MON的周長(zhǎng)為最小，

MNBC，ON與BC一定不垂直，ON不是最小，

△MON的周長(zhǎng)不是最小，故乙的說法不正確．故選：A．

3．（23-24八年級(jí)下·廣東江門·期中）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)P是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，PEBC

于點(diǎn)E，PFCD于點(diǎn)F，連接AP，EF．給出下列結(jié)論：①APEF且APEF；②PFEBAP；③

△ADP一定是等腰三角形；④四邊形PECF的周長(zhǎng)為42；⑤EF的最小值為22；⑥PB2PD22PA2．其

中結(jié)論正確的是（）

A．①③④⑤B．②③④⑥C．①④⑤⑥D(zhuǎn)．①②⑤⑥

【答案】D

【詳解】①連接PC，延長(zhǎng)FP交于點(diǎn)G，PEBC，PFCD，PECPFC90，

正方形ABCD中，BCD90?，?EPF90，四邊形PECF是矩形，PCEF，

由正方形的對(duì)稱性知，APPC，APEF；AB∥CD，PFAB，

APG和FEP中，PEPG，PFAG，APEF；正確；

②PCEF，PEEP，RtPCE≌RtEFPHL，PFEECP，

BAPBCP，BAPPFE；正確；

③ADP45，DAPDPA135，DAP＜DAB90，DPA＞DBA45，

只有當(dāng)DAPDPA67.5時(shí)，或PADPDA45時(shí)，ADP才是等腰三角形，除此之外都不是等

腰三角形；不正確；

④BDCDBC45，DFPPEB90，BPE90PBE45，DPF90PDF45，

BEPE，DFPF，PEECPFCFBEECDFCFBCCD448；不正確；

⑤連接AC，設(shè)AC與交點(diǎn)為O，則ACBD，APAO，

??1

AC2AB42，AOAC22，AP≥22，EF≥22，EF的最小值為22；正確；

2

⑥AP2EF2PE2PF2，PEBE，PFDF，

2AP22PE22PF2=PB2PD2，即PB2PD2=2AP2；正確．故正確的有①②⑤⑥故選：D．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形，矩形，全等三角形，軸對(duì)稱，等腰三角形，勾股定理，解決問題的關(guān)鍵

是熟練掌握正方形性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱性質(zhì)，等腰三角形判定和

性質(zhì)，勾股定理解直角三角形．

4．（2024·江蘇揚(yáng)州·三模）如圖，正方形ABCD邊長(zhǎng)為4，以B為圓心，AB為半徑畫弧，E為弧AC上動(dòng)

點(diǎn)，連BE，取BE中點(diǎn)F，連CF，則DECF最小值為．

【答案】25

【分析】在BC上截取BG2，證明△BCF和BEG全等，得到CFEG，則DECFDEEGDG，由

此得出最小值．本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是將DECF轉(zhuǎn)化為

DEEG，根據(jù)三角形三邊關(guān)系，得出最小值．

【詳解】解：在BC上截取BG2，連接EG，DG，

∵正方形ABCD邊長(zhǎng)為4，以B為圓心，AB為半徑畫弧∴ABBECB4，

BCBE

∵F是BE中點(diǎn)，BF2BG，在△BCF和BEG中，CBFEBG，

BFBG

BCF≌BEG(SAS)，CFEG，DECFDEEGDG，

CD4，CG2，DGCD2CG225，DECF的最小值為25，故答案為：25．

5．（24-25九年級(jí)上·福建廈門·期中）如圖，若Rt△ABC中，ACB90，B30，AC23，P是BC

邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，把線段AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60到線段AQ，連接CQ，則線段CQ的最小值為（）

A．1B．3C．D．23

【答案】C3

【分析】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和