無窮級(jí)數(shù)無窮級(jí)數(shù)無窮級(jí)數(shù)是研究函數(shù)的工具表示函數(shù)研究性質(zhì)數(shù)值計(jì)算數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)付氏級(jí)數(shù)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念

二、無窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)三、級(jí)數(shù)收斂的必要條件機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第一節(jié)

一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念

引例1.用圓內(nèi)接正多邊形面積逼近圓面積.依次作圓內(nèi)接正邊形,這個(gè)和逼近于圓的面積A.設(shè)a0表示即內(nèi)接正三角形面積,ak表示邊數(shù)增加時(shí)增加的面積,則圓內(nèi)接正機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束定義：給定一個(gè)數(shù)列將各項(xiàng)依即稱上式為無窮級(jí)數(shù)，其中第n項(xiàng)叫做級(jí)數(shù)的一般項(xiàng),級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)和稱為級(jí)數(shù)的部分和.次相加,簡(jiǎn)記為收斂,則稱無窮級(jí)數(shù)并稱S

為級(jí)數(shù)的和,記作機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí),稱差值為級(jí)數(shù)的余項(xiàng).則稱無窮級(jí)數(shù)發(fā)散.顯然機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.討論等比級(jí)數(shù)(又稱幾何級(jí)數(shù))(q

稱為公比)的斂散性.解:1)若從而因此級(jí)數(shù)收斂,從而則部分和因此級(jí)數(shù)發(fā)散.其和為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2).若因此級(jí)數(shù)發(fā)散;因此n為奇數(shù)n為偶數(shù)從而綜合1)、2)可知,時(shí),等比級(jí)數(shù)收斂;時(shí),等比級(jí)數(shù)發(fā)散.則級(jí)數(shù)成為不存在,因此級(jí)數(shù)發(fā)散.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.

判別下列級(jí)數(shù)的斂散性:解:(1)所以級(jí)數(shù)(1)發(fā)散;技巧:利用“拆項(xiàng)相消”求和機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束(2)所以級(jí)數(shù)(2)收斂,其和為1.技巧:利用“拆項(xiàng)相消”求和機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束

例3.判別級(jí)數(shù)的斂散性.解:故原級(jí)數(shù)收斂,其和為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束二、無窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)1.若級(jí)數(shù)收斂于S,則各項(xiàng)乘以常數(shù)c所得級(jí)數(shù)也收斂,證:令則這說明收斂,其和為cS.

說明:級(jí)數(shù)各項(xiàng)乘以非零常數(shù)后其斂散性不變.即其和為cS.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束性質(zhì)2.

設(shè)有兩個(gè)收斂級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù)也收斂,其和為證:令則這說明級(jí)數(shù)也收斂,其和為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束說明:(2)若兩級(jí)數(shù)中一個(gè)收斂一個(gè)發(fā)散,則必發(fā)散.但若二級(jí)數(shù)都發(fā)散,不一定發(fā)散.例如,

(1)性質(zhì)2表明收斂級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)相加或減.(用反證法可證)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束性質(zhì)3.在級(jí)數(shù)前面加上或去掉有限項(xiàng),不會(huì)影響級(jí)數(shù)的斂散性.證:

將級(jí)數(shù)的前k項(xiàng)去掉,的部分和為數(shù)斂散性相同.當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí),其和的關(guān)系為類似可證前面加上有限項(xiàng)的情況.極限狀況相同,故新舊兩級(jí)所得新級(jí)數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束性質(zhì)4.

收斂級(jí)數(shù)加括弧后所成的級(jí)數(shù)仍收斂于原級(jí)數(shù)的和.證:設(shè)收斂級(jí)數(shù)若按某一規(guī)律加括弧,則新級(jí)數(shù)的部分和序列為原級(jí)數(shù)部分和序列的一個(gè)子序列,推論:若加括弧后的級(jí)數(shù)發(fā)散,則原級(jí)數(shù)必發(fā)散.注意:收斂級(jí)數(shù)去括弧后所成的級(jí)數(shù)不一定收斂.但發(fā)散.因此必有例如，用反證法可證例如機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例4.判斷級(jí)數(shù)的斂散性:解:考慮加括號(hào)后的級(jí)數(shù)發(fā)散,從而原級(jí)數(shù)發(fā)散.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束三、級(jí)數(shù)收斂的必要條件

設(shè)收斂級(jí)數(shù)則必有證:

可見:若級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于0,則級(jí)數(shù)必發(fā)散.例如,其一般項(xiàng)為不趨于0,因此這個(gè)級(jí)數(shù)發(fā)散.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束注意:并非級(jí)數(shù)收斂的充分條件.例如,調(diào)和級(jí)數(shù)雖然但此級(jí)數(shù)發(fā)散.事實(shí)上

,假設(shè)調(diào)和級(jí)數(shù)收斂于S,則但矛盾!所以假設(shè)不真.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例5.

判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性,若收斂求其和:解:(1)令則故從而這說明級(jí)數(shù)(1)發(fā)散.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束因進(jìn)行拆項(xiàng)相消這說明原級(jí)數(shù)收斂,其和為(2)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束這說明原級(jí)數(shù)收斂,其和為3.(3)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法三、絕對(duì)收斂與條件收斂

第二節(jié)一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束

一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法若定理1.

正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂部分和序列有界.若收斂,∴部分和數(shù)列有界,故從而又已知故有界.則稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù).單調(diào)遞增,收斂,也收斂.證:“”“”機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束都有定理2(比較審斂法)設(shè)且存在對(duì)一切有(1)若強(qiáng)級(jí)數(shù)則弱級(jí)數(shù)(2)若弱級(jí)數(shù)則強(qiáng)級(jí)數(shù)證:設(shè)對(duì)一切則有收斂,也收斂;發(fā)散,也發(fā)散.分別表示弱級(jí)數(shù)和強(qiáng)級(jí)數(shù)的部分和,則有是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù),(常數(shù)k>0),因在級(jí)數(shù)前加、減有限項(xiàng)不改變其斂散性,故不妨機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束(1)若強(qiáng)級(jí)數(shù)則有因此對(duì)一切有由定理1可知,則有(2)若弱級(jí)數(shù)因此這說明強(qiáng)級(jí)數(shù)也發(fā)散.也收斂.發(fā)散,收斂,弱級(jí)數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.

討論p級(jí)數(shù)(常數(shù)p>0)的斂散性.解:1)若因?yàn)閷?duì)一切而調(diào)和級(jí)數(shù)由比較審斂法可知p級(jí)數(shù)發(fā)散.發(fā)散,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束因?yàn)楫?dāng)故考慮強(qiáng)級(jí)數(shù)的部分和故強(qiáng)級(jí)數(shù)收斂,由比較審斂法知p級(jí)數(shù)收斂.時(shí),2)若機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束調(diào)和級(jí)數(shù)與p級(jí)數(shù)是兩個(gè)常用的比較級(jí)數(shù).若存在對(duì)一切機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束證明級(jí)數(shù)發(fā)散.證:因?yàn)槎?jí)數(shù)發(fā)散根據(jù)比較審斂法可知,所給級(jí)數(shù)發(fā)散.例2.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束定理3.

(比較審斂法的極限形式)則有兩個(gè)級(jí)數(shù)同時(shí)收斂或發(fā)散;(2)當(dāng)

l=

0

(3)當(dāng)

l=∞

證:據(jù)極限定義,設(shè)兩正項(xiàng)級(jí)數(shù)滿足(1)當(dāng)0<l<∞時(shí),機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束由定理

2可知同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散;(3)當(dāng)l=∞時(shí),即由定理2可知,若發(fā)散,(1)當(dāng)0<l<∞時(shí),(2)當(dāng)l=

0時(shí),由定理2知收斂,若機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù),(1)當(dāng)時(shí),兩個(gè)級(jí)數(shù)同時(shí)收斂或發(fā)散;特別取可得如下結(jié)論:對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù)(2)當(dāng)且收斂時(shí),(3)當(dāng)且發(fā)散時(shí),也收斂;也發(fā)散.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束的斂散性.～例3.

判別級(jí)數(shù)的斂散性.解:

根據(jù)比較審斂法的極限形式知例4.判別級(jí)數(shù)解:根據(jù)比較審斂法的極限形式知～機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束定理4

.比值審斂法(D’alembert判別法)設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù),且則(1)當(dāng)(2)當(dāng)證:(1)收斂,時(shí),級(jí)數(shù)收斂;或時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散.由比較審斂法可知機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束因此所以級(jí)數(shù)發(fā)散.時(shí)(2)當(dāng)說明:

當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.例如,

p–級(jí)數(shù)但級(jí)數(shù)收斂;級(jí)數(shù)發(fā)散.從而機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例5.

討論級(jí)數(shù)的斂散性.解:

根據(jù)定理4可知:級(jí)數(shù)收斂;級(jí)數(shù)發(fā)散;機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法

則各項(xiàng)符號(hào)正負(fù)相間的級(jí)數(shù)稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù).定理6

.(Leibnitz

判別法)若交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件:則級(jí)數(shù)收斂,且其和其余項(xiàng)滿足機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束證:

是單調(diào)遞增有界數(shù)列,又故級(jí)數(shù)收斂于S,且故機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束收斂收斂用Leibnitz判別法判別下列級(jí)數(shù)的斂散性:收斂上述級(jí)數(shù)各項(xiàng)取絕對(duì)值后所成的級(jí)數(shù)是否收斂?發(fā)散收斂收斂機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束三、絕對(duì)收斂與條件收斂

定義:

對(duì)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)若若原級(jí)數(shù)收斂,但取絕對(duì)值以后的級(jí)數(shù)發(fā)散,則稱原級(jí)收斂,數(shù)為條件收斂.均為絕對(duì)收斂.例如：絕對(duì)收斂；則稱原級(jí)數(shù)條件收斂.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束定理7.

絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)一定收斂.證:設(shè)根據(jù)比較審斂法顯然收斂,收斂也收斂且收斂,令機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例7.證明下列級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂:證:(1)而收斂,收斂因此絕對(duì)收斂.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束(2)令因此收斂,絕對(duì)收斂.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)1.利用部分和數(shù)列的極限判別級(jí)數(shù)的斂散性2.利用正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法必要條件不滿足發(fā)散滿足比值審斂法收斂發(fā)散不定比較審斂法用它法判別部分和極限機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束3.任意項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法為收斂級(jí)數(shù)Leibniz判別法:則交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂概念:絕對(duì)收斂條件收斂機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束思考與練習(xí)設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂,能否推出收斂?提示:由比較判斂法可知收斂.注意:反之不成立.例如,收斂,發(fā)散.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束備用題1.判別級(jí)數(shù)的斂散性:解:

(1)發(fā)散,故原級(jí)數(shù)發(fā)散.不是p–級(jí)數(shù)(2)發(fā)散,故原級(jí)數(shù)發(fā)散.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2.

則級(jí)數(shù)(A)發(fā)散;(B)絕對(duì)收斂;(C)條件收斂;(D)收斂性根據(jù)條件不能確定.分析:∴(B)錯(cuò);又C機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第三節(jié)一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念

二、冪級(jí)數(shù)及其收斂性三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算冪級(jí)數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束

一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念設(shè)為定義在區(qū)間I上的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù).對(duì)若常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂點(diǎn),所有收斂點(diǎn)的全體稱為其收斂域

;若常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)為定義在區(qū)間I上的函數(shù),稱收斂,發(fā)散,所有為其收為其發(fā)散點(diǎn),發(fā)散點(diǎn)的全體稱為其發(fā)散域

.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束為級(jí)數(shù)的和函數(shù)

,并寫成若用令余項(xiàng)則在收斂域上有表示函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)前n

項(xiàng)的和,即在收斂域上,函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和是

x

的函數(shù)稱它機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例如,

等比級(jí)數(shù)它的收斂域是它的發(fā)散域是或?qū)懽饔秩?

級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)發(fā)散;所以級(jí)數(shù)的收斂域僅為有和函數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束二、冪級(jí)數(shù)及其收斂性

形如的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù),其中數(shù)列下面著重討論例如,冪級(jí)數(shù)為冪級(jí)數(shù)的系數(shù)

.即是此種情形.的情形,即稱機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束發(fā)散發(fā)散收斂收斂發(fā)散定理1.(Abel定理)

若冪級(jí)數(shù)則對(duì)滿足不等式的一切x

冪級(jí)數(shù)都絕對(duì)收斂.反之,若當(dāng)?shù)囊磺衳,該冪級(jí)數(shù)也發(fā)散.時(shí)該冪級(jí)數(shù)發(fā)散,則對(duì)滿足不等式證:

設(shè)收斂,則必有于是存在常數(shù)M>0,使阿貝爾目錄上頁下頁返回結(jié)束當(dāng)時(shí),收斂,故原冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.也收斂,反之,若當(dāng)時(shí)該冪級(jí)數(shù)發(fā)散,下面用反證法證之.假設(shè)有一點(diǎn)滿足不等式所以若當(dāng)滿足且使級(jí)數(shù)收斂,面的證明可知,級(jí)數(shù)在點(diǎn)故假設(shè)不真.的x,原冪級(jí)數(shù)也發(fā)散.

時(shí)冪級(jí)數(shù)發(fā)散,則對(duì)一切則由前也應(yīng)收斂,與所設(shè)矛盾,證畢機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束定理2.

若的系數(shù)滿足證:1)若

≠0,則根據(jù)比值審斂法可知:當(dāng)原級(jí)數(shù)收斂;當(dāng)原級(jí)數(shù)發(fā)散.即時(shí),1)當(dāng)

≠0時(shí),2)當(dāng)

＝0時(shí),3)當(dāng)

＝∞時(shí),即時(shí),則機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2)若則根據(jù)比值審斂法可知,絕對(duì)收斂,3)若則對(duì)除x=0以外的一切x原級(jí)發(fā)散,對(duì)任意

x原級(jí)數(shù)因此因此的收斂半徑為說明:據(jù)此定理因此級(jí)數(shù)的收斂半徑機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束冪級(jí)數(shù)在(－∞,+∞)收斂;由Abel定理可以看出,中心的區(qū)間.用±R

表示冪級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散的分界點(diǎn),的收斂域是以原點(diǎn)為則R=0時(shí),冪級(jí)數(shù)僅在x=0收斂;R=

時(shí),冪級(jí)數(shù)在(－R,R)收斂;(－R,R)加上收斂的端點(diǎn)稱為收斂域.R稱為收斂半徑，在[－R,R]可能收斂也可能發(fā)散.外發(fā)散;在(－R,R)稱為收斂區(qū)間.發(fā)散發(fā)散收斂收斂發(fā)散機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束對(duì)端點(diǎn)

x=－1,

的收斂半徑及收斂域.解:對(duì)端點(diǎn)x=1,級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂;

級(jí)數(shù)為發(fā)散.故收斂域?yàn)槔?.求冪級(jí)數(shù)

機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.求下列冪級(jí)數(shù)的收斂域:解:(1)所以收斂域?yàn)?2)所以級(jí)數(shù)僅在x=0處收斂.規(guī)定:0!=1機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.的收斂半徑.解:

級(jí)數(shù)缺少奇次冪項(xiàng),不能直接應(yīng)用定理2,比值審斂法求收斂半徑.時(shí)級(jí)數(shù)收斂時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散故收斂半徑為故直接由機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例4.的收斂域.解:

令級(jí)數(shù)變?yōu)楫?dāng)t=2

時(shí),級(jí)數(shù)為此級(jí)數(shù)發(fā)散;當(dāng)t=–2時(shí),級(jí)數(shù)為此級(jí)數(shù)條件收斂;因此級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)楣试?jí)數(shù)的收斂域?yàn)榧礄C(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算定理3.

設(shè)冪級(jí)數(shù)及的收斂半徑分別為令則有:其中以上結(jié)論可用部分和的極限證明.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束說明:兩個(gè)冪級(jí)數(shù)相除所得冪級(jí)數(shù)的收斂半徑可能比原來兩個(gè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑小得多.例如,設(shè)它們的收斂半徑均為但是其收斂半徑只是機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束定理4

若冪級(jí)數(shù)的收斂半徑(證明見第六節(jié))則其和函在收斂域上連續(xù),且在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)與逐項(xiàng)求積分,運(yùn)算前后收斂半徑相同:注:

逐項(xiàng)積分時(shí),運(yùn)算前后端點(diǎn)處的斂散性不變.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束解:

由例2可知級(jí)數(shù)的收斂半徑R＝+∞.例5.則故有故得的和函數(shù).因此得設(shè)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例6.

的和函數(shù)解:

易求出冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為1,x＝±1時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例7.

求級(jí)數(shù)的和函數(shù)解:

易求出冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為1,及收斂,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束因此由和函數(shù)的連續(xù)性得:而及機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例8.解:

設(shè)則機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束而故機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)1.求冪級(jí)數(shù)收斂域的方法1)對(duì)標(biāo)準(zhǔn)型冪級(jí)數(shù)先求收斂半徑,再討論端點(diǎn)的收斂性.2)對(duì)非標(biāo)準(zhǔn)型冪級(jí)數(shù)(缺項(xiàng)或通項(xiàng)為復(fù)合式)求收斂半徑時(shí)直接用比值法或根值法,2.冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)兩個(gè)冪級(jí)數(shù)在公共收斂區(qū)間內(nèi)可進(jìn)行加、減與也可通過換元化為標(biāo)準(zhǔn)型再求.乘法運(yùn)算.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2)在收斂區(qū)間內(nèi)冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)連續(xù);3)冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)和求積分.思考與練習(xí)1.

已知處條件收斂,問該級(jí)數(shù)收斂半徑是多少?答:根據(jù)Abel定理可知,級(jí)數(shù)在收斂,時(shí)發(fā)散.故收斂半徑為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2.

在冪級(jí)數(shù)中,n

為奇數(shù)n

為偶數(shù)能否確定它的收斂半徑不存在?答:

不能.

因?yàn)楫?dāng)時(shí)級(jí)數(shù)收斂,時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散,說明:

可以證明比值判別法成立根值判別法成立機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束阿貝爾(1802–1829)挪威數(shù)學(xué)家,近代數(shù)學(xué)發(fā)展的先驅(qū)者.他在22歲時(shí)就解決了用根式解5次方程的不可能性問題,他還研究了更廣的一并稱之為阿貝爾群.在級(jí)數(shù)研究中,他得到了一些判斂準(zhǔn)則及冪級(jí)數(shù)求和定理.論的奠基人之一,他的一系列工作為橢圓函數(shù)研究開拓了道路.數(shù)學(xué)家們工作150年.類代數(shù)方程,他是橢圓函數(shù)C.埃爾米特曾說:阿貝爾留下的思想可供后人發(fā)現(xiàn)這是一類交換群,備用題

求極限其中解:

令作冪級(jí)數(shù)設(shè)其和為易知其收斂半徑為1,則機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第四節(jié)兩類問題:在收斂域內(nèi)和函數(shù)求和展開本節(jié)內(nèi)容:一、泰勒(Taylor)級(jí)數(shù)

二、函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束

一、泰勒(Taylor)級(jí)數(shù)

其中(

在

x

與x0

之間)稱為拉格朗日余項(xiàng)

.則在若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有n+1階導(dǎo)數(shù),此式稱為f(x)的n

階泰勒公式,該鄰域內(nèi)有:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束為f(x)

的泰勒級(jí)數(shù).則稱當(dāng)x0=0

時(shí),泰勒級(jí)數(shù)又稱為麥克勞林級(jí)數(shù)

.1)對(duì)此級(jí)數(shù),它的收斂域是什么？2)在收斂域上,和函數(shù)是否為f(x)?待解決的問題:若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù),機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束定理1

.各階導(dǎo)數(shù),則f(x)在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級(jí)數(shù)的充要條件是f(x)的泰勒公式中的余項(xiàng)滿足:證明:令設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某一鄰域內(nèi)具有機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束定理2.若f(x)能展成x

的冪級(jí)數(shù),則這種展開式是唯一的,且與它的麥克勞林級(jí)數(shù)相同.證:

設(shè)f(x)所展成的冪級(jí)數(shù)為則顯然結(jié)論成立.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束二、函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)

1.直接展開法由泰勒級(jí)數(shù)理論可知,第一步求函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在x=0處的值;第二步寫出麥克勞林級(jí)數(shù),并求出其收斂半徑R;第三步判別在收斂區(qū)間(－R,R)內(nèi)是否為驟如下:展開方法直接展開法—利用泰勒公式間接展開法—利用已知其級(jí)數(shù)展開式0.的函數(shù)展開機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.

將函數(shù)展開成x

的冪級(jí)數(shù).解:

其收斂半徑為對(duì)任何有限數(shù)

x,其余項(xiàng)滿足故(

在0與x之間)故得級(jí)數(shù)

機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.

將展開成x

的冪級(jí)數(shù).解:

得級(jí)數(shù):其收斂半徑為對(duì)任何有限數(shù)

x,其余項(xiàng)滿足機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束類似可推出:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.

將函數(shù)展開成x

的冪級(jí)數(shù),其中m為任意常數(shù).解:

易求出于是得級(jí)數(shù)由于級(jí)數(shù)在開區(qū)間(－1,1)內(nèi)收斂.因此對(duì)任意常數(shù)m,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束推導(dǎo)則推導(dǎo)目錄上頁下頁返回結(jié)束為避免研究余項(xiàng),設(shè)此級(jí)數(shù)的和函數(shù)為稱為二項(xiàng)展開式

.說明：(1)在x＝±1

處的收斂性與m

有關(guān).(2)當(dāng)m為正整數(shù)時(shí),級(jí)數(shù)為x

的m

次多項(xiàng)式,上式就是代數(shù)學(xué)中的二項(xiàng)式定理.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束由此得對(duì)應(yīng)的二項(xiàng)展開式分別為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2.間接展開法利用一些已知的函數(shù)展開式及冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),例4.

將函數(shù)展開成x

的冪級(jí)數(shù).解:

因?yàn)榘褁

換成,得將所給函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù).機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例5.

將函數(shù)展開成x

的冪級(jí)數(shù).解:從0到x

積分,得定義且連續(xù),區(qū)間為利用此題可得上式右端的冪級(jí)數(shù)在x

＝1

收斂,所以展開式對(duì)x

＝1也是成立的,于是收斂機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例6.

將展成解:

的冪級(jí)數(shù).機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例7.

將展成x－1的冪級(jí)數(shù).解:

機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)1.函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開法(1)直接展開法—利用泰勒公式;(2)間接展開法—利用冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)及已知展開2.常用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式式的函數(shù).機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束當(dāng)m=–1時(shí)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束思考與練習(xí)1.函數(shù)處“有泰勒級(jí)數(shù)”與“能展成泰勒級(jí)數(shù)”有何不同?提示:

后者必需證明前者無此要求.2.如何求的冪級(jí)數(shù)?提示:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例3附注備用題1.將下列函數(shù)展開成x

的冪級(jí)數(shù)解:x＝±1時(shí),此級(jí)數(shù)條件收斂,因此機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2.

將在x=0處展為冪級(jí)數(shù).解:因此機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第五節(jié)本節(jié)通過實(shí)例，介紹冪級(jí)數(shù)展開式在近似計(jì)算中的應(yīng)用。函數(shù)冪級(jí)數(shù)展開式的應(yīng)用機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束

例1.

計(jì)算的近似值,精確到解:

機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.

計(jì)算的近似值,使準(zhǔn)確到解:

已知故令得于是有機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束在上述展開式中取前四項(xiàng),機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束說明:在展開式中,令得具此遞推公式可求出任意正整數(shù)的對(duì)數(shù).如(n為自然數(shù)),機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.

利用求誤差.解:

先把角度化為弧度(弧度)誤差不超過的近似值,并估計(jì)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束(取

例4.

計(jì)算積分的近似值,精確到解:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束則n

應(yīng)滿足則所求積分近似值為欲使截?cái)嗾`差機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例5.

計(jì)算積分的近似值,精確到解:

由于故所給積分不是廣義積分.若定義被積函數(shù)在

x=0處的值為1,則它在積分區(qū)間上連續(xù),且有冪級(jí)數(shù)展開式:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第六節(jié)一、三角級(jí)數(shù)及三角函數(shù)系的正交性

機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束二、函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)三、正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)

傅里葉級(jí)數(shù)一、三角級(jí)數(shù)及三角函數(shù)系的正交性稱函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)為三角級(jí)數(shù).機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束下面來介紹三角函數(shù)系的正交性定理1.

組成三角級(jí)數(shù)的函數(shù)系證:同理可證:正交,上的積分等于0.即其中任意兩個(gè)不同的函數(shù)之積在機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束上的積分不等于0.且有但是在三角函數(shù)系中兩個(gè)相同的函數(shù)的乘積在機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束二、函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)定理2.

設(shè)f(x)是周期為2

的周期函數(shù),且右端級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)積分,則有證:

由定理?xiàng)l件,①②對(duì)①在逐項(xiàng)積分,得機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束(利用正交性)類似地,用sinkx

乘①式兩邊,再逐項(xiàng)積分可得機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束葉系數(shù)為系數(shù)的三角級(jí)數(shù)①稱為的傅里葉系數(shù);由公式②確定的①②以的傅里的傅里葉級(jí)數(shù)

.稱為函數(shù)

傅里葉目錄上頁下頁返回結(jié)束定理3(收斂定理,展開定理)設(shè)

f(x)是周期為2

的周期函數(shù),并滿足狄利克雷(Dirichlet)條件:1)在一個(gè)周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn);2)在一個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)極值點(diǎn),則f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)收斂,且有

x

為間斷點(diǎn)其中(證明略

)為f(x)

的傅里葉系數(shù)

.

x

為連續(xù)點(diǎn)注意:函數(shù)展成傅里葉級(jí)數(shù)的條件比展成冪級(jí)數(shù)的條件低得多.簡(jiǎn)介目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.

設(shè)

f(x)是周期為2

的周期函數(shù),它在上的表達(dá)式為解:

先求傅里葉系數(shù)將f(x)展成傅里葉級(jí)數(shù).機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束1)

根據(jù)收斂定理可知,時(shí),級(jí)數(shù)收斂于2)傅氏級(jí)數(shù)的部分和逼近說明:f(x)的情況見右圖.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.上的表達(dá)式為將f(x)展成傅里葉級(jí)數(shù).解:

設(shè)

f(x)是周期為2

的周期函數(shù),它在機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束說明:

當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)收斂于機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束周期延拓傅里葉展開上的傅里葉級(jí)數(shù)定義在[–

,]上的函數(shù)f(x)的傅氏級(jí)數(shù)展開法其它機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.

將函數(shù)級(jí)數(shù).則解:

將f(x)延拓成以展成傅里葉2

為周期的函數(shù)F(x),機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束利用此展式可求出幾個(gè)特殊的級(jí)數(shù)的和.當(dāng)x=0時(shí),f(0)=0,得說明:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束設(shè)已知又機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束三、正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)1.周期為2

的奇、偶函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)定理4.

對(duì)周期為2

的奇函數(shù)f(x),其傅里葉級(jí)數(shù)為周期為2

的偶函數(shù)f(x),其傅里葉級(jí)數(shù)為余弦級(jí)數(shù),它的傅里葉系數(shù)為正弦級(jí)數(shù),它的傅里葉系數(shù)為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例4.

設(shè)的表達(dá)式為f(x)＝x,將f(x)展成傅里葉級(jí)數(shù).是周期為2

的周期函數(shù),它在解:

若不計(jì)周期為2

的奇函數(shù),因此機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束n＝1根據(jù)收斂定理可得f(x)的正弦級(jí)數(shù):級(jí)數(shù)的部分和n＝2n＝3n＝4逼近f(x)的情況見右圖.n＝5機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例5.將周期函數(shù)展成傅里葉級(jí)數(shù),其中E為正常數(shù).解:是周期為2

的周期偶函數(shù),因此機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2.在[0,]上的函數(shù)展成正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù)周期延拓F(x)f(x)在[0,]上展成周期延拓F(x)余弦級(jí)數(shù)奇延拓偶延拓正弦級(jí)數(shù)f(x)在[0,]上展成機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例6.

將函數(shù)分別展成正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù).解:

先求正弦級(jí)數(shù).去掉端點(diǎn),將f(x)作奇周期延拓,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束注意:在端點(diǎn)x=0,

,級(jí)數(shù)的和為0,與給定函數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束因此得f(x)=x+1的值不同.再求余弦級(jí)數(shù).將則有作偶周期延拓,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束說明:

令

x=0

可得即機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)1.周期為2

的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)及收斂定理其中注意:

若為間斷點(diǎn),則級(jí)數(shù)收斂于機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2.周期為2

的奇、偶函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)

奇函數(shù)正弦級(jí)數(shù)

偶函數(shù)余弦級(jí)數(shù)3.在[0,]上函數(shù)的傅里葉展開法

作奇周期延拓,展開為正弦級(jí)數(shù)

作偶周期延拓,展開為余弦級(jí)數(shù)1.

在[0,]上的函數(shù)的傅里葉展開法唯一嗎?答:

不唯一,延拓方式不同級(jí)數(shù)就不同.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束思考與練習(xí)處收斂于2.則它的傅里葉級(jí)數(shù)在在處收斂于

.提示:設(shè)周期函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的表達(dá)式為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束

,3.

設(shè)又設(shè)求當(dāng)?shù)谋磉_(dá)式.解:

由題設(shè)可知應(yīng)對(duì)作奇延拓:由周期性:為周期的正弦級(jí)數(shù)展開式的和函數(shù),定義域機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束4.

寫出函數(shù)傅氏級(jí)數(shù)的和函數(shù).答案:定理3目錄上頁下頁返回結(jié)束備用題1.葉級(jí)數(shù)展式為則其中系提示:利用“偶倍奇零”(93考研)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束的傅里傅里葉(1768–1830)法國數(shù)學(xué)家.他的著作《熱的解析理論》(1822)是數(shù)學(xué)史上一部經(jīng)典性書中系統(tǒng)的運(yùn)用了三角級(jí)數(shù)和三角積分,他的學(xué)生將它們命名為傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉積分.

最卓越的工具.以后以傅里葉著作為基礎(chǔ)發(fā)展起來的文獻(xiàn),他深信數(shù)學(xué)是解決實(shí)際問題傅里葉分析對(duì)近代數(shù)學(xué)以及物理和工程技術(shù)的發(fā)展都產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響.狄利克雷(1805–1859)德國數(shù)學(xué)家.對(duì)數(shù)論,數(shù)學(xué)分析和數(shù)學(xué)物理有突出的貢獻(xiàn),是解析數(shù)論他是最早提倡嚴(yán)格化方法的數(shù)學(xué)家.函數(shù)f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)收斂的第一個(gè)充分條件;了改變絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)中項(xiàng)的順序不影響級(jí)數(shù)的和,舉例說明條件收斂級(jí)數(shù)不具有這樣的性質(zhì).他的主要的創(chuàng)始人之一,并論文都收在《狄利克雷論文集(1889一1897)中.1829年他得到了給定證明第七節(jié)一般周期的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束

周期為2l函數(shù)f(x)周期為2

函數(shù)F(z)變量代換將F(z)作傅氏展開f(x)的傅氏展開式設(shè)周期為2l

的周期函數(shù)f(x)滿足收斂定理?xiàng)l件,則它的傅里葉展開式為(在f(x)的連續(xù)點(diǎn)處)其中定理.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束證明:

令,則令則所以且它滿足收斂定理?xiàng)l件,將它展成傅里葉級(jí)數(shù):(在F(z)的連續(xù)點(diǎn)處)變成是以2

為周期的周期函數(shù),機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束其中令(在f(x)的連續(xù)點(diǎn)處)證畢機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束說明:其中(在f(x)的連續(xù)點(diǎn)處)如果

f(x)

為偶函數(shù),則有(在f(x)的連續(xù)點(diǎn)處)其中注:無論哪種情況,在f(x)的間斷點(diǎn)x處,傅里葉級(jí)數(shù)收斂于如果

f(x)為奇函數(shù),則有機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.

交流電壓經(jīng)半波整流后負(fù)壓消失,試求半波整流函數(shù)的解:

這個(gè)半波整流函數(shù),它在傅里葉級(jí)數(shù).上的表達(dá)式為的周期是機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束n>1

時(shí)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束由于半波整流函數(shù)f(t)直流部分說明:交流部分由收收斂定理可得2k

次諧波的振幅為

k越大振幅越小,因此在實(shí)際應(yīng)用中展開式取前幾項(xiàng)就足以逼近f(x)了.上述級(jí)數(shù)可分解為直流部分與交流部分的和.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.

把展開成(1)正弦級(jí)數(shù);(2)余弦級(jí)數(shù).解:(1)將f(x)作奇周期延拓,則有在x=2k

處級(jí)數(shù)收斂于何值?機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束(2)將作偶周期延拓,則有機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束說明:

此式對(duì)也成立,由此還可導(dǎo)出據(jù)此有機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束當(dāng)函數(shù)定義在任意有限區(qū)間上時(shí),方法1令即在上展成傅里葉級(jí)數(shù)周期延拓將在代入展開式上的傅里葉級(jí)數(shù)其傅里葉展開方法:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束方法2令在上展成正弦或余弦級(jí)數(shù)奇或偶式周期延拓將代入展開式在即上的正弦或余弦級(jí)數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.

將函數(shù)展成傅里葉級(jí)數(shù).解:

令設(shè)將F(z)延拓成周期為10的周期函數(shù),理?xiàng)l件.由于F(z)是奇函數(shù),故則它滿足收斂定機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束為正弦級(jí)數(shù).內(nèi)容小結(jié)1.周期為2l的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開公式(x

間斷點(diǎn))其中當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時(shí),(偶)(余弦)2.在任意有限區(qū)間上函數(shù)的傅里葉展開法變換延拓機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束思考與練習(xí)1.將函數(shù)展開為傅里葉級(jí)數(shù)時(shí)為什么最好先畫出其圖形?答:

易看出奇偶性及間斷點(diǎn),2.計(jì)算傅里葉系數(shù)時(shí)哪些系數(shù)要單獨(dú)算?答:

用系數(shù)公式計(jì)算如分母中出現(xiàn)因子n－k從而便于計(jì)算系數(shù)和寫出收斂域.必須單獨(dú)計(jì)算.習(xí)題課目錄上頁下頁返回結(jié)束備用題期的傅立葉級(jí)數(shù),并由此求級(jí)數(shù)解:為偶函數(shù),因

f(x)偶延拓后在展開成以2為周的和.故得機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束得故機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束習(xí)題課級(jí)數(shù)的收斂、求和與展開機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束三、冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的求法四、函數(shù)的冪級(jí)數(shù)和付式級(jí)數(shù)展開法一、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法二、求冪級(jí)數(shù)收斂域的方法

求和展開(在收斂域內(nèi)進(jìn)行)基本問題：判別斂散；求收斂域；求和函數(shù)；級(jí)數(shù)展開.為傅立葉級(jí)數(shù).為傅氏系數(shù))時(shí),時(shí)為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù);時(shí)為冪級(jí)數(shù);機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束一、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法1.利用部分和數(shù)列的極限判別級(jí)數(shù)的斂散性2.正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法必要條件不滿足發(fā)散滿足比值審斂法根值審斂法收斂發(fā)散不定比較審斂法用它法判別積分判別法部分和極限機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束3.任意項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法為收斂級(jí)數(shù)Leibniz判別法:若且則交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂,概念:且余項(xiàng)若收斂,稱絕對(duì)收斂若發(fā)散,稱條件收斂機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.

若級(jí)數(shù)均收斂