考前突破06二次函數(shù)與幾何綜合題（4大必考題型）題型一：與線段有關(guān)問(wèn)題題型二：與面積有關(guān)問(wèn)題題型三：與角度有關(guān)問(wèn)題題型四：與特殊圖形存在性有關(guān)問(wèn)題題型一：與線段有關(guān)問(wèn)題【中考母題學(xué)方法】1．（2024·山東淄博·中考真題）如圖，拋物線與軸相交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），其中，是方程的兩個(gè)根，拋物線與軸相交于點(diǎn)．(1)求該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；(2)已知直線與，軸分別相交于點(diǎn)，．①設(shè)直線與相交于點(diǎn)，問(wèn)在第三象限內(nèi)的拋物線上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由；②過(guò)拋物線上一點(diǎn)作直線的平行線．與拋物線相交于另一點(diǎn)．設(shè)直線，相交于點(diǎn)．連接，．求線段的最小值．【答案】(1)(2)①；②線段的最小值為【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程得出，，再利用待定系數(shù)法求解即可；（2）①在中，令得出，在中，令得出，從而得出，即，待定系數(shù)法求得直線的解析式為，聯(lián)立，得出，作軸于，則，，，求出，，由正切的定義得出，證明，得出，求出直線的解析式為，聯(lián)立，計(jì)算即可得解；②設(shè)Mx1,y1，Nx2,y2，設(shè)直線的解析式為：，求出直線的解析式為，直線的解析式為；聯(lián)立得：，由韋達(dá)定理得出，將Mx1,y1代入，得，求出，同理可得，聯(lián)立，得出，推出點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，求出，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接交直線于，連接，則，由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得，則，由兩點(diǎn)之間線段最短可得：線段的最小值的最小時(shí)為，再由勾股定理計(jì)算即可得出答案．【詳解】（1）解：∵，∴，∴，，∴，，∵拋物線與軸相交于，兩點(diǎn)，∴，解得：，∴該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為；（2）解：①在中，令，，解得，即，在中，令，則，即，∴，∴，設(shè)直線的解析式為，將，代入解析式得，解得：，∴直線的解析式為，聯(lián)立，解得，∴，如圖，作軸于，則，，，，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，設(shè)直線的解析式為，將代入得：，解得：，∴直線的解析式為，聯(lián)立，解得：或，∵點(diǎn)在第三象限，∴；②∵過(guò)拋物線上一點(diǎn)作直線的平行線．與拋物線相交于另一點(diǎn)．∴設(shè)Mx1,y1，N設(shè)直線的解析式為，將代入得，解得：，∴直線的解析式為，設(shè)直線的解析式為，將代入得，∴直線的解析式為；聯(lián)立得：，∴，將Mx1,y1代入，∴，∴，解得：，將Nx2,y2代入，∴，∴，解得：，聯(lián)立，得出，∴點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，在中，令，則，即，如圖，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接交直線于，連接，則，，由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得，∴，∴由兩點(diǎn)之間線段最短可得：線段的最小值的最小時(shí)為，∵，∴線段的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、解直角三角形、軸對(duì)稱(chēng)—線段最短問(wèn)題、勾股定理、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、求一次函數(shù)解析式、二次函數(shù)與一元二次方程、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解此題的關(guān)鍵，此題難度較大，屬于中考?jí)狠S題．2．（2023·黑龍江綏化·中考真題）如圖，拋物線的圖象經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn)，且一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)．

(1)求拋物線和一次函數(shù)的解析式．(2)點(diǎn)，為平面內(nèi)兩點(diǎn)，若以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，且點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)．這樣的，兩點(diǎn)是否存在？如果存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)：如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)將拋物線的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線，此拋物線的圖象與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)）．點(diǎn)是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)且在直線下方．已知點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．求為何值時(shí)，有最大值，最大值是多少？【答案】(1)，(2)滿足條件的E、F兩點(diǎn)存在，，，(3)當(dāng)時(shí)，的最大值為【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）①當(dāng)為正方形的邊長(zhǎng)時(shí)，分別過(guò)點(diǎn)點(diǎn)作，，使，，連接、，證明，得出，，則同理可得，；②以為正方形的對(duì)角線時(shí)，過(guò)的中點(diǎn)作，使與互相平分且相等，則四邊形為正方形，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，證明，得出，在中，，解得或4，進(jìn)而即可求解；（3）得出是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，則，點(diǎn)在拋物線上，且橫坐標(biāo)為得出，進(jìn)而可得，則，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：把，，代入得

解得

∴

把代入得∴（2）滿足條件的、兩點(diǎn)存在，，，

解：①當(dāng)為正方形的邊長(zhǎng)時(shí)，分別過(guò)點(diǎn)點(diǎn)作，，使，，連接、.

過(guò)點(diǎn)作軸于.∵，又，∴，∴，∴同理可得，②以為正方形的對(duì)角線時(shí)，過(guò)的中點(diǎn)作，使與互相平分且相等，則四邊形為正方形，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)

∵，又∴∴，∵∴∴在中，∴解得或4當(dāng)時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)故舍去；當(dāng)時(shí)，.綜上所述：，，（3）∵向右平移8個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線當(dāng)，即解得：∴，∵過(guò)，，三點(diǎn)∴

在直線下方的拋物線上任取一點(diǎn)，作軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)

∵，∴∴是等腰直角三角形∵，∴又∴是等腰直角三角形∴∵點(diǎn)在拋物線上，且橫坐標(biāo)為∴∴

∵∴∴∴

∴∴當(dāng)時(shí)，的最大值為．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運(yùn)用，正方形的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，分類(lèi)討論，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023·遼寧·中考真題）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，點(diǎn)P為第一象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F．

(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)是線段長(zhǎng)度的2倍時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到拋物線頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)B作直線，連接并延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)M．當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解；（2）根據(jù)直角三角形三角函數(shù)值可得，，進(jìn)而可得的周長(zhǎng)，結(jié)合已知條件可得，設(shè)，則，，從而可得方程，解方程即可；（3）先求出，，設(shè)，過(guò)點(diǎn)M作軸于點(diǎn)N，通過(guò)證明，求出，再求出直線的解析式為，將點(diǎn)代入解析式求出n的值即可．【詳解】（1）解：將，代入，可得，解得，拋物線的解析式為；（2）解：，，，，，，，的周長(zhǎng)，的周長(zhǎng)是線段長(zhǎng)度的2倍，，設(shè)直線的解析式為，將，代入可得，解得，直線的解析式為，設(shè)，則，，，，，解得，（舍），，；（3）解：，當(dāng)時(shí)，y取最大值，，直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，，設(shè)，過(guò)點(diǎn)M作軸于點(diǎn)N，

由題意知，，，，又，，，，，，設(shè)直線的解析式為，則，解得，直線的解析式為，將點(diǎn)代入，得，解得或，或．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形等，綜合性較強(qiáng)，難度較大，熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．4．（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·中考真題）探究函數(shù)的圖象和性質(zhì)，探究過(guò)程如下：

(1)自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，與的幾組對(duì)應(yīng)值列表如下其中，________．根據(jù)上表數(shù)據(jù)，在圖1所示的平面直角坐標(biāo)系中，通過(guò)描點(diǎn)畫(huà)出了函數(shù)圖象的一部分，請(qǐng)畫(huà)出該函數(shù)圖象的另一部分．觀察圖象，寫(xiě)出該函數(shù)的一條性質(zhì)；(2)點(diǎn)是函數(shù)圖象上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在圖2中，當(dāng)在一切實(shí)數(shù)范圍內(nèi)時(shí)，拋物線交軸于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左邊），點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于拋物線頂點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，不平行軸的直線分別交線段，（不含端點(diǎn)）于，兩點(diǎn)．當(dāng)直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，與的和是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)2，圖見(jiàn)解析，圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)(2)或或(3)是定值，【分析】（1）把代入解析式，求出的值即可，描點(diǎn)，連線畫(huà)出函數(shù)圖形，根據(jù)圖形寫(xiě)出一條性質(zhì)即可；（2）利用，進(jìn)行求解即可．（3）根據(jù)題意，求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線的解析式，設(shè)直線的解析式為，聯(lián)立拋物線的解析式，根據(jù)兩個(gè)圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，得到，得到，分別聯(lián)立直線和直線的解析式，求出的坐標(biāo)，利用銳角三角形函數(shù)求出的長(zhǎng)，再進(jìn)行求解即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，∴，根據(jù)題干中的表格數(shù)據(jù)，描點(diǎn)，連線，得到函數(shù)圖象，如下：由圖象可知：圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)；故答案為：．（2）解：∵點(diǎn)，點(diǎn)，∴，∴，∴，∴，當(dāng)時(shí)：，解得：，∴或，當(dāng)時(shí)：，解得：，∴；綜上：或或；（3）是定值；∵，當(dāng)時(shí)，，解得：，∴對(duì)稱(chēng)軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，∵點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于拋物線頂點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，∴，設(shè)直線的解析式為，把代入，得：，∴，設(shè)直線的解析式為，則：，解得：，∴，設(shè)直線：，聯(lián)立和，得：，∵直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，∴，∴，聯(lián)立，，得：，聯(lián)立，，得：，如圖：∵關(guān)于對(duì)稱(chēng)，∴，∵，，∴，∴，∴，過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作，則：，∴，∴；∴與的和為定值：．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解直角三角形．解題的關(guān)鍵是掌握描點(diǎn)法畫(huà)函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解．本題的綜合性強(qiáng)，難度較大，屬于中考?jí)狠S題．5．（2023·遼寧丹東·中考真題）拋物線與x軸交于點(diǎn)，，與y軸交于點(diǎn)C．

(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)如圖，點(diǎn)D是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)是，過(guò)點(diǎn)D作直線軸，垂足為點(diǎn)E，交直線于點(diǎn)F．當(dāng)D，E，F(xiàn)三點(diǎn)中一個(gè)點(diǎn)平分另外兩點(diǎn)組成的線段時(shí)，求線段的長(zhǎng)；(3)若點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與頂點(diǎn)重合），點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱(chēng)軸上的一個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)N在坐標(biāo)平面內(nèi)，當(dāng)四邊形是矩形鄰邊之比為時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．【答案】(1)(2)或(3)或【分析】（1）將點(diǎn)A?4,0，代入解析式即可求解；（2）可求直線的解析式為，可得，，，①當(dāng)時(shí)，可求，，即可求解；②當(dāng)時(shí)，，，即可求解；（3）①當(dāng)在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)時(shí)，得到是矩形，鄰邊之比為，即，即可求解；②當(dāng)在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)時(shí)，同理可求．【詳解】（1）解：由題意得解得，故拋物線的表達(dá)式；（2）解：當(dāng)時(shí)，，，設(shè)直線的解析式為，則有，解得：，直線的解析式為，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)是，過(guò)點(diǎn)D作直線軸，，，，①如圖，當(dāng)時(shí)，

，，，整理得：，解得：，，，不合題意，舍去，，；②如圖，當(dāng)時(shí)，

，，，整理得：，解得：，（舍去），；綜上所述：線段的長(zhǎng)為或．（3）解：設(shè)點(diǎn)，，當(dāng)四邊形是矩形時(shí)，則為直角，①當(dāng)在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)時(shí)，如圖，過(guò)作軸交軸于，交過(guò)作軸的平行線于，

，∵為直角，則，∵，∴，∴，∵是矩形鄰邊之比為，即或，即和的相似比為或，即，由題意得：，，∴，則，即，解得：，x=?1（不符合題意，舍去）；②當(dāng)在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)時(shí)，

同理可得：，解得：，綜上，或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合體，主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，矩形的性質(zhì)，三角形相似的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，分類(lèi)求解是解答本題的關(guān)鍵．6．（2024·遼寧·中考真題）已知是自變量的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，稱(chēng)函數(shù)為函數(shù)的“升冪函數(shù)”．在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)，稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)“關(guān)于的升冪點(diǎn)”，點(diǎn)在函數(shù)的“升冪函數(shù)”的圖象上．例如：函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則函數(shù)是函數(shù)的“升冪函數(shù)”．在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)，點(diǎn)為點(diǎn)“關(guān)于的升冪點(diǎn)”，點(diǎn)在函數(shù)的“升冪函數(shù)”的圖象上．(1)求函數(shù)的“升冪函數(shù)”的函數(shù)表達(dá)式；(2)如圖1，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，點(diǎn)“關(guān)于的升冪點(diǎn)”在點(diǎn)上方，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，點(diǎn)“關(guān)于的升冪點(diǎn)”為點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．①若點(diǎn)與點(diǎn)重合，求的值；②若點(diǎn)在點(diǎn)的上方，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線，與函數(shù)的“升冪函數(shù)”的圖象相交于點(diǎn)，以，為鄰邊構(gòu)造矩形，設(shè)矩形的周長(zhǎng)為，求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式；③在②的條件下，當(dāng)直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)有3個(gè)時(shí)，從左到右依次記為，，，當(dāng)直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)有2個(gè)時(shí)，從左到右依次記為，，若，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值．【答案】(1)(2)(3)①或；②；③或【分析】（1）根據(jù)“升冪函數(shù)”的定義，可得，即可求解，（2）設(shè)，根據(jù)“升冪點(diǎn)”的定義得到，由，在點(diǎn)上方，得到，即可求解，（3）①由，，點(diǎn)與點(diǎn)重合，得到，即可求解，②由，得到對(duì)稱(chēng)軸為，、關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，結(jié)合，則，得到，進(jìn)而得到，，由點(diǎn)在點(diǎn)的上方，得到點(diǎn)在點(diǎn)的上方，，解得：，，當(dāng)，，，當(dāng)，，，即可求解，③根據(jù)②中結(jié)論得到，，，將，，代入，得到，，，結(jié)合圖像可得，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，將直線與函數(shù)聯(lián)立，由根與系數(shù)關(guān)系得到，，，將直線與函數(shù)聯(lián)立，由根與系數(shù)關(guān)系得到，，，結(jié)合，可得，當(dāng)時(shí)，，解得：，由，得到，解得：，即可求解，【點(diǎn)睛】本題考查了，求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)綜合，根據(jù)系數(shù)關(guān)系，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，將題目所給條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：，故答案為：，（2）解：設(shè)點(diǎn)，則，∵，在點(diǎn)上方，∴，解得：，∴；（3）解：①根據(jù)題意得：，則，∵點(diǎn)與點(diǎn)重合，∴，解得：或，②根據(jù)題意得：，∴對(duì)稱(chēng)軸為，、關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，∵，則，∴，解得：，∴，，∵點(diǎn)在點(diǎn)的上方，∴，解得：，∴，當(dāng)，點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)時(shí)，，，當(dāng)，點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)時(shí)，，，∴，③∵，∴，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴，，，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，直線與函數(shù)交于、兩點(diǎn)，，即：，∴，，，直線與函數(shù)交于、兩點(diǎn)，，即：，∴，，，∵，∴，整理得：，當(dāng)時(shí)，，解得：或（舍），∴，∴，解得：，∴，或．【中考模擬即學(xué)即練】1．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）綜合探究如圖，在平面直角坐標(biāo)系中．直線y=kxk≠0與拋物線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)是直線下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線，與直線交于點(diǎn)C．連接，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．①若點(diǎn)在軸上方，當(dāng)為何值時(shí)，；②若點(diǎn)在軸下方，求周長(zhǎng)的最大值．【答案】(1)(2)①當(dāng)時(shí)，；②周長(zhǎng)的最大值為9【分析】本題考查了二次函數(shù)的線段周長(zhǎng)綜合，待定系數(shù)法求解析式，勾股定理，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）先求出直線的解析式為，再得出，結(jié)合，代入，進(jìn)行計(jì)算即可作答．（2）①先設(shè)，則，所以因?yàn)樗?，且，化?jiǎn)計(jì)算，得，故當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)點(diǎn)在軸下方時(shí)，，同理得代入得，化簡(jiǎn)計(jì)算，即可作答．【詳解】（1）解：將點(diǎn)代入，得，解得，直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，將點(diǎn)分別代入，得解得拋物線的解析式為；（2）①設(shè)，則，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線，與直線交于點(diǎn)，令，解得或．②當(dāng)點(diǎn)在軸上方時(shí)，，或（舍去）當(dāng)時(shí)，；②由①得，當(dāng)點(diǎn)在軸下方時(shí)，，點(diǎn)當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)最大，最大值為9．2．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）【背景】如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，與y軸相交于點(diǎn)已知位于點(diǎn)B右側(cè)圖象上有一動(dòng)點(diǎn)P，并且射線分別交y軸于點(diǎn)D、點(diǎn)（1）求二次函數(shù)表達(dá)式；【特例】（2）當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為4時(shí)，線段有什么數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；【思考】（3）當(dāng)點(diǎn)P為點(diǎn)B右側(cè)圖象上任意一點(diǎn)，（2）中的結(jié)論是否仍成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）（2），理由見(jiàn)解析（3）成立，理由見(jiàn)解析【分析】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合的思想，進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵：（1）待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；（2）分別求出兩點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出的長(zhǎng)，即可得出結(jié)論；（3）設(shè)P，分別求出兩點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出的長(zhǎng)，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）∵，∴當(dāng)時(shí)，，∴，∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，∴設(shè)，把，代入，得：，∴，∴拋物線的表達(dá)式為：；（2）點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為4時(shí)，，∴點(diǎn)，設(shè)直線的解析式為：，則：，解得：∴直線的表達(dá)式為：，當(dāng)時(shí)，，則點(diǎn)；同理可得，點(diǎn)，則，，故；（3）成立，理由如下：設(shè)點(diǎn)P，同（2）可得：直線的表達(dá)式為：，則點(diǎn)，同理可得，點(diǎn)，則，，故3．（2025·廣東·模擬預(yù)測(cè)）如圖在平面直角坐標(biāo)系中，直線l與x軸交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B，且對(duì)稱(chēng)軸是直線．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)P是直線l下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作軸，垂足為C，交直線l于點(diǎn)D，求的最大值及此時(shí)P的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)P作，垂足為M．求的最大值．【答案】(1)(2)的最大值是2，此時(shí)的P點(diǎn)坐標(biāo)是(3)【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．要會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來(lái)，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長(zhǎng)度，從而求出線段之間的關(guān)系，解決相關(guān)問(wèn)題．（1）運(yùn)用待定系數(shù)法解答即可；（2）求出直線l的解析式，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則，得，運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)論；（3）證明，即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)拋物線的解析式為，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線，．把A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式，得解得：，∴拋物線的解析式為；（2）解：設(shè)直線l的解析式為，把A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式，得，解得：，直線l的解析式為；軸，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則，．∴當(dāng)時(shí)，有最大值是2，當(dāng)時(shí)，，，的最大值是2，此時(shí)的P點(diǎn)坐標(biāo)是．（3）解：，，．∵在中，，．軸，，．在中，，．，．在中，，，，．此時(shí)最大，，的最大值是．4．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，且．(1)如圖1，求k的值；(2)如圖2，點(diǎn)P在第一象限對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)的拋物線上，軸交射線于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，線段的長(zhǎng)為d，求d關(guān)于t的函數(shù)解析式(不要求寫(xiě)自變量t的取值范圍)；(3)如圖3，在（2）的條件下，作軸交x軸于點(diǎn)Z，點(diǎn)F在線段上，且，，交直線于點(diǎn)Q，當(dāng)時(shí)，R是線段上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)R作平行于x軸，與線段交于點(diǎn)G，連接、，恰好使，延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)H，連接，求線段的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；（2）設(shè)，過(guò)點(diǎn)作軸于，交于點(diǎn)，根據(jù)三角函數(shù)可以得到，根據(jù)求出值，然后由求出解析式即可；（3）連接、、，則四邊形為正方形，然后證明，求出，過(guò)點(diǎn)作軸交軸于點(diǎn)，得以證明，，進(jìn)而得到結(jié)果即可．【詳解】（1）解：∵，∴拋物線對(duì)稱(chēng)軸，設(shè)點(diǎn)，，，，解得，，，把代入拋物線解析式為，解得，，；（2）解：設(shè)，過(guò)點(diǎn)作軸于，交于點(diǎn)，軸，，，在中，，設(shè)，，在中，，，，在中，，，即（3）解：如圖3，連接、、，由題意可知，四邊形為正方形，，過(guò)作于，交于，，，，，，又，，，，，即，，解得，點(diǎn)是中點(diǎn)，，，過(guò)點(diǎn)作軸交軸于點(diǎn)，，，，，，軸，，，，，，，坐標(biāo)為，由勾股定理知．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，割補(bǔ)法求動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的面積問(wèn)題，相似三角形的判定及性質(zhì)，求三角函數(shù)值，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，不規(guī)則圖形面積求法，三角函數(shù)值的求法是解題的關(guān)鍵．5．（2024·山西·模擬預(yù)測(cè)）綜合與探究在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與x軸分別交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C．連接．(1)求點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)和直線的解析式；(2)如圖1，點(diǎn)D為第四象限拋物線上一點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)E，求的最大值；(3)如圖2，連接，過(guò)點(diǎn)O作直線，點(diǎn)P，Q分別為直線l和拋物線上的點(diǎn)，試探究：在第一象限是否存在這樣的點(diǎn)P，Q，使．若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)，，(2)最大值為(3)存在，或【分析】（1）依題意，先求出，再求出，B4,0．然后運(yùn)用待定系數(shù)法解一次函數(shù)的解析式，即可作答．（2）過(guò)點(diǎn)D作軸于點(diǎn)G，交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)A作軸交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K，證明，代入數(shù)值計(jì)算，得出，運(yùn)用二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，即可作答．（3）先得直線l的解析式為．設(shè)，結(jié)合相似三角形的性質(zhì)與判定，當(dāng)?shù)谝唬狐c(diǎn)P在直線右側(cè)時(shí)，即，化簡(jiǎn)得，，那么，即將點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得，得出；第二：②當(dāng)點(diǎn)P在直線左側(cè)時(shí)，由①的方法同理可得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，即可作答．【詳解】（1）解：將代入中，得，，將代入中，得，，∴，B4,0．設(shè)直線的解析式為，，解得．∴直線的解析式為．∴，，直線的解析式為；（2）解：過(guò)點(diǎn)D作軸于點(diǎn)G，交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)A作軸交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K，，∴．．∵將A點(diǎn)橫坐標(biāo)代入中得，．．設(shè)，則，，，∴當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為；（3）解：符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．理由如下：，∴直線l的解析式為．設(shè)，①當(dāng)點(diǎn)P在直線右側(cè)時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)Q作于點(diǎn)M，∵，，B4,0，，，，，．，．，．．．．，．，將點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得，解得（舍去），，．②當(dāng)點(diǎn)P在直線左側(cè)時(shí)，由①的方法同理可得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為綜上所述，存在這樣的點(diǎn)P，且坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的幾何綜合，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，求一次函數(shù)的解析式，難度較大，熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想以及分類(lèi)討論思想是解題是關(guān)鍵．6．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）拋物線交軸于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖（1），連接，是拋物線第四象限內(nèi)一點(diǎn)，直線交于，交軸于點(diǎn)，若，求點(diǎn)坐標(biāo)；(3)如圖（2），經(jīng)過(guò)第四象限的直線交拋物線于點(diǎn)，，交軸于點(diǎn)，作平行四邊形，連接，若軸，當(dāng)點(diǎn)到距離的最大時(shí)，求的值．【答案】(1)；(2)點(diǎn)的坐標(biāo)為(3)【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．（1）由待定系數(shù)法即可求解；（2）作交軸于點(diǎn)，證明，由，得到，則，進(jìn)而求解；（3）證明四邊形為平行四邊形，則，得到，進(jìn)而求解．【詳解】（1）解：由題意得：，則，解得：，則拋物線的解析式為：；（2）解：作交軸于點(diǎn)，則，又，，，由，得直線的解析式為，直線的解析式為，聯(lián)立上式和拋物線的解析式得：，解得：（舍去）或，點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）解：作軸交于點(diǎn)，由平行四邊形可得，，四邊形為平行四邊形，，，，即，，設(shè)直線的解析式為，聯(lián)立上式和拋物線的解析式得：，整理得：，，解得：，直線的解析式為．當(dāng)直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)到的距離最大．此時(shí)，方程有相等的實(shí)數(shù)根，整理得：，則，解得：．7．（2024·山西·一模）拋物線過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)．(1)求拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)如圖1，設(shè)M是拋物線上的一點(diǎn)，若，求M點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖2，點(diǎn)P在直線下方的拋物線上，過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)D，交直線于點(diǎn)E，過(guò)P點(diǎn)作，交與F點(diǎn)，的周長(zhǎng)是否有最大值，若有最大值，求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)．若不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)，(2)或．(3)有，P點(diǎn)的坐標(biāo)為【分析】（1）根據(jù)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)，用待定系數(shù)法即可求解；（2）分點(diǎn)M在第一象限和第四象限兩種情況根據(jù)45度角的特征列方程求解即可．（3）根據(jù)垂直及對(duì)頂角相等易證證明，可得的周長(zhǎng)：的周長(zhǎng)，求出直線的解析式，設(shè)，，的周長(zhǎng)為z，表示出的長(zhǎng)，利用的周長(zhǎng)：的周長(zhǎng)列出關(guān)于z的函數(shù)解析式，再運(yùn)用二次函數(shù)最值求解即可．【詳解】（1）由題意得：，解得，∴拋物線的解析式為，∴點(diǎn)C0,?3（2）①當(dāng)點(diǎn)在第一象限時(shí)，設(shè)），過(guò)點(diǎn)作軸，∵，，∴，解方程得：或，不合題意，舍去．故，∴；當(dāng)點(diǎn)在第四象限時(shí)，同理可得：解方程得：或，不合題意，舍去．故，∴綜上或．（3）的周長(zhǎng)有最大值．理由如下：∵，∴，∵，∴，∵，∴，又∵，∴，∴的周長(zhǎng)：的周長(zhǎng)，∵，∴，∴的周長(zhǎng)，∵直線過(guò)和，設(shè)直線的解析式為，∴，解得，∴直線的解析式為，設(shè)，則，的周長(zhǎng)為z，，∴，∴，∵，∴z有最大值，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，故P點(diǎn)的坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式，勾股定理，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）如圖，拋物線交軸于點(diǎn)，，交軸于點(diǎn)，，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，作交線段于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，延長(zhǎng)線段交拋物線于點(diǎn)，點(diǎn)是邊中點(diǎn)，當(dāng)四邊形為平行四邊形時(shí)，求出點(diǎn)坐標(biāo)；(3)如圖2，為射線上一點(diǎn)，且，將射線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，交直線于點(diǎn)，連接，為的中點(diǎn)，連接，，問(wèn)：是否存在最小值，若存在，請(qǐng)求出這個(gè)最小值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)；(2)或；(3)存在，．【分析】（1）用待定系數(shù)法解題；（2）由已知點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，可得點(diǎn)P和點(diǎn)D的坐標(biāo)，用m的代數(shù)式表示PD和DE，根據(jù)平行四邊形對(duì)邊相等的性質(zhì)，列出m的方程即可；（3）證明點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)，再利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)解決最短路徑問(wèn)題．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)，∴，在中，，∴，∴，，∴，把點(diǎn)，，代入拋物線中得，解得，∴拋物線的解析式為；（2）如圖中，連接，，∵，，，，∴，∴直線的解析式為，設(shè)，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得到，，解得或，∴或．（3）如圖，過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)點(diǎn)作于，連接，設(shè)，則，∵，，∴是等邊三角形，∵，∴，∵，∴是等邊三角形，∵，∴，∵，，∴，∴，∴點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線，作點(diǎn)關(guān)于直線是對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接交直線于，連接，此時(shí)的值最小，最小值．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，涉及待定系數(shù)法求解析式、平行四邊形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理、利用軸對(duì)稱(chēng)求最值問(wèn)題等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，有難度，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．9．（2024·河北張家口·模擬預(yù)測(cè)）如圖，二次函數(shù)的圖象交軸于、兩點(diǎn)，并經(jīng)過(guò)點(diǎn)，已知點(diǎn)坐標(biāo)是，點(diǎn)坐標(biāo)是．求二次函數(shù)的解析式；求函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)及點(diǎn)的坐標(biāo)；二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)，使得的周長(zhǎng)最??？若點(diǎn)存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若點(diǎn)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】，二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為；存在一點(diǎn)，使得的周長(zhǎng)最?。?dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，的周長(zhǎng)最小，理由見(jiàn)解析．【分析】只需運(yùn)用待定系數(shù)法就可求出二次函數(shù)的解析式；運(yùn)用配方法就可求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，只需令就可求出點(diǎn)的坐標(biāo)；連接CA，由于是定值，使得的周長(zhǎng)最小，只需最小，根據(jù)拋物線是軸對(duì)稱(chēng)圖形可得只需最小，根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”可得：當(dāng)點(diǎn)A、、三點(diǎn)共線時(shí)，最小，只需用待定系數(shù)法求出直線的解析式，就可得到點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】解：把，代入得，解得：∴二次函數(shù)的解析式為；∴∴二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．令，得解得：∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸上存在一點(diǎn)，使得的周長(zhǎng)最?。碛扇缦拢哼B接CA，如圖，∵點(diǎn)在二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸上，點(diǎn)、關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，∴，，∴的周長(zhǎng)，根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”，可得當(dāng)點(diǎn)A、、三點(diǎn)共線時(shí)，最小，此時(shí)，由于是定值，因此的周長(zhǎng)最?。O(shè)直線的解析式為，把、代入，得解得：∴直線的解析式為．當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，的周長(zhǎng)最?。军c(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，求一次函數(shù)，兩點(diǎn)之間線段最短以及二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式及兩點(diǎn)之間線段最短是解題的關(guān)鍵．10．（2023·湖北黃石·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)．

(1)求此拋物線的解析式；(2)已知拋物線上有一點(diǎn)，其中，若，求的值；(3)若點(diǎn)D，E分別是線段，上的動(dòng)點(diǎn)，且，求的最小值．【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；（2）在中，，則，得到直線的表達(dá)式為：，進(jìn)而求解；（3）作，證明且相似比為，故當(dāng)、、共線時(shí)，為最小，進(jìn)而求解．【詳解】（1）解：設(shè)拋物線的表達(dá)式為：，即，則，故拋物線的表達(dá)式為：①；（2）解：在中，，，則，故設(shè)直線的表達(dá)式為：②，聯(lián)立①②得：，解得：（不合題意的值已舍去）；（3）解：作，

設(shè)，，且相似比為，則，故當(dāng)、、共線時(shí)，為最小，在中，設(shè)邊上的高為，則，即，解得：，則，則，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則，即點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：，同理可得，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：，即點(diǎn)，由點(diǎn)、的坐標(biāo)得，，即的最小值為．【點(diǎn)睛】主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．要會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來(lái)，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長(zhǎng)度，從而求出線段之間的關(guān)系．11．（2024·四川南充·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知拋物線與軸交于、B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C，．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，點(diǎn)P為第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，連接，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．(3)如圖2，過(guò)點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn)，已知點(diǎn)是線段BC上方拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸，交于N，在線段、上分別有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E、F，，G是的中點(diǎn)，當(dāng)取得最大值時(shí)，在線段上是否存在一點(diǎn)H，使得的值最?。咳舸嬖?，請(qǐng)求出的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，【分析】（1）由題意可知，再利用待定系數(shù)法即可求解；（2）過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，求得，解直角三角形可得，，則，，在中，．設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則，，列出方程即可求解；（3）先求得直線解析式為，直線解析式為，結(jié)合拋物線求得，設(shè)，則，得，過(guò)點(diǎn)作軸，，則，，得，當(dāng)時(shí)，有最大值，此時(shí)．作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，則，連接與交于點(diǎn)，由，且．可知，故的最小值為，設(shè)交軸于點(diǎn)，根據(jù)，結(jié)合圖形求得，根據(jù)勾股定理求得，即可求解．【詳解】（1）解：，，．，由題意得：，解得：，則拋物線的解析式為：；（2）過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，即：，解得，，．，，，，，，，，．在中，．設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則，，，解得：（不合題意，舍去），，點(diǎn)坐標(biāo)為．（3）由（2）可知，，，則，∵，∴，則，，設(shè)直線解析式為：，則，，．設(shè)直線解析式為：，則，，．聯(lián)立解得或，．設(shè)，則，，過(guò)點(diǎn)作軸，，則，，．當(dāng)時(shí)，有最大值，此時(shí)．∵是的中點(diǎn)，∴，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，則，連接與交于點(diǎn)，，且．，故的最小值為，，，又，，，，設(shè)交軸于點(diǎn)，，，，，，，在中，，的最小值為：．【點(diǎn)睛】本題考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)與幾何綜合、解直角三角形、最值問(wèn)題、勾股定理，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．題型二：與面積有關(guān)問(wèn)題【中考母題學(xué)方法】1．（2024·江蘇徐州·中考真題）如圖，A、B為一次函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的圖像的公共點(diǎn)，點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為0、4．P為二次函數(shù)的圖像上的動(dòng)點(diǎn)，且位于直線的下方，連接、．(1)求b、c的值；(2)求的面積的最大值．【答案】(1)(2)最大值為8【分析】本題考查二次函數(shù)的綜合，一次函數(shù)的性質(zhì)，用割補(bǔ)法得出△PAB的面積是關(guān)鍵．（1）先求出A，B的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出b，c；（2）由（1）可得：，設(shè)，作交于E，則，則，得出面積，即可解答．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則，，則，解得：；（2）解：由（1）可得：，設(shè)，作交于E，則，則，∴，當(dāng)時(shí)，最大值為8．2．（2024·山東東營(yíng)·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)當(dāng)點(diǎn)在直線下方的拋物線上時(shí)，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t，的長(zhǎng)為，請(qǐng)寫(xiě)出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并寫(xiě)出自變量的取值范圍；(3)連接，交于點(diǎn)，求的最大值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；（2）先求出，再用待定系數(shù)法求出直線的解析式為：，可得出，，從而可得，再求出自變量取值范圍即可；（3）分四種情形：當(dāng)時(shí)，作，交于，可得出，從而，進(jìn)而得出，進(jìn)一步得出結(jié)果；當(dāng)，和時(shí)，可得出沒(méi)有最大值．【詳解】（1）解：拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，，解得，該拋物線的解析式為：；（2）解：二次函數(shù)中，令，則，，設(shè)直線的解析式為：．將，代入得到：，解得，直線的解析式為：，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t，，，，點(diǎn)在直線下方的拋物線上，；（3）解：如圖1，

當(dāng)時(shí)，作，交于，，，把代入得，，，，當(dāng)時(shí)，，，，如圖2，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，，時(shí)，隨著的增大而增大，沒(méi)有最大值，沒(méi)有最大值，如圖3，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，隨著的增大而減小，沒(méi)有最大值，沒(méi)有最大值，如圖4，

當(dāng)時(shí)，由上可知，沒(méi)有最大值，綜上所述：當(dāng)時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)及其圖象的性質(zhì)，求一次函數(shù)的解析式，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是分類(lèi)討論．3．（2024·山東濟(jì)南·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，頂點(diǎn)為；拋物線，頂點(diǎn)為．(1)求拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖1，連接，點(diǎn)是拋物線對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)圖象上一點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，若四邊形是面積為12的平行四邊形，求的值；(3)如圖2，連接，點(diǎn)是拋物線對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)圖像上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），過(guò)點(diǎn)作交軸于點(diǎn)，連接，求面積的最小值．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解出拋物線的解析式，再轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，即可得到頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）連接，過(guò)點(diǎn)作軸，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，與軸交于，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．設(shè)直線的表達(dá)式為，解方程組得到直線的表達(dá)式為，則，求得，求得于是得到，解方程得到，根據(jù)平移的性質(zhì)得到，將代入，解方程即可；（3）過(guò)作軸，垂足為，過(guò)點(diǎn)作軸，過(guò)點(diǎn)作軸，與交于點(diǎn)，設(shè)且，求得拋物線的頂點(diǎn)，得到，推出，解方程得到當(dāng)時(shí)，，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：拋物線過(guò)點(diǎn)得解得拋物線的表達(dá)式為頂點(diǎn)；（2）解：如圖，連接，過(guò)點(diǎn)作軸，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，與軸交于，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．設(shè)直線的表達(dá)式為由題意知解得直線的表達(dá)式為的面積為12，，解得（舍）點(diǎn)先向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)將代入得解得．（3）解：如圖，過(guò)作軸，垂足為，過(guò)點(diǎn)作軸，過(guò)點(diǎn)作軸，與交于點(diǎn)，設(shè)且拋物線的頂點(diǎn)，易得當(dāng)時(shí)，點(diǎn)橫坐標(biāo)最小值為，此時(shí)點(diǎn)到直線距離最近，的面積最小最近距離即邊上的高，高為：面積的最小值為．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，平行四邊形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積的計(jì)算，正確地找出輔助線是解題的關(guān)鍵．4．（2024·海南·中考真題）如圖1，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A?4,0、，交y軸于點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為時(shí)，求四邊形的面積；(3)當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(4)過(guò)點(diǎn)A、O、C的圓交拋物線于點(diǎn)E、F，如圖2．連接，判斷的形狀，并說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)16(3)或(4)是等邊三角形，理由見(jiàn)解析【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）過(guò)點(diǎn)P作于T，根據(jù)列式求解即可；（3）取，連接，易證明，則線段與拋物線的交點(diǎn)即為所求；求出直線的解析式為，聯(lián)立，解得或（舍去），則；如圖所示，取，連接，同理可得，則直線與拋物線的交點(diǎn)即為所求；同理可得；則符合題意的點(diǎn)P的坐標(biāo)為或；（4）由90度的圓周角所對(duì)的弦是直徑得到為過(guò)三點(diǎn)的圓的直徑，如圖所示，取中點(diǎn)R，連接，則，；設(shè)與拋物線交于，聯(lián)立得，解得，則，由勾股定理可得，則是等邊三角形．【詳解】（1）解：將點(diǎn)代入，得解得∴拋物線解析式為；（2）解:如圖所示，過(guò)點(diǎn)P作于T，∵，A?4,0，，∴，∴，∴；（3）解：如圖所示，取，連接，∵A?4,0、，，∴，∴，∴線段與拋物線的交點(diǎn)即為所求；設(shè)直線的解析式為，∴，∴，∴直線的解析式為，聯(lián)立，解得或（舍去），∴；如圖所示，取，連接，同理可得，∴直線與拋物線的交點(diǎn)即為所求；同理可知直線的解析式為，聯(lián)立，解得或（舍去），∴；綜上所述，符合題意的點(diǎn)P的坐標(biāo)為或；（4）解：是等邊三角形，理由如下：∵三點(diǎn)共圓，且，∴為過(guò)三點(diǎn)的圓的直徑，如圖所示，取中點(diǎn)R，連接，∵，∴，∴；設(shè)與拋物線交于，聯(lián)立得，∴，解得，在中，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，∴，∴，，，∴，∴是等邊三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，一次函數(shù)與幾何綜合，勾股定理，圓的相關(guān)知識(shí)，解題的關(guān)鍵在于正確作出輔助線并利用數(shù)形結(jié)合的思想求解．5．（2024·黑龍江大慶·中考真題）如圖，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)．點(diǎn)坐標(biāo)為，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線頂點(diǎn)，點(diǎn)為AB中點(diǎn)．

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)在直線上方的拋物線上存在點(diǎn)，使得，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)已知，為拋物線上不與，重合的相異兩點(diǎn)．①若點(diǎn)與點(diǎn)重合，，且，求證：，，三點(diǎn)共線；②若直線AD，交于點(diǎn)，則無(wú)論，在拋物線上如何運(yùn)動(dòng)，只要，，三點(diǎn)共線，，，中必存在面積為定值的三角形．請(qǐng)直接寫(xiě)出其中面積為定值的三角形及其面積，不必說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)(3)①見(jiàn)解析；②的面積為定值【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式，即可求解；（2）根據(jù)題意得出，過(guò)點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則是等腰直角三角形，根據(jù)，建立方程，解方程，即可求解；（3）①根據(jù)題意得出，得出直線的解析式為，聯(lián)立得出，在直線上；②設(shè)，，設(shè)的解析式y(tǒng)=kx?1，聯(lián)立拋物線解析式，可得，根據(jù)題意，設(shè)直線解析式為，直線的解析式為，求得到軸的距離是定值，即可求解．【詳解】（1）解：將，代入得，解得：∴拋物線解析式為（2）解：對(duì)于，令，解得：∴∴∴是等腰直角三角形，∴∵∴如圖所示，過(guò)點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，

∴∴是等腰直角三角形，∴，設(shè)，則∴，∴解得：（舍去）或∴（3）①點(diǎn)與點(diǎn)重合，則，∵點(diǎn)為AB中點(diǎn)，，∴,設(shè)直線的解析式為y=kx+bk≠0，代入,∴解得：∴聯(lián)立解得：或∴，在直線上即，，三點(diǎn)共線；②設(shè)，∵，，三點(diǎn)共線；∴設(shè)的解析式y(tǒng)=kx?1，聯(lián)立消去得，∴∵，設(shè)直線解析式為，直線的解析式為聯(lián)立解得：∴∵，∴，∴而不為定值，∴在直線上運(yùn)動(dòng)，∴到軸的距離為定值，∵直線AD，交于點(diǎn)，則無(wú)論，在拋物線上如何運(yùn)動(dòng)，只要，，三點(diǎn)共線，，，中必存在面積為定值的三角形，到的距離是變化的，∴的面積為是定值．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，待定系數(shù)法求解析式，角度問(wèn)題，面積問(wèn)題，一次函數(shù)，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．6．（2024·山東濟(jì)寧·中考真題）已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，其中a，b，c為常數(shù)，且．(1)求a，c的值；(2)若該二次函數(shù)的最小值是，且它的圖像與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．①求該二次函數(shù)的解析式，并直接寫(xiě)出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；②如圖，在y軸左側(cè)該二次函數(shù)的圖像上有一動(dòng)點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為D，與直線交于點(diǎn)E，連接，，．是否存在點(diǎn)P，使？若存在，求此時(shí)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)，(2)①該二次函數(shù)的解析式為：；，②存在，P點(diǎn)橫坐標(biāo)為：或或【分析】（1）先求得，則可得和關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，由此可得，進(jìn)而可求得；（2）①根據(jù)拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)公式得，由此可求得，進(jìn)而可得拋物線的表達(dá)式為，進(jìn)而可得，；②分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A右側(cè)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A左側(cè)時(shí)，分別畫(huà)出圖形，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可．【詳解】（1）解：∵的圖像經(jīng)過(guò)，∴，∴和關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，∴，，，∴，．（2）解：①∵，，∴，∵，∵解得，∵，且，∴，∴，∴該二次函數(shù)的解析式為：，當(dāng)時(shí)，，解得，，∴，．②設(shè)直線的表達(dá)式為：，則，解得，∴直線的表達(dá)式為：，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A右側(cè)時(shí)，作于F，如圖所示：設(shè)，則，，則，,，∵，，，∴，∵，，解得：，，∴點(diǎn)P橫坐標(biāo)為或；當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A左側(cè)時(shí)，作于F，如圖所示：設(shè)，則，，則，,，∵，，，∴，∵，，解得：，（舍去），∴點(diǎn)P橫坐標(biāo)為，綜上所述，P點(diǎn)橫坐標(biāo)為：或或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合，二次函數(shù)與幾何綜合，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式．熟練掌握“三角形面積水平寬鉛錘高”是解題的關(guān)鍵．7．（2023·山東青島·中考真題）許多數(shù)學(xué)問(wèn)題源于生活．雨傘是生活中的常用物品，我們用數(shù)學(xué)的眼光觀察撐開(kāi)后的雨傘（如圖①）、可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)研究的對(duì)象——拋物線．在如圖②所示的直角坐標(biāo)系中，傘柄在y軸上，坐標(biāo)原點(diǎn)O為傘骨，的交點(diǎn)．點(diǎn)C為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)A，B在拋物線上，，關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)．分米，點(diǎn)A到x軸的距離是分米，A，B兩點(diǎn)之間的距離是4分米．

(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)分別延長(zhǎng)，交拋物線于點(diǎn)F，E，求E，F(xiàn)兩點(diǎn)之間的距離；(3)以拋物線與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積為，將拋物線向右平移個(gè)單位，得到一條新拋物線，以新拋物線與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積為．若，求m的值．【答案】(1)；(2)(3)2或4；【分析】（1）根據(jù)題意得到，，，設(shè)拋物線的解析式為代入求解即可得到答案；（2）分別求出，所在直線的解析式，求出與拋物線的交點(diǎn)F，E即可得到答案；（3）求出拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)得到，表示出新拋物線找到交點(diǎn)得到，根據(jù)面積公式列方程求解即可得到答案；【詳解】（1）解：設(shè)拋物線的解析式為，由題意可得，，，，∴，，把點(diǎn)A坐標(biāo)代入所設(shè)解析式中得：，解得：，∴；（2）解：設(shè)的解析式為：，的解析式為：，分別將，代入得，，，解得：，，∴的解析式為：，的解析式為：，聯(lián)立直線解析式與拋物線得：，解得（舍去），同理，解，得（舍去），∴，，∴E，F(xiàn)兩點(diǎn)之間的距離為：；（3）解：當(dāng)時(shí)，，解得：，∴，∵拋物線向右平移個(gè)單位，∴，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，解得：，∴，∵，∴，解得：，（不符合題意舍去），，（不符合題意舍去），綜上所述：m等于2或4；【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)求法及平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．8．（2023·遼寧盤(pán)錦·中考真題）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式．(2)如圖1，點(diǎn)是軸上方拋物線上一點(diǎn)，射線軸于點(diǎn)，若，且，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)．(3)如圖2，點(diǎn)是第一象限內(nèi)一點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交拋物線于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，連接，若，求面積．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）將點(diǎn)，代入拋物線得到，解方程組即可得到答案；（2）設(shè)，，則，則，，從而表示出點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入拋物線解析式，求出的值即可得到答案；（3）求出直線的表達(dá)式，利用，得到，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．【詳解】（1）解：拋物線與軸交于點(diǎn)，，，解得：，拋物線的解析式為：；（2）解：，設(shè)，，，，，點(diǎn)，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)是軸上方拋物線上一點(diǎn)，，解得：（舍去）或，；（3）解：設(shè)點(diǎn)，直線的解析式為，，，解得：，直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，，，，在拋物線中，當(dāng)時(shí)，，，，，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，，，，解得：，點(diǎn)的坐標(biāo)為，．【點(diǎn)睛】本題為二次函數(shù)綜合，主要考查了求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)圖象和性質(zhì)、一次函數(shù)的應(yīng)用、銳角三角函數(shù)、三角形面積的計(jì)算，確定關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)是解本題的關(guān)鍵．9．（2023·湖南張家界·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A?2,0和點(diǎn)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C0,6．點(diǎn)D為線段上的一動(dòng)點(diǎn)．

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)如圖1，求周長(zhǎng)的最小值；(3)如圖2，過(guò)動(dòng)點(diǎn)D作交拋物線第一象限部分于點(diǎn)P，連接，記與的面積和為S，當(dāng)S取得最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出此時(shí)S的最大值．【答案】(1)(2)(3)，【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)拋物線的表達(dá)式為，將代入求解即可；（2）作點(diǎn)O關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E，連接，根據(jù)點(diǎn)坐特點(diǎn)及正方形的判定得出四邊形為正方形，，連接AE，交于點(diǎn)D，由對(duì)稱(chēng)性，此時(shí)有最小值為AE的長(zhǎng)，再由勾股定理求解即可；（3）由待定系數(shù)法確定直線的表達(dá)式為，直線的表達(dá)式為，設(shè)，然后結(jié)合圖形及面積之間的關(guān)系求解即可．【詳解】（1）解：由題意可知，設(shè)拋物線的表達(dá)式為，將代入上式得：，所以拋物線的表達(dá)式為；（2）作點(diǎn)O關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E，連接，∵，，，∴，∵O、E關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，∴四邊形為正方形，∴，連接，交于點(diǎn)D，由對(duì)稱(chēng)性，此時(shí)有最小值為的長(zhǎng)，∵的周長(zhǎng)為，，的最小值為10，∴的周長(zhǎng)的最小值為；（3）由已知點(diǎn)，，，設(shè)直線的表達(dá)式為，將，代入中，，解得，∴直線的表達(dá)式為，同理可得：直線的表達(dá)式為，∵，∴設(shè)直線表達(dá)式為，由（1）設(shè)，代入直線的表達(dá)式得：，∴直線的表達(dá)式為：，由，得，∴，∵P，D都在第一象限，∴，∴當(dāng)時(shí)，此時(shí)P點(diǎn)為.．【點(diǎn)睛】題目主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，包括待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，周長(zhǎng)最短問(wèn)題及面積問(wèn)題，理解題意，熟練掌握運(yùn)用二次函數(shù)的綜合性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【中考模擬即學(xué)即練】1．（2025·上海黃浦·一模）已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)、、．(1)求該拋物線的表達(dá)式及其對(duì)稱(chēng)軸l；(2)如果點(diǎn)A與點(diǎn)D關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸l對(duì)稱(chēng)，聯(lián)結(jié)、，求的面積．【答案】(1)，直線(2)24【分析】本題考查了二次函數(shù)與三角形面積的綜合問(wèn)題，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式．（1）直接利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，利用對(duì)稱(chēng)軸公式求對(duì)稱(chēng)軸即可；（2）過(guò)點(diǎn)B作，垂足為點(diǎn)H，先求出，繼而求出，即可求解面積．【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)、、C0,1三點(diǎn)，∴，解得．∴拋物線的表達(dá)式為．∵∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸l為直線；（2）解：過(guò)點(diǎn)B作，垂足為點(diǎn)H．∵點(diǎn)A與點(diǎn)D關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸l對(duì)稱(chēng)，又點(diǎn)，∴，∴軸，．∵，∴．∴．2．（2025·上海松江·一模）已知一條拋物線的頂點(diǎn)為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．(1)求該拋物線的表達(dá)式；(2)若點(diǎn)在該拋物線上，求的面積．【答案】(1)(2)3【分析】本題考查二次函數(shù)與幾何的綜合應(yīng)用，正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵：（1）設(shè)出頂點(diǎn)式，待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；（2）求出點(diǎn)坐標(biāo)，勾股定理逆定理得到，再利用面積公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：設(shè)拋物線的解析式為，拋物線過(guò)，得拋物線的表達(dá)式為：．（2）∵點(diǎn)，，，∵，，，，，，，．3．（2024·青海西寧·一模）如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，直線方程為．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)直線上方的拋物線上有一點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是什么？的最大面積是多少？【答案】(1)；(2)或；(3)點(diǎn)的坐標(biāo)為，的最大面積是．【分析】（）利用一次函數(shù)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法解答即可求解；（）求出點(diǎn)坐標(biāo)，可得AB的長(zhǎng)，進(jìn)而求出，設(shè)，根據(jù)列出方程即可求解；（）如圖，向上平移直線，當(dāng)直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，此時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最大，即的面積最大，設(shè)平移后的直線解析式為，由得，，進(jìn)而根據(jù)可得，即可平移后的直線解析式為，再聯(lián)立函數(shù)解析式可得，再利用待定系數(shù)法可得直線的函數(shù)解析式為，即可得，得到，最后根據(jù)即可求解．【詳解】（1）解：把代入得，，∴，把x=0代入得，，∴C0,?3把、C0,?3代入得，，解得，∴拋物線的解析式為；（2）解：把代入得，，解得，，∴，∴，∴，設(shè)，∵，∴，整理得，，∴或，當(dāng)時(shí)，方程無(wú)解；當(dāng)時(shí)，解得，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或；（3）解：如圖，向上平移直線，當(dāng)直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，此時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最大，即的面積最大，設(shè)平移后的直線解析式為，由得，，∴，解得，∴平移后的直線解析式為，由，解得，∴，設(shè)直線的函數(shù)解析式為，直線與軸相交于點(diǎn)，把C0,?3、代入得，，解得，∴直線的函數(shù)解析式為，把代入得，，解得，∴，∴，∴，∴當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，的最大面積是．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的幾何應(yīng)用，一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，根的判別式，一次函數(shù)圖象的平移，掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2024·云南昆明·一模）如圖，拋物線與x軸交于，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且滿足．(1)求拋物線的解析式；(2)M是線段上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），過(guò)點(diǎn)M作軸交拋物線于點(diǎn)N，交x軸于點(diǎn)D，連接，若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，是否存在點(diǎn)M，使的面積最大？若存在，求m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，求出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式；（2）先求直線的解析式，表示出、兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用縱坐標(biāo)的差計(jì)算的長(zhǎng)，根據(jù)面積公式得：，的長(zhǎng)是定值為3，所以的最大值即為面積的最大值，求所表示的二次函數(shù)的最值即可．【詳解】（1）解：拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，三點(diǎn)，且，∴，設(shè)拋物線的解析式為：，，，拋物線的解析式：；（2）解：存在，設(shè)直線的解析式為：，把，代入得：，解得：，直線的解析式為，，又軸，，；，當(dāng)最大時(shí)，的面積最大，，當(dāng)時(shí)，的有最大值為，當(dāng)時(shí)，的面積最大，點(diǎn)的坐標(biāo)．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，難度適中，考查了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)和一次函數(shù)的解析式，并利用鉛直高度與水平寬度的積求三角形的面積，同時(shí)要熟練掌握二次函數(shù)的最值的求法．5．（2024·江蘇鹽城·三模）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B、C，已知．(1)求拋物線的表達(dá)式，并求出點(diǎn)C的坐標(biāo)．(2)點(diǎn)M是拋物線(第一象限內(nèi))上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，當(dāng)面積最大時(shí)，求M點(diǎn)的坐標(biāo)．(3)若點(diǎn)M坐標(biāo)固定為，Q是拋物線上除M點(diǎn)之外的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)與的面積相等求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：或或【分析】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到平行線的性質(zhì)、面積的計(jì)算等，用平行線的方法處理面積之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．（1）用待定系數(shù)法求出函數(shù)表達(dá)式，即可求解；（2）由面積，即可求解；（3）過(guò)點(diǎn)M作直線交y軸于點(diǎn)R，得到直線的表達(dá)式為：，即可求解；過(guò)點(diǎn)T作直線，得到直線的表達(dá)式為：，即可求解．【詳解】（1）解：由題意得：，解得：，則拋物線的表達(dá)式為：，令，則，解得：（舍去）或，即；（2）解：過(guò)點(diǎn)M作軸交于點(diǎn)H，由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)設(shè)直線的表達(dá)式為：，則，解得：，故直線的表達(dá)式為：，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，則面積，∵，故當(dāng)時(shí)，面積最大，此時(shí)點(diǎn)；（3）解：由（2）知，直線的表達(dá)式為：，過(guò)點(diǎn)M作直線交y軸于點(diǎn)R，設(shè)直線的表達(dá)式為：，則，解得：，則直線的表達(dá)式為：，則點(diǎn)，則，聯(lián)立和拋物線的表達(dá)式得：，解得：（舍去）或3，即點(diǎn)，則點(diǎn)A下方取點(diǎn)T，使，則點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)T作直線，則直線的表達(dá)式為：，聯(lián)立上式和拋物線的表達(dá)式得：，解得：，則點(diǎn)或，綜上，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：或或．6．（2024·四川眉山·二模）如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)，對(duì)稱(chēng)軸是直線，線段平行于軸，交拋物線于點(diǎn)．在軸上取一點(diǎn)，直線交拋物線于點(diǎn)，連結(jié)、、、．(1)求該二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，使，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)設(shè)點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)為何值時(shí)，將沿邊翻折，使與重疊部分的面積恰好是面積的，并說(shuō)明理由．【答案】(1)，(2)點(diǎn)E的坐標(biāo)是或時(shí)，；(3)或時(shí)，將沿邊翻折，使與重疊部分的面積是的面積的．【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法和對(duì)稱(chēng)軸的關(guān)系式求出a、b的即可，然后利用待定系數(shù)法求出直線的解析式與拋物線解析式組成方程組即可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）先證得為直角三角形，然后由相似三角形的性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)就可以得出E的坐標(biāo)；（3）分情況討論當(dāng)點(diǎn)B落在的左下方，點(diǎn)B，D重合，點(diǎn)B落在的右上方，由三角形的面積公式和菱形的性質(zhì)的運(yùn)用就可以求出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且對(duì)稱(chēng)軸是直線，∴，解得：，∴二次函數(shù)的解析式為，設(shè)直線的解析式為，由題意，得，解得：，∴；當(dāng)時(shí)，解得：，（舍去）．∴，∴；（2）解：如圖1，∵點(diǎn)，線段平行于x軸，∴D的縱坐標(biāo)為4，∴，∴，，∴，∴，，，，∴，，，∴，∴為直角三角形．∵，∴，，∴，∴．即把繞著O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，落在上處，落在上處，∴，∴，作關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)圖形，所得點(diǎn)E的坐標(biāo)為．∴當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)是或時(shí)，；（3）解：由（2）知，，，，若翻折后，點(diǎn)B落在的左下方，連接與交于點(diǎn)H，連接，如圖2，∴，∴，，∴四邊形為平行四邊形，在平行四邊形中，，若翻折后，點(diǎn)B，D重合，，不合題意，舍去．若翻折后，點(diǎn)B落在的右上方，連接交于點(diǎn)H，連接，如圖3，∴，∴，，，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴四邊形是菱形，∴，根據(jù)勾股定理，得，∴，解得，（舍去），綜上所述，或時(shí)，將沿邊翻折，使與重疊部分的面積是的面積的．【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，相似三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，菱形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的運(yùn)用，分類(lèi)討論思想的運(yùn)用，等底、等高的三角形的面積的運(yùn)用等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握運(yùn)用三角形的面積關(guān)系求解是解決此題的關(guān)鍵．7．（2024·甘肅·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于A，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，P是直線下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)如圖2，連接，，并把沿翻折，得到四邊形，當(dāng)四邊形為菱形時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形的面積最大？求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)及此時(shí)線段的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）將代入拋物線中，即可求拋物線的解析式；（2）如圖，連接PP'，設(shè)，則，由菱形的性質(zhì)知垂直平分，求出的中點(diǎn)為)，則，求出，進(jìn)而即可求；（3）如圖，過(guò)P作軸，交直線于點(diǎn)Q，求出點(diǎn)坐標(biāo)，則，設(shè)，則，即可求，所以，當(dāng)時(shí)，四邊形的面積最大為，此時(shí)，進(jìn)而即可得解．【詳解】（1）∵拋物線過(guò)點(diǎn)，∴，解得，∴拋物線的表達(dá)式為；（2）如圖，連接PP設(shè)，則，∵四邊形為菱形，∴垂直平分，∵C0,?3∴的中點(diǎn)為，∴，整理得，解得或；點(diǎn)在直線的下方，，，；（3）如圖，過(guò)P作軸，交直線于點(diǎn)Q，令，則，，，，，，，設(shè)直線的解析式為，解得，直線的解析式為，設(shè)，則，，，∴，∵，，當(dāng)時(shí)，四邊形的面積最大為，此時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象性質(zhì)的應(yīng)用，菱形的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，翻折等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，菱形的對(duì)稱(chēng)性，會(huì)用鉛錘法求三角形的面積是解題的關(guān)鍵．8．（2025·安徽·模擬預(yù)測(cè)）如圖，拋物線與直線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，且．

(1)求拋物線的解析式．(2)將沿方向平移到．①如圖2，若經(jīng)過(guò)點(diǎn)與軸交于點(diǎn)，求的值．②如圖3，直線與拋物線段交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，當(dāng)頂點(diǎn)在線段上移動(dòng)時(shí)，求與公共部分面積的最大值．【答案】(1)(2)①；②最大值為．【分析】本題主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式，交點(diǎn)坐標(biāo)，三角形面積等．（1）先求出直線的解析式，求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，再將A，B坐標(biāo)代入，求出a，b即可；（2）求出直線的解析式，的解析式，聯(lián)立方程組，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，可得，再證明，得，從而可得結(jié)論；（3）設(shè)與交于點(diǎn)R，G，與交于點(diǎn)F，K，分別求出直線的解析式，再分別用含有a的代數(shù)式表示出H，G，E，F(xiàn)的坐標(biāo)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，可求出和公共部分面積的最大值．【詳解】（1）解：對(duì)于，令，則，解得，，∴，∴，，∴，∴，把代入，得，∴，把代入得，，解得，，所以，二次函數(shù)解析式為：；（2）解：①設(shè)直線的解析式為，把代入得，，解得，，∴直線的解析式為，由平移得，，∴設(shè)直線的解析式為，把2,0代入得，，∴設(shè)直線的解析式為，聯(lián)立方程組，解得，，∴，，∴，∴，∵是由平移得到的，∴，∴；②設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為其中，，由平移知，，∴設(shè)直線的解析式為，將代入得，，∴∴；設(shè)與交于G，R，與交于K，F(xiàn)，聯(lián)立，解得，，，∴，，在中，當(dāng)時(shí)，，∴，，∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，∴，，∴，設(shè)和公共部分的面積為S，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，S有最大值，最大值為；∴和公共部分的面積最大值為．題型三：與角度有關(guān)問(wèn)題【中考母題學(xué)方法】1．（2023·四川自貢·中考真題）如圖，拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

(1)求拋物線解析式及，兩點(diǎn)坐標(biāo)；(2)以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)坐標(biāo)；(3)該拋物線對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)，使得，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)拋物線解析式為，，(2)或或(3)【分析】（1）將點(diǎn)代入拋物線解析式，待定系數(shù)法求解析式，進(jìn)而分別令，即可求得兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）分三種情況討論，當(dāng)，為對(duì)角線時(shí)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)即可求解；（3）根據(jù)題意，作出圖形，作交于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，連接，則在上，根據(jù)等弧所對(duì)的圓周角相等，得出在上，進(jìn)而勾股定理，根據(jù)建立方程，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得出的解析式，即可求解．【詳解】（1）解：∵拋物線與x軸交于，∴解得：，∴拋物線解析式為，當(dāng)時(shí)，，∴，當(dāng)時(shí)，解得：，∴（2）∵，，，設(shè)，∵以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，解得：，∴；當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，解得：∴當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，解得：∴綜上所述，以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，或或（3）解：如圖所示，作交于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，連接，

∵∴是等腰直角三角形，∴在上，∵，，∴，，∵，∴在上，設(shè)，則解得：（舍去）∴點(diǎn)設(shè)直線的解析式為∴解得：.∴直線的解析式∵，，∴拋物線對(duì)稱(chēng)軸為直線，當(dāng)時(shí)，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，待定系數(shù)法求解析式，平行四邊形的性質(zhì)，圓周角角定理，勾股定理，求一次函數(shù)解析式，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．2．（2023·湖南岳陽(yáng)·中考真題）已知拋物線與軸交于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．

(1)請(qǐng)求出拋物線的表達(dá)式．(2)如圖1，在軸上有一點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)使得四邊形為正方形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)如圖2，將拋物線向右平移2個(gè)單位，得到拋物線，拋物線的頂點(diǎn)為，與軸正半軸交于點(diǎn)，拋物線上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)；(3)點(diǎn)的坐標(biāo)為或【分析】（1）把代入，求出即可；（2）假設(shè)存在這樣的正方形，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)R，過(guò)點(diǎn)F作軸于點(diǎn)I，證明可得故可得，；（3）先求得拋物線的解析式為，得出，，運(yùn)用待定系數(shù)法可得直線的解析式為，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連接，設(shè)交直線于或，如圖2，過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)，連接，利用等腰直角三角形性質(zhì)和三角函數(shù)定義可得，進(jìn)而可求得點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】（1）∵拋物線與軸交于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，∴把代入，得，解得，∴解析式為：；（2）假設(shè)存在這樣的正方形，如圖，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)R，過(guò)點(diǎn)F作軸于點(diǎn)I，

∴∵四邊形是正方形，∴∴∴又∴∴∵∴∴∴；同理可證明：∴∴∴；（3）解：拋物線上存在點(diǎn)，使得．，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，將拋物線向右平移2個(gè)單位，得到拋物線，拋物線的解析式為，拋物線的頂點(diǎn)為，與軸正半軸交于點(diǎn)，，，設(shè)直線的解析式為，把，代入得，解得：，直線的解析式為，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連接，設(shè)交直線于或，如圖2，過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)，連接，則，，，

，，是等腰直角三角形，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，，∵，，，即點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，；，，，，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，；綜上所述，拋物線上存在點(diǎn)，使得，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)等知識(shí)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．3．（2023·湖南郴州·中考真題）已知拋物線與軸相交于點(diǎn)，，與軸相交于點(diǎn)．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)如圖1，點(diǎn)是拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，求的值；(3)如圖2，取線段的中點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)，使？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)(3)或或或【分析】（1）待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；（2）根據(jù)的周長(zhǎng)等于，以及為定長(zhǎng)，得到當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，的周長(zhǎng)最小，根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)性，得到關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，則：，得到當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，，進(jìn)而求出點(diǎn)坐標(biāo)，即可得解；（3）求出點(diǎn)坐標(biāo)為，進(jìn)而得到，得到，分點(diǎn)在點(diǎn)上方和下方，兩種情況進(jìn)行討論求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線與軸相交于點(diǎn)，，∴，解得：，∴；（2）∵，當(dāng)時(shí)，，∴，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線∵的周長(zhǎng)等于，為定長(zhǎng)，∴當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，的周長(zhǎng)最小，∵關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，∴，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，為的長(zhǎng)，此時(shí)點(diǎn)為直線與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)，設(shè)直線的解析式為：，則：，解得：，∴，當(dāng)時(shí)，，∴，∵，∴，，∴；（3）解：存在，∵為的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，在中，，∵，∴，①當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)上方時(shí)：過(guò)點(diǎn)作，交拋物線與點(diǎn)，則：，此時(shí)點(diǎn)縱坐標(biāo)為2，設(shè)點(diǎn)橫坐標(biāo)為，則：，解得：，∴或；②當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)下方時(shí)：設(shè)與軸交于點(diǎn)，則：，設(shè)，則：，，∴，解得：，∴，設(shè)的解析式為：，則：，解得：，∴，聯(lián)立，解得：或，∴或；綜上：或或或．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，正確的求出二次函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合，分類(lèi)討論的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．本題的綜合性強(qiáng)，難度較大，屬于中考?jí)狠S題．4．（2023·江蘇無(wú)錫·中考真題）已知二次函數(shù)的圖像與軸交于點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)．(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出，的值；(2)直線交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是二次函數(shù)圖像上位于直線AB下方的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線AB的垂線，垂足為．①求的最大值；②若中有一個(gè)內(nèi)角是的兩倍，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)．【答案】(1)，(2)①；②2或【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）①過(guò)點(diǎn)作軸平行線分別交、于、．令，求得，勾股定理求得，得出，則，進(jìn)而可得，求得直線的解析式為，設(shè)，則，進(jìn)而表示出，最后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．②根據(jù)已知，令，，在上取點(diǎn)，使得，得出，然后根據(jù)，設(shè)，．進(jìn)而分兩種情況討論，ⅰ當(dāng)時(shí)，，則相似比為，得出代入拋物線解析式，即可求解；ⅱ當(dāng)時(shí)，，同理可得，代入拋物線解析式即可求解．【詳解】（1）∵二次函數(shù)的圖像與軸交于點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)∴解得：∴，，；（2）①如圖1，過(guò)點(diǎn)作軸平行線分別交、于、．∵，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，，∴，∴．∵，，∴，∴，∴，∴．∵設(shè)直線的解析式為∴解得：直線解析式為．設(shè)，，，當(dāng)時(shí)，取得最大值為，的最大值為．②如圖2，已知，令，則，在上取點(diǎn)，使得，∴，設(shè)，則，則，解得，∴，即．如圖3構(gòu)造，且軸，相似比為，又∵，設(shè)，則．分類(lèi)討論：ⅰ當(dāng)時(shí)，則，∴與的相似比為，∴，，∴，代入拋物線求得，（舍）．∴點(diǎn)橫坐標(biāo)為．ⅱ當(dāng)時(shí)，則，∴相似比為，∴，，∴，代入拋物線求得，（舍）．∴點(diǎn)橫坐標(biāo)為．綜上所示，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合問(wèn)題，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，線段長(zhǎng)的最值問(wèn)題，相似三角形的性質(zhì)與判定，正切的定義．利用分類(lèi)討論的思想并熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2023·遼寧營(yíng)口·中考真題）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線軸，過(guò)點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，點(diǎn)為第三象限內(nèi)拋物線上的點(diǎn)，連接CE和交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)．求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，連接，在直線上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)(3)或．【分析】（1）根據(jù)拋物線過(guò)點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為直線，待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）根據(jù)題意求得，，求得，則，進(jìn)而求得直線的解析式為，過(guò)點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，證明，根據(jù)已知條件得出設(shè)，則，將點(diǎn)代入，即可求解．（3）根據(jù)題意可得，以為對(duì)角線作正方形，則，進(jìn)而求得的坐標(biāo)，待定系數(shù)法求得的解析式，聯(lián)立解析式，即可求解．【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交軸于點(diǎn)，則對(duì)稱(chēng)軸為直線，∴，解得：∴拋物線解析式為；（2）解：由，當(dāng)時(shí)，，解得：，∴，當(dāng)時(shí)，，則，∵，∴，∴，即，∴，∴，則，設(shè)直線的解析式為，則，解得：，∴直線的解析式為，如圖所示，過(guò)點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，

∵，∴∵∴，則設(shè)，則即，將點(diǎn)代入即解得：或（舍去）當(dāng)時(shí)，，∴；（3）∵，，則，是等腰直角三角形，∴，由（2）可得，∵∴，由（2）可得，設(shè)直線的解析式為，則解得：∴直線的解析式為如圖所示，以為對(duì)角線作正方形，則，

∵，則，則，，設(shè)，則，解得：，，則，，設(shè)直線的解析式為，直線的解析式為則，，解得：，，設(shè)直線的解析式為，直線的解析式為，∴解得：，則，解得：,則，綜上所述，或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運(yùn)用，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2024·重慶·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)是直線下方對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸交拋物線于點(diǎn)，作于點(diǎn)，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)將拋物線沿射線方向平移個(gè)單位，在取得最大值的條件下，點(diǎn)為點(diǎn)平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，點(diǎn)為平移后的拋物線上一點(diǎn)，若，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)最大值為；；(3)或【分析】（1）直接利用待定系數(shù)法求解拋物線的解析式即可；（2）如圖，延長(zhǎng)交軸于，過(guò)作軸于，求解，可得，證明，設(shè)，，，再建立二次函數(shù)求解即可；（3）由拋物線沿射線方向平移個(gè)單位，即把拋物線向左平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，可得新的拋物線為：，，如圖，當(dāng)在軸的左側(cè)時(shí)，過(guò)作軸于，證明，可得，證明，如圖，當(dāng)在軸的右側(cè)時(shí)，過(guò)作軸的垂線，過(guò)作過(guò)的垂線于，同理可得：，再進(jìn)一步結(jié)合三角函數(shù)建立方程求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線，∴，解得，∴；（2）解：如圖，延長(zhǎng)交軸于，過(guò)作軸于，∵當(dāng)時(shí)，解得：，，∴，當(dāng)時(shí)，，∴C0,?3∴，∴，∵軸，∴，∴，∴，∵，C0,?3，設(shè)為，∴，解得：，∴直線為：，設(shè)，∴，∴，∵拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線，∴，∴，當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為；此時(shí)；（3）解：∵拋物線沿射線方向平移個(gè)單位，即把拋物線向左平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，∴新的拋物線為：，，如圖，當(dāng)在軸的左側(cè)時(shí)，過(guò)作軸于，∵，同理可得：直線為，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，設(shè)，∴，解得：或（舍去）∴；如圖，當(dāng)在軸的右側(cè)時(shí)，過(guò)作軸的垂線，過(guò)作過(guò)的垂線于，同理可得：，設(shè)，則，同理可得：，∴或（舍去），∴．【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)的綜合題，難度很大，考查了待定系數(shù)法，二次函數(shù)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是做出合適的輔助線進(jìn)行轉(zhuǎn)化，清晰的分類(lèi)討論是解本題的關(guān)鍵．7．（2024·重慶·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，與軸交于兩點(diǎn)（在的左側(cè)），連接．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)是射線上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，交于點(diǎn)．點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，軸，垂足為，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，連接．當(dāng)線段長(zhǎng)度取得最大值時(shí)，求的最小值；(3)將該拋物線沿射線方向平移，使得新拋物線經(jīng)過(guò)（2）中線段長(zhǎng)度取得最大值時(shí)的點(diǎn)，且與直線相交于另一點(diǎn)．點(diǎn)為新拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)；(2)的最小值為；(3)符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【分析】（1）利用正切函數(shù)求得，得到，再利用待定系數(shù)法即可求解；（2）求得A?4,0，利用待定系數(shù)法求得直線的解析式，設(shè)，求得最大，點(diǎn)，再證明四邊形是平行四邊形，得到，推出當(dāng)共線時(shí)，取最小值，即取最小值，據(jù)此求解即可；（3）求得，再利用平移的性質(zhì)得到新拋物線的解析式，再分兩種情況討論，計(jì)算即可求解．【詳解】（1）解：令，則，∴，∴，∵，∴，∴，∴，將和代入得，解得，∴拋物線的表達(dá)式為；（2）解：令，則，解得或，∴A?4,0設(shè)直線的解析式為，代入A?4,0，得，解得，∴直線的解析式為，設(shè)（），則，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)，∴，，，∴，，連接，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴當(dāng)共線時(shí)，取最小值，即取最小值，∵點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，∴，∴，∴的最小值為；（3）解：由（2）得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，代入，得，∴，∴新拋物線由