考前突破01規(guī)律探究（3大必考題型）60題題型一：數(shù)式規(guī)律探究題型二：圖形規(guī)律探究題型三：點坐標的規(guī)律探究題型一：數(shù)式規(guī)律探究【中考母題學(xué)方法】1．（2024·山東日照·中考真題）在數(shù)學(xué)活動課上，老師給出了一個數(shù)字構(gòu)造游戲：對于給定的一列有序數(shù)字，在每相鄰兩個數(shù)之間插入這兩數(shù)的和，形成新的一列有序數(shù)字．現(xiàn)有一列數(shù)：，進行第1次構(gòu)造，得到新的一列數(shù)：，第2次構(gòu)造后，得到一列數(shù)：，…，第n次構(gòu)造后得到一列數(shù)：，記．某小組經(jīng)過討論得出如下結(jié)論，錯誤的是（

）A． B．為偶數(shù) C． D．2．（2024·寧夏·中考真題）觀察下列等式：第1個：第2個：第3個：第4個：按照以上規(guī)律，第個等式為．3．（2024·山東濰坊·中考真題）將連續(xù)的正整數(shù)排成如圖所示的數(shù)表．記為數(shù)表中第行第列位置的數(shù)字，如，，．若，則，．【中考模擬即學(xué)即練】4．（2025·山東臨沂·一模）南宋數(shù)學(xué)家楊輝在其著作《詳解九章算法》中揭示了（n為非負整數(shù)）展開式的項數(shù)及各項系數(shù)的有關(guān)規(guī)律如下，后人也將下表稱為“楊輝三角”．……11

11

2

11

3

3

11

4

6

4

11

5

10

10

5

1……則展開式中所有項的系數(shù)和是．（結(jié)果用指數(shù)冪表示）5．（2024·重慶江津·二模）一個四位自然數(shù)，如果滿足各個數(shù)位上的數(shù)字互不相同，它的千位數(shù)字與個位數(shù)字之差為2，百位數(shù)字與十位數(shù)字之差為2，則稱這個數(shù)為“雙喜數(shù)”．對于一個“雙喜數(shù)”，記．例，因為，所以6314是“雙喜數(shù)”，．則；若一個四位自然數(shù)是“雙喜數(shù)”，且是整數(shù)，則滿足條件的的最大值為．6．（2024·湖北黃岡·模擬預(yù)測）我國南宋時期數(shù)學(xué)家楊輝于1261年寫下的《詳解九章算法》，書中記載的圖表給出了展開式的系數(shù)規(guī)律．

1

…………

1

1

…………

1

2

1

1

3

3

1

當(dāng)代數(shù)式的值為8時，則的值為．7．（2024·山東濱州·三模）如圖，在中，，，以的斜邊為直角邊作等腰直角三角形，再以的斜邊為直角邊作等腰直角三角形，…同樣的作法，作下去可以依次得到一組等腰直角三角形，，，，…，，則第個等腰直角三角形的面積為．8．（2024·重慶銅梁·一模）在中國文化中，“6”被視為完美的數(shù)字，因為它寓意和諧、順遂和圓滿，因此，“66”可以被解讀為雙倍順遂或更加完美．一個四位自然數(shù)，若各個數(shù)位上的數(shù)字均不為0．且滿足|?|．則稱這個四位數(shù)M為“雙順數(shù)”．例如：對于9226，∵，∴9226是“雙順數(shù)”；對于2689，∵，∴2689不是“雙順數(shù)”．則最大的“雙順數(shù)”是；如果將一個“雙順數(shù)”的千位數(shù)字與十位數(shù)字交換，百位數(shù)字與個位數(shù)字交換后得到四位數(shù)，并且規(guī)定：．若是整數(shù)，則符合條件的M的最小值是．9．（2024·湖南岳陽·模擬預(yù)測）已知，則．10．（2023·遼寧錦州·三模）設(shè)的面積為1，如圖①，將邊、分別2等分，、相交于點O，的面積記為；如圖②，將邊、分別3等分，、相交于點O，的面積記為；……，依此類推，則．題型二：圖形規(guī)律探究【中考母題學(xué)方法】11．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖是由一些同樣大小的三角形按照一定規(guī)律所組成的圖形，第1個圖有4個三角形．第2個圖有7個三角形，第3個圖有10個三角形……按照此規(guī)律排列下去，第674個圖中三角形的個數(shù)是（

）A．2022 B．2023 C．2024 D．202512．（2024·山東濟寧·中考真題）如圖，用大小相等的小正方形按照一定規(guī)律拼正方形．第一幅圖有1個正方形，第二幅圖有5個正方形，第三幅圖有14個正方形……按照此規(guī)律，第六幅圖中正方形的個數(shù)為（

）A．90 B．91 C．92 D．9313．（2024·四川巴中·中考真題）如圖，是用12個相似的直角三角形組成的圖案．若，則（

）A． B． C． D．14．（2024·青海·中考真題）如圖是由火柴棒擺成的圖案，按此規(guī)律擺放，第（7）個圖案中有個火柴棒．

15．（2024·西藏·中考真題）如圖是由若干個大小相同的“”組成的一組有規(guī)律的圖案，其中第1個圖案用了2個“”，第2個圖案用了6個“”，第3個圖案用了12個“”，第4個圖案用了20個“”，……，依照此規(guī)律，第n個圖案中“”的個數(shù)為（用含n的代數(shù)式表示）．16．（2024·山東泰安·中考真題）如圖所示，是用圖形“○”和“●”按一定規(guī)律擺成的“小屋子”．按照此規(guī)律繼續(xù)擺下去，第個“小屋子”中圖形“○”個數(shù)是圖形“●”個數(shù)的3倍．【中考模擬即學(xué)即練】17．（2024·浙江嘉興·一模）為美化市容，某廣場要在人行雨道上用大小相同的灰、白兩色的廣場磚鋪設(shè)圖案，設(shè)計人員畫出的一些備選圖案如圖所示，圖1灰磚有1塊，白磚有8塊；圖2灰磚有4塊，白磚有12塊；以此類推；若所選的圖中灰磚有64塊，則白磚有（

）塊A．28 B．30 C．34 D．3628．（2025·湖南婁底·一模）觀察圖形，若有六邊形2024個，則需火柴棍根．19．（2025·山西長治·模擬預(yù)測）如圖是一組有規(guī)律的圖案，它們是由大小相同的“<>”組成的，第1個圖案中有3個“”，第2個圖案中有9個“”，第3個圖案中有18個“”……按此規(guī)律，第n個圖案中有個“”．（用含n的代數(shù)式表示）題型三：點坐標的規(guī)律探究【中考母題學(xué)方法】20．（2023·山東煙臺·中考真題）如圖，在直角坐標系中，每個網(wǎng)格小正方形的邊長均為1個單位長度，以點P為位似中心作正方形，正方形，按此規(guī)律作下去，所作正方形的頂點均在格點上，其中正方形的頂點坐標分別為，，則頂點的坐標為（

）

A． B． C． D．21．（2024·湖北武漢·中考真題）如圖，小好同學(xué)用計算機軟件繪制函數(shù)的圖象，發(fā)現(xiàn)它關(guān)于點1,0中心對稱．若點，，，……，，都在函數(shù)圖象上，這個點的橫坐標從0.1開始依次增加0.1，則的值是（

）A． B． C．0 D．122．（2024·四川巴中·中考真題）如圖，是用12個相似的直角三角形組成的圖案．若，則（

）A． B． C． D．23．（2023·山東東營·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，直線l：與x軸交于點，以為邊作正方形點在y軸上，延長交直線l于點，以為邊作正方形，點在y軸上，以同樣的方式依次作正方形，…，正方形，則點的橫坐標是．

24．（2023·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點A在軸上，點B在軸上，，連接，過點O作于點，過點作軸于點；過點作于點，過點作軸于點；過點作于點，過點作軸于點；…；按照如此規(guī)律操作下去，則點的坐標為．

25．（2024·山東青島·中考真題）如圖，點為反比例函數(shù)圖象上的點，其橫坐標依次為．過點作x軸的垂線，垂足分別為點；過點作于點，過點作于點，…，過點作于點．記的面積為的面積為的面積為．(1)當(dāng)時，點的坐標為______，______，______，______（用含n的代數(shù)式表示）；(2)當(dāng)時，______（用含n的代數(shù)式表示）．【中考模擬即學(xué)即練】26．（2024·河北石家莊·二模）如圖，一只小螞蟻在平面直角坐標系中按圖中路線進行“爬樓梯”運動，第1次它從原點運動到點1,0，第2次運動到點，第3次運動到點2,1…按這樣的規(guī)律，經(jīng)過第2024次運動后，螞蟻的坐標是（

）A． B． C． D．27．（2024·山東威?！ざ＃┤鐖D，矩形為臺球桌面示意圖．小球起始位置在處，沿圖中所示的方向擊球，小球的運動軌跡如圖所示，當(dāng)小球第2024次碰到球桌邊時，小球的位置在（

）

A． B． C． D．28．（2024·新疆喀什·二模）如圖，正方形的頂點，，延長交x軸于點，作正方形，延長交x軸于點，作正方形，…，按照這樣的規(guī)律，點的縱坐標為（

）A． B． C． D．29．（2024·河南商丘·二模）在如圖所示的平面直角坐標系中，有一個由等邊三角形和以為直徑的半圓組成的“冰淇淋”形圖案，且點A，B在x軸上，點C在y軸上，，過點A作交半圓于點D，將該“冰淇淋”形圖案繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，則第98次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點D的坐標是（

）A． B．C． D．30．（2024·山東濟寧·二模）如圖，在平面直角坐標系中有一邊長為1的正方形，邊，分別在x軸、y軸上，如果以對角線為邊作第二個正方形，再以對角線為邊作第三個正方形，照此規(guī)律作下去，則點的坐標為（

）A． B． C． D．31．（2024·河南洛陽·三模）如圖，在平面直角坐標系中，大正方形是由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成的“趙爽弦圖”，正方形的中心與原點重合，軸，正方形的面積為5，正方形的面積為1，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，則第2024次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點的坐標為（

）

A． B． C． D．32．（2024·四川達州·二模）如圖，在平面直角坐標系中，等邊，點A的坐標為，每一次將繞著點O順時針方向旋轉(zhuǎn)，同時每邊擴大為原來的2倍，第一次旋轉(zhuǎn)后得到，第二次旋轉(zhuǎn)后得到，…，依次類推，則點的坐標為（

）A． B． C． D．33．（2024·甘肅武威·三模）如圖，點，，將扇形沿軸正方向做無滑動的滾動，在滾動過程中點的對應(yīng)點依次記為點，點，點，則的坐標是（）A． B．C． D．34．（2024·河南漯河·二模）如圖，彈性小球從點出發(fā)，沿箭頭所示方向運動，每當(dāng)小球碰到矩形的邊時就會反彈，反彈時反射角等于入射角，當(dāng)小球第1次碰到矩形的邊時對應(yīng)點的坐標為，第2次碰到矩形的邊時對應(yīng)點的坐標為……則第100次碰到矩形的邊時對應(yīng)點的坐標為（

）A．1,4 B． C． D．35．（2024·河南南陽·三模）如圖，點，點向上平移1個單位，再向右平移2個單位，得到點；點向上平移2個單位，再向右平移4個單位，得到點；點向上平移4個單位，再向右平移8個單位，得到點；…按這個規(guī)律平移得到點，則點的坐標為（

）A． B．C． D．36．（2024·江蘇鹽城·三模）如圖，平面直角坐標系中，都是斜邊在x軸上的等腰直角三角形，點；則根據(jù)圖示規(guī)律點A2025的坐標為（

）A． B． C． D．37．（2024·山東泰安·二模）含角的菱形，，，……，按如圖所示的方式放置在平面直角坐標系中，點，，，……，和點，，，，……，分別在直線和軸上．已知，，根據(jù)所給圖形，可以依次求出點，，，…，則圖中點的坐標是（

）A． B．C． D．38．（2024·河南周口·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形是菱形，，點B的坐標為，點P在菱形的邊上，從點O出發(fā)以每秒2個單位長度的速度，沿的路線作循環(huán)運動，則第2024秒時，點P的坐標為（

）A． B． C． D．39．（2024·黑龍江綏化·模擬預(yù)測）如圖，平面直角坐標系中，，，，都是斜邊在軸上，斜邊長分別為1，2，3，…的等腰直角三角形，若的頂點坐標分別為，，，則依圖中所示規(guī)律，點的坐標為．

40．（2024·四川內(nèi)江·一模）如圖，直線，點坐標為．過點作軸的垂線交直線l于點，以原點為圓心，長為半徑畫弧交軸負半軸于點，記的長為；再過點作軸的垂線交直線l于點，以原點為圓心，長為半徑畫弧交軸負半軸于點，記的長為，以此類推．那么的長為．41．（2024·河南信陽·三模）將半徑為1、圓心角為60°的扇形紙片按如圖所示的位置放于平面直角坐標系中，現(xiàn)將扇形紙片沿x軸正半軸向右作無滑動的連續(xù)滾動，點A依次落在x軸上的點，…的位置上，則點的橫坐標為．42．（2024·四川內(nèi)江·二模）如圖，（n為正整數(shù)）均為等邊三角形，它們的邊長依次是2，4，6，…，，頂點均在y軸上，點O是所有等邊三角形的中心，點的坐標為．43．（2024·四川德陽·二模）如圖，在平面直角坐標系中，點A在y軸上，點B在x軸上，，連接AB，過點O作于點，過點作軸于點；過點作于點，過點作軸于點；過點作于點，過點作軸于點；…；按照如此規(guī)律操作下去，則點的坐標為．44．（2024·山東東營·模擬預(yù)測）含角的菱形，，，…，按如圖所示的方式放置在平面直角坐標系中，點…，和點，…，分別在直線和軸上．已知，則點的坐標是45．（2024·山東棗莊·二模）在平面直角坐標系中，直線與x軸交于點，如圖所示依次作正方形、正方形、…、正方形，使得點在直線l上，點在y軸正半軸上，則點的橫坐標是．46．（2024·山東德州·二模）如圖，在平而直角坐標系中，有若干個橫、縱坐標均為整數(shù)的點，其順序按圖中“→”方向排列，第1個點的坐標為，第2個點的坐標為，第3個點的坐標為……根據(jù)這個規(guī)律，第2024個點的坐標為．47．（2024·山東泰安·二模）如圖，在平面直角坐標系中，有若干個整數(shù)點，其順序按圖中“→”方向排列，如0,1，，0,2，，2,3，，0,3，……，根據(jù)這個規(guī)律探索可得第2024個點的坐標是．48．（2024·山東東營·二模）在直角坐標系中，點從原點出發(fā)，沿如圖所示的方向運動，到達位置的坐標依次為：，，，，，，則的坐標為．49．（2024·山東泰安·二模）如圖，在平面直角坐標系中，將沿軸向右滾動到的位置，再到的位置依次進行下去，若已知點，，則的坐標為．50．（2024·山東淄博·二模）如圖，四邊形，，，，…，都是正方形，對角線，，，，…，都在x軸上（n是整數(shù)，且），點，，，，…，在反比例函數(shù)的圖象上．若已知正方形的面積為2，則點的坐標為．51．（2024·山東泰安·二模）如圖，在直角坐標系中，等腰直角三角形按如圖所示的方式放置，其中點均在一次函數(shù)的圖象上，點均在x軸上．若點的坐標為1,0，點的坐標為，則點的坐標為．52．（2024·廣東珠?！と＃┤鐖D，在平面直角坐標系內(nèi)，動點M第1次從點運動到，第2次運動到，第3次運動到，第4次運動到，第5次運動到，第6次運動到，第7次運動到……依此規(guī)律，第2024次運動到的坐標是．53．（2024·江蘇鹽城·模擬預(yù)測）在平面直角坐標系中，為等邊三角形，點A的坐標為1,0．把按如圖所示的方式放置，并將進行變換：第一次變換將繞著原點O順時針旋轉(zhuǎn)，同時邊長擴大為邊長的2倍，得到；第二次旋轉(zhuǎn)將繞著原點O順時針旋轉(zhuǎn)，同時邊長擴大為邊長的2倍，得到，…．依次類推，得到，則點的坐標為．54．（2024·甘肅酒泉·三模）如圖，動點P在平面直角坐標系中按圖中箭頭所示方向運動，第1次從原點運動到點，第2次接著運動到點，第3次接著運動到點，…，按這樣的運動規(guī)律，經(jīng)過第次運動后，動點P的坐標是．

55．（202